De circulis se invicem secantibus
I. 1. Prius de sectione duorum circuhrum : sectio mini ma est punc-
punc-SECTIO SECUNDA. 89 tum, maxima duo punctorum est. Duos circulos in tribus punctis secare se invicera non posse vei inde patet, quod tum duse chordse essent utrique circulo communes, e quarum mediis erectas perpendiculares centrum utriusque idem determinarent; adeoque aut toti coinciderent, aut nullum punctum haberent peripherÍEe utrique comraune.
2. Sí circuli unum tantum punctum habeant commune, dicuntur tan-gere se invicem, et quidem is intus tantan-gere, qui preeter punctum tactus totus intra alterum est, et circulus alterum tangens, qui non intra hunc cadit, extus tangere dicitur; adeoque duo circuli possunt se invicem extus aut intus tangere : nempe
Centris £, c, d in perpendiculari ad űb (Fig. 90.) acceptis, radiorum extremitate altéra a scriptos circulos se ita tangere patet: quia si praster punctum a adhuc haberent commune, ex. gr. ad kevam respectu <£c, id etiam ad dextram fieret; adeoque duo circuli duobus punctis plura ha-berent communia.
3. Sünt verő centra circulorum se contingentíum et punctum tactus in recta eadem.
Nam si circulus ab altero intus tangatur: eadem in puncto a utri-usque tangens érit. Nam sit ab tangens interioris; nisi eadem esset etiam exteriőrig, sit ap; hsec secabit interiorem adeoque tum etiam exteriőrein: itaque langens huius esse nequit. Si verő ab tangens communis est, tum perpendicularis ex a per c et c' transiens unica est.
Si duo circuli se invicem extus tangant (Fig. 90.), tum nisi a, £, C in recta sint, sit cö(£ recta: érit < £ a - h c a > c ö £ ; nempe summa duorum radiorum addita aliqua recta esset summa duorum radiorum minor.
Unde patet, a duobus ad trés, inde ad quatuor & progrediendo, omnium quotquot fuerint, se invicem in eodem puncto (sive extus sive intus) con-tingentes : centra cum puncto tactus in recta eadem esse.
4. Forma per sectionem minímam generata est duplex, prouti intus aut extus se tangunt: sed (Fig. 91.) forma per maximam sectionem gene-rata constat e duabus lunulis et intermedia fenestra, ad quarum commu-nem chordam e meditullio huius erecta perpendicularis per centra am-borum circulorum transit.
BOLYAI, Tentamen.
II-9O ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
Aequalitatem per unum angulum in qualibet duorum circulorum sec-tione determinatam esse patet. Nam tunc ex utroque congruit portio, et tria puncta determinant circulum.
II. Sí circulus A duos circulos B et C secet: ant tanget utmmque, aut unum B solum tanget, aut neutrum.
In casu primo (Fig. 92., 93., 94., . . .) aut intus aut extus cadet uter-que ab A tactus; aut unus extus altér intus. In quolibet horum casuum aut habebunt hi duo aliquid commune, aut non : si ita, id aut punctum érit, aut duo; si punctum solum fuerit, hoc aut in A cadet, quo pacto sectio omnibus commune punctum érit, aut non in A cadet. Si B extus, C intus cadat, tum casus unus tantum est, ut C et B aliquid commune habeant, nempe sectio unius puncti. In casu secundo ubi A nonnisi ipsum B tangít, habét tamen cuin C aliquid commune, secabit ipsum C in duobus punctis ; tum verő B et C aut habebunt aliquid comraune, aut non; si ita, érit id aut punctum, aut duo.
In casu tertio A neutrum ipsorum B, C tangens habere cum quovis ipsorum B et C communia duo puncta debet; et B et C aut habebunt aliquid commune aut non ; si ita, id érit aut unum aut duo puncta; et haec aut ambo erunt eadem cum iis, quse A cum B et C habét com-munia, aut unum tantum, aut neutrum.
Facile patet omnes hos casus, quorum aliquot conincidunt, pervesti-gando, sectionem esse minímam 1 puncti, 6 punctorum maximam, et dari sectiones 1, 2, 3, 4, 5, 6 punctorum, atque formás varias, et angulos infra in duas species distinguendos generari.
Ob facilitatem immorarí cum necesse non sít, exempli caussa casum unum casus primi attulisse sufficiat; nempe casum sectionis trium punc-torum, in quo quüibet bini ipsorum A} B, C tangent se invicem, at non in eodem puncto.
Fieri hoc nonnisi B et C utroque extus aut utroque intus A cadente patet.
SECTIO SECUNDA. 91
§• I .
Si C et B extus cadant (Fig. 93.1, sit a radius ipsius A, et in conti-nuatíone eius accipíatur punctum illud, ubi (quantavis fuerint b, c) rectae a •+-b et b-\-c circa extrema recta? a-he raotae occurrunt; quod fieri patet, cum quorumvis duorum laterum summa excedat tertium.
Tum si e tribus verticibus triangu.i tanquam centris circuli fiant radíis a, b, c} nempe radiis circulorum A, B, C: patet e quantislibet Ű, bt c triangulum tale generari, quale oritur in schemate e tribus arcu-bus, cuius vertices sünt puncta tactus externi.
§. 2.
