[A Gausshoz intézett, 1808 deczember hó 27-ikén kelt levél melléklete.]
X I Az 5°. ábra képviseljen ilyen mbcfg . . . vonalat és nevezzük ezt II-nek; mb-re állítsuk a cpxoo merőlegest, továbbá nevezzük mb (b'oo)-t O-nak és mozgassuk Q-1 tn' körül az mbcfg . . . vonal mentén min
dig tovább, egészen a végtelenig. Midőn Q az mc (c'oo)-be ér, az a kérdés merül fel, hogy hová esik a következő köz. Hogy ezt tisztába hozhassuk, előbb még a következő szakaszszal foglalkozunk.
X1T. 4* szükségképen ntbcfg . . .-n kívül esik (azaz oda, a hol a közök domború szöget alkotnak);
mert:
1. 5'. ábra. Ha |í-nek
olyan része van, a mely
nek közepe és két vég
pontja valamely kör kerü
letébe esik: akkor az egész
£ [mintegy] gyűrűben csa
varodik körül. Ama pon
tok ugyanis legyenek a',
£)', b'. Vegyük fel a bbe szöget egyenlőnek abb- v e l: akkor majd e' az U-ben és ugyanabban a 5°. ábra. körkerületben lesz ; mert
e' oda esik, a hol az az ív végződik, mely b'-n túl van és a bí) ívvel egyenlő. Ekkor ugyanis (ama három háromszög és az alapjaik mellett fekvő szögek egyenlősége miatt) a bbe szög = abb. Ha tehát a bt) ívet e'-n túl így tovább felrakjuk: akkor U (a hányszor csak tetszik) körülvonul. Ekkor ab vagy bizonyos hányadrésze a kerületnek, és így C visszatér a'-ba, vagy pedig nem; ebben az esetben pedig származik az íf köz. Ekkor
A párhuzamosak elméletének toldaléka (1808) 17
A bebizonyítás ugyanaz marad, ha azt az egyenest veszszük köznek, mely az ^ vonal (három említett) pontja közül a külsőket köti össze.
Stackel: Bolyai Farkas és Bolyai János. II. 2
1 8 Bo l y a i Farkas
3. 5"'. ábra. Az £ vonalnak az a része, mely valamely közhöz tartozik, ennek a köznek külső oldalán fekszik. Legyenek ugyanis cf és eb a II vonalnak közei, legyen co az feb szöget felező egyenes, a' és V pedig legyenek az említett közök felező pontjai. Ha az ezek
ben [a pontokban] (a közökre) emelt merőlegesek a C 0oo egyenest met
szik: akkor a A -ek egyenlősége miatt f c', b'ugyanannak a körnek kerületében fekszenek, és így £? (1. szerint) önmagába tér vissza. Ha azonban a' és c' között van bizonyos az fc-re merőleges egyenes, a
mely, ha az fc-re merőleges egyenest c'-től kezdve co (t> 'oo) mentén mozgatjuk (cf-et meghagyva cf (f'oo)-ben), azt a határt alkotja, a mely
«lőtt a mozgatott egyenes a C 0oo egyenest mindig metszi, és a melynél azt először nem metszi: akkor bocsássunk o'-ból merőlegest fc-re, mely
«zt tí'-ban messe, és a o' középpontból írjunk le kört a co radiussal.
Ez majd (minthogy az oc átfogó > az no befogónál) cf-en kívül kez
dődik és u' és f' között megy át ttf-en; mert uf > uc, és így (az előb
biek szerint) fo > co.
így már mostan az £ vonalnak olyan része, mely valamely közhöz tartozik, (2. szerint) ennek vagy a belső oldalára, vagy pedig
A párhuzamosak elméletének, toldaléka (1808) 19 a külső oldalára esik. Ha a belső oldalára esik: akkor vagy belép a körbe (mint crb), vagy pedig nem. Ha az első eset áll be, hogy b'-be juthasson (mely a körön kívül fekszik), ki is kell lépnie, és ekkor c', t!, ju.' a kerületbe esnek, és így (1. szerint) ü visszatér.
