Egy test térfogatának kiszámítása
10. példa: A gyűrű egy metszete (y-tengely körüli forgatás)
Ha az y-tengely körüli forgatással előálló forgástestnek a térfogatát kell meghatároznunk, akkor ugyanazt az eljárást alkalmazhatjuk mint a 9. példában, csupán annyi a különbség, hogy x helyett y szerint kell integrálnunk.
Ez esetben a gyűrűfelületet végigsöprő szakasz az y-tengelyre (azaz megint csak a forgástengelyre) lesz merőleges, s a gyűrű belső illetve külső sugara is az y változó függvénye lesz.
10. példa: A gyűrű egy metszete (y-tengely körüli forgatás)
Tekintsük az parabola és az egyenes által határolt tartományt, s forgassuk azt meg az y-tengely körül. Határozzuk meg a keletkezett forgástestnek a térfogatát!
Megoldás
Felrajzoljuk a feladatban szereplő tartományt, majd felveszünk egy, a tartomány két határpontját összekötő, a forgástengelyre (az y-tengelyre) merőleges szakaszt. Lásd a 6.15a ábrát!
A szakasz egy körgyűrűn söpör végig, amelynek sugarai , (6.15. ábra).
A parabola és az egyenes az és pontokban metszik egymást, ezért az integrálási határok: és . Integrálással megkapjuk a keresett térfogatot:
6.15. ábra. (a) Az y tengely körül megforgatandó tartomány, a gyűrű külső és belső sugara valamint az integrálási határok (10. példa). (b) Az ábra (a) részén megrajzolt szakasz egy körgyűrűt söpör végig.
V
∎
1.3. Összefoglalás
A fenti példák mindegyikében a megoldás legfontosabb lépése az volt, hogy a térfogat definíciójára támaszkodva kiszámítottuk a határozott integrál értékét függetlenül attól, hogy miként volt meghatározva a test egy síkmetszetének területe.
1.4. 6.1. Feladatok
1.4.1. Síkmetszetek területe
A 1–2. feladatokban keressük meg a forgástest x-tengelyre merőleges síkmetszetének területképletét!
1. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. A síkmetszetek minden esetben e két sík között, az x-tengelyre merőlegesen az félkörtől az félkörig futnak.
1. A síkmetszetek olyan körlapok, amelyek átmérője az -síkban van.
2. A síkmetszetek olyan négyzetek, amelyeknek egyik oldaléle az -síkban fekszik.
3. A síkmetszetek olyan négyzetek, amelyeknek egyik átlója az -síkban fekszik. (A négyzet átlója az oldalhossz -szerese.)
4. A síkmetszetek egyenlő oldalú háromszögek, alapjuk az -síkban fekszik.
2. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. A síkmetszetek minden esetben e két sík között, az x-tengelyre merőlegesen az parabolától az paraboláig futnak.
1. A síkmetszetek olyan körlapok, amelyek átmérője az -síkban van.
2. A síkmetszetek olyan négyzetek, amelyeknek egyik oldaléle az -síkban fekszik.
3. A síkmetszetek olyan négyzetek, amelyeknek egyik átlója az -síkban fekszik.
4. A síkmetszetek egyenlő oldalú háromszögek, alapjuk az -síkban fekszik.
1.4.2. Térfogatszámítás felszeleteléssel
A 3–10. feladatokban számítsuk ki a testek térfogatát!
5. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. A tengelyre merőleges síkmetszetek a intervallumban olyan négyzetek, amelyek átlóinak végpontja az
parabolán és az parabolán van rajta.
6. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. A tengelyre merőleges síkmetszetei olyan körlapok, amelyek átmérőinek végpontjai az parabolán és az
parabolán vannak rajta.
7. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. A tengelyre merőleges, és e két sík között elhelyezkedő síkmetszetek olyan négyzetek, amelyek egyik oldalélének végpontjai az
félkörön, illetve az félkörön futnak végig.
8. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. A tengelyre merőleges, e két sík között fekvő síkmetszetek olyan négyzetek, amelyek átlóinak végpontjai az félkörön, illetve az félkörön futnak végig.
9. Egy test alaplapja az görbe és az x-tengely intervalluma által közbezárt tartomány. Az x-tengelyre merőleges síkmetszetek:
1. egyenlő oldalú háromszögek, amelyek alapjainak végpontjai az ábrán látható módon az x-tengelyen és a görbén futnak végig;
2. négyzetek, amelyeknek egyik oldalainak végpontjai az x-tengelyen és a görbén futnak végig.
10. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között helyezkedik el. Az x-tengelyre merőleges síkmetszetei:
1. körlapok, amelyek átmérőinek végpontjai az és az görbéken futnak végig;
2. négyzetek, amelyeknek egyik oldalainak végpontjai az és az görbéken futnak végig.
11. A test az y-tengelyre merőleges és síkok között fekszik. Az y-tengelyre merőleges síkmetszetei olyan körlapok, amelyek átmérőinek végpontjai az y tengelyen és az parabolán futnak végig.
