R Ö V ID E N V Á Z O L T K Í S É R L E T (1851)
Röviden vázolt Icisérlet, mely oda irányul, hogy:
I. Az arithmetikát czélszerűen megalkotott fogalmak alapján, képzelt és végtelen kicsiny mennyiségektől meg- tisztítva, szemléletesen és logikai szigorúsággal lehessen tár
gyalni.
II. A geometriában az egyenes vonalnak, a síknak, a szögnek egyáltalában, a szög nélküli formáknak, a görbék
nek, az egyenlőség különböző fajainak és más efféléknek fogalmát nemcsak élesen meg lehessen határozni, hanem a térben való létezésüket is bebizon yítani: és m inthogy erre a kérdésre, vájjon két egyenes, melyet valamely harmadik metsz, metszi-e egymást vagy sem, ha a belső szögek összege nem = C2R ? e földön senki sem válaszolhat a nélkül, hogy axiómát fel nem állítana (a m int Euklides állította fel a XI.-et), az ettől független geometriát elkülöníteni, és egyet az igenlő, egy másikat a tagadó válaszra támaszkodva fel
építeni oly m ódon, hogy ennek az utóbbinak képletei egy intésre az előbbiben is érvényesekké váljanak.
Egy 1829-ben Maros-Vásárhelyt megjelent latin és ugyan
ott kinyomtatott magyar munka nyomán.
Maros-Vásárhelyt 1851.
KURZER CRUNDRISS EINES VERSUCHS
I. D ie Arithmelik, durch zvekmássig constru- irte BegrifTe, von eingebildeten und un- endlich-kleinen Grössen gereinigt, an- schaulich und Iogisch-streng darzustellen.
II. In dér Geometrie, die Begriffe dér gera- den Linie, der Ebene , des W inkels allge- m e in , dér w inkellosen Formen , und dér K ru m m en , dér verschiedenen Árten dér Gleichheit u. d. gl. nicht nur scharf zu be- stimmen; sondern auch ih rS eyn im Raume zu bew eisen : und da die Frage, ob zwey von dér dritten geschnittene Ceraden, wenn die summe dér inneren Winkel nicht rr 2 /?, sic/i schneiden oder nicht ? niemand auf dér Erde ohne ein A xiom (w ie Euclid das X I ) aufzustellen, beantworten w ird ; die davon unabhángige Geometrie abzusondern; und eine auf die Ja- A n w ort, andere auf das Nein so zu bauen, dass die Formeln dér letzten , a u f einen W ink auch in dér ersteu
gültig seyen.
Nach einem lateinischen W erke von 1829. M. V ásárhely, und eben daselbst ge- druckten ungrischen.
MAROS V Á S Á R H E L Y 1851.
[Az arithmetika alapjai.]
Ne w to n mondja: {Alkalmasabb szó hiányában szorzásnak s z o k
tuk nevezni, ha olyan új mennyiséget keresünk, mely a szorzóval ugyanabban a tetszés szerinti arányban áll, a melyben a szorzó áll az egységgel. A szorzást nemcsak absztrakt mennyiségekre alkalmaz
zuk, hanem konkrét mennyiségekre is, mint a milyenek a vonalak, a felületek, a súlyok, a helyváltozás stb., a mennyiben azok valamely saját nemükbeli ismert mennyiségre, mint egységre vonatkoztatva, számok arányait kifejezni és azok helyét pótolni képesek. Ha ily módon az A mennyiség a 12 lábnyi vonallal megszorzandó, egysé
gül a két lábnyi vonalat véve fel, e szorzás eredménye 6A ; mert 6/1 abban az arányban áll A-val, mint a 12 lábnyi vonal a két lábnyi egységgel.
És ha ily módon bármely két vonalat kell egymással szoroz
nunk, az eredmény vonal, a melyet a geometria az egység megállapí
tása után a szokásos módon szolgáltat. ..
