A közelítő integrálás hibája

X

j=1

sin(jt)

j ξ_j, (8.11)

ahol t ∈ [0, π], j ∈ N, ξ_j ∼ N(0,1), azaz standard Gauss-eloszlású. Ez alapján készült szimulációkat láthatunk a 8.4, 8.5, 8.6 ábrán.

8.4. A közelítő integrálás hibája

Az egyszerű Monte-Carlo módszer esetén a hibabecslés jellemzésére általában a szórást használjuk.

8.3. ábra.

Legyen hegy tetszőleges valós függvény, amely esetén az Z ∞

−∞

h²(x)dF(x) (8.12)

létezik. Ez szükséges és elégséges feltétele, hogy az Y = h(X) valószínűsé-gi változó, ahol X F eloszlásfüggvényű, szórásnégyzete létezzen. Továbbá legyen

E(h(X)) =µ, és D²(h(X)) = σ², (8.13) akkor az X₁, X₂, . . . , X_n minta esetén(X_i F eloszlású) a hibabecslés szórás-négyzete

D²(ε) = 1

n²D²(h(X₁) +h(X₂) +· · ·+h(X_n)) = σ²

n . (8.14) Ebből leolvashatjuk a Monte-Carlo módszer egy igen lényeges tulajdonságát:

ha a mintaelemek számát növeljük a hiba illetve a jellemzését adó szórás

8.4. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon

8.5. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon

8.6. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon

csak √

n arányában csökken. Látszólag ez azt jelenti, hogy azok a jó becs-lések, amelyeknek kicsi a szórása. De azzal, hogy a robusztus tulajdonságok nem változnak meg egy konstans tényező hatására az következik, hogy más szempontból kell összehasonlítani az integrálási tulajdonságokat, illetve ér-zékenységeket. Ezeket a további vizsgálatokat célszerű úgy elvégezni, hogy a szórások legyenek egyenlőek a becsléseknél. Legyen ez a közös érték 1, s az ilyen egyenletet nevezzük kanonikus egyenletnek.

8.11. Példa. Hány darab véletlen számot kell generálni ahhoz, hogy az

I = π Z2

0

sinxdx (8.15)

integrált megbecsüljük úgy, hogy a becslés abszolút hibája legfeljebbI 0.1%

legyen legalább0.99 valószínűséggel?

Bizonyítás. Tudjuk, hogy

2 πI= 2

π π Z2

0

sinxdx = π Z2

0

sinx2

πdx=E(sinX), (8.16) ahol X ∼U

0,π 2

. Tehát I egy közelítő értéke

I_n = π 2n

n

X

i=1

sinX_n, (8.17)

ahol X_n pszeudovéletlenszám a 0,π

2

intervallumból. Felhasználva, hogy I_n−I

D(I_n) ∼N(0,1), (8.18)

ahol

D²(I_n) = π²

4nD²(sinX) = π²−8

8n (8.19)

kapjuk, hogyn≈1550579.

9. fejezet

Alkalmazások

9.1. Geometriai Brown-mozgás

Legyen {X˜(t) : t ≥ 0} Brown-mozgás. A sodródó Brown-mozgás olyan sztochasztikus folyamat, melynek eloszlása megegyezik

X(t) = ˜X(t) +µt, t≥0 (9.1)

eloszlásával, ahol µ állandó (sodrási paraméter).

A folyamatot definiálhatnánk a következő módon is.

9.1. Definíció. A{X(t) :t≥0} sodródó Brown-mozgás, ha

(1)X(t+s)−X(s)∼N(µt, σ²t),0< s, t. µés σ rögzített konstans.

(2)t₁ < t₂ < t₃ <· · ·< t_n−1 < t_n,akkor a

X(t₂)−X(t₁), X(t₂)−X(t₁), . . . , X(t_n)−X(t_n−1) (9.2) valószínűségi változók függetlenek.

(3)X(0) = 0,és X(t)folytonos a 0 pontban.

9.2. Megjegyzés.

P(X(t)< x|X(t₀) =x₀) =P(X(t)−X(t₀)< x−x₀) =

=

x−x0

Z

∞

1

p2π(t−t₀)σexp

−(y−µ(t−t₀))² 2(t−t₀)σ²

dy=

=

9.3. Megjegyzés. Ha µ 6= 0, akkor a folyamat nem szimmetrikus, és a tükrözési elv nem használható a folyamat maximuma eloszlásának kiszámo-lására.

Legyen{X(t) :t≥0}olyan Brown-mozgás, amelynek sodrási paramétereµ, és diffúziós együtthatója pedigσ². Az

Y(t) =e^X(t), t≥0 (9.5) egyenlőséggel definiált folyamatot geometriai Brown mozgásnak nevezzük.