12. A test alaplapja az körlap. Az y-tengelyre merőleges síkmetszetei az és közötti intervallumon olyan egyenlő szárú derékszögű háromszögek, amelyek egyik befogója a körlapon fekszik.
13. Csavart test. Az s oldalélű négyzet az L egyenesre merőleges síkban fekszik. A négyzet egyik csúcsa illeszkedik L-re. Miközben a négyzetet h távolságnyit elmozdítjuk az L egyenes mentén, L mint forgástengely körül meg is forgatjuk, miáltal az egy csigavonalszerű oszlopot hoz létre, amelynek síkmetszetei négyzetek.
1. Határozzuk meg az oszlop térfogatát!
2. Mi történik a térfogattal, ha a négyzetet nem egyszer, hanem kétszer forgatjuk körbe? Válaszunkat indokoljuk!
14. A Cavalieri-elv. A test az x-tengelyre merőleges és síkok között fekszik. Az x-tengelyre merőleges síkmetszetei olyan körlapok, amelyek átmérőinek végpontjai az és az egyeneseken futnak végig, amint azt az ábra is mutatja. Indokoljuk, hogy a testnek miért lesz ugyanakkora a térfogata, mint egy 3 egység sugarú és 12 egység magasságú egyenes körkúpnak!
1.4.3. Térfogatszámítás korong-módszerrel
A 13–16. feladatokban számítsuk ki annak a forgástestnek a térfogatát, amely a satírozott tartomány forgatásával áll elő!
3. Az x-tengely körül forgatunk.
4. Az y-tengely körül forgatunk.
5. Az y-tengely körül forgatunk.
6. Az x-tengely körül forgatunk.
Határozzuk meg azoknak a forgástesteknek a térfogatát, amelyek a 17–22. feladatokban megadott egyenesek és görbék által meghatározott tartományok x-tengely körüli forgatásával jönnek létre!
7. , ,
8. , ,
9. ,
10. ,
11. , , ,
12. , , ,
A 23. és a 24. feladatban határozzuk meg a tartomány megadott tengely körüli forgatásával előálló forgástest térfogatát!
13. Az első síknegyedbeli alakzatot felülről az egyenes, alulról az görbe, balról az y-tengely határolja. A forgásy-tengely az egyenes.
14. Az első síknegyedbeli alakzatot felülről az egyenes, alulról az , görbe, balról pedig az y-tengely határolja. A forgástengely az egyenes.
Határozzuk meg azoknak a forgástesteknek a térfogatát, amelyek a 25–30. feladatokban megadott egyenesek és görbék által meghatározott tartományok y-tengely körüli forgatásával jönnek létre.
15. A tartományt , , , határolják.
16. A tartományt , , határolják.
17. A tartományt , , határolják.
18. A tartományt , , határolják.
19. , , ,
20. , ,
1.4.4. Térfogatszámítás gyűrűmódszerrel
A 31. és a 32. feladatban határozzuk meg a satírozott tartomány megadott tengely körüli forgatásával előálló forgástest térfogatát!
21. Az x-tengely körül forgatunk.
22. Az y-tengely körül forgatunk.
A 33–38. feladatokban határozzuk meg a megadott egyenesek és görbék által közbezárt tartomány x-tengely körüli forgatásával előálló forgástest térfogatát!
23. , ,
24. , ,
25. ,
26. ,
27. , ,
28. , , ,
A 39–42. feladatokban határozzuk meg a tartományok y-tengely körüli forgatásával keletkező forgástest térfogatát!
29. A tartomány az , és csúcspontú háromszög.
30. A tartomány az , és csúcspontú háromszög.
31. Az első síknegyedbeli tartományt felülről az parabola, alulról az x-tengely, jobbról pedig az egyenes határolja.
32. Az első síknegyedbeli tartományt balról az kör, jobbról az egyenes, felülről pedig az egyenes határolja.
A 43. és a 44. feladatban a megadott tartománynak a megadott tengely körüli forgatásával keletkező test térfogatát kell meghatározni.
33. Az első síknegyedbeli tartományt felülről az görbe, alulról az x-tengely, jobbról pedig az egyenes határolja. A forgástengely az egyenes.
34. A második síknegyedbeli tartományt felülről az görbe, alulról az x-tengely, balról az egyenes határolja. A forgástengely az egyenes.
1.4.5. Forgástestek térfogata
2.y-tengely
körüli forgatásával áll elő!
1.4.6. Elmélet és alkalmazások
39. A tórusz térfogata. Forgassuk meg az körlapot az ( ) egyenes körül! Így egy fánkszerű alakzatot kapunk, amelyet tórusznak nevezünk. Határozzuk meg a térfogatát! (Útmutatás:
, mivel az egy a sugarú félkörnek a területe.)
40. Serleg térfogata. Serlegformát úgy készíthetünk, hogy az grafikonjának és közé eső darabját megforgatjuk az y-tengely körül.
