6. Sorbanálláselmélet 155
6.5. Az M/M/1/K rendszer
Az M/M/1/K sorbanállási-kiszolgálási rendszer egy véges befogadóképességű rendszer, egyszerreK igény lehet a rendszerben, a sorbanállók és a kiszolgá-lás alatt lévők összesen. Telekomunnikációs rendszerekben, illetve bizonyos számítógép rendszerekben csak egy adott K korlátú tárolókapacitással ren-delkeznek, az ezen felül érkező igényeket elutasítják. Csak azok az igények léphetnek be a rendszerbe, amelyek érkezésekor a rendszerben lévő igények száma kisebb, mint K.
Az M/M/1/K rendszer állapotátmeneti diagramja az (6.2) ábrán látható.
A születési-halálozási folyamat modellbe a következőképpen illeszthetjük be az M/M/1/K rendszert. Legyen
λn =
(λ, ha n= 0,1,2, . . . , K−1, 0, ha n≥K,
6.2. ábra. Az M/M/1/K rendszer állapotátmeneti diagramja
illetve
µn =
(µ, ha n= 1,2, . . . , K, 0, ha n > K.
Ezzel a választással pn =p0
K−1
Y
i=0
λ µ
=p0 λ
µ K
, ha n≤K, és
pn = 0, ha n > K.
Ap0, p1, p2,· · · , pK,· · · számok most is valószínűség-eloszlást alkotnak, így p0+p1+p2+· · ·+pK = 1,
ezért
p0+p0 λ
µ
+p0 λ
µ 2
+· · ·+p0 λ
µ K
= 1.
Innen
A véges geometriai sor összegét kiszámítva
p0 =
Most - az M/M/1 rendszerrel ellentétben - a rendszer mindig eléri az egyen-súlyi állapotot, függetlenül a λ és µ viszonyától, hiszen λ > µ esetén is feltöltődik a sor (hiszen aK kapacitás véges), és utána tovább nem tud nőni a sorbanállók száma.
Aλ=µ speciális esetben a (6.12) formulából p0= 1
7. fejezet
Készletgazdálkodási modellek, véletlen ütemezés
7.1. Bevezetés
Hol fogyasztás van, van raktározás is. A modern társadalomban jelentős mér-tékben a költségek határozzák meg a készletgazdálkodás módját. Tekintsük át először, milyen költségek merülnek fel a raktározással kapcsolatban.
a) Beszerzési, előállítási költségek: Ezek egy része konstans költség (gyártósor beindítása), más része arányos a megrendelt mennyiséggel (szállítási költsé-gek), de függhetnek a rendelés mennyiségétől egy diszkont áron keresztül és függhetnek a szállítási határidőtől is
b) Raktározási költségek: Kamatköltség, raktárbérleti díj vagy a raktár amor-tizációs költsége, kezelési költség, biztosítás, veszteség, stb.
c) Hiányköltségek: Minden olyan veszteség, ami az anyaghiány miatti terme-lés kimaradásából származik, elmaradt haszon illetve kötbér.
Egy anyag, alkatrész iránti igény lehet folyamatos vagy diszkrét, és lehet de-terminisztikus vagy sztochasztikus (pl. tartalékalkatrészek iránti igény). Az utánrendelésnél figyelembe kell vennünk, hogy a rendelés feladásától a kért tétel beérkezéséig idő telik el, ezt hívjuk szállítási időnek. A készlet alakulását az idő függvényében vizsgáljuk, ezt meghatározza az utánrendelési politika, a szállítás milyensége, valamint a felhasználás jellege. Egy készletgazdálkodási modell feladata a rendelési politika kialkítása bizonyos haszonfüggvény(ek) optimalizálása céljából. Ezek a modellek különböznek attól függően, hogy
az igényeket (azok mennyiségét és időpontját) ill. a beszállításokat (azok mennyiségét és időpontját) determinisztikusnak vagy véletlenszerűnek tekint-jük, milyen költségeket veszünk figyelembe, illetve mely haszonfüggvényeket szeretnénk optimalizálni.