Szokássá vált, hogy felületnek vonal más vonalhoz derékszög alatt végbemenő mozgása révén való származását, vagy leírását ama vonalak szorzásának nevezik; habár az akárhogyan is megszorzott vonal nem válhatik felületté. Sőt a felületnek ez a származtatása vonalból egészen más, mint szorzás, és csak azt akarják azzal kife
jezni, hogy a két vonal szorzata ugyanabban az arányban áll a hosszúságegységhez, mint az említett felület a felületegységhez, ha ilyennek azt a négyzetet veszszük fel, melynek oldala a hosszúság egysége .. . Ugyanez alkalmazható három vonal szorzatára is . . .j*
I. Bármennyire világosak és határozottak a nagy férfinak e szavai, mindazonáltal a tudományban sokan oly szókat fogadtak el útmutatóul, melyek értelmüket a köznyelvből hozták magukkal, a szabad alkotásra való előjogukat szűkkörű fogalmaknak hozták áldo
zatul ; és nehogy kénytelenek legyenek mondani vonal-szor vonal, és
* [A { } zárójelben álló bekezdések Ne w t o n Arithmetica universalis London 1707, 14 oldalán álló azon helyének forditása, melyet Bo l y a i latinul ídez.J
1 2 8 B o l y a i F a r k a s , R ö v i d e n v á z o l t k í s é r l e t (1 8 5 1 )
hogy az osztás mindig csak oszszon, mert a csőcselék 2-szer, 3-szor vesz, és kettőbe, háromba oszt, nem riadtak vissza semmiféle mester
kedéstől és még az olyan különös szemfényvesztéstől sem, a mely a lehetetlennel párosuló lehetetlennel valóságost szülét, a mi még nagyobb csoda, mint valamit a semmiből teremteni.
A mathematikának az ilyen csodákat szógyelnie kellene; min
dennek, a mit tárgyal, valóságosan szemléletesnek kell lennie, és a műveleteket úgy kell megalkotnia, hogy mindezek a csodák termé
szetes úton menjenek végbe. Csoda az volna, ha ilyen alapokon nyugvó pillérek, részben lehetetlen darabokból összeállítva, részben a mindent felölelő fogalmak egyesítő ereje nélkül, habár a végtelen kicsinyeknek minden rendjével feldíszítve, az ég magasságáig emelkedő templomot tartanák, a mely az övéinek menedéket nyújt a külső viharok ellen, a zivataroknak nem egy villámát levezeti, és az örökké
valóság vándorának, ki az igazság ősforrása és a mindent egygye teremtő szeretet felé vezető úton halad, a Földet csakhamar elmaradó' sáros foltnak mutatja.
II. Newton szavai’ szerint a h om ogén m ennyiségek m inden fajá
nak m egfelelőleg egy-egy egységet kell fölvennünk, a m iből egyéb különféle előny is e r e d ; h olott különben n ém ely fonákság szárm a
zik. Pl.
1. Ha valamely a vonalnak Jl szorzója csakis absztrakt (pl.
2 harmad): akkor a szorzat vonal, úgy mint a szorzandó. Mi is hát a másik tényező? csupán csak mutató? vagy minek a 2 harmada?
Egészen abstracte a 2 : 3-nak sincsen általános értelme; mert a 2 akkor valamennyi kettőből el van vonva, és róla csak az állítható, a mi mindegyiküket megilleti. De 2 pont nem osztható a 3-mal.
Ha szó van az általánosról, tulajdonképen mindig valamelyiket a benne foglaltak közül kellene gondolnunk, habár bármelyiküket gondolhatjuk. Nem a szóról beszélünk, hanem azokról, a miket vele megnevezünk.
2. E szerint nem volna lehetséges, hogy B = a, ha a vonal, és ebből következnék, hogy cui képtelenség, habár sokan azt mondjak, hogy a -f-«2+ a 3-nak azért nincsen értelme, mert a vonal, a2 felület és a8 test. Mi már azután a*; hiszen a térnek nincsen 4 dimenziója?
és a szorzásnak mely fogalma szerint lehet valamely megszorzott vonal egyéb mint vonal?
3. Ha a szorzó csak absztrakt, akkor annál inkább különböző [az eset] a szerint, a mint az osztásnál a szorzó, vagy pedig a szorzandó a keresendő.
