27? — u — / = u -\-p -+-o)-hq> — u —p = a -+- q,
essetque semper ~>q\ quod falsum esse patet (ex Fig. 31.): nam si a ' = «, ita p'= /?, et ita porro cuivis novo lateri ex b ducto, e fine eius in 213 asquale accipiatur: orientur triangula aequicrura se in infinitum excipientia; in quibus
t t n a
m 1 > * • *
itaque angulis z, z\ z" . . . generaliter z dictis, z-^o. Nempe trianguli aequicruxi angulos ad basim esse aequales infra ab hoc independenter de-monstrabitur.
12. Superius generatam L (per definitionem pag. 19) parallelam ad 2123 esse patet; et iam hic posito axiomate dicto, manifesto recta ab non secat rectam $13, qusevis alia per a ducta autem, quum ab aliqua parte summa internorum <Z.2R fiat, secat rectam 2 1 3 ; et manifesto da-tur eodem modo parallela ad rectam quamvis per punctuin quodvis, eaque una sola est.
13. Atque hinc (Fig. 32.) si rectse A, B secent se invicem in p,
ubí-cunque sit A' ad A parallela, etiam A' secatur a B. Sit enim ex p
recta ad quodvis aliquod punctum q rectae A'] érit
SECTIO PRÍMA. 53
itaque
v + K < ;
consequenter B ultra p, et A' ultra q contínuatae concurrent.
14. Pariter patet, quocunque moveatur B sibi parallelé fex. gr. in B'), rectas A' et B quoque secare se invicem, et angulos z et k in sectione príma esse angulis z et k sectionis posterioris sequales.
15. E superius dictis autem sequitur etiam inter crura anguli utvís parvi v continuata in infinitum, angulum quatuor rectis quantovis mino-rem, simul cum cruribus continuatis in infinitum, imponi posse, nisi u = R sit Ipag. 43).
Nempe inter crura anguli utvis parvi v (pag. 51) angulus certus b = — , pro 7? rectum et n integrum denotante, imponi potest,
adeo-T adeo-T
que etsi v = — b fuerit; fiat id ad distantiam d a vertice anguli v = —- b.
Atque hinc fiat (Fig. 33.) linea polygonalis abcb . . ., cuius latus quodvis
= d, et angulus quivis (duobus rectis minorem intelligendo) sit
Dicaturque a continuatio lateris ab efficiens angulum — b cum í>c, et fiat ex b recta bb', ex c recta cc', ex & recta bb' &, singulas angulum
\ b cum lateribus e punctis b, c, b, . . . incipientibus efficientes, ut inter
1 - i i
crura cuiusvis — b ad distantiam d sít — b -\-— b = b positum ; qusevis litera grseca autem fuerit ad initium lateris alicuius, efficiens cum eo in plaga dextra angulum aliquem p : recta ad finem lateris eius, cum conti-nuatione eiusdem efficiens angulum externum = / , insigniatur litera grseca sequente; ex. gr. /? efficiet cum continuatione lateris be angulum
— b, ita y efficiet cum continuatione lateris eb angulum 2 . — b, ita S cum continuatione lateris be angulum 3 . — b et ita porro, donec litera grEeca prodeat, quse cum continuatione lateris praecedentis efficiat an-gulum (4«—1) . -r- b, adeoque cum latere sequente faciat anan-gulum
An±b = 2R.
Manifesto fi in piano supra őt, et y supra fi, ac 0 supra y y, ac
quae-54 ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
vis sequens supra omnes praecedentes cadit : imo si omnium rectarum literis graecis denotatarum tantum pars a linea bcbi . . . in plagam dex-trarn cadens consideretur : qucevis supra omnes prsecedentes cadet; nec illa, quae cum latere sequente 2R facit, adeoque in recta érit, secat ipsam «. Erit ígitur tota haec recta utrinque infinita inter crura ipsius v = -y b ; nempe bb' est intra aa"', cc' intra b£', öS' intra c£* &.