A továbbiakban három különböző készletgazdálkodási modellt vizsgálunk, hogy bepillantást adjunk a lehetőségek széles tárházába.
7.2. Determinisztikus készletgazdálkodási model-lek
7.2.1. Az optimális tételnagyság modellje
Az első klasszikus és sok helyütt még ma is alkalmazott modell. A következő feltételezéseket tesszük:
1. Az igény állandó és folytonos.
2. A rendelési és a tárolási költségek időben állandóak.
3. A tételnagyság nem feltétlenül egész szám.
4. Az egész megrendelt tételt egyszerre szállítják le.
5. Nem engedünk meg hiányt.
A következő jelöléseket vezetjük be:
h= egységenkénti és időegységenkénti tárolási költség, A= a beszerzési költség,
d= az időegység alatti igény Q= a rendelt tételngyság
C= az időegységre jutó költségek.
Mivel nem engedjük meg a készlethiányt és nincs szükségünk biztonsági tar-talékra sem, így minden tételt pontosan akkor kell leszállítani, amikor az előző tételt éppen felhasználták. A raktárkészlet időtől való függése ezért az 7.1 ábra szerint fog alakulni.
7.1. ábra. Készletszint determinisztikus esetben
A tárolási és a rendelési költségek tehát a tételnagysággal változnak. Mivel az átlagos készletszint Q
2,az időegységre jutó átlagos rendelés d
Q,így a teljes költség
C = Q 2h+ d
QA.
Ennek a költségfüggvénynek minimuma ott lehet, ahol dC
dQ = 0,azaz h
2− d
Q2A= 0, ahonnan
Q=
r2Ad h az optimális tételnagyság.
7.3. Sztochasztikus készletgazdálkodási model-lek
A determinisztikus modell több szempontból idealizált modell, mivel a ke-reslet mennyisége, a szállítási időpontok, a szállított mennyiségek, valamint a költségek is véletlen tényezőktől függnek. Ezért a valóságot jobban leíró modellt kapunk, ha bizonyos tényezőknél figyelembe vesszük a véletlent is, azaz sztochasztikus modellel dolgozunk.
Még egy abszolút determinisztikusnak tűnő rendszer tervezése esetén is szük-ség lehet sztochasztikus modell vizsgálatára. Egy nagyforgalmú repülőtér leszálló pályájára 50 másodpercenként szállnak le a nagy utasszállító repü-lőgépek. Látszatra ez egy abszolút determinisztikus rendszer. Azonban a menetrendet úgy tervezik meg, hogy a rengeteg, előre ki nem számítható, de a tapasztalat szerint bizonyos statisztikai törvényszerűségek szerint előfordu-ló zavaró tényezőket (ellenszél, sztrájk, műszaki hiba, stb.) úgy kalkulálják be, hogy az érkezési időpontokat egy Poisson-folyamattal írják le. A menet-rendet úgy kell megszerkeszteni, hogy a repülőtér vonzáskörzetében ne legyen több gép, mint amennyit a légiirányítók még biztonsággal kezelni tudnak.
A különböző véletlen tényezők eloszlásának a meghatározása a matematikai statisztika módszereivel történik.
7.3.1. Megbízhatósági típusú sztochasztikus készletmo-dell
Most nem veszünk figyelembe költségtényezőket, csak az érdekel, hogy egy olyan indulókészletet tudjunk meghatározni, amelynek birtokában e rendelés beérkezésekor a raktárkészlet még előírt 1−ε biztonsággal fedezi a felhasz-nálás igényét. Legyen
d= az időegység alatti igény, 1−ε = a megbízhatósági szint, M0 = az indulókészlet,
T = az időszak hossza,amire a T d szükségletet megrendelik, X = a (véletlentől függő) szállítási időpont.
Feltételezzük, hogy a megrendelt mennyiséget a [0, T] időszakon belül, va-lamilyan F (t) eloszlásfüggvényű eloszlás szerint egyszerre szállítják le. Az
előbbi feltétel úgy is fogalmazható, hogy F(T) = 1.
Ebben az esetben az F eloszlásfüggvény meghatározása után a feladatunk nem más, mint az
F M0
d
= 1−ε egyenlet megoldása.
