i . §■
Az emberi szellem természeténél fogva az igazság után való vágytól ösztönözve, a megismerés határait mindig tovább törekszik kiterjeszteni, és szünet nélküli tevékenységgel részben azokból, a melyeket a képzeletben talál, némely dolgokat kiválaszt, részben ezeket azokkal, a melyek neki valamikor megjelentek, változatos módon összeteszi, és az akárhogyan is elébe kerülteket egymással összehasonlítja. Azokat, a melyeket arra érdemeseknek tart, állandó névvel jelöli meg, élve avval az ősi jogával, hogy mindent tetszése szerint valami jellel láthasson el; csakhogy akkor ugyanannak a jel
nek, ha egyéb kikötve nincsen, mindenütt ugyanazt kell jelentenie.
2
. §.Ha bármit (mondjuk A-t) megfigyelünk, mindenekelőtt szemünkbe tűnik valami (mondjuk a), a mit A maijában foglal (azaz a mi A-ból Yaló), de a mi ettől mégis különböző (azaz nem azonos A-val); ezt az w-t az A részének mondjuk, A-t pedig és mindazt, a minek részei Vannak (bármilyen módon is teszszük össze szemléletünkben, kizárva Minden mást) egésznek nevezzük. Ebben az értelemben A-nak bizo
nyos tulajdonsága is, pl. bizonyos falnak fehérsége, ennek része (értve
®Pen azt a fehérséget, a mely benne megvan). Ha a egyszersmind -aek is része: akkor azt mondjuk, hogy közös A-ban és B -ben. Az fi, ■.. összessége alatt értjük azt, a mi ezek mindegyikét magá- an foglalja, de azon kívül semmi egyebet.
Ha a részeket vizsgáljuk, olyan .r-re akadhatunk, hogy az egész- 0J- mindazoknak összessége [v. összefoglalása], a melyek nem x-höl Valók, magában foglalja .r-et is. Az ilyen részt
elválaszthatatlan-3*
3G Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
nak* nevezzük. Lehetséges azonban, hogy bármiről, a mi íc-nek ki
zárásával az egészből való, állítható olyas valami, a mit x-re nézve tagadunk. A nyolczadik órának vége és a kilenczediknek eleje része annak az időnek, a mely a hetedik órától egészen a tizedikig lefoly;
de elválaszthatatlan része. Épen olyan a tengelye valamely testnek,, a melyet úgy mozgatunk, hogy két pontja nyugalomban marad.
Ámde, ha valamely egész egy pontból és valamely ezt nem tartal
mazó gömbből áll, akkor a pont az egésznek nem ilyen része.
Az olyan p részt, a melynek semmi része vagy csak elválaszt
hatatlan része közös mindannak az összességével, a mi az egészben a p-n kívül megvan, alkotó résznek nevezzük. így pl. az olyan vonal, a mely valamely felületből kiemelkedik, az egésznek alkotó része, a mint az előbb említett pont is az. Ámde az az összesség, a mely az említett vonalból és valamely a felületbe eső vonalból áll, része ugyan annak az egésznek, mely a felületből és abból a vonalból áll, de nem alkotó része, sem pedig elválaszthatatlan része.
Mindannak az összessége, a mi (pl.) az A-n kívül megvan, úgy képzelendő, a mint az a valóságban fennállhat.
Legyen szabad ehhez még csak néhány megjegyzést fűz
nöm, nehogy a sok beszéd fárasztó fecsegésnek lássék és undort keltsen.
A p résznek elválaszthatatlan i része a T egésznek elválaszt
hatatlan része. Ha ugyanis q összessége mindannak, a mi p-ben i-n kívül megvan, és Q összessége mindannak, a mi T-ben i-n kívül meg
van : akkor világos, hogy Q magában foglalja q-1, és így tehát i-t, a melyet magában foglal q, magában foglalja Q is.
Az elválaszthatatlan i résznek p része a T egésznek elválaszt
hatatlan része. Ha ugyanis q összessége mindannak, a mi i-ben p-n kívül megvan, és Q összessége mindannak, a mi a T-ben i-n kívül megvan: akkor (az értelmezés szerint) i-t magában foglalja Q, és így (Q és q) is.
A P alkotó résznek p alkotó része a T egésznek alkotó része.
