Ha és , sima görbe, melyet pontosan egyszer járunk végig midőn t befutja az intervallumot, akkor e görbe valamelyik koordináta-tengely körüli megforgatásával generált felület felszíne a következő lesz.1.x-tengely körüli forgatás ( ):
(6.19)
2.y-tengely körüli forgatás ( ):
(6.20)
Akár az ívhossznál, a felszínszámításnál is tetszőleges olyan paraméterezés használható, amely eleget tesz a fenti feltételeknek.
6.50. ábra. A 3. példában e görbe által végigsöpört forgásfelület felszínét számítjuk ki.
3. példa: A felszínképletek alkalmazása
Az -sík középpontú, 1 sugarú körének standard paraméterezése
E paraméterezés alkalmazásával számítsuk ki annak a forgásfelületnek a felszínét, amely akkor áll elő, ha ezt a kört az x-tengely körül megforgatjuk (6.50. ábra).
Megoldás
Behelyettesítünk a felszínképletbe:
S
∎
5.4. A differenciális alak
Az
képleteket szokás a ívelem differenciáljaként is felírni:
Az első képletben y a ívelem távolsága az x-tengelytől, a másodikban x a ívelem távolsága az y-tengelytől. Mindkét integrál azonos alakú:
(6.21)
ahol ρ a ívelemnek a forgástengelytől mért távolsága (6.51. ábra).
6.51. ábra. Az ív tengely körüli forgatásával keletkező forgásfelület felszíne . Az egzakt kifejezés ρ-tól és -től függ.
Néhány speciális esetben a ρ függvényt és a differenciális ívhosszat kifejezhetjük egy közönséges változó függvényeként és az integrálási határokat megállapíthatjuk erre a változóra is.
4. példa: A differenciális alak alkalmazása a felszín meghatározására
Számítsuk ki az , görbe x-tengely körüli megforgatásával keletkező forgásfelület felszínét (6.52. ábra)!
Megoldás
Induljunk ki a rövid, differenciális alakból:
S
6.52. ábra. Az , görbe x-tengely körüli megforgatásával keletkező forgásfelület alakja egy pezsgőspoháréra hasonlít (4. példa).
Most el kell döntenünk, hogy -t fejezzük ki -szel vagy fordítva. A görbe eredetileg az alakban volt megadva, ezért egyszerűbb -t fejezni ki -szel. Számításainkat tehát így folytatjuk:
és
Ezekkel a helyettesítésekkel már x lesz az integrál változója és
S
∎
5.5. Hengeres kontra kúpos sávok
6.53. ábra. Miért nem hengeres sávokat (a) használunk kúpos sávok (b) helyett a felszín közelítésére?
A kúpos sávok helyett miért nem hengeres sávokkal közelítjük a forgásfelületeket úgy, ahogy az a 6.53. ábrán látszik? A Riemann-összegek épp oly pontosan konvergálnak ilyenkor is, mint a kúpos sávok esetében, s az eredményül kapott integrál egyszerűbb lesz. Ebben az esetben az x-tengely körüli forgatásra a (6.21) képletben
, a sáv szélessége pedig . Ez az
(6.22)
integrálalakhoz vezet és nem a (6.17) alakhoz. A probléma a (6.22) a képlettel az, hogy nem adja vissza a klasszikus geometriából ismert eredményeket, pedig a konzisztenciát elsődleges célként jelöltük meg. Csak azért, mert a Riemann-összegekből egy tetszetős képletet vezetünk le, nem biztos, hogy azt kapjuk, amit szeretnénk.5
FIGYELMEZTETÉS: A (6.22) képletet ne használjuk felszínszámításra! Az nem ad helyes eredményt!
5.6. Papposz tételei
Egy alexandriai görög matematikus, nevezetesen Papposz a 3. században felfedezett két összefüggést a forgásfelületek és forgástestek súlypontjának kiszámítására. Ezek a képletek az egyébként hosszadalmas számítások helyett gyors számszerű eredményt adnak.