7.1. Példa. Egy folyamatos üzem részére 30 napra kell 99%-os biztonsággal fedezni a raktárkészletet. A napi igény az illető anyagból 100 egység. Az eddigi tapasztalatok szerint a szállítás időpontja egyenletes eloszlású a[0,30]
intervallumban. Határozzuk meg azM0 indulókészletet!
Megoldás. Miután az
X ≤ M0
d = M0 100
érték a feltételek szerint a[0,30]intervallumba esik, így az eloszlásfüggvény F(t) = t
30, így
F M0
d
= M0
d
30 = 1−ε,
azaz M0
3000 = 0,99 , tehát
M0 = 0.99·3000 = 2970
egységet kell megrendelnünk az adott biztonság eléréséhez.
7.3.2. Véletlen ütemezésű rész-szállítmányok esete
Ilyen modelleket először Prékopa András és Ziermann Margit dolgozott ki.
Azt feltételezzük, hogy a megrendelt mennyiség véletlen időpontokban és véletlen mennyiségekben érkezik be az adott [0, T] intervallumban, de a T
időpontig az egész megrendelt mennyiség beérkezik. A modell sokkal általá-nosabb és sokkal szélesebb területen alkalmazható, mint első látásra gondol-nánk, hiszen a víztározók kapacitásának a problémája is ugyanilyen feladat.
Most tegyük fel, hogy a rész-szálítmányok egyenlő nagyságúak. Legyenek a beérkezési időpontok
t1, t2, . . . tn.
Tegyük fel, hogy ezek teljesen véletlenszerűen helyezkednek el a [0, T] in-tervallumban, azaz egyenletes eloszlást követnek a [0, T] intervallumban, és ezekben az időpontokban a megrendelt mennyyiségn-edrésze érkezik be. Fel-adatunk annak az M0 indulókészletnek a meghatározása, amely adott 1−ε megbízhatósági szinten biztosítja a folyamatos működést, azaz a raktárkész-let nem-negativitását.
Használjuk ismét a következő jelöléseket:
d= az időegység alatti igény,
M0(n, ε) = az indulókészlet (most ez függvénye a rész-szállítások számának is).
A [0, T] időszak igénye T d, ezt kell megfelelő idővel korábban megrendel-nünk. Keressük azt azM0(n, ε)az indulókészletet, amely 1−εbiztonsággal biztosítja a termelés anyag-igényét.
Az anyagfelhasználást a[0, t]intervallumban azt =t·dlineáris függvény írja le, míg a t időpontig a raktárba összesen beérkezett anyagmennyiséget (az indulókészlet és at1, t2, . . . tn időpontokban beérkező T d
lépcsős függvény írja le. Ha az
yt ≥zt
egyenlőtlenség minden t ∈ [0, T] esetén teljesül, akkor tökéletes az anyagel-látás. A mi feladatunk a
P
feltétel teljesítése.
A Szmirnov-tétel felhasználásával igazolható a következő tétel:
7.2. TÉTEL. Ha n > 20, akkor a [0, T] intervallumban az időegységre jutó d felhasználást 1−ε megbízhatósági szinten garantáló indulókészlet
M0(n, ε) =dT r 1
2nln1 ε.
8. fejezet
A szimuláció alapjai
8.1. Monte Carlo módszerek
8.1. Definíció. Monte Carlo módszereknek nevezzük matematikai felada-tok megoldásának véletlen mennyiségek modellezését felhasználó numerikus módszereit.
A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásá-ban (pénzérme, dobókocka, szerencsejátékok), amelyek segítenek a tapasz-talatszerzésben a valószínűségről és annak törvényszerűségeiről. Ne felejtsük el, hogy a valószínűség-számítás fogalmai, tételei feltételezik, hogy az elemzés tömegjelenségre vonatkozik.
A véletlen számok legfontosabb alkalmazása a szimuláció, amely lehetővé teszi a tapasztalatszerzést a véletlenről, drága kísérletek modellezését, más módszerrel nehezen kiszámítható értékek meghatározását stb.