Legyen ugyanis p' mindannak összessége, a mi P-ben p-n kívül meg
van, és Ii összessége mindannak, a mi T-ben P-n kívül megvan, legyen továbbá A az, a mi P-ben és Ii-ben közös, és Q legyen mind
annak az összessége, a mi P-ben A-n kívül megvan, a pedig legyen
* Az elválaszthatatlan rész úgy is értelmezhető, hogy a T egésznek olyan része, mely T-ből úgy elvonható, hogy a többi nélkül is lehet tárgya a gondol
kodásnak ; ő maga azonban még gondolatban sem választható el úgy, hogy a többi nélküle elgondolható legyen.
Az arithmetika általános vázlata 3 7
az, a mi közös R-ben és p-ben, és a' az, a mi P-ben és p'-ben közös:
akkor kitűnik, hogy A-ban benne van a és a', de ezeken kívül semmi egyéb nincsen A-ban. Legyen q mindannak az összessége, a mi p-ben a-n kívül megvan, és q' összessége mindannak, a mi p'-ben a'-n kívül megvan: akkor világos, hogy (q és q') magában foglalja mindazt, a mi P-ben A-n kívül megvan, tehát magát Q-t is. Ámde (a feltevés szerint) P alkotó része T-nek, és ezért (az értelmezés szerint) A el
választhatatlan része P-nek; így tehát Q magában foglal mindent, a mi A-hoz tartozik, tehát a-t is, a mi nem lehetséges, hacsak a nem elválaszthatatlan része p-nek. Ha ugyanis ez nem volna ilyen : akkor olyan a-ból való 6-nek kellene lennie, a melyből semmit sem foglal magában q. Ha azonban q nem foglalja magában, (q és q') sem foglalja magában; mert p'-ben, és így q'-bán is csak a p-nek el
választhatatlan része az, a mi közös g-val (minthogy p alkotó része P-nek). így tehát volna valami az A-ból való, a mit (q és q') és e szerint Q sem foglal magában, és (a feltevés ellenére) P nem lenne alkotó része T-nek. Ha azonban p-nek semmije sem közös mindannak az összességével, a mi 7-ben p-n kívül megvan: akkor az [állítás helyessége] (az értelmezés szerint) be van bizonyítva.
Legyen P a P-nek alkotó része, és mindannak összességét, a mi T-ben P-n kívül megvan, nevezzük p -n ek : akkor p is, ha a valóság
ban megvan, alkotó része T-nek. Legyen ugyanis A az, a mi P-ben és p-ben közös, és q legyen összessége mindannak, a mi p-ben az A-n kívül megvan, azaz mindaz, a mi P-ben P-n kívül megvan (mert A megvan P-ben is ): akkor világos, hogy q, ha a valóságban megvan, azonos p-vel, és e szerint, minthogy p magában foglalja A-t, ezt magában foglalja q is. így tehát (az értelmezés szerint) p is alkotó része P-nek.
3. §.
A részből és az alkotó részből származik a mathematikai semmi 'és a rész nélküli. Ha ugyanis minden részt elveszünk, akkor szár
mazik a semmi fogalma, melynek jele 0. A mindentől a semmiig roppant nagy a lépés; egyetlen szóval mintegy megszüntetünk min
dent, a mi a magasztos «Legyen» szóra keletkezett. A minek nin
csen semminemű alkotó része, azt rész nélkülinek nevezzük. Ilyen Pl- a térnek pontja és az időnek előbb említett pontja, a mely alatt semmi változás nem mehet végbe, de a Rajna zuhataga, Róma
*egóse vagy valamely hőstett, mint az idő ilyen pontjai örökre rög-
^ittetnek a vászonra.
38 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
4. §.
Ha a részek vizsgálatát tovább folytatva, olyan A-ra akadunk, a melynek minden A ' alkotó része olyan, hogy valamije közös avval a B-ve 1, a mely .1 -bán a A '-n kívül megvan : az ilyen /l-t kontinuumr nak nevezzük. Ennek példái a tér, az idő, a vonal, a felület stb.
A tovább kutató ész különféle dolgokat vesz észre, a melyek A-n kívül megvannak és ettől meg is különböztethetők; de akad olyasvalamire, a mi A-hoz tartozik, és olyasvalamire, a mi 5-hez tartozik, a mik habár A-t is meg B-t is jelenlevőnek tekint
jük, nem különböztethetők meg egymástól. Ekkor azt mondjuk, hogy A és B ezekre vonatkozólag egyenlők. Ha ez az olyasvalami maga A és maga B : akkor azt mondjuk, hogy A azonosan egyenlő B -vel' r a mi csak akkor van így, ha A maga a B. Ha ez az olyasvalami A és B eltekintve helyüktől, azaz, ha a jelen levő A és B eltekintve a helytől, nem különböztethetők meg egymástól: akkor abszolút egyen
lőségről beszélünk. Ennek jelölésére szolgál: A = B. Ilyen módon egyetlen balra csavarodó csavar sem lehet egyenlő valamely jobbra csavarodéval.