Ha nem lép be a körbe, a eb közhöz tartozó rész vagy cqéb, Vagy cprb, a cf közhöz tartozó rész pedig cprb-nek megfelelőleg és cC|Őb-nek megfelelőleg cüéf. (A eb köznek megfelelő rész ugyanis nem mehet át f'-en ; mert a cf közhöz tartozó rész f'-ig ér, es így ü önmagába térne vissza.) Mindegyik esetben az £ vonal részei metszik egymást; az első esetben f'-ben, a másodikban pedig
$ -ben, és akkor í? önmagába tér vissza. Ennek következtében az
£ vonalnak valamely közhöz tartozó része mindig a domborúság oldalára esik (melyet külsőnek neveztünk), és £‘ egészen a II vonal külső oldalára esik.
XIII. Most azt kérdezzük, hogy hová esik a cf köz. Minthogy a cf és bm közök a eb egyenesnek ugyanarra az oldalára esnek, az f c köznek vagy mc-n felül, vagy cm(m'oo)-be, vagy cm és eb közé kell esnie. Ha a második eset áll be: akkor majd f' vagy m' és c' közé, vagy m'-re, vagy pedig m'-en túl esik. Ha m'-re esik: akkor
^ önmagába tér vissza. Ha m'-en túl o'-ra esik: akkor az mr köz
höz tartozó rész metszi a cf közhöz tartozó részt, és £ önmagába vissza. Ha m'-en belül esik: akkor a cf köz felező pontjában emelt és mindkét felé a végtelenbe meghosszabbított merőleges az
^ vonalat legalább két pontban metszi (a mennyiben először az 1? v°Qalnak az fc közhöz tartozó részén és másodszor az í? vonal
nak tnbe részén megy át), és így (VI. és I. szerint) i! visszatér. Mint
hogy ezeket minden egyes következő köz helyzetére alkalmazhat
o k , azért minden következő köz is mb (b'oo)-en (vagyis Q-n) felül e8lk; t. i, az mc-n felül, fc] az mf-en felül stb.
XIV. Ha most meghatározzuk minden egyes rész közepét (mint a milyen az mb részé t'-ben) és oda a közök végpontjaiból egye
neseket húzunk (mint a milyenek mi és íb), továbbá az mt rósz ,°ZöPét is meghatározzuk és oda m'-ből és t'-ből húzunk egyeneseket, 6S. ezt így vég nélkül tovább folytatjuk, úgy hogy az 1* vonalnak Minden közhöz tartozó része olyan geometriai lialadvány szerint
^yj on, a melynek hányadosa §: akkor (XII. szerint) az mt rész az t egyenesen kívül, és így £* valamennyi ilyen közön (azaz 11-n)
*lvül esik.
X.V. A cf rész a cty és a cf egyenes közé esik. Ha ugyanis a
°n alúl esnék: akkor c'-ből f'-be átmenve, 41-nek és az egyenesnek es m -en kívül még valamijök közös volna, és így 1’ önmagába
2
*2 0 Bo l y a i Farkas
visszatérne. Hasonlóképen kitűnik, hogy a cf rész a cu és a cf egyenesek közé esik.
X Y I. 5"''. ábra. Az a szög, melyet ntb azzal az egyenessel alkot, melyet m'-ből a II bármely közének végpontjához húzunk, egyenlő azzal a szöggel, a melyet az a köz ugyanazzal az egyenes
sel alkot. Pl. gmb = ntgf és í;mb == iuí>g. Ugyanis m'-től kezdve egészen ama végpontig a II vonal közeinek száma vagy páros, vagy pedig párat
lan. Ha páros (mint pl. m'-től egészen g'-ig), legyen 5' a gm egyenesnek felező pontja.
Húzzuk a ej egyenest, és az
után fektessük a gfcj-et az ntbcj-re. A c' maradjon meg c'-ben: akkor f ' reá eshetik b'-re, g' pedig m'-re, és ekkor majd 3' reá esik s'-re; mert a c$ köz közös és mj = gj, ej és pedig (az előbbiek szerint) 5'"'. ábra. azon az oldalon csak egy pontban metszhetik egymást.