Kezdetben ehhez vagy egyszerű kísérleteket (kockadobás) végeztek vagy elő-regyártott táblázatokat alkalmaztak. De az összetettebb jelenségek lefutásá-nak vizsgálatához200. . .500 kockadobás is szükséges. További problémákat vet fel az egyenletesség és a különböző típusú "kockák" elkészítése. Ma már legtöbbször számítógépes algoritmusokat használunk.
A szimuláció alapvető problémái: egy determinisztikus számítógépen köze-lítjük a véletlent. Diszkréttel közelítünk folytonosat vagy fordítva. Végtelen feladat korlátos modell, véges szimuláció.
8.2. Pszeudovéletlen számok
Azokat az x1, x2, . . . , xn számokat, amelyeket egy adott algoritmus alapján számítottunk ki, és a véletlen számok helyett használhatók, pszeudovéletlen számoknak nevezzük. A generálásuknak és ellenőrzésüknek (egyenletesség, véletlenszerűség) külön elmélete alakult ki. Ezzel itt nem foglalkozunk. A legtöbb magasszintű számítógépi programozási nyelv elég jó generátort tar-talmaz beépített eljárásként. Azért ajánlatos az ellenőrzés. Itt most két egyszerű pszeudovéletlenszám generátort adunk meg.
8.2. Példa.
x1 = 1, xn+1 ≡125xn (mod 8192). (8.1) 8.3. Példa.
x1= 1, xn+1≡16807xn (mod 2147483647). (8.2) Napjainkban majdnem minden számítógép (programozási nyelv, program-csomag) az előző példákhoz hasonló beépített kongruenciális generátort hasz-nál. Az x1, x2, . . . , xk számok generálására ilyen a lineáris kongruencia vagy hatványmaradék módszer, ekkor a következő rekurzív kapcsolat adott:
xi+1= αxi+c (mod m), (8.3) ahol α konstans szorzó, c a növekmény és m a modulus. Az x0 kezdő érték az ún. "seed". Ha megoldjuk a 8.3 egyenletet, akkor azt kapjuk, hogy
xn =
αnx0+cαn−1 α−1
(mod m). (8.4)
Nyilván a paraméterek határozzák meg a generátor "jóságát". A szokásos követelmények egy véletlenszámgenerátorral szemben:
1. Jó statisztikai tulajdonságok. Tehát legyenek függetlenek (korrelálat-lanok) és aznos eloszlásúak.
2. Az ismétlődési periódus legyen hosszú, hogy sok és változatos problé-mánál legyen alkalmazható.
3. Ismételhető legyen. Tehát ugyanazokra a paraméterekre ugyanazt a sorozatot adja.
4. A szimulációk többsége sok véletlen számot igényel, ezért legyen gyors és könnyen számolható.
5. Legyen könnyű a szeparált sorozatok készítése.
A paraméterek választására javasoljuk a [9] irodalmat.
8.4. Megjegyzés. Diszkrét egyenletes (klasszikus valószínűségi mező) elosz-lást közelítenek a megadott rekurzív algoritmusok. Az 8.1 példa még számí-tógép nélkül is jól használható.
A számítógépi algoritmusok legtöbbször (valójában mindig diszkrétet, hiszen véges a számábrázolásuk) a[0,1]intervallumon egyenletes eloszlást próbálják közelíteni, mert ebből különböző módszerek segítségével – a tanult eloszlások tulajdonságainak felhasználásával – más eloszlású véletlen számokat tudunk előállítani.
8.2.1. Inverzfüggvény módszer
HaF szigorúan monoton növő eloszlásfüggvény és X F eloszlású, akkorY = F(X) egyenletes eloszlású a [0,1] intervallumon. Fordítva, ha X ∼U(0,1), akkor Y =F−1(X) éppenF eloszlású.
8.5. Következmény. 1. HaX ∼U(0,1),akkor Y = (b−a)X+a∼U(a, b).
2. Ha X ∼U(0,1), akkor Y =−1
λln(X)∼Exp(λ).