Ha az az olyasvalami valami egyéb: akkor respectiv egyenlő
ségről beszélünk, a melynek számtalan faja van. Valamely agyagból készült golyó a helyet illetőleg egyenlő lehet valamely arany golyóval..
6. §.
De az abszolút egyenlőségből és P-nek, valamint p-nek is alkotó részeiből még egy másik respectiv egyenlőség és a mennyiség fogalma is származik.
1. Ha ugyanis valamely A-val olyan q van együtt, melynek vagy semmi alkotó része nincsen, vagy a melyre nézve [A-nak]
minden a és [^-nak] minden b alkotó része [magát A-t és q-i is beleértve] olyan, hogy a (maga vagy pedig valamely része) = 6-vel (magával vagy pedig valamely részével): akkor azt mondjuk, hogy A a q-m nézve mennyiség. Még pedig, ha az a q épen maga A : akkor abszolút mennyiségről, különben pedig respectiv mennyiségről beszélünk. Az abszolút mennyiség példái: a tér, az idő, ennek mind a kettőnek pontja, az egyenes, a kör, a csavarvonal, a sík, a gömb, a henger, továbbá az egyenesekből összetett vonal, valamint az
Az arithmetika általános vázlata 39' egyenlő radiussal leírt köröknek íveiből összetett vonal és több más efféle. A respectiv mennyiség különféle példái: egy tömb arany és egy tömb vas, ha csak is súlyukat vagy térfogatukat, vagy fém vol
tukat tekintjük. Ha valamely L vonalat, a mely nincsen egyenesekből összetéve, összehasonlítunk valamely másikkal, a mely olyan, hogy a kettőnek összessége nem abszolút mennyiség: akkor mindig bizonyos olyan egyenes [egyenesvonalú köz] értendő, a mely L által meg van határozva (1. alább), és ép úgy bármely felület is a síkra vezethető vissza (1. u. o.). Sőt az egyszerűbb tárgyalás végett alább magukat az abszolút mennyiségeket is bizonyos respectiv mennyiségekre vezet
jük vissza. Ezenkívül az alkotó részek megválasztása is megállapít
ható bizonyos módon. így pl. az ember és a féreg (a pont és pont mintájára) respectiv mennyiséget alkotnak, ha feltételül kötjük ki, hogy ne tekintsük az embernek és a féregnek valamely alkotó részét, hanem az embernél és a féregnél pl. egyedül csak azt vegyük figye
lembe, hogy mind a kettő halandó és a földnek neveltje.
2. Ha P az A, B, . . . alkotó részekből áll, p az a, I),. . . alkotó részekből áll, és
A =£= a, B = b stb.,
úgy hogy az egyenlő alkotó részek bármely párjára egy másik ilyen következik mindaddig, míg P-ből és Q-ból semmi sem marad fen n : akkor ebből új, az alkotó részekre vonatkozó egyenlőség származik.
Pl.
T1 A B a
P--- ; p ---b
Ebben az értelemben bármely egyenesvonalú idom egyenlő egy [alkalmasan meghatározott] négyzettel. De mi van akkor, ha P és P olyan — mint pl. a kör és bizonyos négyzet — hogy A, B , . . . és a> b , . .. sohasem fejeződnek be, hanem mind a kettőből fennmarad
hat valami, a mi bármely megadhatónál kisebb ? Hogy ilyen négyzet Van, az bizonyos és a kör négyszögesítőjének feladata nem egyéb Mint, hogy ezt véges számú olyan művelettel határozza meg, a melyek mindegyike abban áll, hogy egyenest vagy kört húz. Ezt a tarta
lomra vonatkozó egyenlőséget az első esetben végszerűnek, a második Jetben pedig végszerütlennek nevezhetnők. Vájjon a felhozott eset
ben végszerű-e vagy végszerütlen, azt még senki sem mutatta ki.
•Jelölésére szolgál: p.
40 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
Azt, hogy mely egyenlőség az, a melyet a = jellel jelölünk, lásd alább, és a kifejezések különféle egyenlőségére vonatkozókat stbit még alább.
7. §.
