• Nem Talált Eredményt

manifesto pars viae cuiusvis puncti ipsius / cadet ab annulo in unam ipsius S' plagam, altéra in alterain; nam ut centrum f claudatur ab

In document TENTAMEN BOLYAI (Pldal 94-99)

annulo per punctuin quodvis 0 descripto, necesse est punctum eius aliquod

p extra segmentum ipsius 6" illud, in quo C est, cadere; atque hinc via

SECTIO PRÍMA. 29

usque in 0 per A transire debet, et quidem in duobus saltem punctis a f ad extremitates arcuum utrinque aeqnalium; nam annulus dictus cum annulo A unum solum punctum commune habere nequít; nam tum ex hoc puncto usque ad f aut linea simplex esset, aut non ; et in neutro casu esset annulus dictus linea simplex rediens. Erunt igitur annulí hu-ius transitus per annulum A ipsi f proximi duo supra dícti.

Accipiantur porro quorumvis arcuum ab A in plagam non c (id est illám in quam non cadit c), meditullia (per 6j; atque tum fiat idem cen-tro in meditullium arcus illius posito, qui ab annulo (cencen-tro f per ex-tremitatem linese te in S' deseripto) e duobus punctis ipsius A ipsi f proximis in plagam non c ipsius S' cadit; atque idem continuetur in infinitum ; nempe casus idem redit semper, nisí quod centrum in primo A ubivis eligere liceat, postea verő in quovis novissimo A arcus extimi meditullium pro centro accipiatur, et idem repetatur in infinitum.

Complexus omnium eiusmodi meditulliorum continuum, imo linea simplex est, ut statim patebit. Insistit autem linea hsec primo annulo utrinque aequaliter; atque e quovis puncto annuü eiusdem, lineae eius-modi per generationes asquales circumcirca et utrinque sequaliter deter-minatse promanant. Unde etiam patet, quod si e quibusvis duobus pun-ctis annuli primí promanantes eiusmodi linese secent se invicem, erura semet secantia, ob generationes utrinque sequales, sequalia erunt. Patet etiam partém quovis novo A generatam parti sequente A generatae, item ob generationes sequales, Eequalem esse.

Complexum punctorum dictum continuum esse vei ita patet. Acci-piatur complexus a punctorum innumerabilium, quse per quodvis aliquod A, centro in eo posito, generantur usque ad arcúm aliquem k inclu-sive, et inde complexus /? punctorum item innuinerabilíum usque ad arcúm extimum generatorum : puncta ipsius [i in arcus post k se invi-cem continuo exeipientes cadunt, qui simul sine k cogitari nequeunt, uti complexus priorum ipsum a constituentium; itaque et fi gaudet pun-cto in arcú k, quod quum solum sit, tam ipsi a quam ipsi /? com-mune est.

Sed prasterea quoque e cuiusvis A arcus superíoris meditullio

pun-3° ELEMENTA GEOMETRIÁÉ.

ctum per omnes arcus concentricos superiores, id est supra prsecedens A cadentes, usque in centrum moveri potest; et quidem ita ut per cu-iusvis arcuum illorum punctum quodvis dátum transeat: intuitu patet, idem simplicissime per meditullia arcuum fieri posse.

Est etiam linea simplex: nam e nullius arcus meditullio tertius ra-mus dari potest; quia is per arcus praecedentes aut sequentes Íré deberet, in quorum quovis nonnisi unum punctum ramis duobus commune datur.

8. Dicantur L linese eiusmodi, quee ex omnibus punctis annuli primi utrinque Eequaliter insistentes, et semper porro utrinque sequaliter, atque omnes circumcirca quoque per generationes Eequales sequaliter deter-minatee sünt.

Aut dantur duae tales Z, quae punctum commune habeant, aut nullse duse dantur, quae punctum commune habeant. Posterius fieri nequit:

nam tum portio illa ipsius S\ quse supra quodvis A usque ad arcúm superiorem növi A est, imo totum A, innumerabilibus vicibus repetere-tur in ipso S'; adeoque S' non esset quantitas finita (Tom. I. pag. 35), de quo plura inferius.

Nempe tum (per pag. 26) sphaera S' circa c*C mota, movetur tota Z., omnibus punctis annulos se invicem excípientes describentibus.

Quod annulus puncti cuiusvis in linea L ulterius generati ulterius situs sit, patet inde, quod si ab aliquo annulo sequentes aliquamdiu regrederentur, id aut statim post annulum centri alicuius A iuxta gene-rationem dictam fieret, aut post meditullium arcus alicuius supra A ge-nerati ; prius fieri nequit, nam tum punctum aliquod ipsius L ob gene-rationes utrinque sequales intra, non extra prascedens A caderet; nec posterius fieri quit, tunc enim e centro prius dicto sphserica superficies exteriőr cum aliqua interiore aliquid commune haberet.

Atque per hoc adhuc simplicius patet superficiem sphaericam, si nullse lineee L secarent se invícem, quantitatem finitam non esse. Potest enim e centro cuiusvis A in S' describi talis annulus interior ipso A, qui (íuxta Fig. 9.) nec cum ibidem praecedente nec cum sequente quid-quam commune babeat. Quod cum per generationes Eequales semper porro locum habeat: annulus dictus innumerabilibus vicibus repetetur.