3. Ha X ∼U(0,1), akkor Y =tg(π(X−0.5)) standard Cauchy eloszlású.
4. Ha X ∼U(0,1), akkor Y = Φ−1(X) standard normális eloszlású.
8.2.2. Az elfogadás-elvetés módszere
Legyen azX valószínűségi változó sűrűségfüggvényef, amelyhez létezik egy olyan g sűrűségfüggvény, hogy f(x) ≤ cg(x) (minden x-re és c egy véges konstans) és a g könnyen generálható eloszlású. Legyen az Y valószínűségi változóg sűrűségfüggvényű és U ∼U(0,1),amely függetlenY-tól, ekkor
(Y| hacU g(Y)< f(Y))∼X, (8.5) azaz a feltételes valószínűségi változó éppen megfelel azX eloszlásának.
Bizonyítás. Valójában 8.6. Megjegyzés. Ez a módszer akkor praktikus, haY könnyen generálható éscnem nagyon nagy (tehát az elutasítás nem gyakori). Ha lehetséges, akkor az optimális választás a c konstansra
c= sup Y ∼ Γ(1, a) eloszlású véletlen számokat generálni, ahol a ∈ (0,1], ekkor a sűrűségfüggvény
míg
g2(x) =e−x+1, ha 1< x <+∞.
Ekkor g1 és g2 is sűrűségfüggvény és mind a kettő szimulálható az inverz-függvény módszerrel. g pedig a kettő keveréke, ahol a súlyok
e
a+e és a a+e.
Generálunk egy egyenletest a (0,1) intervallumon ez eldönti, hogy melyik függvénnyel folytatjuk felhasználva az inverzfüggvény módszert és utána az elfogadás-elvetés módszerével kapjuk az Y értékét. Tehát három U(0,1) típusú véletlen számot használunk fel.
8.2.3. Normális eloszlás generálása
A normális eloszlás eloszlásfüggvénye nehezen kezelhető, ezért számos gene-rátort találtak ki a tulajdonságai alapján. Néhány példa.
8.8. Példa. Ha Xi∼U(0,1)(i= 1, . . . ,12),akkor Y =
12
X
i=1
Xi−6
közelítőleg standard normális eloszlású. Ez a centrális határeloszlás-tétel egy véges alkalmazása. Nem hatékony, mert sok véletlen számot használ. A 8.1 ábrán látható, ha csak három összegét tekintjük.
8.9. Példa. A legtöbb statisztikai programcsomag a következő ún. Box-Müller módszert használja. Legyen
Ui ∼U(0,1)(i= 1,2), ekkor
X1= p
−2 lnU1cos(2πU2), X2 =p
−2 lnU1sin(2πU2) közelítőleg statndard normális eloszlásúak.
8.1. ábra.
8.3. A Brown-mozgás
8.10. Definíció. A Brown-mozgás olyan
{W(t), t∈[0,∞)} (8.7) véletlen folyamat, ahol
1. W(0) = 0.
2. W(t)folytonos.
3. AW folyamat független növekményű.
4. W(t+s)−W(s)∼N(0, σ2t).
W(t)megfigyelt a[0, T]intervallumon ésσ2 = 1.Tudjuk, hogy a kovariancia függvény
R(s, t) = min(s, t). (8.8)
A sajátfüggvényekre
Z T 0
R(s, t)ϕ(t)dt=λϕ(t), (8.9)
8.2. ábra.
azaz
−ϕ(s) =λϕ′′(s), ϕ(0) = 0, ϕ′(0) = 0. (8.10) Tehát megadható a Karhunen-Loeve sorfejtés [3], [16]:
W(t) =ξ0 t
√π + 2
√π
∞
X
j=1
sin(jt)
j ξj, (8.11)
ahol t ∈ [0, π], j ∈ N, ξj ∼ N(0,1), azaz standard Gauss-eloszlású. Ez alapján készült szimulációkat láthatunk a 8.4, 8.5, 8.6 ábrán.
8.4. A közelítő integrálás hibája
Az egyszerű Monte-Carlo módszer esetén a hibabecslés jellemzésére általában a szórást használjuk.
8.3. ábra.