Unde etiam (Fig. 34.) ad rectarum A, B angulum utvis parvum v efficientium, latus quodvis A potest talis perpendicularis poni, quae utvis producta latus alterum B utvis productum secare nequeat. Sit enim C recta talis, quas per praecedentia etiam utrinque Ínfinita inter cruraanguli v ab ea parte in infinitum producta maneat: demittaturque e quovis puncto p ipsius C perpendicularis pq ad A ; cadet hsec ín plagam eandem cum C, quia si in alteram caderet, fieret triangulum cuius unus anguius rectus esset, altér autem obtusus, nempe ipsi v acuto deinceps positus; conti-nuatio ipsius pq verő transit per C in alteram plagam, quae pariter tota inter crura anguli v continetur.
Atque hinc (Fig. 35.) inter crura anguli 2v (quod - ^ o si v-^o) non solum totam perpendicularem fc', sed a'c = ac facta, etiam angulum b'a'F aequalem 4^?—v simul cum cruribus infinitis imponi posse patet.
Si igitur ba circa a moveatur versus ac usquequo in ac perveniat, atque priusquam ab in ac perveniat, accipiatur semper tale a', et tale a'b' ad angulum ei quem ab cum ac facit aequalem, ut a'b' et ab se invicem haud secent; atque cogitetur semper spatium quod, si schema circa aa' revolveretur, maneret a via ipsius ab ad lsevam, et id quod a via ipsius a'b' ad dextram esset. Hoc pacto quaevis spatii portio £ nihil cum recta aa (saltem praster punctum a) commune habens, manifesto alicui spatio ad lsevam generato includetur pro v minőre, quam anguius quivis, quem recta ex a ad aliquod punctum ipsius s ducta cum aa' facit;
atque a' sufficienter remoto, ad angulum v alteri v sequalem, aderit alte-rum s quoque cum prioré nihil commune babens. Unde applicatio Axío-matis propositi (I, 3) patet; non tainen duo spatia prodibunt, nam dum ab in ac pervenit, nascitur quidein totum spatium, sed a' in infinito dis-parens nullibi amplius in temporis puncto experte ultimo reperitur; et
SECTIO PRÍMA. 55 antea quideni quodvis punctum in spatium ad laevam inclusum est, sed omne nunquam ante finem.
16. Ita facile demonstrantur sequentia:
1. Lineam uniformem L (pag. 50) nisi recta sit, extra lineam ábcb . . . fluere, cum hac (Fig. 27.) nonnisi puncta abcb . . . communia habentem : atque hinc applicatio (Ax. III.) patet; nempe angulus quem continuatio inferior ipsorum Q cum L extus facit, infrorsum '-.a, superius ad 2R—a, (si per R' intelligatur angulus quem continuatio rectse a2J cum L facit), et uterque est semper > a ; inferior ereseit continuo, superior decrescit, et manifesto sünt anguli ad utramque continuationem cuiusvis Q sequales.
2. 21B circa 2Í sursum motum illico secat lineam L, uti etiam quse-vis perpendicularis ad aZl inter a et 71; et statim post 21, ad dextram laevamque secat ipsum L ad angulos utrinque tequales, a limité dicto a decrescentes, et dato constante aliquamdiu semper maiores.
3. Manente a et remoto ~2X in <OX semper porro deorsum in infinitum simul cum perpendicularí 2IB, ac generatis super quavís 2íS cum per-pendiculari áZl lineis L, et angulo, quem recta ipsam L primo non secans cum a2I facit, generaliter u dicto, atque etiam quovís centro 21 radio aV. deseriptis circulis: angulus u-^-o; alioquin recta pro certo angulo perpendicularem utvis remotam secaret (contra pag. 54); porro linece L solum punctum a commune habebunt, et descendent; circuli verő idem punctum a solum commune habebunt, sed ascendent continuo, gaudebuntque limité geometrico certo eodem: quem existere, uti et super-ficiem per revolutionem huius lineae circa a.21, atque utramque formám uniformem esse constat; estque si XI Axióma Euclidis verum sit, linea dicta recta, et superficies planum ; in omni tamen casu tam linea hsec, quam superficies, sola determinatur in spatio.