SECTIO PRÍMA. 31

Si igitur superficies sphasrica quantitas finita sit: necesse est duas lineas L se invicem secantes dari. At si duse dentur, omnes se invicem in eodem puncto secabunt. Nam sit (Fig. 10.) ab arcus is primi annuli, e cuius extrémitatibus promanantes lineae L concurrunt; linea L e me-ditullio q arcus ab erecta quoque per p transibit: nam sit bq = br, adeo-que ab = qr, et br = rt, adeoadeo-que bt = bat fposito ab esse dimidio primi annuli minus, quum si ab dimidium annuli sit, res pariter facile pateat);

lineae L ex r et q, ita ex b et t erectee concurrent, eruntque singülae aequales propter generationes sequales. Hinc autem linea L ex t erecta necessario in p cadit; atque ut lineas L ex r et q erectae occurrere possint, aut prior vei posterior transibit per bp, aut prior per pt, vei L ex q erecta per ap transibit: quodvis honim fiet, si punctum transitus p sit; sed inter p et t, aut inter p et a transitus fieri nequit; nam si ex. gr. L ex r erecta inter p et t transiret, idem transitus punctum etiam ipsi bp commune esset; si verő L ex r per bp inter b et p trans-iret, punctum idem et lineas ex q erectae commune esset: et lineae L ex r et q erectae usque ad punctum concursus essent ipsa bp minores.

Necessario igitur in eodem p concurrent.

Atque hinc colligitur, bisecando arcus in infinitum, atque circura-circa transferendo : ex omnibus annuli primi punctis omni dabÜi pro-pioribus erectas lineas Z omnes in eodem p concurrere.

Unde si sphaera S moveatur circa c* <L, puncto in annulo primo porro moto, simul cum totó Hnearum L. e punctis bisectionum erectarum sche-mate : nullum tempus érit, quo punctum p viam describat; nam ab initio motus quodvis temporis punctum cogitetur, iam antea punctum in an-nulo motum per innumera puncta transiit, pro quibus schema linearum L dictum in p fűit.

Consequenter sphaera S circa c * £ ita moveri potest, ut p quiescat.

Alque hinc (per pag. 26), si S circa c*<£ moveatur, p quiescere debet.

Omnia dicta autem ad quemvis annulum superficiei cuiusvis appli-cari manifestum est, si puncto quovis eius pro centro accepto, cum linea quadam interna annuli fiant annuli concentrici tales, quales e quo-vis sphserae illius superficiei puncto aequaliter dari dictum est.

32 ELEMENTA GEOMEtRIAE.

9. Atque hinc superius fpag. 27) segmentis omnium s' in 5 cadenti-bus generaliter s" dictis, cogitetur in omni s" punctum illud, in quo lineae L, ex annulo ipsi S' et illi s' communi, in illő s" generatas con-currunt: complexus omnium eiusmodi punctorum simul cum c et C lineam simplicem esse ut supra (pag 29) patet. Sed manifesto etiam sphsera S circa c * £ mota, cuiusvis s" punctum quodvis praeter punctum dictum in ea (pag. 7) movebitur; atque hinc omnia s" (pag. 26) move-buntur, et tota linea dicta quiesceL mota sphaera S circa c * £ .

io.-At verő in S quoque ex annulo egressus extimo antea genera-tum p quiescebat mota 5 circa c * £ ; atque sí pro centro p eadem fiant, quae ab altéra parte centro c facta sünt, prodibit linea c£p quiescens mota sphaera ciTca c * £ .

Imo qusevis alia duo puncta linese dictae accipiantur, motus dictus sphaeras S quiescentibus iis peragebatur: itaque (pag. 26) circa quasvis duo puncta dicta motus idem est.

Sed nec ullum punctum sphserae S extra lineam dictam cadens qui-escit: nam illud aut intra segmenta extima ex C et p generata, aut inter illa cadit; atque tale circumcirca sequaliter determinatum gaudet annulo (per pag. 7). Si verő in aliquo motu circa duo puncta annulo gaudeat, circa eadem duo puncta (per pag. 26) semper eundem annulum de-scribet.

11. Patet porro inter quasvis duo spatii puncta dari lineam eiusmodi:

nempe accipiatur unum pro centro, fiatque sphaera cum puncto altero;

atque applicentur de sphasris S et s dicta. Atque hinc etiam patet rec-tam e quavis portioné spatii finita egredi e quovis puncto eius, quum possit generari sphaera ex eo puncto, totam portionem includens.

12. At quaeritur, nura e centris sphaerarum quarumvis inaequalium generatse, centris coincidentibus, congruere possint usque ad superficiem sphaerae minoris ? Omnino ; nam (Fig. 11.J feratur minor in alteram cen-tro in centrum £ maioris posito; sitque linea 2í£K' in sphsera maiori hac circa K*K' mota quiescens; transeat haec per superficiem minoris in c*c'. Mota sphaera maiore circa K * £ , omne praeter lineam KK' mo-vebitur, perageturque motus quiescentibus c, £ ; itaque tum et sphsera

SECTIO PRÍMA. 3 3

interior circa c * £ movebitur; adeoque (per pag. 26) idem inter c et £ quiescet quod antea.

13. Hinc etiam linea talis continuari e quavis sphaera in aliam quamvis maiorem utrinque potest; neque intra ullius sphaerae superficiem detinetur.

14. Si porro cuiusvis lineae eiusmodi unius extrema Cl, b et alterius a', b' sint, atque a in a' et b Ín b' simul cadere queant; congruentibus extremis et lineae ipsse coincidunt.

Nam feratur ad £ linea ab simul cum sphaera illa, in qua generata

In document TENTAMEN BOLYAI (Pldal 94-99)