Legyen hegy tetszőleges valós függvény, amely esetén az Z ∞
−∞
h2(x)dF(x) (8.12)
létezik. Ez szükséges és elégséges feltétele, hogy az Y = h(X) valószínűsé-gi változó, ahol X F eloszlásfüggvényű, szórásnégyzete létezzen. Továbbá legyen
E(h(X)) =µ, és D2(h(X)) = σ2, (8.13) akkor az X1, X2, . . . , Xn minta esetén(Xi F eloszlású) a hibabecslés szórás-négyzete
D2(ε) = 1
n2D2(h(X1) +h(X2) +· · ·+h(Xn)) = σ2
n . (8.14) Ebből leolvashatjuk a Monte-Carlo módszer egy igen lényeges tulajdonságát:
ha a mintaelemek számát növeljük a hiba illetve a jellemzését adó szórás
8.4. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon
8.5. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon
8.6. ábra. Brown-mozgás a [0,2π] intervallumon
csak √
n arányában csökken. Látszólag ez azt jelenti, hogy azok a jó becs-lések, amelyeknek kicsi a szórása. De azzal, hogy a robusztus tulajdonságok nem változnak meg egy konstans tényező hatására az következik, hogy más szempontból kell összehasonlítani az integrálási tulajdonságokat, illetve ér-zékenységeket. Ezeket a további vizsgálatokat célszerű úgy elvégezni, hogy a szórások legyenek egyenlőek a becsléseknél. Legyen ez a közös érték 1, s az ilyen egyenletet nevezzük kanonikus egyenletnek.
8.11. Példa. Hány darab véletlen számot kell generálni ahhoz, hogy az
I = π Z2
0
sinxdx (8.15)
integrált megbecsüljük úgy, hogy a becslés abszolút hibája legfeljebbI 0.1%
legyen legalább0.99 valószínűséggel?
Bizonyítás. Tudjuk, hogy
2 πI= 2
π π Z2
0
sinxdx = π Z2
0
sinx2
πdx=E(sinX), (8.16) ahol X ∼U
0,π 2
. Tehát I egy közelítő értéke
In = π 2n
n
X
i=1
sinXn, (8.17)
ahol Xn pszeudovéletlenszám a 0,π
2
intervallumból. Felhasználva, hogy In−I
D(In) ∼N(0,1), (8.18)
ahol
D2(In) = π2
4nD2(sinX) = π2−8
8n (8.19)
kapjuk, hogyn≈1550579.
9. fejezet
Alkalmazások
9.1. Geometriai Brown-mozgás
Legyen {X˜(t) : t ≥ 0} Brown-mozgás. A sodródó Brown-mozgás olyan sztochasztikus folyamat, melynek eloszlása megegyezik
X(t) = ˜X(t) +µt, t≥0 (9.1)
eloszlásával, ahol µ állandó (sodrási paraméter).
A folyamatot definiálhatnánk a következő módon is.
9.1. Definíció. A{X(t) :t≥0} sodródó Brown-mozgás, ha
(1)X(t+s)−X(s)∼N(µt, σ2t),0< s, t. µés σ rögzített konstans.
(2)t1 < t2 < t3 <· · ·< tn−1 < tn,akkor a
X(t2)−X(t1), X(t2)−X(t1), . . . , X(tn)−X(tn−1) (9.2) valószínűségi változók függetlenek.
(3)X(0) = 0,és X(t)folytonos a 0 pontban.
9.2. Megjegyzés.
P(X(t)< x|X(t0) =x0) =P(X(t)−X(t0)< x−x0) =
=
x−x0
Z
∞
1
p2π(t−t0)σexp
−(y−µ(t−t0))2 2(t−t0)σ2
dy=
=
9.3. Megjegyzés. Ha µ 6= 0, akkor a folyamat nem szimmetrikus, és a tükrözési elv nem használható a folyamat maximuma eloszlásának kiszámo-lására.
Legyen{X(t) :t≥0}olyan Brown-mozgás, amelynek sodrási paramétereµ, és diffúziós együtthatója pedigσ2. Az
Y(t) =eX(t), t≥0 (9.5) egyenlőséggel definiált folyamatot geometriai Brown mozgásnak nevezzük.