4. Minthogy sokan osztóul is csak absztrakt számot vesznek
Az arithmetika alapjai, 1—4. §. 129' fel, és azt állítják, hogy csupán csak a konkrétek [t. i. konkrét szá
mok 1 lehetnek negatívok, negatív osztó nem volna lehetséges.
5. A többi majd a következőkben derül ki, minthogy nem tilt
ható meg mindaddig [új] fogalmakat alkotnunk, míg a czélhoz vezető' könnyebb és jobban szemléltető eljáráshoz nem jutunk.
1. §•
Az első művelet az elvétel abból, a mi valahol van, és ha gon
dolatban valami hijján mindent elveszünk belőle, és azután ezt is z akkor azt mondjuk, hogy nem marad semmi, és ezt 0-sal jelöljük.
2. §.
Azután következik az A B-hez való hozzáadásának művelete- Ennek eredményét A + i?-v e l jelölhetjük. Ki van mutatva, hogy ha.
A vagy B 0 : akkor A -j-B a másik. E szerint 0 + 0 = 0.
3. §;
Most már következik az u szerint való számlálás művelete. Ha ugyanis először a 0-t gondoljuk, és mindig hozzáadjuk u-1: akkor a következő sorozat keletkezik: 0, u, u + u , u + u + u, . . . , a melynek minden tagját az u-ra nézve számnak nevezzük, és mindegyiket külön jelöljük. Pl. így: 0u, lu, 2u, 3u, . . a hol az u előtt álló jelek a
megkülönböztető számneveket jelentik.
A 2. §-ból következik, hogy ha u = 0, akkor a 0 bármely nevű szám lehet az u = 0-ra nézve; ha azonban u nem 0, akkor a 0 az ilyen u-ra nézve csak a 0 névvel megjelölt szám lehet. Ez majd a szorzás és osztás esetében világosan vezet a keresetthez.
4. §.
Ha már mostan A és B mind a kettő az említett sorozatnak tagjar pl. A — 3u, B = 2u (hol a 2 és 3 közül mindegyik minden szám
névnek képviselője): akkor azt mondjuk, hogy A a B-nek három kettede és B az /1.-nak két harmada; ha pedig ezt keressük, azt mond
juk, hogy A~t és B-1 kölcsönösen megmérjük [egymással!; a műve
letet pedig mérésnek nevezzük. Ha A-ról azt mondjuk, hogy £?-nek három kettede, akkor B a mérték és A a mért, ha pedig B-ről mond
juk, hogy /1-nak két harmada, akkor A a mérték és B a mért.
Stíleket: B olyai Farkas és Bolyai János. II.
1 3 0 Bo l y a i Farkas, Röviden vázolt kísérlet ( 1 8 5 1 )
5. §.
Egy mérés után kettő következik, és ka a számok sorozatában u helyébe v-t téve, a — 3v és b = 2v, azt mondhatjuk, hogy A a jö
vel és a a 6-vel [mérve] egyenlőmértékűek (vagyis egyenlőmértékű- ségbcn állanak), vagy pedig, hogy A annyiszorosa a J5-nek mint a a 6-nek (hol az annyiszor szó nem veendő szó szerint).
Megjegyzés. A mennyiségnek a minőséggel való összekapcsolása után azonban a proporcziónak e fogalma bővülni fog. Már itten is általánosabb a következő : ha n, m számneveket jelentenek, és minden A = ww-nak és a — nv-nek megfelelőleg B — mu és b = mv, vagy pedig B = mu-\-(ci)<u) és b — mv-\-(k<v) : akkor A, B, a, b pro- porczióban állanak.
