• Nem Talált Eredményt

esse, breviter referre, paucis primariis ab hoc independentibus suppositis liceat

In document TENTAMEN BOLYAI (Pldal 114-117)

a) Ex (Ax. 1, 2) facile sequeretur raodo sequente : (Fig. 24.) si nempe

«•+- v <C 2R, ad punctum b deinceps positis, residuum dicatur y; ducta-que e quovis puncto f cruris anguli y recta ad c, angulus ducta-quem te cum' eb facit, dicatur z; ponaturque ad C supra z angulus v. Manifesto y a z non capitur, adeoque (per Ax.) neque y-\-v capitur a z-\~v. Consequen-ter pro inConsequen-ternis u et v-hz sectio est; idque tanto fortius, si pro v-k-z angulus minor v ponatur.

b) Quoad reliqua : consideretur (Fig. 25.) via extremitatis rectas Jla perpendicularis ad J l S in eodein piano ; accipianturque inde ab a inci-piendo sive ad dextram sive ad lárvám partes huius viee, quse L dicatur, se invicem exeipientes ab, be, eb fe? omnes inter se sequales; ducantur-que rectíe ab, be, eb £íf. Angulos omnes x propter generationes eequa-Jes patet eequales esse. At quum puncta a, b, c, b, . . . in recta esse neutiquam constet, quaeritur num x rectus vei obtusus aut acutus sit?

1. Si x rectus esset: tum (Fig. 26.) punctum linese L e meditullio £

ipsius 2123 generatum quoque in rectae ab meditullium c cadit. Nam

recta meditutlia <£, c connectens per generationes utrinque aequales tam

ad £ quam ad c angulos utrinque Eequales adeoque rectos facit. Si iam

punctum lineae L per perpendicularem ipsi a asqualem ex £ erectam

in p aut q caderet: in casu primo fieret a = b-\-k-\-h, adeoque a>R,

quia x^=k-\-h~R erat; at idem a<R esset, quia p = R externus

interno a maior est, uti suo loco independenter demonstratur; in altero

casu autem fieret i=b, adeoque i<R, quamvis externus i sit > / =

R-Unde etiam a21 = £c esset.

SECTIO PRÍMA- 49

Atque eodem modo punctum linese L e meditullio rectse 2IC pari-ter in meditullium rectae ac caderet; atque boc per dimidiationes cuius-vis dimidii in infinitum continuari patet. Tum verő nulla pars continua lineae L ex a supra aut infra rectam ab cadere poterit; nam inter a2l et perpendicularem e puncto quovis lineaa dictse ex a incipientis (et omne punctum praeter a extra rectam ab habentis) ad 2123 demissam innumera lineae eiusdem puncta per dimidiationem dictam generata dan-tur in rectam ab cadentia. Essetque hoc pacto linea L eadem cum recta

obcb . . . (Fig. 25.); unde per inferiora omnía facile patent.

2. Si verő x acutus vei obtusus esset: tum abcí) . . . talis linea e re-ctis composita esset, cuius latéra ab, bct eb, . . . utrinque in infinitum essent sequalia, et anguli quoque lateris cuiusvis cum prascedente latere et sequente in eadem plaga asquales essent. Si x<C.R, tum angulus re-ctarum ab et be inferior est <2R\ sí x> R esset, tum ubique superior esset < 2R; potest quidem demonstrari x > R non esse ; quia tum per diagonalem <\& duo triangula fierent, quorum summa angulorum ;> 4/?, adeoque triangulum daretur, cuius angulorum summa > 2R, (quia >*4 in duas partes dispesci ita nequit, ne aliqua > 2 sit); hoc autem fieri non posse, item independenter pluribus modis demonstrari potest. Sed sufficit nunc linea dicta abcb . . ., cuius per quemvis angulum duobus rectis minor intelligatur: dicatur hsec linea X.

3. Manifesto verő lineas A nullum latus ex. gr. eb ad dextram con-tinuatum, partém ipsius X per perpendiculares ad 21Í3 a puncto (£ ad laevam cadentes generatam, ita nec ullam perpendicularium porro ad laevam cadentium secare potest: nam tam omnes perpendiculares dictas, quam omnia quee inter tales perpendiculares sünt, in plagam plani illám cadunt, quíe a £c ad Isevam est; itaque ut sectio dicta fiat, recta CO per rectam Cc alicubi prseter c transire deberet, et tum eb in c£ ca-deret.

