A geometria általános vázlata
III. Az eltérés axiómája
Ha két egyszerű, egyenletes, mindkét felé végtelen, a síkban egymást metsző vonal nyílása (azaz a metszéspontjuknál levő szög) a
1 0 2 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből ( 1 8 3 2 )
t, idő vége előtt mind a két oldalon ugyané vonalak alkotta valamely állandó szögnél nagyobb marad: akkor a í-t a végén határoló oszt
hatatlan időpontban az egyik nem ugorhatta át a másikat.
IY. A hasonlóság axiómái.
Egyetlen gömb sem különbözik más tulajdonságban bármely más gömbtől, mint nagyságában és helyében.
Yagy ugyanazt mondhatjuk a tér bármely két pontjáról.
Ezek közül [az axiómák közül] bármelyiket is tételezzük fel, a XI. axiómát teljes szigorúsággal be lehet bizonyítani. Yagy ezek egyi
két, vagy egy valamelyikükkel egyenlő értékűt kell alapul felvennünk, vagy pedig más abszolút geometria nincsen, mint az, a mely az Appendixben meg van állapítva. Ez minden esetben feltétlenül igaz, a mi nagybecsű dolog és még jobban megbecsülendő; mert a fel
állított axiómák egyike sem olyan egyszerű, mint a geometria többi axiómái. Ha tehát a felállítottaknak egyikét sem soroljuk az axiómák közé, akkor is lesz geometriánk; csakhogy u értéke mindig határozat
lan marad. Az igazság tiszta forrása az örökkévalóságban van, és a sírok éjszakáján át csalogat bennünket a világosságra; mert halandó ajakkal nem szabad belőle szürcsölnünk.
Mindamellett szükséges, hogy a geometriában valamely (juan- titativ axiómát vegyünk fel, t. i. olyant, mely elrejtve megvan azok között az axiómák között, a melyek az egésznek a részhez való viszonyát fejezik ki. Ez pedig a következő:
A térnek bármely minden oldalról határolt alkotó része meg felülete is, ha egyáltalában mennyiség, véges mennyiség. Ebből következik, hogy a megfelelő respectiv mennyiségek is végesek.
Látni, hogy ez mintegy utat nyit a quantitativ axiómák vala
melyikének bevezetésére. Le bármint is legyen az, legyen szabad röviden bemutatnunk, hogy az említett [axiómák] mindegyike segítségével, kevés tőle független alaptételt tételezve fel, hogyan lehet bebizonyítani, hogy u = R.
a) Az I. % axiómából ez könnyen a következő módon foly.
Ha ugyanis (a 24. ábrában) : akkor, ha ezeket a szögeket a í>
pontnál egymás mellé rakjuk, nevezzük a maradékot y-nak. Ha már mostan az y szög szárának valamely tetszés szerinti f pontjából egye
nest húzunk c-ig, nevezzük azt a szöget, melyet fc a cb-vel alkot, 3-nek, és rakjuk fel c-nél, z felett a v szöget. Szembetűnő, hogy z nem
A geometria általános vázlata 103 foglalja magában y-1, és így (az axióma szerint) z-\-v sem foglalhatja magában y -j-y-t. Ebből következik, hogy metszés jő létre, ha a belső szögek u és v-\-z, és még inkább történik az, ha v-\-z helyébe a kisebb v szöget teszszük.
b) A mi a többieket illeti, vizsgáljuk (a 25. ábrában) az 9lQ3-re ugyanabban a síkban merőlegesen álló Qla egyenes végpontjának útját. Vegyük fel a-tól kezdve, ettől akár jobbra, akár pedig balra ennek az útnak, a melyet L-nek akarunk nevezni, egymásra következő egymás közt egyenlő ab, t)C, eb stb. részeit, és húzzuk az ab, be, eb stb. egyeneseket. Nyilvánvaló, hogy akkor egyenlő származása miatt valamennyi x szög egyenlő. De, minthogy semmiképen sem
bizo-P
Qyos, hogy az a, b, c, b ,. . . pontok ugyanabban az egyenesben van
nak, az a kérdés merül fel, vájjon x derékszög, tompa szög, vagy hegyes szög-e?