Mivel Y(t) =Y(0)e^X(t)−X(0),ezért a normális eloszlás karakterisztikus függ-vénye alapján 9.4. Példa. Egy tökéletes piacon árusított részvény árváltozásainak model-lezése:

– nem-negatív árak;

– oszcilláló viselkedés (hosszú távon exponenciális csökkenésekkel tarkított exponenciális növekedés);

Alkalmas modell: Ha a jövőbeli ár és a pillanatnyi ár arányáról előre meg lehetne mondani, hogy milyen akkor a résztvevők vétellel illetve eladással korrigálnának. Egyensúlyi helyzetet akkor kapunk, ha az arányról nem lehet előre megjósolni, hogy vajon kedvező lesz-e vagy kedvezőtlen (függetlenség).

Érdemes-e örökös biztosítékot adni a tőzsdén?

Biztosíték: elővételi jog, hogy valaki előre rögzített számú részvényt vásárol-hasson valamilyen előre megállapított áron, egy előírt időperiódus bármely időpontjában.

Az elővételi joggal rendelkező profitja az, amennyivel a tőzsdei ár meghaladja az opciós árat.

Feltevés: az opciót fenntartó a megállapított áron vásárolhat és újra eladhat a tőzsdén (profit realizálás). Örök idejű biztosítékot tekintünk – az opciónak nincs lejárati ideje.

"Ésszerű" stratégia: az első olyan időpont alkalmával gyakoroljuk az elővételi jogot, amikor a részvény ára valamilyen meghatározottaszintet ér el. Legyen egységnyi a biztosítékban meghatározott ár, ekkor a potenciális profita−1 (a >1).

Egy ilyen opció birtokosa, legalábbis részben, lemond a részvény közvetlen birtoklásáról, amelynek értéke (várhatóan) időegységenként α = µ+ 1

2σ²

Az opciótól ϑ > αhozamot követelünk meg (leszámítolás, jelenérték).

Legyen T(a) az első időpont, amelyre Y(T(a)) = a. Ekkor a leszámítolt potenciális profit

e^−ϑT(a)[Y(T(a))−1] =e^−ϑT(a)(a−1). (9.11) A várható leszámítolt profit nagyságát akarjuk kiszámítani, és azután maxi-malizálni a várható profitot.

AT(a)az első olyan időpont, amikor X(t)−lnY(t)eléri az ln(a)szintet.

9.5. TÉTEL. Legyen X(t) Brown-mozgás, µ ≥ 0. Legyenek z > X(0) = x adott értékek, és legyenT_z az első olyan érték, amelyre X(T_z) =z. AX(0) = xfeltétel mellett T_z sűrűségfüggvénye

f(t;x, z) = z−x

9.6. Megjegyzés. µ≥0eseténT biztosan kisebb, mint végtelen, és a

Legyen z= lnaés x= lny,akkor a Laplace transzformált alapján E(e^−ϑT|Y(0) =y) =y

A leszámítolt profit várható értéke

g(y, a) = (a−1)E(e^−ϑT|Y(0) =y) = (a−1)y

Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy a^⋆ = ̺

A mérnöki, a közgazdasági és az orvosi gyakorlatban is nagyon sokszor for-dul elő, hogy egy gép (egység, ember) élettartamát vizsgáljuk. Az élettar-tam értelemszerűen egyX ≥0 nemnegatív valószínűségi változó. Legyen az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x) és sűrűségfüggvénye f (x).

Élettartam-vizsgálatoknál használatos azS(x)túlélési függvény S(x) =P (X > x)

és abszolút folytonos eloszlást feltételezve S(x) = 1−F(x).

A továbbiakban a meghibásodik, meghal ill. tönkremegy igéket szinonímák-nak tekintjük. Hasonlóképpen nem teszünk különbséget a túléli, jó marad stb. kifejezések között.

9.7. Definíció. AzX valószínűségi változó túlélési függvényeannak valószí-nűsége, hogy az egyed azx időpontnál később hibásodik meg

S(x) =P (X > x) = 1−F(x).

Egy kísérletnél sokszor nem az érdekel, hogy az eredeti populációval mi törté-nik, hanem csak azok érdekelnek, amelyek (akik) nem mentek tönkre (életben vannak). Ilyenkor igen hasznos segédeszköz a meghibásodási (kockázati) ráta.

Vizsgáljuk annak a feltételes valószínűségét, hogy egy egyed az (x, x+ ∆x) intervallumban hal meg, feltéve, hogy az intervallum elején, azxidőpontban még életben volt

P(x≤X < x+ ∆x|X > x) = P(x≤X < x+ ∆x, X > x) P(X > x) =

= P(x≤X < x+ ∆x)

P(X > x) ≈ f (x) ∆x S(x) . 9.8. Definíció. Akockázati (meghibásodási) ráta annak az időegységre vett valószínűsége, hogy egy olyan egyed, amelyik az intervallum elején még élet-ben volt meghibásodik ebélet-ben az intervallumban

λ(x) = f(x) S(x). Innen kapjuk, hogy

λ(x) = f(x) 1−F (x),

kihasználva, hogy F^′(x) =f(x), majd az analízisbeli láncszabályt λ(x) =−S^′(x)

S(x) =−d[lnS(x)]

dx .

A kockázati (ráta) függvények különböző alakúak lehetnek még akkor is, ha a megfelelő sűrűségfüggvények igen hasonló alakúak, és így jelentős mértékben segítenek jellemezni a különböző típusú kockázatokat. A műszaki gyakor-latban a meghibásodásokat alapvetően három fajta meghibásodási rátával jellemzik.