Mennyiség kapcsolatban mennyiséggel létrehozza a homogeneitás, valamint a nagyobb és a kisebb fogalmát. Ha t. i. az A és B meny- nyiségek, a melyeknek csak a kettőnek valamely elválaszthatatlan része közös, olyanok, hogy összességük mennyiség: akkor azt mond
juk, hogy A és B homogének * így pl. a négyzet oldala és átlója homogének, habár bizonyos, hogy ugyanarra az egyre nézve nem fejezhetők ki számokkal.
Ha azonban A tartalmára vonatkozólag egyenlő _B-nek vala
mely b alkotó részével: akkor azt mondjuk, hogy A kisebb. B-nél és B nagyobb A-nál. Ezt jelekben így fejezzük k i: A <\ B vagy B !> A.
Ez a jelölés megtartható akkor is, ha A és B (mint alább) bizonyos meghatározással vannak ellátva, úgy hogy azt is mondhatjuk, hogy 2 <1—5. Azután még az a kérdés is merül fel, hogy mi marad fenn B-ből b -n felül ? Ha ezt C-nek nevezzük: akkor azt mondjuk, hogy B a C-vel múlja felül az A mennyiséget. Azt a műveletet, a melylyel meghatározzuk, hogy mi marad fenn D-ből a ti-n felül, ha d a ű-ből való, és A tartalmára vonatkozólag egyenlő d-vel (A = d), úgy ne
vezzük : A-nak elvétele D-bői.
8. §.
Minthogy különféle olyan dolgok is fordulnak elő, a melyeknél az elvétel művelete nem olyan áttekinthető, mint az idő és az egyenes esetében, azért az ész, mely mindig egyszerűségre és világosságra törekszik, olyan módról gondoskodik, melylyel minden mennyi
séget ilyen alakra lehet visszavezetni. Ha az A, B, . . . mennyi
ségek olyan A', B', . . . mennyiségekre vezethetők vissza, hogy min
den A', B', .. . olyan, hogy A = A', B nr B' , . . . és közülük bár
melyik A' és B' olyan, hogy az egyik abszolúte egyenlő a másikkal, vagy annak részével: akkor azt mondjuk, hogy A, B. . .. az idő alakjára vannak visszavezetve. A — B azt jelentse, hogy A*— B'. Hogy ez lehetséges és hogy minden csak is egyetlen ilyenre vezethető vissza, az alábbiakban fog kitűnni.
* Vagy pedig, ha az A és B monnyiségok közül mindegyik a tartalomra vonatkozólag egyenlő a másikkal, vagy annak valamely alkotó részével: akkor azt mondjuk, hogy A és B homogének.
Az arithmetika általános vázlata 4 1 Bármely felület visszavezethető olyan derékszögű négyszögre, melynek magassága pl. 1 öl, bármely test olyan parallelepipedonra, melynek magassága és szélessége szintén 1 öl, és végül minden úgy redukálható, hogy nagysága idővel vagy egyenessel fejezhető ki.
9. §.
Az arithmetika az a tudomány, a mely csupán csak már az idő alakjára visszavezetett mennyiségeket és valamennyi műveletnek szintén erre az alakra visszavezetett eredményeit szemléli. Tiszta akkor, ha tárgya az idő vagy az egyenes, mely miután levezettük és származtattuk, az elmúlt időnek mintegy örökké megmaradó képe.
Az itt talált igazságok könnyen alkalmazhatók más helyen.
Az arithmetika általános, ha a mennyiségeket általánosan tár
gyalja a nélkül, hogy az egyikről vagy másikról külön valamit mon
dana; hiszen az észnek az a természete, hogy arról, a mi szem előtt van, az általánosabbhoz és elvontabbhoz emelkedik fel.
A tiszta arithmetikának első tárgya, az idő, reámutat arra, hogy az mintegy az idő tudományának, a geometria pedig a tér tudományá
nak nevezhető; habár, mintegy örök házasságban élve, az egyik a másiknak segítségére van, és mind a kettő egybegyökerezett fáinak koronái a mérhetetlen egekben folynak össze.
10
. §.A mennyiség most már a minőséggel kapcsolatban létrehozza az ú. n. ellenkezőket, a -f^-t (pozitivot) és a >—'-t (azaz a negatívot), valamint a + -t és a — t.