6. §•
Két mérés után több következik, és hogy az ugyanahhoz a nem
hez tartozó mennyiségeket könnyebben összehasonlíthassuk, és a mér
téket ne kelljen mindig megemlítenünk, az a gondolat támad, hogy minden nemnek megfelelőleg bizonyos mértéket állapítsunk meg, és akkor, ha a mértéket nem nevezzük meg, pl. 2 harmad alatt annak (az egységnek, unitas) 2 harmadát értsük. És ezt kiterjesztjük a szám
nevekre is, úgy hogy, ha U az egység, 2 jelentse a 2t/-t. így pl,, ha a vonal egysége 2' volna : akkor (ha vonalról van szó) 2 harmad jelentse a 2 • 8"-et és 2 jelentse a 4'-at.
7. §.
És így már mostan kétféle mérés származik: még pedig a főmérés, ha valamit a maga egységével mérünk, és a relatív [mérés], ha a mértéket megnevezzük.
8. §•
A főmérésből és a relatív mérésből származik a szorzás és az osztás fogalma, egy sorban előállítva, hol azonban az említett szók nem veendők szó szerinti értelmükben.
H a ugyanis 3 és 2 bármely számnevek helyett állanak, és 1 = 3u, B = ^.u, a — 3v, b —2?', hol az 1 mindegyik nemnek az egységét jelenti:' a k k or azt m on d ju k , hogy a a B-ve 1 m e g sz o ro z v a b-1 adja szorzatul, és röviden azt mondjuk, hogy JS-szer a az b, a mi azonban úgy értendő, hogy b vonatkozással rt-ra egyenlő m é rté k ű
Az arithmetika alapjai, 5— 10. §. 131
•B-vel (hol .B-nól, minthogy a mérték nincsen megnevezve, az egység veendő annak). Ez a felméréssel egyenlő relatív mérés.
9. §.
Ha azonban 6-ből és az a és R tényezők egyikéből meghatá
rozandó a másik, ezt a műveletet osztásnak nevezzük. Szembe ötlik, hogy itt 2 eset lehetséges. Az előbbi példában t. i. az egyik esetben a 2 harmadol, a másikban a relativ mértéket keressük. Arra a kér
désre : b hányszorta a ? vagy b hányszorosa <x-nak ? válaszol az első
■eset, és arra a kérdésre: mi az, a minek b a 2 harmada, vagy mi az, a mi a b-1 2 harmadszor tartalmazza ? válaszol a második [eset].
Az utóbbi a részekre való osztás, habár a közönséges felfogás a kétharmad részre való osztástól is idegenkedik. Az első [eset] annyi
szorosát szolgáltatja az egységnek, a hányszorosa b az a-nak.
2C
Pl. a - g — törtnél a második eset, az A : B = a : b proporcziónál pedig az első eset forog fenn.
A válaszhoz is különböző módon jutunk. Ha erre a kérdésre kell 2C 4(7
"válaszolnunk: hányszorosa ——- a ——-nek? akkor mind a két C-t
áthúz-2 • 5 á 5
zuk, és raz eredmény]- ■ — ; ha azonban azt kérdezzük: mi az, a
. 2C 4 3 ' 4
out —- ^--ször tartalmaz? akkor C-nek meg kell maradnia, és [az á 0 K . 9 . ('
eredmény] - ^ ■
10. §.
Akár vonal, akár súly, akár időtartam, akár bármi más legyen a~aak szorzója, hacsak mindig a maga egységének ugyanannyi
szorosa (pl. 2 harmada), a szorzat is mindig ugyanaz lesz, t. i. a-nak - harmada. Épen úgy áll a dolog az osztás első esetében. Ha ekkor elosztjuk b-t ct-val, a hányados lehet mindaz, a mi a maga egységé- űek 2 harmada, a mennyiben a vele megszorozva, b-t adja ered
ményül ; de eltekintve a nemtől, ebben az esetben csak az jönn ekintetbe, hogy hányszorosa a maga egységének. A második eset- ' >en azonban, ha b vonal, a csak vonal lehet.
A- mi a tényezők felcserélését illeti, mindegyik esetben a szór
a n d ó egységének ugyanannyiszorosa az eredmény.
Alább (28. íj), hol a heterogének is egyenes vonalakkal vannak ábrázolva, mindezek szemléletesebbekké válnak.