Ha az a szám páratlan (mint í;gfcbm-ben), legyen tt>' a cf köz felező pontja, i' a f)tn közé. Fektessük tt>fgí)t-t tt>cbmi-re; maradjon meg tt>' tt>'-ben : akkor f' reá eshetik c'-re, g' b'-re és í)' m'-re. Ekkor az mi = és az önmagával = nri ezen az oldalon csak egy pontban metszhetik egymást.
XVII. Minthogy e szerint a nt' mellett levő szög a Q egyenes mozgásával növekedik, és a csúcsszögek egyenlők, az a szög, a mely b'-nél = 0 és c'-nél = a, nagyobbodik egészen /?-ig és tovább nagyob
bodik, míg /-v á válik és tovább növekedik, mire az ennél nagyobb t)-t éri el és így tovább vég nélkül (a mivel azonban nem állítjuk, hogy a oo-ig növekedik).
XVIII. 5°. ábra. Az a szög, a melyet minden egyes köznek meghosszabbítása a tovább terjedő fi vonallal alkot, (a mondottak szerint) mindenütt egyenlő. Az a szög, a melyet cu az £ vonalnak (a cf és cu közé eső) cf részével alkot, egyenlő azzal a szöggel, a melyet fö alkot az íí vonalnak (az ft> és fg közé eső) fg részével, és világos, hogy ez így tovább vég nélkül folytatható. Ha azonban hozzáadjuk az ucty szöget, t. i. azt, a melyet R a köz meghosszab
A párhuzamosak elméletének toldaléka (1808)
bításával alkot (hol R a Q-nak, azaz mb(b'oo)-nek az 42-en túl eső részét jelenti): akkor, minthogy (XVII. szerint) ez [a szög] növekedik, az összeg is növekedik. Hogy ezt pontosabban felfoghassuk, írjuk le bizo
nyos radiussal (pl. cf-fel), a mely mindig ugyanaz maradjon, bizonyos középpont (ebben az esetben c') körül az fi) ívet: akkor ez szolgál
hat annak a szögnek mértékéül.
XIX. Vizsgáljuk meg azonban, vájjon az a szög, a melyet R az íí-lel alkot, mindig tovább, vég nélkül folytonosan növekedik-e. Ha 77-t a XIV. értelmében úgy változtatjuk, hogy közei minden megadható mennyiségnél kisebbekké váljanak, és [így] végpontjaik bármely megadható mennyiségnél közelebb jussanak egymáshoz: akkor is a szóban levő szög minden egyes köz kezdeténél növekedik. Nincsen azonban olyan idő, a mely alatt nem növekednék. Ennek az időnek kez
detével ugyanis messe Q az 42 vonalat valamely s' pontban (5V. ábra) és végén ^'-ban: akkor az 42 vonalnak érj része több mint
három-/ 1 tntb
szórta nagyobb, mint az (tníb rész). I 9 j = —— (hol n valamely tet
szés szerinti nagy számot jelent), a mi egy minden megadhatónál kisebb mennyiséggel egyenlő. Ha tehát a köznek
végpontja nem is í'-ba, hanem a'-ba esik: akkor,
minthogy fa kisebb az 42 vonal olyan részénél, &v ábra mely csakis egyetlen közhöz tartozik, még mindig
marad fenn valami, ha a'-tól kezdve két oldalt veszünk fel rf felé.
E szerint az említett szög ez alatt az idő alatt is növekedik; mert minden köz végénél növekedik.