1. Ha x derékszög voln a: akkor 7.-nek az a pontja, mely
<193 (2(j. ábra) (i felező pontjának megfelelőleg származik, szintén az ab egyenesnek c felező pontjába esnék. A d és c felező pontokat összekötő egyenes ugyanis a mindkét felől való egyenlő származás miatt (£, valamint c mellett is mind a két felé egyenlő szögeket, tehát derékszögeket alkot. Ha már mostan az L vonalnak az a pontja, a mely a d-ben emelt és az a-val egyenlő merőlegeshez tartozik, p-be Vagy q-ba esnék: akkor az első esetben volna a — b-\-k-\-h, és így a ^>R; mert x = k-{-h = R volt. De ugyanannak az a-nak jfí-nél kisebbnek is kellene lennie; mert az R-re\ egyenlő p külső szög nagyobb az a belső szögnél, a mint majd azt a maga helyén függet
lenül bebizonyítjuk. A második esetben azonban lenne i — h, és így 1<.R, noha a külső szög i > p = R. Ebből azután az is következik,
h °gy ci9l = £c.
104 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
Hasonlóképen az ctc egyenesnek felező pontjába esnék az L vonal
nak az a pontja, mely az 51G egyenes felező pontjának megfelel, és világos, hogy ez, ha mindegyik felerészt újból felezünk, vég nélkül így folytatódik. Ekkor azonban az L vonalnak semmi olyan az a-ban kezdődő folytonos része nem lehet, a mely az ab egyenes felett vagy alatt van. Ugyanis 5ta és valamely olyan egyenes között, melyet az emlí
tett, az a-ban kezdődő vonalnak (melynek a-t kivéve, minden pontja az aí> egyenesen kívül van) bármely pontjából merőlegesen bocsátunk 5193-re, ugyanannak a vonalnak számtalan olyan pontja volna, a mely az említett felezés révén származva, az ab egyenesben van.
Ily módon tehát az L vonal azonos volna az abcb. . . egyenes
sel (25. ábra). Ebből majd az alábbiak segítségével ‘könnyen kiderül minden.
2.. Ha azonban x hegyes szög vagy tompa szög volna: akkor az abcb. . . vonal egyenesekből összetett olyan vonal lenne, melynek ab, be, eb . . . közei mind a két felé egészen a végtelenig egyenlők, és melynek minden köze a megelőzővel és a reá következővel ugyan
azon az oldalon egyenlő szögeket alkot. Ha x < R , az ab és be egyenesek alkotta alsó szög < 2/?; ha azonban x > R , mindenütt a felső szög
< °2R. Bebizonyítható azonban, hogy az x > R eset nem lehetséges;
mert akkor az a53 átlót meghúzván, két olyan háromszög keletkeznék, melyek szögeinek összege nagyobb 4/í-nél, és így volna olyan három
szög is, a mely szögeinek összege > 2// (minthogy az, a mi nagyobb 4-nél, nem osztható két részre úgy, hogy egyikük sem >2). Hogy ez azonban nem lehetséges, az többféle módon függetlenül bizonyít
ható be. Elég azonban, ha most azt az abcb. .. vonalat úgy vesszük fel, hogy minden szöge a 2ii-nél kisebb; ezt a vonalat nevezzük /.-nak.
3. Világos, hogy a A vonalnak nincsen egyetlen olyan köze sem példa gyanánt szolgáljon eb — mely a jobb oldal felé meghosszabbítva, metszené A-nak azt a részét, mely 5193-nek a G ponttól balra eső pontjaiban emelt merőlegesek révén keletkezett, vagy pedig valamelyiket a tovább balra eső merőlegesek közül. Az említett merőlegesek ugyanis valamennyien mindennel együtt, a mi közöttük van, a síknak arra az oldalára esnek, a mely Gc-től balra van, és így, hogy a szóban levő metszés létrejöhessen, a eb egyenesnek c-n kívül még másutt is át kellene mennie a Gc egyenesen. Ekkor azonban eb reáesnék cG-re.
4. így tehát egyetlen olyan Gc-nek, melyet A valamely szögé
nek csúcsából, c-ből 5193-re merőlegesen bocsátunk, és a mely bizo
nyára magát a szöget felezi, c-n kívül A-val (vagy L-lel) semmi közös pontja nincsen. Ha ugyanis A-nak még egy p pontja közös volna Gc-vel, ez a p az 5193-nek valamely G-től különböző
pontjá-A geometria általános vázlata 1 0 5
bán emelt merőlegesbe esnék, és ha p egyszersmind (Ec-be is esnék, két ugyanarra az egyenesre emelt merőleges találkoznék egymással.
