A.
Az axiómák és a mik belőlük előlegcsen levezetendők, nehoqy egyes esetekben szükséges legyen azokat ismételni, általános alak
ban kifejtve (a pontosabb térszemléletre vonatkozókat a maguk helyé
nek fentartva).
Midőn az ész valamely jelenségről úgy, mint a folyóról azt kutatja, hogy honnan ered, akkor okról okra emelkedve, végre meg
állapodik valahol, a honnan továbbra előrehaladni nem tud, és ha itt olyan igazságokra akad, a melyeknek érvényességét minden további ok nélkül helyeseknek ismeri fel: akkor megnyugszik, és az ilyen esetekben talált igazságokat általános formulákban fejezi ki, részint a rövidség kedvéért, részint pedig azért, hogy tisztán felismerhetővé váljék, hogy mik azok, a miket bebizonyítás nélkül állítunk, és hogy mi az egész rendszer alapja.
I. Az idő folytonos mennyiség; de csak rész nélküli van belőle jelen, és ez mindig más és más ; és bármelyik ilyen rész nélküli rész] azt mindenünnen múltra és jövőre osztja fel, melyek (ha eltekintünk a múltnak és a jövőnek irányától) mindkét felé teljesen egyenlők.
II. Bármely véges idő, a mely még nem volt meg, majd eljön, de az idő összessége sohasem. Igen gyakori eset az, hogy valamit bármely egyesről ki lehet mondani, de az összességről nem.
Előleges megjegyzések 3 3
III. A mi az időnek p oszthatatlan része alatt megvan, vagy a B igenjével, vagy a B nemjével (azaz jB-vel, vagy nem-B-ve 1) van meg.
IV. Ha A és B a p idő alatt C igenjét és nemjét állítják, és A áll: akkor B nem áll; ha pedig A nem áll: akkor B áll. Ez alapja az apogogikus bebizonyításnak, melynél a következtetés a következő módon történik.
1. Ha B a következő alakú ítélet: a nem já r az x-szel, és A áll: akkor B nem áll, azaz nem áll, hogy a nem jár íe-szel. Ámde (III. szerint) valamelyiknek állania kell, t. i. vagy annak, hogy a az x-szel jár, vagy annak, hogy a nem já r az x-szel; az utóbbi azon
ban nem áll, tehát állania kell a másiknak, hogy a az x -s z el jár.
Ebből az is következik, hogy mihelyt kitűnik, hogy nem áll az, hogy Q nem já r a Z-vél, az elmondottaknak ismétlése nélkül azt követ
keztethetjük, hogy Q a Z-vel jár.
2. Ha B a következő alakú: a az x -szel jár, és A áll: akkor az, hogy B nem áll, azt jelenti, hogy nem áll az, hogy a az x-szel Jár, azaz, hogy a nem já r az x-szel. így tehát mihelyt bizonyos, hogy egyidőben állítva B-t és A -1, mint olyan igazságot vagy igaz
ságokat, melyek akár változhatatlanul, akár hipotézis által vannak Megállapítva, egyidőben C-nek fennállása és nem léte is állíttatik:
akkor a kifejtett eljárást minden egyes esetben ismételni felesleges.
V. Minden dolog az, a mi, és önmagával tökéletesen egyenlő.
Ha azonban A és B absolute egyenlők és azokat az absolute egyenlő D es E műveleteknek vetjük alá: akkor bármely a I) által A-ból szár
mazó eredménynek megfelelőleg lesz az E által J5-ből származó ered- Menyek közt egy olyan, mely vele egyenlő.
Ha a művelet csak egyetlen eredményre vezet, azaz olyan, hogy az A -ból származó eredmény csakis a és a i?-ből származó eredmény Csakis 6 ; akkor a egyenlő 6-vel.