Descríbi verő linea dicta motu puncti continuo potest modo sequente.
Sit prius (Fig. 36.) u = H, et moveatur áb circa a usque in ac; simulac b in arcú a viam aliquam deseribet, illico dabitur aliquod c, unde erecta perpendicularis primo non secans rectae ab est, et pro ca'= ca érit a'S' primo non secans ipsius ab. Puncto b in arcú a porro moto verő pun-ctum c ab a incipiendo semper porro movetur: nam pro quovis puncto
56 ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
interiore ipsius a datur c, et quidem semper ulterius; nec ulluro punc-tum ultra quodvis c ab a incipiendo est, cui aliquod puncpunc-tum ipsius a non respondeat, et cuivis ulteriori puncto interius punctum ipsius a re-spondet. Nam si ab primo non secans ipsius cp sit, interius ducta recta secabit ipsam cp, adeoque illa perpendicularis, quam non secat, ulterius esse debet; si verő aliquod c esset, cui non responderet punctum ali-quod interius ipsius «, tum perpendicularis ex a esset primo non secans ipsius cp : atque tum pro recta ac verum esset Axióma X I ; et tum de omnibus facile demonstraretur. Potest igitur c ex a incipiendo ita mo-veri porro, ut mota ab circa a, adeoque mota b in a, donec u (prius
= /?) fiat = 0 , cp semper tale sit, ut ab primo non secans illius sit:
atque hinc eadem ad a' applicando, poterit a' ex a ita porro moveri, ut ab et a'b' quaevis alterius primo non secans sit.
Atque iam moveatur (Fig. 37.) ab circa a versus a2l in eodem piano, donec u íprius = R) fiat = o, atque interea in ab moveatur punctum b' semper porro, ita ut b' in moto ab semper in loco dicto ipsi u respon-dente sit: érit via ipsius b' per motum hunc compositum linea dicta.
Reliqua autera ultro patent; uti et ea quse reliquorum axiomatum pro-positorum quovis posito, rem deciderent: nec operae pretium est plura referre; quum res tota ex altiori contemplationis puncto, in ima pene-tranti oculo tractetur in Appendice, a quovis fideli veritatis purse alumno digna légi.
ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
SECTIO II.
PLANIMETRIAE PARS PRÍMA.
•2IIHI.
Sectio nulla est duarum rectarum, si recta ab uno puncto unius ad aliquod punctum alterius ducta, summa internorum in plaga eadem sit duobus rectis sequalis.
Sectio nulla rectae et circuli est, si perpendicularis e centro ad rectam radio sit maior.
Sectio nulla duorum circulorum est, si recta a centro ad centrum summa radiorum maior sit.*
Sed de his heic ordinis gratia allatis, sub '21112121 ipag. 58) et in supplemento post '2111211222 (pag. 66) dicetur; atque nunc sequitur:
' 2 I I I 2 I I .
Si duae rectae punctum commune habeant, formám angularem oriri e Conspectu Geometriáé generáli facile patet. Dictum etíam ibidem est angulum esse quantitatem respectivam quoad arcúm a circuli e puncto sectionis radio certo r (eodem pro omnibus) descripti inter crura comprehensum; scilicet si peripheria tota sit p, anguli quan-titas dicitur -?-, ut nempe angulus rectus, ut quanquan-titas, sit = - T - '
Patet verő pro duabus formis angularibus, quse congruere queunt, arcúm etiam congruentem describi, adeoque quotum eundem prodire.
* Quoad sectionem nullám aut quamvis duorum circulorum víde Fig. 240. (Ex Erratis Ed. I Tom. II, pag.