A m ennyiségnek a m inőséggel való m indjárt következő össze-9*
132 B o l y a i Farkas, Röviden vázolt kísérlet (1851)
kapcsolása után a szorzás és osztás (valamint az 5. §-ban előforduld proporczió) fogalma is bővül.
1 1. §•
Ha Q és q ilyen minőségek, és annak föltétele, hogy mi legyen a teendő és mi veendő eredménynek, ha valamelyiket a O-val ellá
tott G és a q-val ellátott g mennyiségek közül a másikhoz hozzá
csatoljuk, olyan természetű, hogy az eredmény 0 legyen, ha G = g, midőn pedig G > g , az eredmény a Q minőséggel ellátva az legyen G-ből, a minek nem volna szabad meglennie, hogy az eredmény 0 legyen (ha a kisebbiket vennők elsőnek): akkor azt mondjuk, hogy a Q-val ellátott G és a </-val ellátott g (az említett föltétel mellett}
ellenkező mennyiségek. Az egyiket pozitívnak, a másikat negatívnak nevezzük, és ha G — g, akkor a O-val ellátott G-ről azt mondjuk,, hogy a g-val ellátott #-nek ellenkezője.
A pozitívnak jele legyen és a negativé •—<; -\-a ugyanazt:
jelentse mint a, —a pedig jelentse az ellenkezőjét annak, a mit a jelent. Ebből következik, hogy —a + is lehet.
Példák. G és g legyenek valamely az egyenesben az a pont
ból elmozdított pontnak útjai, és Q, q legyenek a mozgás irányai (jobbra és balra); az eredmény legyen a végpontnak távolsága a-tól.
Az egyenes helyzete lehet egészen tetszés szerinti. És ép úgy kér
dezhetjük, hogy mi a [pont] távolság[aj valamely egyenestől vagy síktól.
Ilyenek az adósság es a vagyon is, és az ugyanabban az egyenesben valamely pontra egymás ellenében ható erők stb.
Sőt minden mennyiség, mely minden más minőséget nélkülöz,, és csak azzal van felruházva, hogy belőle egy másik mennyiség a lehetőség szerint levonandó, ’4H-:nak, és a levonandó *—>-nak tekint
hető. A föltétel azt követelheti, hogy miután annyit, a mennyi csak lehetséges, levontunk, eredményül veendő vagy az, a mi az előbbi
ből megmarad, vagy az, a mi megmarad az utóbbiból, mint olyan, a mit már nem vonhattunk le.
A 2 ugyanazt jelentse, mint a 4 -12, és a 2 : 3 az egységnek pozitív 2 harmadát, ellenben a >—<2 jelentsen 2 negatív egységet, és a —- (2 : 3) jelentse az egységnek negatív 2 harmadát.
Megjegyzés. 1. Ha Péternek 4 forintja van erszényében és 8 forint az adóssága, Pálnak pedig 12 frtja [erszényében] és 2 ír*
adóssága: akkor arra, hogy semmijük se legyen, Péter adósságából 4 írtnak nem volna szabad meglennie és Pál erszényéből 10 írtnak kellene hiányoznia. Ámde Pálnak pozitívuma nem törli Péternek
nega-Az arithmetika alapjai, 10— 12. §. 133 tivumát, hacsak nincsen föltételezve, hogy mind a kettőnek vagyona ugyanarra a czélra egyesítendő.
2. Azt a föltételt, mely az ellenkezőknek a geometriában való igen előnyös alkalmazását igazolja, szintén meg kell állapítanunk.
Az E síkban tartsunk szem előtt valamely X egyenest és ebben valamely a pontot; továbbá mozogjon X-ben a-ból kiindulva, egy pont balra és egy másik jobbra, és az elsőnek útjait nevezzük x-nek, a másikéit aj'-nek. Legyen már most valamely x vagy x ' megadva.