5. Nevezzük (a 27. ábrában) az ab, ac, ab stb. egyeneseket, melyeket ugyanabból az a pontból egészen a A vonal közeinek vég
pontjaiig húzunk, Q, Q', Q", .. .-nak, általános nevük pedig legyen Q;
legyen továbbá £) a A vonal annak a szögének felezője, mely a mellett fekszik, és így az a-n átmenő az az egyenes, mely merő
leges “2193-i'e ; az abc szög = bcb = ebe stb. Kérdés már mostan, hogy tekintettel valamely Q-ra merre esik a A vonalnak következő köze?
Először is mindjárt be az ab alá esik, mert (a 104. o. szerint) a szöget
ft. i. abc-t] két derékszögnél kisebbnek vettük fel; eb továbbá Q' alá esik; mert különben vagy Q'-ha, vagy pedig a Q'-n fölül kellene esnie. A Q'-ba nem eshetik; mert ez vagy a c-n belül, vagy pedig a c-n túl, például f-ban történnék. Az utóbbi esetben azonban a bef szög nagyobb volna 27i-nél, a másikban pedig (ellenkezésben a 104. oldalon mondottakkal) eb metszené A-nak előbb származott részét. Ugyanaz történnék, hogy ha eb a Q'-n fölül esnék, minthogy ennek eb és Q' között kellene megtörténnie; mert ha a cb-n kívül esnék, a [bcb szög nagyobb volna 27?-nél.
Ha ugyanezt a bebizonyítást m indig tovább alkalmazzuk, ki
tűnik, h ogy m inden következő köz alája esik annak az egyenesnek, melyet a-ból kezdőpontja felé húzunk.
6. Ha tehát Q-1 a körül bebe . . . mentén mozgatjuk, míg Qla-ba
106 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
jut, akkor valóban a A vonalnak mindig távolabb és távolabb eső pont
jába ér; még pedig egy darabig metszi A-t, míg ellenben *2la-t (a 104. o. szerint) [aí>-n kívül] /-nak semmi [más] köze nem metszi. így tehát úgy, mint fentebb (97. o.), van bizonyos olyan Q ' egyenes, mely a A vonalat először nem metszi, de a melyen belül bármely Q •— ha még olyan kicsiny z szöget is alkot Q'-val — a A vonalat metszi.
Ekkor azonban nem történhetik meg, hogy a A vonalnak vala
mely köze (pl. ct), ha azt jobbra bármennyire is meghosszabbítjuk, a Q ' egyenest valahol (pl. i-ben) messe. A merőleges ugyanis, melyet valamely bármeddig meghosszabbított köznek valamely távolabb (jobb felé) eső pontjából bocsátunk, szintén mindig távolabbra esik; mert e a ® b merőlegestől jobbra esik. Ép úgy a be egyenesnek meghosz- szabbítása is az e£ merőlegesen keresztül a jobb oldalra megy át, és mindegyik ennek az egyenesnek az e£-tőL jobbra eső pontjából bocsá
tott merőleges hasonlóképen eCf-től jobbra esik, ép úgy mint az olyan merőleges is, a melyet annak az egyenesnek bármely pontjából bocsá
tunk, mely az új merőlegesen keresztül megy át a jobb oldalra.
Ha tehát az t metszéspont létrejönne, az egész b e f... [vonal a b pont kivételével az abí háromszög belsejébe esnék. így tehát [annak a vonalnak] minden pontja és minden az ilyenből az Í l3-re bocsátott nemző merőleges az a“2l és i3 merőlegesek közé esnék, és í3-n túl nem volna többé egyetlen nemző merőleges sem. Ugyanaz érvényes, bárhova is essék i ; sőt még akkor is, ha cibcbef. . . az felé dom- borúnak mutatkoznék (a miről említettük, hogy lehetetlensége könnyen kimutatható).
7. Ebből azután világos, hogy bármilyen kicsiny is 2, például ha hol n valamely tetszés szerinti nagy egész számot jelent, a 2 szög szárai közbefoglalják valamely állandó q szög szárait még akkor is, ha ezeket a végtelenbe meghosszabbítjuk. Ha tehát q-1 a csúcsából kiindulva n egyenlő részre osztjuk : akkor mindegyik ilyen n-edrésznek szárai is közbefoglalnak egy-egy q-t a végtelenbe meg
hosszabbított száraival együtt, és mindezek a q szögek teljesen el lesz-nek egymástól választva, ha mindegyik ^ -ben úgy veszszük fel a
q . n a
hogy z-nek a q szög csúcsából kiinduló szárai a -
szög-. n
nek szárai közé essenek.
