SECTIO PRÍMA. 3 5
qp=qt"
esset; nec in f" cadit, quia
rf'"=rp'
(pars sequalis toti) esset; neque in f"" cadit, quia tum esset rf""=tp'=rq-hqp',
et qp'=qE""=rq-i-rr"",
et hunc valorem substituendo ipsi qp' in Eequatione prioré, esset
rr=rq-+-rqn-rr.
Sed neque extra lineam dictam datur tale f, ut
Nam fiat e centro sphaerae, in qua linea dicta generari coepit, sphsera punctum P includens; quiescentibus r, q, p mota sphsera hac, movebitur f {pag. 32); si verő q in q et r in r cadentibus p in f cadet, p cum f circa r*q moveri poterit, quod antea quievit (contra pag. 26).
Sed nec ullum spatii punctum f extra lineam dictam cadens ipsius q • r unicum est; quum sphaera pláne dicta circa q * r mota, et illud moveatux, adeoque in alia aeque posita puncta veniat.
Est igítur linea dicta pláne complexus omnis puncti, quod quoruni-vis duorum punctorum eius unicum est.
Sí non recta e rectis aut aliis lineis constet, facile patet non quo-rumvís duorum punctorum adesse quodvis punctum unicum.
18. Recta etiam quantitas est. Nam qusevis partes continuae eius accipiantur; et ponatur una extremitas unius in unam alterius; fiantque sphaerse centro in eam posito cum extremitatibus alteris : prodibunt duse partes in sphserse interioris, nisi utraque eadem sit, superficie terminatEe, quarum extrema, adeoque et ipsae, congruere possunt.
19. Recta potest in se porro moveri. Nam e quovis puncto p( per dicta, aequalíter continuatur in infinitum.
20. Planum quoque hinc facile construitur modo sequente. Patet generatione circumcirca sequali, per quodvis punctum circa duo puncta
5*
3^ ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
usque ad redittnn porro motuni, describi lineam simplicem in se redeun-tem talem, quse et ipsa, ut recta et superficies sphserica erat, quantitas est, atque etiam e quovis puncto sive antrorsum sive retrorsum eequa-liter determinatur.
Accipiatur quasvís talium annulorum (Fig. 14.); sitque (per pag. 28) in punctis a, b bifariam divisus, et dimidietas abb sít in b bifariam divisa;
atque sit rectae ab meditullium in c: érit, ob generationes utrinque eequa-les, forma e rectis eb et ca composita formae e rectis eb et eb compo-sitas eequalis, adeoque recta be est perpendicularis ad ab in c (pag. 15);
et quodvis rectEe eb punctum extra rectam ab utrinque infinitam cadit.
Fiat sphaera e centro c totum schema includens, et moveatur circa ű*f>
sive rectam ab utrinque infinitam : quodvis punctum rectae eb deseribet annulum, qui propter generationes utrinque aequales utraque facie sibi congruere potest, (quod de antea dictis nondum constatl. Cogitetur iam recta eb in quovis loco suse vise continuata per b in infinitum ; érit com-plexus oranium earum superficies circumcirca infinita et circumcirca et utrinque sequaliter generata, ut circa c in se moveri, facieque utraque sibi congruere queat, atque spatium in duas plagas sequales dividat.
Est autem superficies ista planum. Nam quaevis duo puncta 21 et 23 sint eius, quodvis punctum £ ipsius 21*23 unicum in rectam 2Í23 utrin-que in infinitum continuatam cadit. Recta 2123 verő necessario in su-perficiem dictam cadit: cogitetur enim in generatione huius, recta eb versus b infinita, ex 21 versus 23 usque in 23 per annulum pláne dictum mota ; nisi per 21S transeat, aut cadet ab una aut ab altéra parte ; neutrum verő fieri potest; nam si quod fieret, et alterum fieri deberet. Et idem de continuata 2123 patet: accipiatur nempe spbaera e centro c radii maioris quam recta qusevis, quas a c ad 213 est; exibit ex hac sphsera utrinque tam recta 2123 quam cv versus b infinita; unde reliqua patent. Posset etiam brevius dici, quod si ex uno puncto super-ficíei ad aliud ducta recta in unam plagam caderet, in altéra quoque esset, et inter duo puncta duae rectae fierent.