Ennek a végéből kiindulva, ismét mozogjon két pont abban az egye
nesben, a mely /í-ben X-re merőlegesen áll; az előre megtett út legyen y, a bátra felé megtett Továbbá legyen megadva valamely y vagy y', és ennek a végéből kiindulva ismét mozogjon két pont abban az egyenesben, a mely E-re merőlegesen áll ; a fel felé meg
tett út legyen z, a le felé megtett pedig z'.
x és x' közül az egyiket *-f-"nak veszszük, a másikat *—'-nak, y-1 és z-1 4 " -nak, és y'-t és z'-t •— -nak.
A mi x -et és x'-et illeti, legyen x a Arra, hogy abban az
■esetben, ha (eltekintve a helyzettől) x — x', ezek együtt a 0-t adják eredményül, a föltétel a következő- lehet, a mely arra az esetre is szolgál, ha x nem = x'-szel. Gondoljuk, hogy a két pontnak említett mozgását egyetlen pont végzi oly módon, hogy először a-ból ki
indulva az egyik utat írja le, és azután ennek végéből kiindulva a másikat vissza felé: akkor a végpontnak távolsága 0 lesz, ha mind a két út egyenlő; ez pedig a fentebbi eset, a melyre a követ
kező eljárással visszavezethető a másik is.
Ha x, y, z valamelyikét oly föltétel mellett csatoljuk x', y', z' valamelyikéhez, hogy a kettőnek mozgását egyetlen, az X-ben végbe
menő [mozgás] képviselje, még pedig úgy, hogy a mozgás a-ban kez
dődjék és íc-et, y-1, z-1 balra irányuló, a?'-et, y'-t, z'-t jobbra irányuló [mozgás] írja l e : akkor az eredmény itt is a végpontnak a-tól való távolsága legyen.
A [kör]kerületet is az egyik pontjára vonatkozólag az egyik
^dalról i-jH-nak, a másikról 1—‘ -nak veszszük. Ha két pont úgy, mint e^őbb az elsőből kiindul és mindig előre halad: akkor a kettőnek rQ°zgása itt is egy pontéra vezethető vissza; sőt lehet úgy, mint előbb, az első pontot ú-ban és az utakat X-ben gondolni.
12. §.
Ha a-1, b-t, . . . egyenesekkel ábrázoljuk, és a-1 egyik végpontjá
u l a-ba és ettől, ha az X-ben bal felé, ha pedig ►—% jobb felé
134 B o l y a i Farkas, Röviden vázolt kísérlet (1851)
helyezzük el, és a-nak végétől b-1 ha az X-ben bal felé, ha pedig
>—<, jobb felé helyezzük el stb.: akkor az utolsó végpontnak a-tól való távolságát a, b , . . . összegének nevezzük. Es be van bizonyítva, hogy az összcadandók minden sorrendben ugyanazt eredményezik, tehát akkor is, ha előbb valamennyi 4^-ot és azután valamennyi negativot veszszük. Ugyanaz van bebizonyítva a szorzásnál a ténye
zők minden sorrendjéről, bármekkora is legyen azok száma.
Ha már mostan A -j-B — S, az a gondolatunk támad, hogy S-ből és A-ból meghatározzuk azt, a mivel [az utóbbi] S-1 mint összeget hozza létre. Ezt a műveletet kivonásnak nevezik. Világos, hogy az, a mit keresünk, B = S —A ; mert A + S — A = S. Ebből az a szabály következik, hogy a kivonandó ellenkezőjét, tehát a kivonandót meg
változtatott jellel kell S-hez, az úgy nevezett kisebbítendőhöz hozzá
adnunk.
13. §.
Minthogy az egység is akár 4-* -nak, akár •—< -nak vehető, szár
maznak olyan mennyiségek, a melyek -pl-gyei és olyan mennyiségek, a melyek >—d-gyel vannak felruházva. Mind a kettő egyaránt való
ságos és az utóbbiak azok, a melyeket képzeteseknek neveznek.