E szerint az ajánlott (II. iá) axiómával nem egyeztethető meg, hogy az u szög nagyobb vagy kisebb R-né 1. így tehát u derékszög.
8. Ha tehát (a 25. ábrából kivett 28. ábrában) a<2l=í><33 és az
*21, a, 'B, t> mellett fekvő szögek derékszögek: akkor az « + / és
A geometria általános vázlata 1 0 7
valamint a /?, fi' szögek (melyeket váltó szögeknek nevezünk) egyenlők ép úgy, a mint egyenlő valamely külső szög, például /?" a szemben fekvő belső szöggel, /?'-val; továbbá, ha bármely egyenes metszi íl'B -t és ab-t, a belső szögek összege egyenlő két derékszöggel. Ugyanis az ‘Slct'B és b^Sii derékszögű háromszögek (a mint majd az a későb
biekből ettől függetlenül kitűnik) egyen
lők ; mert átfogójuk közös és az befogó egyenlő a bQ3 befogóval. Ezért
a — a' és j3 = fi',
és minthogy /? = /3"-vei, t. i. csúcs szögével, egyszersmind fi" = /3'. Mint hogy továbbá
/ ? " + / + « = 2jR, ebből következik, hogy
/ ? '+7+cc = 2/í.
9. Ebből ismét következik, hogy ha bármely háromszög csúcsán át olyan vonalat származtatunk, mint az előbbeniben (29. ábra): akkor
7 = 7' és P = P'>
és ezért
« + / 9 + 7 = = 2i{.
10. Ebből azután folyik, hogy
S-\-y = fi-\-a-\-y = 2fí, és így
o (X -{- f i,
azaz, hogy ha bármely háromszögben valamely oldalt meghosszabbí
tunk, a külső szög egyenlő a két szemben fekvő belső szög összegével.
11. Ebből már mostan könnyen következtethető, hogy akkor, a mikor a belső szögek
összege < 2ií (30. ábra), az egyenesek metszik egy
mást. Ha ugyanis u + P + « + í = 2ft és cgt, az első egyenes, mely Qla-t nem metszi:
&kkor, ha ‘215-nak vala
mely tetszés szerinti a
108 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
pontjából egyenest húzunk 93-ig, (9. szerint) az 9la93 háromszögnek a-nál fekvő szöge egyenlő
!VR—u —p = u + p + c ú + q —u —p = o + q
-val, és így mindig > q. Hogy ez helytelen, világos (a 31. ábrából). Ha ugyanis a' — a, ép úgy /?' = /3 és így tovább folytatva, minden a Q3-ből kiinduló új oldalnak megfelelőleg egy ennek végpontjából kiinduló egyenlőt veszünk fel 51a -bán: akkor egyenlőszárú három
szögek keletkeznek, melyek vég nélkül következnek egymásra. Ezekben z --2z\ z' = 2z", . ..
Ha tehát a z, z', z " ,. . . szögeket általánosan z-nek nevezzük: akkor 2-"—0. Hogy t. i. az egyenlőszárú háromszög alapja mellett fekvő szögek egyenlők, azt majd alább ettől függetlenül bizonyítjuk be.
12. Nyilvánvaló, hogy az előbb előállított L (a 70. oldalon adott értelmezés szerint) párhuzamos 5193-vel, és ha az említett axiómát bevezetjük, világos, hogy az ab egyenes nem metszi az 5193 egyenest, de minden az a-n átmenő más egyenes metszi az 9193 egyenest, mihelyt az egyik oldalon a belső szögek összege < 2 R, és ugyan
azon a módon nyilvánvaló, hogy bármely ponton át bármely egyenes
hez fektethető párhuzamos, még pedig csak egyetlen.
13. Ha tehát az A, R egyenesek (32. ábra) egymást a p pont
ban metszik: akkor, bárhol is legyen az yí-val párhuzamos A', B a . l '- t is metszi. Vegyünk fel ugyanis olyan egyenest, mely p-t összek öti A ' valamely tetszés szerinti q pontjával: akkor
A geometria általános vázlata 109
Z + V + U = 2 f t ,
és így
v + u < 9>R.