Si B et C intus cadant (Fig, 94.), sit a centrum ipsius A, et b centrum ipsius B, et c centrum ipsius C. Sit r radius ipsius C, ac radius ipsius A sit r-i-u; et radius ipsius B sit /?; pro quovis /í, dummodo
<C.u sit, reperietur b ibi, ubi r~\-(i circa c, et u-i-r — ft circa a mota occurrent.
Si occurrant, res patet. Nam tum
quia a\ — r -+• u et ba =
itaque i est punctum tactus ipsorum B et A, quia i in recta per ambo-rum centra est; ita recta (3~i-r ex b ad c transit per c et tactum ipso-rum B et C.
Datur verő b pro quoübet fi quod < « .
Nam tum latéra fi-\~r et u ac u-\-r — (i talia sünt, ut quorumlibet binorum summa tertio maior sit; de reliquis patet pro quovis (i; at postremorum summa prioré tunc tantum est maior, si /9<C« sit. Nam summa heec est 2«-+-?- — /?, quod debet esse >(i-\-r\ subtracto utrin-que r, manet zu — fi>fi\ adeoutrin-que pro / i ^ a ^ w , est
2u — («j±| a») = 2« — fi = u tfí w ; et manifesto «>—ia est -<«^í-«<y, et u 1-t1 w >• a •—• «.
12*
9 3 KI.KMENTA GEOMETRIÁÉ.
(Fig. 95.J. Sit quantusvis angulus bac, et ba = OC; et sít chordse be meditullium ^ fiantque centro b radio bí» = b4, centro C radio e^ et centro a radio CM~ab circuli; fiet triangulum ú\}b, ubi arcus o.b, utvis inutetur angulus a, manet = Mj; nimirum in triangulo sequicruro abc sünt ad basim.
Porro arcus 0>— /?, si A<**^o; et 0,&*^o, sí Aa— i R \ arcúi
*££> verő -^R in casu primo, et in altero —2 R . Radius ga a ütem in casu primo — ba, b ipsi f quam proxime eunte; ia altero verő g a ^ o , b ipsi ), et & ipsi a quam proxime euntibus.
Plurium circuloruin sectionibus pnetermissis unum tantum attigiue sufficiat (Fig, 96.).
Si be sit latus figurás reguláris, cuius vertices sünt in peripheria radii ab: patet per dicta generari e verticibus tanquam centris, dimidio latere pro radio accepto, circulos asquales coronam claudentes, quorum quivis quemlibet inter quos est tangit, uti in schemate.
De formis etiam in cnsibus dictis notasse sufficiat:
1. Figurás ibidem oriri, quse duobus lateribus concavis, aut duobus lateribus convexis spatium claudunt.
2. Oriri triangula circularia, de quibus statim dicetur.
3. Angulum, sub quo occurrere arcus arcúi potest, in duas species distingui posse: nempe in convexum, scilicet cuius erura possunt circa verticem in talem situm moveri, ut recta quaedam per verticem ducta sit chorda utriusque, arcubus in diversas plagas cadentibus: alioquin an-gulus concavus vocetur. Ex.gr. (Fig. 95.) ögrj, et (Fig. 97.) (jalj convexi sünt, gaf concavus est.
4. Triangulum eiusmodi combinari posse e tribus convexis angulis, e 2 concavis et 1 convexo; at non posse e 3 concavis, aut ex 1 con-cavo et 2 convexis, patet.
SECTIO SECUNDA. 93
i
5-Quantitas anguli esse eadem potest, quse anguli est, quem tangentes crurum ad verticem faciunt; at illa tangentis dimidietas intelligatur, cum qua arcus non formám fluentem facit Ipag. 16). Hoc pacto w = o = v( (Fig. 92.), et (Fig. 95.) trianguli göb angulorum summa = 0 ; at (Fig. 98.) trianguli abbfcta summa angulorum =12/?; maior summa trium angulo-rum esse nequit.
Nempe (Fig. 99.) sit abc triangulum aequilaterűm, et q, r, f meditullia laterum, angulique u aequales, atque e punctis a, b, c erectis ad crura ipsorum u perpendicularibus, intersectiones p, tot i fiant centra radüs pa, ib, wc asqualibus: patet angulum bae convexum accipi, et dabili quovis minus sumi posse.
Datur triangulum, cuius angulorum summa dabili quovis rainor esse potest.
Sint nempe (Fig. 97.) duo arcus afí> et al?& ad angulos convexos a et b se invicem secantes, (et angulus concavus dato quovis minor fieri potest); et sint tangentes in a rectae ab et af; moveatur arcus afo circa a per arcúm abi>, tangentem suam ab se cum ferens; poterit ab ire quam proxime ipsi af; itaque angulus ad a fiet omni dabili minor;
sed is solus érit summa trium angulorum trianguli, qui e meditullio 0 chordse a £ radio og ad chordam perpendiculari scripto semicircuto g^m clauditur.
Interim haud sufficit quantitas duorum angulorum dicta ad angulo-rum sequalitatem geometricam: necesse est et anguli species easdem, radiosque unius radüs alterius asquales esse; poterit autem inferius, ubi de areis tractabitur, angulus quivis eiusmodi etiam per areas certo modo determinatas exprimi.
i 6.
Aequalitas triangulorum circularium determinatur modo sequente :
1. Duo latéra cum angulo intercepto non sufficiunt\ nam latus
ter-tium esse potest radiorum variorum.94 ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.