XX. Minthogy ez a szög (melyet ;r-nek akarunk nevezni) egy- 1(lejűleg azzal a szöggel, melyet Q az első közzel alkot, vég nélkül folytonosan növekedik, az vagy annyira növekedik, hogy Q a 9^°o-en túlmegy, és akkor, ha az eddig mondottakat a b'-ből kiinduló másik részre alkalmazzuk, az 42 vonalnak mind az ntíbcfg. . . része, mind a btnr. . . része majd túlmegy cptoo-en, és így ^foo-ben vagy két rész találkozik, vagy pedig ^íoo-nek t'-n kívül még két közös Pontja lesz 42-lel, és így az 42 visszatért; vagy pedig íc-nek van olyan
batára, a melyhez közelebb jut minden megadható mennyiségnél, a melyet azonban nem ér el soha az alatt, míg Q az 42 mentén itt' ió,ül mozog. Legyen akkor b’-ben x = A és a mindig újabb és újabb növekményei legyenek a, /?, y, ő, .. . A növekmények a folytonosság örvénye szerint keletkeznek ugyan, úgy hogy bármely kettő között meg számtalan más van, mindamellett igy állíthatók elő. Ezen a
’nódon az A-\-a-\- ji-\-y-\-S-\---- végtelen sor származik, a melynek összege határéi tékül a A-t bírja, azaz, a melynek akárhány tagját is
2 0 Bo l y a i Farkas
visszatérne. Hasonlóképen kitűnik, hogy a cf rész a cu és a cf egyenesek közé esik.
XYI. 5"". ábra. Az a szög, melyet rnb azzal az egyenessel alkot, melyet m'-ből a II bármely közének végpontjához húzunk, egyenlő azzal a szöggel, a melyet az a köz ugyanazzal az egyenes
sel alkot. PL gtnb = mgf és f)tnb = mf)g. Ugyanis m'-től kezdve egészen ama végpontig a II vonal közeinek száma vagy páros, vagy pedig párat
lan. Ha páros (mint pl. m'-től egészen g'-ig), legyen 3' a gttt egyenesnek felező pontja.
Húzzuk a ej egyenest, és az
után fektessük a gfc$-et az ittbcj-re. A c' maradjon meg c'-ben: akkor f ' reá eshetik b'-re, g' pedig m'-re, és ekkor majd 5' reá esik ^'-re; mert a ej köz közös és mj = gj, ej és mj pedig (az előbbiek szerint) 5"". ábra. azon az oldalon csak egy
pontban metszhetik egymást.
Ha az a szám páratlan (mint f>gfcbm-ben), legyen tt>' a cf köz felező pontja, i' a f»n közé. Fektessük U)fgf)i-t tücbmí-re; maradjon meg tt>' TO'-ben : akkor f' reá eshetik c'-re, g' b'-re és [)' m'-re. Ekkor az mi = f)í és az önmagával = tói ezen az oldalon csak egy pontban metszhetik egymást.
XVII. Minthogy e szerint a m' mellett levő szög a Q egyenes mozgásával növekedik, és a csúcsszögek egyenlők, az a szög, a mely b'-nél = 0 és c'-nél = a, nagyobbodik egészen /9-ig és tovább nagyob
bodik, míg /-v á válik és tovább növekedik, mire az ennél nagyobb c)-t éri el és így tovább vég nélkül (a mivel azonban nem állítjuk, hogy a oo-ig növekedik).
XVIII. 5°. ábra. Az a szög, a melyet minden egyes köznek meghosszabbítása a tovább terjedő £ vonallal alkot, (a mondottak szerint) mindenütt egyenlő. Az a szög, a melyet cu az £ vonalnak (a cf és cu közé eső) cf részével alkot, egyenlő azzal a szöggel, a melyet ft> alkot az fj vonalnak (az ft> és fg közé eső) fg részével, és világos, hogy ez így tovább vég nélkül folytatható. Ha azonban hozzáadjuk az ucty szöget, t. i. azt, a melyet R a köz
meghosszab-A párhuzamosak elméletének toldaléka (1808) -21
Vitásával alkot (hol R a Q-nak, azaz mb (b'oo)-nek az £-en túl eső részét jelenti) : akkor, minthogy (XVII. szerint) ez [a szög] növekedik, az Összeg is növekedik. Hogy ezt pontosabban felfoghassuk, írjuk le bizo
nyos radiussal (pl. cf-fel), a mely mindig ugyanaz maradjon, bizonyos középpont (ebben az esetben c') körül az fi) ívet: akkor ez szolgái
ba! annak a szögnek mértékéül.