Akadunk ugyanis olyan homogén mennyiségekre, a melyek különböző meghatározásokkal vannak megadva. Legyen pl. valamely egyenes kezdete a p pontban, és ugyanabba az egyenesbe helyezzünk egy másikat úgy, hogy ennek kezdete és az előbbinek vége azonosak legyenek. Itt különféle kérdések merülhetnek fel: Milyen nagy az egész út ? vagy milyen nagy vonal van p és az utóbb odahelyczettnek vége közölt? vájjon ez jj-től jobbra vagy balra esik-e? Világos, hogy az eredmény annyira változatos lehet, hogy nagy vonatkozással az előbbi kérdésre és 0 vonatkozással az utóbbira.
Ebből a következő fogalmat alkotjuk:
Ha P és N olyan meghatározásokat jelentenek, hogy, a mennyi
ben A a P meghatározással és B az N meghatározással van meg
adva, bizonyos C feltétel mellett abban az esetben, ha A = B,
4 2 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1 8 3 2 )
az eredmény 0, ha pedig A i> B éa ezt felülmúlja a-val, fennmarad a a P meghatározással ellátva, és ha B \> A és ezt felülmúlja b-vel, fennmarad b az N meghatározással ellátva: akkor az egyiket, pl. /1-t pozitívnak, a másikat, t. i. B-t negatívnak nevezzük, és A-ról és B -ről azt mondjuk, hogy ellenkező mennyiségek. A pozitivot a ^ jellel, a negatívot a >—< jellel lehet jelöln i; de világos, hogy evvel csak az említett P és N meghatározásokra akarunk reámutatni.
Ha A — B, akkor a ^ 4 és >—■B mindegyike a másiknak az ellenkezője, és — ft-val jelöljük az ellenkezőjét annak, a mit k kifejez, akár ^ - o t , akár •—'-ot jelentsen k; ellenben a + jel nem vál
toztatja azt az értéket, a melynek elébe van téve. A +& = k lehet
= '—' ő =—5, és ekkor —k= 5 = + 5 = ^ 5 , úgy hogy abból, hogy vala
mely betű elé a -f- vagy a — jel van téve, nem következtethetünk arra, vájjon az pozitív vagy negatív értéket jelent-e. Gondolatban helyezzük pl. akár az időben, akár az egyenesben a folytonos A, B, . ..
részeket az egyiket a másik után a következő m ódon: Nevezzük mindegyiknek az egyik határát kezdetnek, a másikat pedig végnek, és annak a kezdete, melyet egyedülinek vagy pedig elsőnek vettünk fel, essék bizonyos p pontba, és minden másiknak kezdete legyen azonos a közvetetlenül előtte felvettnek végével. Legyen továbbá bizonyos q pont olyan, hogy valamennyi [rész] azon belül végződjék, ha úgy helyezzük el azokat, hogy mindegyiknek csak a kezdete legyen közös avval, a mit előbb odahelyeztünk, p' pedig legyen annak [a résznek] a vége, a melyet az először említett módon utoljára odahelyeztünk: akkor, ha p különböző p'-tői, nevezzükp-t a pp' kezdetének, p'-t pedig végé
nek, és A, B , . . . közül, valamint abból, a mi p és p' között van, minden olyanról, a minek a vége közelebb van q-hoz, mint a kez
dete, azt mondjuk, hogy a P meghatározással van megadva, arról pedig, a minek a kezdete közelebb van hozzá, azt mondjuk, hogy az N meghatározással van megadva.
Ezen a módon kitűnik, hogy ha a C feltétel az, hogy eredmény
nek pp'-1 vegyük: akkor, ha megadjuk >^->A-t és —<B-t és A — B, az eredmény 0 ; ép úgy fennmarad ha A > B és ezt felülmúlja a-val, és fennmarad —• b, ha B í> A és ezt felülmúlja 5-vel. Azt is mondhatjuk, hogy az, a minek csak a kezdete közös az előbb oda- helyezettel, evvel megegyező, ellenkezőleg pedig tőle különböző meg
határozású.
11
. §.Tetszés szerinti mennyiségek azonban a következő módon vezet
hetők vissza erre a meghatározásra.
Az arithmetika általános vázlata 43 Ha azt mondjuk, hogy a B az A-ra nézve mint az elvétel muta
tója van megadva, ez a következő műveletet jelenti. Ha A-t már meg
adtuk, és megadunk olyan 5-ből való 5-t, hogy A-ban benne van egy vele egyenlő, de nagyobb ilyen 5 -b ől való 6-nél nincsen benne,, akkor A-ból el kell vennünk 6- t ; ha 6 = 5 , akkor azt mondjuk, hogy az elvétel mutatójának eleget tettünk, ha azonban 6-n felül még valamely 6' is megvan 5-ben, akkor az elvétel mutatójából fenn
marad 6', ha pedig semmi 6-t sem lehetett elvenni, akkor fennmarad maga a B, a melynek nem tettünk eleget. Az említett esetek mind
egyikében azt mondjuk, hogy az elvétel mutatójának a lehetőségig eleget tettünk.