- Növekedő kockázati függvény jellemzi azokat az egyedeket, melyek az idő múlásával egyre jobban elöregednek.

- A leggyakrabban használt kockázati függvény az U-típusú kockázati függ-vény, azaz amikor egy kezdeti periódus után, amikor csak a "veleszületett"

hibák miatt halnak meg egyedek, egy olyan periódus jön, amikor csak véletlen hibák okoznak meghibásodást, és végül az egyedek elöregednek.

-Még csökkenő kockázati függvények is elfordulnak a gyakorlatban

Élettartam (túlélési) vizsgálatoknál tipikus jelenség, hogy bizonyos egyedek-ről tudjuk, hogy egy adott kort elértek, de nem tudjuk pontosan meddig éltek. Műszaki kísérleteknél általában valamikor abbahagyjuk az élettartam vizsgálatot.

Tipikusan kétféle módon szokták terminálni a kísérletet: vagy egy adott időpontig folytatjuk a vizsgálatot, vagy pedig addig folyik a kísérlet, amíg a kísérletben résztvevő alkatrészek adott százaléka tönkre megy. Mindkét esetben a tönkre nem ment alkatrészek élettartamáról csak azt tudjuk, hogy nagyobb vagy egyenlő a kísérlet befejezésének az időpontjánál, de a pontos érték ismeretlen. Orvosi kísérleteknél, kezeléseknél is tipikus jelenség, hogy a kezelt betegek búcsú nélkül elköltöznek, meggyógyulnak (és akkor már mi-nek menjek az orvoshoz!), vagy külön értesítés nélkül meghalnak. Műszaki vizsgálatoknál az is előfordulhat, hogy a kísérlet megkezdése után nagyon hamar romlanak el egységek, és ezekről csak azt tudjuk, hogy az adott mi-nimális megfigyelési idő előtt elromlottak, de a pontos élettartamuk nem ismert. Ezekben az esetekben cenzorált megfigyelésekről beszélünk. Az első két esetben felülről (jobbról) cenzoráltak, az utóbbi esetben aluról (balról) cenzoráltakaz adatok.

A szokásos szatisztikai módszerekkel azért kell vigyázni, mert a cenzorált értékek nyilvánvalóan nem azonos eloszlásúak a teljes sokasággal. Elhagyni sem szabad ezeket a cenzorált adatokat, mert jelentős információt hordoznak.

Az életbiztosítással kapcsoltos számításokhoz készült a Kaplan-Meier becs-lés, amely cenzorált adatok tapasztalati eloszlásfüggvényének, pontosabban a túlélési függvényének a becslésére készült.

9.9. Definíció. Az X élettartamra megfigyelt adatok legyenek (t_i, δ_i), ahol t_i (i= 1,2, . . . n) az időpontok, míg

δ_i = 1, ha a t_i időpont ténylegesen megfigyelt érték, δ_i = 0, ha a t_i időpont cenzorált érték.

Jelölje t^∗_i at_i (i= 1,2, . . . n)minta rendezett elemeit, azaz t^∗₁ < t^∗₂ <· · ·< t^∗_n,

akkor azS(t)megbízhatósági függvény Sˆ(t) Kaplan-Meier becslése

Sˆ(t) =













 Y

i:t^∗_i≤t

n−i n−i+ 1

δi

, ha t≤t^∗_n,

0, ha δ_n = 1,és t > t^∗_n, definiálatlan, ha δ_n = 0 és t > t^∗_n.

Ha az értékek között egyenlőek is vannak, akkor szokásos megállapodás, hogy a tényleges meghibásodások (δ_i= 1) megelőzik a cenzorált értékeket (δ_i = 0).

9.10. Megjegyzés. Az irodalomban és a számítógépes programokban nincs egyértelmű megállapodás, hogy aδ= 1vagy a δ_i= 0 jelenti-e a cenzorálást.

Felhasználás előtt mindig ellenőrizzék a program dokumentációjában!

1972-ben D. R. Cox bevezetett egy regressziós modellt annak a vizsgálatára, hogy erősen cenzorált adatok esetén miként lehet elemezni, hogy függ-e a túlélés bizonyos magyarázó változóktól, és ha igen, akkor miként függ. Mivel most a minket leginkább érdeklő változó az idő, ezért a továbbiakban T -vel jelöljük a folytonos eloszlású valószínűségi változót, a túlélési időt. A T változót vizsgáljuk az x = (x₁, x₂, . . . , x_p)^′ magyarázó változók (független változók) függvényében.

9.11. Definíció. A kockázati ráta arányos kockázati ráta, ha a kockázati ráta a következő alakú

λ(t;x) =λ₀(t)e^β′x=λ₀(t)e^{β1x1+β2x2+···+βpxp}, (9.20) ahol λ₀(t)az úgynevezett alap kockázat, az a kockázati ráta érték, amelyik a magyarázó változók (0,0, . . . ,0) értékéhez tartozik.

In document Sztochasztikus modellezés (Pldal 189-0)