375)-, Tenlamen. II. 8
58 ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.
Ita conversim si arcus db = pq (Fig. 38.'! centro radioque eodem, formse angulares acb, pcq congruent. Nernpe si forma pcq superimponatur ipsi acb, ita ut c in se maneat, et p in a cadat, atque arcus in eandem pla-gam cadant: arcus pq ob generationes sequales simul cura arcú Ctb incipít continuaturque, nec prius aut serius desinere potest, quia tum pars sequalís toti esset, quum circulus linea simplex sit. Consequenter c in c, p in a et q in b cadentibus, et rectae ac, be cum pc, qc congruunt. Patet etiam pariter q in a poni potuisse, quum circuli generatio ad lsevam dextram-que prorsus eequalis sit.
Est etiam manifesto (Fig. 39.) omnium angulorum u, v, zt p} q, quot-vis fuerint, summa = i, nempe arcuum omnium summa est peripheria, quae per se divisa quotum 1 dat. Ita quotvis u, v, z fuerint supra rectam db, summa est ~-; pariter infra ab. Si e meditulliis dimidiarum periphe-riarum supra et infra ab ad c reetse ducantur, angulorum tam superius quam inferius aequalis summa prodibit; adeoque et quatuor rectorum summa est = 1, et duorum rectorum summa = —, Consequenter summa prior etiam quatuor rectis, et posterior duobus rectis sequalis dici potest.
Hinc anguli verticales sünt sequales; nempe (Fig. 40.) u = v et z=p ; nam u~hp = 2R = v-+-p, et hinc « = v; ita z-hv = v-{-p. Nempe (Fig. 41.1 etiam recta ^c per rectam ab in alteram plagam transit: nam Ín ab nullum aliud punctum praeter c habét; itaque nisi transiret, in eandem plagam e qua venit redire deberet; tum verő esset tam k->t-u-*-v quam u = —, adeoque pars peripherise dimidiae esset ipsi peripheriae dimidise aequalis.
•2IH2I2I.
De tribus rectis, quarum nonnisi unum par est se tnutuo fconti-nuatione sufjiciente) non secantium.
§. 1.
Si angulus externus u aequalis sit interno opposito vt sive altérni u, v fuerint aequa/es, sive v-\-z — 2Rt quorurn quodvis manifesto po-nit relíqua duo: tum rectae űÉ" et "iW> se invicem non stcant ^Fig. 42.).
SECTIO SECUNDA. 59 Si eniin D23 et bb secarent se mutuo, idem et in plaga altéra fieret;
nam form£e bbDB et D21ba congruunt recta b£ ita posita, ut b formae prioris in D posterioris et D prioris in b posterioris cadat, atque verta-tur forma prior, donec in plagam plani laevam cadat; namque tum bb propter alternos z aequales in D21, et D23 in bő" cadet. Tunc verő punc-tum ipsis Dí? et bb commune érit etiam ipsis bS et D2J commune.
Consequenter ab et 2123 duo puncta haberent communia.
Hinc si /\abD = 32)b construatur {pag. 61J, ab ipsi 2ÍÍ3 per 5 fiet parallela.
(Fig. 43.). Etsi externus minor, nempe v = u>u fiat: &? ipsam 21B secare nequit. Nam per ab prius transire deberet alicubi prseter b, atque item duo puncta haberent ab et b? communia.
Hinc si duae rectae bb et DÍ3 secent se mutuo: oportet externutn maiorem interno opposito v esse; nam si externus sequalis aut minor esset, nulla sectio daretur (per §. i et 2). Pariter patet {Fig. 44.) externi u verticalem eadem ratione esse altero / duorum internorum opposito-rum maiorem ; nempe si aequales essent, tum (Eb et 7V6> non secarent se invicem £s\
Itaque trianguli latere quovis producto, externus quovis internorum oppositorum est maior.