Mivel Y(t) =Y(0)eX(t)−X(0),ezért a normális eloszlás karakterisztikus függ-vénye alapján 9.4. Példa. Egy tökéletes piacon árusított részvény árváltozásainak model-lezése:
– nem-negatív árak;
– oszcilláló viselkedés (hosszú távon exponenciális csökkenésekkel tarkított exponenciális növekedés);
Alkalmas modell: Ha a jövőbeli ár és a pillanatnyi ár arányáról előre meg lehetne mondani, hogy milyen akkor a résztvevők vétellel illetve eladással korrigálnának. Egyensúlyi helyzetet akkor kapunk, ha az arányról nem lehet előre megjósolni, hogy vajon kedvező lesz-e vagy kedvezőtlen (függetlenség).
Érdemes-e örökös biztosítékot adni a tőzsdén?
Biztosíték: elővételi jog, hogy valaki előre rögzített számú részvényt vásárol-hasson valamilyen előre megállapított áron, egy előírt időperiódus bármely időpontjában.
Az elővételi joggal rendelkező profitja az, amennyivel a tőzsdei ár meghaladja az opciós árat.
Feltevés: az opciót fenntartó a megállapított áron vásárolhat és újra eladhat a tőzsdén (profit realizálás). Örök idejű biztosítékot tekintünk – az opciónak nincs lejárati ideje.
"Ésszerű" stratégia: az első olyan időpont alkalmával gyakoroljuk az elővételi jogot, amikor a részvény ára valamilyen meghatározottaszintet ér el. Legyen egységnyi a biztosítékban meghatározott ár, ekkor a potenciális profita−1 (a >1).
Egy ilyen opció birtokosa, legalábbis részben, lemond a részvény közvetlen birtoklásáról, amelynek értéke (várhatóan) időegységenként α = µ+ 1
2σ2
Az opciótól ϑ > αhozamot követelünk meg (leszámítolás, jelenérték).
Legyen T(a) az első időpont, amelyre Y(T(a)) = a. Ekkor a leszámítolt potenciális profit
e−ϑT(a)[Y(T(a))−1] =e−ϑT(a)(a−1). (9.11) A várható leszámítolt profit nagyságát akarjuk kiszámítani, és azután maxi-malizálni a várható profitot.
AT(a)az első olyan időpont, amikor X(t)−lnY(t)eléri az ln(a)szintet.
9.5. TÉTEL. Legyen X(t) Brown-mozgás, µ ≥ 0. Legyenek z > X(0) = x adott értékek, és legyenTz az első olyan érték, amelyre X(Tz) =z. AX(0) = xfeltétel mellett Tz sűrűségfüggvénye
f(t;x, z) = z−x
9.6. Megjegyzés. µ≥0eseténT biztosan kisebb, mint végtelen, és a
Legyen z= lnaés x= lny,akkor a Laplace transzformált alapján E(e−ϑT|Y(0) =y) =y
A leszámítolt profit várható értéke
g(y, a) = (a−1)E(e−ϑT|Y(0) =y) = (a−1)y
Az egyenletet megoldva kapjuk, hogy a⋆ = ̺
A mérnöki, a közgazdasági és az orvosi gyakorlatban is nagyon sokszor for-dul elő, hogy egy gép (egység, ember) élettartamát vizsgáljuk. Az élettar-tam értelemszerűen egyX ≥0 nemnegatív valószínűségi változó. Legyen az X valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F(x) és sűrűségfüggvénye f (x).
Élettartam-vizsgálatoknál használatos azS(x)túlélési függvény S(x) =P (X > x)
és abszolút folytonos eloszlást feltételezve S(x) = 1−F(x).
A továbbiakban a meghibásodik, meghal ill. tönkremegy igéket szinonímák-nak tekintjük. Hasonlóképpen nem teszünk különbséget a túléli, jó marad stb. kifejezések között.
9.7. Definíció. AzX valószínűségi változó túlélési függvényeannak valószí-nűsége, hogy az egyed azx időpontnál később hibásodik meg
S(x) =P (X > x) = 1−F(x).