22. Unde etiam patet rectam 2123 etiam utrinque infinitam in planum cadere, si puncta 21, 3 in eo sint.
SF.CTIO PRÍMA. 37
23. Sed quEeritur, mim per quaevis tiia fiuncta 21, V>, t£, cisi 1/011 tn recta sínt, planum detur f Omnino : nam 21 * 23 ex Fig. 15. in pla-num dictum poni potest, 2\ in c Fig. 14.1 posito, acceptaque ex c ver-sus b recta rectae 2123 a;quali. Si iam i£ non in eo piano esset : fiat e centro 1 emu puncto £ sphíera, sitque ex. gr. recta
c£ = eb = ca;
manifesto sphíera radii c<£ e centro c, per planum in nnum dimidium superius alterum iniertus dividetur; atque mota sphaera circa ah, quod-vis superficiei sphíericae punctum prseter a et b, dimidium annuluin su-perius et alterum inferíus deseribet; atque ubi punctum »£ transit, ha-betur petitum.
24. Imo etiam per eadem tria puncta 2(, 3, <Z non in recta sita nullum aliud planum poni potest. Nam in praecedentibus 21 in c et i3 in b positis atque i£ in planum ibidem generatum cadente, ponatur quod-vis aliud planum imo eiusdem plani pars alia* per 3í*i^*(£; nulluin punctum p (Fig. 15.) unius extra alíud cadere poterit. Nam rectas 21V>, y*£ et ÍIC, extremitatibus earum in utrumque cadentibus, et ipsee in utrumque cadent totas. Sit iáin p in uno eorum, cadet aut supra lineam compositam ex 2[<Z, <£.V> et contínuationibus recta? 2123 ex 21 ad laevam et ex 23 ad dextram, aut infra eam. Si supra eam cadat, tum recta pq transit per lineam compositam dictam ; si per continuationem alterutram reetse 213 iret, tum et transitus et q, adeoque et p, in 2123 infinitam caderet; si per 2l£ vei £23 eat, fiat id in f; tűin recta fq utrique piano communis, et continuata punctum p complectens in utramque incidet.
Si verő infra cadat in p' vei p", recta e quovis horum usque ad p, iam utrique commune, transit per lineam compositam dictam ex una plaga in alteram ; et item duo puncta, adeoque recta per ea, utrique piano communia erunt.
25. Manifesto etiam 1 ín Fig. 14.1 &c ex c continuata in planuin (pag. 361 primo generatum cadit; atque planum, ob generationes utrinque aequa-les, in duas plagas aequales dividit: atque quum qusevis plani P recta in eb simul cum piano P ita poni possit, ut P cum piano primo
3^ ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
generato coincidat: planum quodvis per quamvis rectam in ea sitam in duas plagas, inter se omnes prioribus sequales, dividi patet. Imo evi-dens est, quovis plani puncto in idem dictum c posito, et congruentibus planis, circulos quosvis radiorum aequalium sequales esse ; atque etiain punctum in piano motum, ipsum planum in eodem piano secum ferre posse.
26. Ita formás duarum rectaTum angulares congruere, si arcus e ver-ticibus radiis cequalibus inter crura descripti asquales sint, circulo facto patet; necnon oinnes rectorum angiilorum formás Eequales esse; ita ex uno puncto rectae in piano unam solum perpendicularem dari; et sum-mám angulorum in una plaga ad rectam circa punctum c positorum esse = 2R• atque conversim duas rectas, c commune habentes, in una recta esse, si summa angulorum in una plaga sit = 2R} per R rectúm intelligendo.
27. Patet etiain planum quantitatem esse: nam qusecunque duse por-tiones eius accipiantur, ponatur utriusque punctum aliquod internum in dictum c, ita ut portiones ipsae in planum primo generatum incidant:
círculi, recta illa qua e c usque ad perimetrum nulla minor est pro radio accepta, congruent; et (Tom. I. pag. 25) locum habét.
§. 15.
1. Si recta cum recta aut piano aliquid commune habeat, id nonnisi punctum est: nam si duo puncta communia sint, recta in alteram
con-tinuatam in infinitum, et pariter in planum incidit.
2. Planum verő cum piano, si utraque infinita concipiantur, aut nihil commune, aut rectam inftnitam communem habent: et tam recta quam planum, sive rectam sive planum secantia, transeunt in pla-gam alteram. Nam (Fig. 16.) secet recta ab rectam f>q; nisi transeat in plani per ab(\ determinati plagam alteram, necessario aliquorsum in bt cadet; cum qp enim nullum punctum prseter b commune habét, quia tum tota incideret. Itaque abt recta esset; atque tam /? quam
dimidía peripheria radii bt esset,
SECTIO PRÍMA. 39