És most már kialakul a fogalmaknak az 5. és 10. §-ban jel
zett bővítése. Ha ugyanis valamely mennyiséget valamely másikkal megmérünk: akkor (hogy a megmértet tekintettel a mértékre közelebb
ről meghatározzuk) 3 kérdésre nyert válaszokból alakítjuk a mérés képét. Az I-et, H-t, III-at egymás alá írjuk. I után írjuk, hogy a megmért (eltekintve a hozzákapcsolt minőségtől) hányszorosa a mér
téknek ; II után ezt írjuk: igen vagy nem a szerint, a mint mind a kettő 4 - vagy *—<, vagy pedig nem ilyen (t. i. az egyik + és a másik >—•), és III után az igent írjuk, ha mind a kettő pozitív, vagy mind a kettő negativ egységgel van felruházva, a nemet pedig, ha az egyik pozitív egységgel, a másik pedig negativ egy
séggel van felruházva.
E szerint tehát egyenlőmértékűség akkor forog fenn, ha a két mérés képe egyenlő. Ebből következik, hogy a szorzás is megköveteli a relatív mérés képének a mérés főképével (azaz a főmérés mérési képével) való egyenlőségei. Ezután mindjárt következik az osztás meg
határozása.
Megjegyzés. 1. Hogy a tényezők felcserélése után is (pl. ha mind a kettő egyenes) a szorzat mindig ugyanaz maradjon, meg
állapítjuk, hogy a két mérés képe, mely különben egyenlő, abban az egyetlen cselben annyiban ne legyen egyenlő, hogy, midőn a szorzó
Az arithmetika alapjai, 12— 15. §.
negatív egységgel és a relatív mérték (t. i. a szorzó) pozitív egységgel van felruházva, a relatív mérés képében a II után igent írjunk, ha a mérés főképében a II után nem áll és nemet, ha ott igen áll. Ugyanarra az eredményre jutunk, ha a II után írandó válaszra nézve ebben az esetben -)-l-et gondolunk — 1 helyett.
2. Mennyiségeket -|-l-gyel nevezzünk röviden valósaknak, azokat
— l-gyel képzeteseknek, és mind a kettőt tisztáknak. Valamennyien ugyanis valóságosak, de a mondott értelemben megmaradhatnak a használt szók.
3. Alább (2G. §) a mérés képének szabályát adjuk arra az esetre, ha vegyesekkel van dolgunk.
14. §.
Az egység pedig minden nemnek megfelelőleg tetszés szerint határozható meg; például minden vonalnak megfelelőleg bizonyos E egyenes vehető annak, és ez a nélkül, hogy külön megemlítenék, ne változtassák meg. Sőt minden a főméréstől íüggő művelet vezetője gyanánt, még a vele egyenlőkkel sem cserélve fel, mint egyedüli maradhat meg, még pedig úgy, hogy minden vonalnak főmérésére, ha valós, pozitív, ha pedig képzetes, negatív minőséggel szolgál
jon. Ő maga mind a két esetben valósnak gondolandó; t. i. mind ennek a ^ E -nek, mind ennek a >—F-nek, ha főmérésüket követelnék, az első szolgáljon mértékül.
15. §.
Ha már mostan két mérésben először mind a négy tiszta mennyiség, és a valósat • -tál, a képzetest pedig * -gal jelöljük, akkor a következő négy sor keletkezik (mely valamennyi esetet tartalmaz), még pedig a 2 első a + -ra és a -ra nézve, és a 2 utolsó a valósra és a képzetesre nézve. Minden sor tartalmaz 4 esetet, melyek mind
egyike 4 jelből áll. A 2 első az első mérésre és a 2 utóbbi a második mérésre, az első a mértékre, a második a mértre tartozik. Könnyen belátható, hogy valamennyi eset benne van.
—- -f* —• — +
1— , ,— , ,— 1 i - j - , 1— 1 i - p -— < »— ' H h ^ 1 11 11 ' ' '
* * * • * * *
* * * * * * * • *
Látható, hogy minden egyes esetben a szerint, hogy a középső jelek egyenlők vagy egyenlőtlenek, a külsők is egyenlők vagy egyen
130 B o l y a i Farkas, Röviden vázolt kisérlet (1851)
lőtlenek. A 3 első sor a szorzást illeti (és egyszersmind az osz
lőtlenek. A 3 első sor a szorzást illeti (és egyszersmind az osz