Egy kísérletnél sokszor nem az érdekel, hogy az eredeti populációval mi törté-nik, hanem csak azok érdekelnek, amelyek (akik) nem mentek tönkre (életben vannak). Ilyenkor igen hasznos segédeszköz a meghibásodási (kockázati) ráta.
Vizsgáljuk annak a feltételes valószínűségét, hogy egy egyed az (x, x+ ∆x) intervallumban hal meg, feltéve, hogy az intervallum elején, azxidőpontban még életben volt
P(x≤X < x+ ∆x|X > x) = P(x≤X < x+ ∆x, X > x) P(X > x) =
= P(x≤X < x+ ∆x)
P(X > x) ≈ f (x) ∆x S(x) . 9.8. Definíció. Akockázati (meghibásodási) ráta annak az időegységre vett valószínűsége, hogy egy olyan egyed, amelyik az intervallum elején még élet-ben volt meghibásodik ebélet-ben az intervallumban
λ(x) = f(x) S(x). Innen kapjuk, hogy
λ(x) = f(x) 1−F (x),
kihasználva, hogy F′(x) =f(x), majd az analízisbeli láncszabályt λ(x) =−S′(x)
S(x) =−d[lnS(x)]
dx .
A kockázati (ráta) függvények különböző alakúak lehetnek még akkor is, ha a megfelelő sűrűségfüggvények igen hasonló alakúak, és így jelentős mértékben segítenek jellemezni a különböző típusú kockázatokat. A műszaki gyakor-latban a meghibásodásokat alapvetően három fajta meghibásodási rátával jellemzik.
- Növekedő kockázati függvény jellemzi azokat az egyedeket, melyek az idő múlásával egyre jobban elöregednek.
- A leggyakrabban használt kockázati függvény az U-típusú kockázati függ-vény, azaz amikor egy kezdeti periódus után, amikor csak a "veleszületett"
hibák miatt halnak meg egyedek, egy olyan periódus jön, amikor csak véletlen hibák okoznak meghibásodást, és végül az egyedek elöregednek.
-Még csökkenő kockázati függvények is elfordulnak a gyakorlatban
Élettartam (túlélési) vizsgálatoknál tipikus jelenség, hogy bizonyos egyedek-ről tudjuk, hogy egy adott kort elértek, de nem tudjuk pontosan meddig éltek. Műszaki kísérleteknél általában valamikor abbahagyjuk az élettartam vizsgálatot.
Tipikusan kétféle módon szokták terminálni a kísérletet: vagy egy adott időpontig folytatjuk a vizsgálatot, vagy pedig addig folyik a kísérlet, amíg a kísérletben résztvevő alkatrészek adott százaléka tönkre megy. Mindkét esetben a tönkre nem ment alkatrészek élettartamáról csak azt tudjuk, hogy nagyobb vagy egyenlő a kísérlet befejezésének az időpontjánál, de a pontos érték ismeretlen. Orvosi kísérleteknél, kezeléseknél is tipikus jelenség, hogy a kezelt betegek búcsú nélkül elköltöznek, meggyógyulnak (és akkor már mi-nek menjek az orvoshoz!), vagy külön értesítés nélkül meghalnak. Műszaki vizsgálatoknál az is előfordulhat, hogy a kísérlet megkezdése után nagyon hamar romlanak el egységek, és ezekről csak azt tudjuk, hogy az adott mi-nimális megfigyelési idő előtt elromlottak, de a pontos élettartamuk nem ismert. Ezekben az esetekben cenzorált megfigyelésekről beszélünk. Az első két esetben felülről (jobbról) cenzoráltak, az utóbbi esetben aluról (balról) cenzoráltakaz adatok.
A szokásos szatisztikai módszerekkel azért kell vigyázni, mert a cenzorált értékek nyilvánvalóan nem azonos eloszlásúak a teljes sokasággal. Elhagyni sem szabad ezeket a cenzorált adatokat, mert jelentős információt hordoznak.
Az életbiztosítással kapcsoltos számításokhoz készült a Kaplan-Meier
Az életbiztosítással kapcsoltos számításokhoz készült a Kaplan-Meier