4. Ita perpendicularis quaevis Cc per verticem anguli ipsius A ex c ad 2 í 3 missa, angulum ipsum omnino bisecans, nullum praeter c punctum cum Á (aut cum L) commune habét: nam si quod punctum p ipsius X adhuc cum £c commune esset, hoc p in perpendicularem e puncto

, Tenlamao. II.

5° ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.

rectae 2ÍB a £ diverso erectam caderet; et si p etiam in <tc caderet, duas rectae ad eandem rectam perpendiculares concurrerent.

5- iFig. 27.) Rectae ab, ac, ab tf ex eodem a ad extrema laterum lineae /. ductae vocentur Q, Q\ Q\ . . . et nomine generáli dicantur Q;

atque sit Q angulumjinese l quae ad a est bifariam secans, adeoque perpendicularis ad 3123 per a: angulus abc est = bcb = c&e tf; sed quie-ritur, quo cadat respectu alicuius Q latus sequens lineje A? Primo sta-tim be infra ab cadit, quia (pag. 49) angulus duobus rectis minor acci-pitur; porro eb infra Q cadit; secus enim aut in Q aut supra Q cade-ret. In Q non cadit; quia id aut intra c, aut ultra c ex. gr. in E esset;

et in casu posteriore angulus bcf>2.A? esset, in altero verő per c5 secaretur pars ipsius X ante generata (contra pag. 49). Idem fieret, si eb supra Q caderet, fieri enim hoc inter Q' et eb deberet; nam si extra eb caderet, angulus >2R esset.

Demonstratione eadem semper ulterius applicata, patet quodvis latus sequens infra rectam ex a ad initium eius ductam cadere.

6. Hinc si Q circa a moveatur per bebe . . ., usquequo in 21a per-veniat: omníno semper in ulterius punctum lineae X veniet, adeoque eam secabit aliquamdiu, ipsum ZLa verő nullum latus linese l secabit (pag. 49); itaque ut supra (pag. 43) datur alíqua recta Q' lineam k primo non secans, intra quam quodvis Q angulum utvis parvum z cum Q' efficiens secat lineam L

Sed tum etiam nullum latus linese l (ex. gr. cS) ad dextram utvis continuatum secat rectam Q' ullibi (ex. gr. in í). Nam perpendicularis e quovis puncto ulteriore (ad dextram) lateris cuiusvis utvis continuati quoque semper ulterius cadit: namque e a perpendiculari Db ad dex-tram cadit; ita continuatio rectae be per perpendicularem e<£ transit ad dextram, et perpendicularis e quovis puncto rectae huius, quse ab e<£ ad dextram cadit, pariter ad dextram cadit; uti etiam perpendicularis e quovis puncto rectae, quas per novam perpendicularem ad dextram transit.

Itaque si sectio i fieret: tota bef . . . excepto puncto b intra triangu-lum abi, adeoque inter perpendiculares a21 et i 3 contineretur quodvis

sECTro PRÍMA. 51

punctum, et quaevis perpendicularis generans ex eo ad 213 missa, et ultra 3 nulla perpendicularis generans daretur. Idem valet quocunque cadat i, atque etiam si abcbcf . . . versus 2IB convexa esset (quod ut dictum est, fieri non posse facile ostendí potest).

7. Manifesto autem hinc pro z utvis parvo, ex. gr.

z<

~-n P

r o n

"*"

tegro utvis magnó, crura alicuius anguli constantis q, producta in infini-tum etiam, inter crura anguli z continentur. Atque hinc si q e vertice in n partes sequales dividatur, inter cuiusvis eiusmodi «-t£e partis crura quoque continebitur unum q cum cruribus infinitis, et omnes hi anguli q a se invicem prorsus distincti erunt, si in quovis -^- ita accipiatur z <C -J-, ut crura ipsius z e vertice anguli q intra crura anguli -*-cadant.

Unde cum axiomate (II, 2) proposito, anguli u (pag. 43) quantitas >

aut <iR consistere nequit. Consequenter u rectus est.

8. Hinc (Fig. 28.) si (ex Fig. 25.) a2J = bB, et anguli ad 21, a, 3 , b recti sint, erunt anguli a-hy et a'-hy ac /?, /3* {alterni dicti) sequales, uti externus ex. gr. (T interno opposito $ sequalis, et qusecunque recta

<xS secet ipsam 213 et ab, summa internorum est duobus rectis sequalis.

Nam triangula rectangula 2Xa3 et b&a propter hypotenusam

In document TENTAMEN BOLYAI (Pldal 114-117)