Ha tehát B-1 p-n túl és ^L'-t q-n túl meghosszabbítjuk: akkor talál
koznak egymással.
14. Hasonlóképen világos, hogy ha önmagával párhuzamosan bárhová is (pl. B'-be) toljuk el B -1: akkor a A' és B ' egyenesek is metszik egymást, és az első metszés alkalmával létrejött z és k szögek egyenlők a második metszés alkalmával létrejött z és k szögekkel.
15. A fent mondottakból azonban az is következik, hogy, hacsak nem u — B (97. o.), valamely még oly kicsiny v szögnek a vég
telenbe meghosszabbított szárai közé helyezhető bármely a négy derékszögnél akármennyivel is kisebb szög a végtelenbe meghosszab
bított száraival együtt.
Ugyanis (az 10(5. o. szerint) bármely kicsiny v szögnek szárai közé bizonyos b = —— szög helyezhető, hol II derékszöget és n
vala-Ily
mely egész számot jelen t; sőt még akkor is, ha v = | b. Történjék ez a v = § b szög csúcsától d távolságnyira. Innen húzzuk az abcb .. . Polygonalis vonalat (33. ábra), melynek minden köze = d és minden szöge (értve a két derékszögnél kisebbet)
= 2ii - | b.
110 Bo l y a i Farkas, Készletek a Tentamenből (1832) jelöljük az ugyanannak a köznek végpontjából kiinduló egyenest, mely a köz folytatásával a jp-vel egyenlő külső szöget alkotja, a merőleges állítható, a mely bármennyire meghosszabbítva, a
bár-ez ugyanarra az oldalra esik, a melyre C esik; mert, ha a m ásik oldalra esnék, olyan háromszög keletkeznék, melynek egyik szöge derékszög, egy másik szöge pedig tompa szög, t. i. a v hegyes
A geometria általános vázlata 111 nek a mellékszöge. A pq-nak folytatása pedig átmegy C-nek másik oldalára, mely hasonlóképen egészen foglaltatik a v szög szárai között.
Ebből azután következik, hogy (a 35. ábrában) a 2v szög szárai közé (a mely 0, ha v — 0) nemcsak az egész cc' merőleges helyez
hető, hanem, ha a'c = ac, a 4 fí—2v-vel egyenlő b'a'f szög is a végtelenbe meghosszabbított száraival együtt.
Ha tehát ba-t a körül ac felé mozgatjuk, míg ac-be, ér és mielőtt ab az ac-t eléri, mindig úgy vesszük föl a'-t, és olyan szög alatt, a milyent ab az ac-vel alkot, a'b'-t, hogy a'b' és ab egymást ne messék: akkor vizsgáljuk
mindig azt a teret, a mely, ha az egész idomot aa' körül forgatjuk, ab útjától balra esik és azt, a mely az a'b' útjától jobbra van.
Ilyen módon a térnek bár
mely olyan s alkotó része, a melynek (legalább is az a ponton kívül) semmije
sem közös az aa' egyenessel, nyilvánvalóan valamely a bal oldalon származott olyan térben foglaltatik, a melyre nézve v kisebb minden olyan szögnél, a melyet a-ból s-nek bármely pontja felé húzott egyenes aa'-val alkot. Ha már mostan a'-t elég távolra eltoljuk:
akkor az olyan f-re nézve, mely a másik i.'-vel egyenlő, előáll egy másik s is, a melynek az előbbivel semmije sem közös. Ebből világos, hogy miképen alkalmazható az (I. 3. alatt) felállított axióma. Mind
azonáltal nem származik két tér; mert, midőn ab az ac-be ér, létrejön ugyan az egész tér, de a a' [pont! a végtelenben eltűnvén, az idő
nek utolsó oszthatatlan pontjában sehol sem található többé. Meg
előzőleg ugyan minden pont benne foglaltatik a bal oldali térben, de a vége előtt az egész sohasem.