A i?-ből származó eredmények között egy van ugyanis olyan, a mely egyenlő a-val; legyen ez C: akkor (III. szerint) ez a C vagy 'J' vagy nem-6. Ha C nem-6 volna: akkor avval, hogy 6-n kívül van, és avval, hogy 6-n kívül más eredmény nincsen, állítanék, ho8y 6-n kívül van is és nincsen is más eredmény.
Ha a művelet természete olyan, hogy több eredményre vezet:
akkor csak azt mondhatjuk, hogy minden az A-ból származó ered- Ménynek -megfelelőleg van a .B-ből származó eredmények között egy
°tyan, a mely vele egyenlő. Ha A-t és B -t egymással egyenlő olyan Műveleteknek vetjük alá, melyek csak egyetlen eredményre vezetnek es ezen a réven az a és 6 egyenlő eredmények származnak: akkor,
Síitekül: Bolyai Farkas es Bolyai János. II. 3
3 4 Bo l y a i Farkas, Részletek a Tentamenből (1 8 3 2 )
ha A és B az a-ból és a 5-ből szintén egyenlő, egyetlen ered
ményre vezető műveletek alkalmazása révén származnak, A és B is egyenlők.
Ha A egyenlő i?-v e i: akkor B az A helyébe helyettesíthető;
a mennyiben, ha A -1 bármely műveletnek vetjük alá és ugyan
annak a műveletnek vetjük alá B -1 is, az előbbivel egyenlő ered
ményt nyerünk. E szerint, ha A egyenlő B-vel és B egyenlő C-vel:
akkor C a B helyébe tehető úgy, hogy ez származik: A egyenlő C-vel. Legyen ugyanis az [alkalmazottj művelet az összehasonlítás, akkor B és A összehasonlításának eredménye a megkülönböztethetet- lenség, és C meg A összehasonlításának eredménye szintén a meg- különböztethetetlenséggel egyenlő.*
E,
Ha bizonyos, hogy a folytonos T időtartam minden pontjában A fennáll, és valamikor a t alatt, mely a T után következik be, A már nem áll fenn: akkor a végtelenbe növekedő T elejétől számítva
[mindenesetre] találhatunk olyan p-t, a mely az utolsó azok között az időpontok között, a melyek mindegyikéről elmondhatjuk, hogy közte és a T eleje között A mindig fennáll; jp-ben azonban vagy utoljára áll fenn A, vagy legelőször áll fenn nem-A. Ha p-ben nem-A állana: akkor a p után vagy egy darabig, vagy mindig A áll, vagy mindig nem -A; hacsak p után nem minden p' pont olyan, hogy p és p' között mind A, mind nem-A fordul elő. Ez alapja a határ fogalmának és sok más dologban is kisegít.
F.
Ha A, B, C , . . . egymásra következnek (akár végük szakad vala
hol, akár nem) és közülük bármely K olyan, hogy valahányszor IC az x-szel jár, egyszersmind L is az x -szel já r (hol L a K után következőt jelenti), és ha áll, hogy A az x -szel já r : akkor az A , B, C ,. .. közül bármely Q szintén az x-szel jár. Vegyük fel ugyanis bizonyos pontból kiindulva, a jövő irányában az időnek folytonos t részét, és bármely í után következzék egy másik t egészen a végtelenig, és gondoljuk, hogy A megfelel az első í-nek, továbbá A, B, C , . . . közül mindegyik következő a következő í-nek, és haladjunk előre
* [A B, C, D szakaszok elmaradtak, mert a következőkben nem jönnek tekintetbe.]
Az arithmetika általános vázlata 3 5
A-tól B-ig, innen C-ig stb., míg elérjük azt a t-t, a mely Q-nak felel meg. A (II. axióma szerint) majd ez a t bekövetkezik; ezért a neki megfelelő Q-ról is bizonyos [hogy a>szel jár]. A következtetés
nek ezt az igen gyakran alkalmazott módját n-ről n + l- r e való következtetésnek nevezzük. Azokat a dolgokat, a melyek a mondot
takból még tovább következnek, itt mellőzhetjük.