Most már az N meghatározás, a melylyel B meg van adva, jelentse azt, hogy B-t minden olyan mennyiségre nézve, mely bizo
nyos P meghatározással van megadva vagy pedig majd azután adatik meg, elvétel mutatójának vegyük, és a C feltétel álljon abban, hogy, ha A már a P meghatározással van megadva, és A egyenlő 5-vel vagy nagyobb 5-nél, [eredménynek] vegyük azt, a mi A-ból fennmaradt, miután az elvétel mutatójának eleget tettünk; ha azonban ennek eleget tenni nem lehetett, azt vegyük [eredménynek], a mi az elvétel mutatójából fennmaradt, miután ennek a lehetőségig eleget tettünk, és azt, a mi az elvétel mutatójából fennmaradt, tartsuk meg mindig továbbra is az elvétel mutatójának azokra a mennyiségekre nézve, a melyek mint avval homogén mennyiségek a P meghatáro- zá8sal vannak megadva. Világos, hogy itt is a P meghatározás a + jellel, a másik pedig a —■ jellel jelölhető. Ha ugyanis A = B, akkor az eredmény 0, ha A |> B, akkor az eredmény a a P meg
határozással ellátva, ha pedig B > A , akkor az elvétel mutatójából
^ marad fenn, és így az eredmény 6 lesz az N meghatározással ellátva.
Pl.
4 - A + A __
a
b
így jelenthet A bizonyos embereket, kiket bizonyos czélból állí
tunk fel, és B szintén bizonyos embereket, kiket A-ra nézve az el- vétel mutatójának veszünk, vagy A jelenthet bizonyos pénzmennyi- Seget, és B is bizonyos pénzmennyiséget, mely A-ra nézve mint az elvétel mutatója van kitéve stb.
4 4 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
1 2. §.
Az összeadás az a művelet, a melylyel megállapítjuk, hogy a C feltétel mellett mi az eredmény, ha A, B , . . . között vannak pozitivok és negatívok, vagy pedig másképen, hogy mi származik, ha A, B, .. .-t együtt veszszük (a hol minden egyes esetben mind
egyiküket, a mely 0-t jelent, elhagyjuk); az eredményt pedig az A, B, .. . összeadottak összegének nevezzük.
Sőt az összeg fogalma általánosítható is, a mennyiben azt mondjuk, hogy S és s az A, B, . . . valósok és az a, b ,. .. képzetesek összege, ha azoknak összege S, és ezeké s (1. alább). Az előbbi esetet illetőleg világos, hogy fentebb 4- A és —<B összege 0, -J-a, vagy
•—• b ; épen úgy világos, hogy
+ A 4-B HE-A. és ^ -B összege.
13. §.
Itt önként az a kérdés támad, vájjon, ha (a 10. §-ban) bármely sorrendben veszszük fel az A, B , . . . mennyiségeket, az utoljára fel
vettnek mindig ugyanaz lesz-e a végpontja? És ugyanaz a kérdés, ha az elvétel bármely módon történik; akár úgy, hogy itt is, ott is veszünk el valami részt, akár pedig úgy, hogy valamennyi pozitív
nak összegéből elveszszük valamennyi negatívnak összegét (1. alább.) Az összeadandók összegének kényelmes jelölésére is törekszünk.
Olyan jeleknek összessége, a melyekkel mennyiségeket jelölünk, együtt a mindegyik elé helyezett + , —, «-fs .—< jelek egyikével, jelölje ezek
nek (az el éj ükbe tett jellel felvett) mennyiségeknek összegét. Ezt az összességet komplex mennyiségnek nevezzük. A + , —, - h —. jelek utolsója után, vagy elseje elé írt mennyiséget, vagy pedig mind
egyiket, a mely két szomszédos ilyen jel között áll, az elébe tett jellel együttvéve, a komplex mennyiség tagjának nevezzük. Ámde, ha más műveletet több [előjelekkel összekapcsolt] mennyiségre ter
jesztünk ki, az említett jelek az [ama művelet jelével] összekap
jesztünk ki, az említett jelek az [ama művelet jelével] összekap