1. Számítsuk ki a serleg térfogatát!
2. Relatív sebesség. Ha a serlegbe 3 térfogategységnyi vizet töltünk másodpercenként, milyen gyorsan emelkedik a vízszint a serlegben akkor, amikor a víz már négy egység magasan áll a serlegben?
41.
1. Serleg térfogata. Egy a sugarú, félgömb alakú serleget h magasságig vízzel megtöltünk. Számítsuk ki, mennyi víz van a serlegben!
2. Relatív sebesség. Másodpercenként 0.2 m víz ömlik egy félgömb alakú, 5 m sugarú betonmedencébe.
Milyen gyorsan emelkedik a vízszint, amikor a víz már négy méter mély?
42. Hogyan becsülhetjük meg egy forgástest térfogatát a forgástengellyel párhuzamos síkra vetülő árnyékából, ha a fény a síkra merőleges irányból jön?
43. Félgömb térfogata. Vezessük le az R sugarú félgömb térfogatára érvényes
összefüggést úgy, hogy síkmetszeteit összevetjük egy olyan R sugarú és R magasságú egyenes körhengernek a síkmetszetével, amelyből az ábrán látható módon kivágunk egy R sugarú és R magasságú egyenes körkúpot.
44. Kúp térfogata. A kalkulus eszközeivel határozzuk meg az r sugarú és h magasságú egyenes körkúp térfogatát!
45. Tervezzünk egy serleg alakú, fogantyúval ellátott sütőserpenyőt (wokot)! Egy kis kísérletezéssel meggyőződhetünk arról, hogy a 9 cm mély és 16 cm sugarú wok űrtartalma nagyjából 3 liter. Bizonyosságot úgy nyerhetünk, ha a wokot az alább látható módon forgástestnek fogjuk fel és térfogatát integrálással meghatározzuk. Köbcentiméterre kerekítve mekkora lesz valójában a wok térfogata? (1 l = 1000 cm )
46. Egy réz függőt kell készítenünk, kb.190 gramm tömegűt. Az ábrán látható forgástest alakot terveztük.
Számítsuk ki, mekkora lesz a függő térfogata! Ha az ötvözet sűrűsége 8.5 g/cm , mekkora lesz a függő tömege (grammra kerekítve)?
47. Maximum és minimum. Az , ívet megforgatjuk az , egyenes körül, s így a 6.16. ábrán látható testet kapjuk.
1. Keressük meg azt a c értéket, amelyre a test térfogata minimális lesz! Mekkora a minimális térfogat értéke?
2. c mely értékére lesz maximális a térfogat?
3. T Ábrázoljuk a test térfogatát mint c függvényét először -re, majd ennél tágabb intervallumban!
Mi történik a térfogattal, miközben c távolodik a intervallumtól? Van-e ennek valamiféle fizikai jelentése? Válaszunkat indokoljuk!
6.16. ábra.
48. Üzemanyag-póttartályt kell terveznünk egy helikopter törzse alá, hogy ezzel megnövelhessük a gép hatótávolságát. Miután néhány órát már eltöltöttünk a rajztábla mellett, úgy döntünk, hogy a tartály számára ideális alakot egy forgástestként írhatjuk fel. Az ideális tartály úgy áll elő, ha az ,
görbét az x-tengely körül megforgatjuk (a mértékegység a méter).
1. Hány köblábnyi üzemanyag fér majd a tartályba (köblábra kerekítve)?
2. Ha a helikopter 1 liter üzemanyaggal 0.9 km-t képes megtenni, akkor a póttartálynak köszönhetően hány további kilométert lesz képes megtenni a helikopter (km-re kerekítve)?
2. 6.2. Térfogatszámítás hengerhéj-módszerrel
A 6.1. szakaszban az S test térfogatát a
határozott integrállal definiáltuk, ahol az S síkmetszetének integrálható területfüggvényét jelenti. Az területhez úgy jutottunk, hogy a testet az x-tengelyre merőleges síkokkal felszeleteltük. Ebben a szakaszban
ugyanezt a definíciót fogjuk alkalmazni a térfogatra, de a testet most másként szeleteljük fel. Most egyre növekvő sugarú körhengerekkel szabdaljuk fel a testet, olyanokkal, mint egy pogácsaszaggató készlet.
Függőlegesen, az x-tengelyre merőlegesen vágjuk keresztül a testet, a henger tengelye párhuzamos lesz az y-tengellyel. Minden hengernek ugyanaz lesz a függőleges tengelye, de sugaruk minden egyes vágás alkalmával nő. Ily módon a testet azonos vastagságú hengerhéjakra osztjuk fel, amelyek a közös tengelytől úgy terjeszkednek kifelé, akárcsak a fák évgyűrűi. Ha egy hengerhéjat kiterítünk, azt látjuk, hogy a hengerhéj térfogata hozzávetőleg egy olyan téglatestnek a térfogatával egyenlő, amelynek alaplapja területű, magassága pedig . Emiatt a térfogatot ugyanolyan integrálként értelmezhetjük most is, mint korábban.
Mielőtt még a módszert általánosan megfogalmaznánk, nézzünk egy példát!