1. Tétel: Papposz térfogattétele
Ha egy síktartományt megforgatunk egy olyan síkbeli egyenes körül, amely nem metszi át a tartomány belsejét, akkor az így generált test térfogata a tartomány területének és annak a távolságnak a szorzata, amelyet a tartomány súlypontja tesz meg egyszeri körbefordulás alatt.
Ha ρ a súlypont távolsága a forgástengelytől, akkor
(6.23)
Bizonyítás
A forgástengely legyen az x-tengely, az R tartomány pedig helyezkedjen el az első síknegyedben (6.54. ábra). Jelöljük -nal a tartomány y-tengelyre merőleges szakaszainak hosszát! Feltesszük, hogy folytonos.
A tartomány x-tengely körüli forgatásával generált test térfogata a hengerhéj-módszerrel:
(6.24) viszont ,,trapézok” felső élhosszait adjuk össze, az már közelíteni fogja az ívhosszat.
6.54. ábra. Az R tartomány x-tengely körüli (egyszeri) forgatása testet generál. Egy 1700 éves tétel kimondja, hogy a test térfogatát úgy számíthatjuk ki, hogy a tartomány területet megszorozzuk a tartomány súlypontja által bejárt úttal.
5. példa: A tórusz térfogata
Ha egy a sugarú körlapot a középpontjától távolságra lévő tengely körül megforgatunk, tóruszt kapunk (6.55. ábra). E tórusz térfogata
6.55. ábra. Papposz első tétele alapján a tórusz térfogatát integrálás nélkül is kiszámíthatjuk (5. példa).
6. példa: Félkörlap súlypontjának meghatározása Megoldás
A félkörlapot úgy vesszük fel, hogy az félkörív és az x-tengely legyenek a határai (6.56. ábra) és képzeljük el, hogy ezt a félkörlapot az x-tengely körül megforgatva egy gömböt hozunk létre. Szimmetriaokokból a súlypont x-koordinátája . A (6.23) képletből
helyettesítéssel azt kapjuk, hogy
∎
2. Tétel: Papposz tétele forgásfelületekre
Ha egy sima síkgörbe egy ívdarabját egyszer körbeforgatjuk a sík egy olyan egyenese körül, amely nem metszi a görbe belsejét, akkor az így generált forgásfelület felszíne egyenlő a görbe hosszának és annak a távolságnak a szorzatával, amelyet a görbe súlypontja a körülforgás során megtesz. Ha ρ a súlypont távolsága a forgástengelytől, akkor
(6.25)
A bizonyítás során feltesszük, hogy a forgástengely az x-tengely, a görbe pedig felírható x folytonosan differenciálható függvényeként.
6.56. ábra. Papposz első tétele alapján a félkörlap súlypontját integrálás nélkül is meg tudjuk határozni (6.
példa).
6.57. ábra. Papposz területtételének bizonyítására szolgáló ábra.
Bizonyítás
A forgástengely legyen az x-tengely, a görbedarab két végpontja és , és helyezkedjen el az első síknegyedben (6.57. ábra). A görbeív által generált forgásfelület felszíne
(6.26)
A görbeív súlypontjának y-koordinátája
Ezért
Az utóbbi egyenlőségből -et a (6.26)-be behelyettesítve adódik, hogy . ρ egyenlő
-nal, ezért . ∎
7. példa: A tórusz felszíne
A 5. példában szereplő tórusz felszíne
5.7. 6.5. Feladatok
5.7.1. Integrálképletek a felszín-meghatározáshoz
A 1–8. feladatokban:
• Állítsunk fel integrálképletet a megadott görbe megadott tengely körüli forgatásával generált felület felszínére!
• T Ábrázoljuk a görbét! Ha tudjuk, ábrázoljuk a felületet is!
• T Számítógépünk integrálok kiszámítására alkalmas programjával határozzuk meg a felszín számszerű értékét!