16. Ép úgy könnyen bizonyítható be a következő:
1. Az egyenletes L vonal (103. o.), hacsak nem egyenes, az fibeb. . . vonalon kívül terjed el és evvel (27. ábra) csak az a, b, c, b . . . pontjai közösek, és ebből nyilvánvalóvá válik a III. axióma alkal
mazása. Valóban azok közül a szögek közül, a melyeket a Q-knak alsó folytatásai /,-lel kívülről alkotnak, az alsó közeledik az a határ
hoz, a felső pedig a 2IC —a határhoz (hol II' jelenti azt a szöget, a melyet az a“21 egyenesnek folytatása alkot L-lel), és mind a kettő mindig nagyobb marad a-nál. Az alsó folytonosan növekedik, a felső
1 1 2 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1832)
pedig folytonosan fogy, és szembetűnő, hogy a szögek minden Q-nak mind a két folytatása mellett egyenlők.
2. Ha ^193-t *21 körül felfelé mozgatjuk: akkor ott azonnal metszi az L vonalat, ép úgy, mint minden olyan egyenes is, mely a és “21 között az a*21-ra merőleges. Az ilyen pedig mindjárt *21 után mind a jobb oldalon, mind a bal oldalon metszi magát az L-1, mind a két oldalon egyenlő szögek alatt, melyek az említett a határtól kezdve fogynak, és egy ideig valamely adott állandónál mindig nagyobbak maradnak.
3. Ha a megmarad a helyén és “21 az a2Í-ban mindig tovább lefelé egészen a végtelenbe távozik az '2103 merőlegessel együtt, ha továbbá minden egyes <2l<23 felett az a2l merőleges segítségével előállítjuk az L vonalat, és azt a szöget, a melyet az L vonalat először nem metsző egyenes a*2l-val alkot, általánosságban ?i-nak nevezzük, és minden ^l-ból, mint középpontból az a2l radiussal kört írunk l e : akkor 0; mert különben az egyenes a szögnek bizonyos nagy
sága mellett a bármennyire is elmozdított merőlegest metszené. Az Íj
vonalak továbbá, melyeknek csupán csak a a közös pontjuk, alább szállanak, de a körök, a melyeknek ugyanaz az a az egyetlen közös pontjuk, folytonosan emelkednek és ugyanahhoz a bizonyos geometriai határhoz közelednek. Hogy ilyen létezik, valamint az a forgási felület is, mely e vonalnak a*2l körül való forgása révén keletkezik, és hogy ez a két alakzat egyenletes, az bizonyos; még pedig, ha
E ü k lid e s XI. axiómája igaz, az említett vonal egyenes és a felület sík. Minden esetben azonban mind a vonal, mind a felület a térben egyértelműen van meghatározva.
Az említett vonalat valamely pont folytonos mozgásával a követ
kező módon írhatja le. Legyen (a 36. ábrában) eleinte u = R, és mozgassuk aí)-t a körül egészen ac ig. A mint í> az a ívben valamely utat ír le, ennek ott valamely c [pont] felel meg oly módon, hogy az ebben emelt merőleges az első merőleges!, a mely nem metszi az ab egyenest; és hogy ha ca' = ca, akkor a'b' is az az egyenes, a mely először nem metszi ab-t. A mint a b pont az a ívben tovább mo- zog, a c pont is, a-tól kezdve, mindig tovább m ozog; mert ct minden belsőbb pontjának megfelelőleg van egy c, még pedig egy mindig távolabbra eső. De a-tól kezdve egyik c-n túl sincsen olyan pont, a melynek nem felelne meg a-nak bizonyos pontja;
A geometria általános vázlata 113 pedig mennél távolabbra esik az a pont, az a-nak annál beljebb eső pontja felel meg neki. Ha ugyanis ab az az egyenes, a mely cp-t először nem metszi: akkor majd minden beljebb húzott egyenes metszi cp-t, és így annak a merőlegesnek, melyet ez nem metsz, távolabbra kell esnie. Ha pedig volna olyan c, a melynek nem felel meg a-nak valamely még beljebb eső pontja: akkor az a-ban állított merőleges volna az első egyenes, a mely a cp-t nem metszi, és ekkor az ac egyenesre vonatkozólag igaz volna E u k lid e s XI.
axiómája, és azután valamennyi többi [egyenesre] nézve is könnyen be volna bizonyítható. így tehát c-t a-tól kezdve úgy mozdíthatjuk el tovább, hogy, midőn ab az a körül mozog, és így b az a-ban mozog mindaddig, míg u (mely eleinte = li volt) a 0-sal nem válik egyenlővé, cp mindig olyan legyen, hogy ab az első egyenes, a mely azt nem metszi. Ha ugyaneze
ket a'-ra alkalmazzuk, akkor
ket a'-ra alkalmazzuk, akkor