XIX. Vizsgáljuk meg azonban, vájjon az a szög, a melyet R az fí-lel alkot, mindig tovább, vég nélkül folytonosan növekedik-e. Ha /7-t a XIV. értelmében úgy változtatjuk, hogy közei minden megadható mennyiségnél kisebbekké váljanak, és [így] végpontjaik bármely megadható mennyiségnél közelebb jussanak egymáshoz: akkor is a szóban levő szög minden egyes köz kezdeténél növekedik. Nincsen azonban olyan idő, a mely alatt nem növekednék. Ennek az időnek kez
detével ugyanis messe () az £ vonalat valamely e ’ pontban (5V. ábra) és végén ^'-ban: akkor az fi vonalnak érj része több mint
három-/ 1 \n mtb
szórta nagyobb, mint az (mtb rész). ^ C) j — (hol n valamely tet
szés szerinti nagy számot jelent), a mi egy minden megadhatónál kisebb mennyiséggel egyenlő. Ha tehát a köznek
végpontja nem is fi'-ba, hanem a'-ba esik: akkor,
minthogy £<t kisebb az £ vonal olyan részénél, 5v ábra mely csakis egyetlen közhöz tartozik, még mindig
marad fenn valami, ha a'-tól kezdve két oldalt veszünk fel rf felé.
E szerint az említett szög ez alatt az idő alatt is növekedik; mert minden köz végénél növekedik.
XX. Minthogy ez a szög (melyet x-nek akarunk nevezni) egy-1(lejűleg azzal a szöggel, melyet Q az első közzel alkot, vég nélkül folytonosan növekedik, az vagy annyira növekedik, hogy Q a 9^00-en túlmegy, és akkor, ha az eddig mondottakat a b'-ből kiinduló másik részre alkalmazzuk, az fi vonalnak mind az míbcfg. . . része, mind a bmr. . . része majd túlmegy <pfoo-en, és így 9?íoo-ben vagy két rész találkozik, vagy pedig y>íoo-nek t'-n kívül még két közös pontja lesz ÜJ-lal, és így az {? visszatért; vagy pedig íc-nek van olyan batára, a melyhez közelebb jut minden megadható mennyiségnél, a melyet azonban nem ér el soha az alatt, míg Q az £ mentén irt' örül mozog. Legyen akkor b'-ben x —A és a mindig újabb és újabb uóvekményei legyenek a, /?, y, 6, .. . A növekmények a folytonosság törvénye szerint keletkeznek ugyan, úgy hogy bármely kettő között meg számtalan más van, mindamellett így állíthatók elő. Ezen a módon az A-\-a-\- fü-\-y-\-S-1---- végtelen sor származik, a melynek
°sazege határéi tékül a A-t bírja, azaz, a melynek akárhány tagját is
adjuk össze (elhagyva azt a részt, a mely a végtelenig terjed), az összeg mindig kisebb lesz A-nál, és bármilyen q mennyiséget is adunk meg, bizonyos tagig valamennyi tag összege annyira terjeszthető ki, hogy az q-nál kevesebbet különbözzék A-tól. Ha azonban a végtelen sor valamennyi tagját összegezhetnők, úgy hogy egy sem maradna fen n : akkor maga a határérték állana elő (ebben az esetben A). Itt azonban Q, miután az £00 vonal mtbcfq .. . részének minden pont
ján ment át, valamennyi növekményre tett szert. Ha tehát a sornak már valamennyi tagját összegeztük — és ez épen abban a rész nél
küli időpontban áll majd be, midőn Q először nincsen U-ben, a mely időpont és az £ vonalnak elhagyása között semmi változás nem mehetett végbe, mert a változáshoz két időrész szükséges, az időpont pedig, a melyben Q először lépett ki i ‘ -ből rész nélküli — akkor az x szög csak akkor válhatott egyenlővé A-val, miután Q az JJ-ből kilépett. Ez azonban képtelenség, mert akkor x a 0-sal vált egyenlővé. így tehát képtelenség feltételezni azt, hogy x nem növe
kedett mindaddig, míg Q a <pfob-en megy át. így tehát i', hacsak nem egyenes, (az I. ellenére) visszatér. Tehát £ egyenes.
22 Bo l y a i Farkas, A párhuzamosak elméletének toldaléka (1808)