Bizonyítás: A 4. tétel bizonyítása
3. Az integrálok abszolút értékét összeadjuk
4.5.6. Következtetéseka mozgás grafikonjából
59. Legyen f egy differenciálható függvény, amelynek grafikonját a mellékelt ábra mutatja és tegyük fel, hogy az x-tengely mentén mozgó részecske helyzetét a t időpontban az
függvény adja meg méterben. A grafikon segítségével válaszoljuk meg a következő kérdéseket és indokoljuk is!
1. Mekkora a részecske sebessége a időpontban?
2. A időpontban a részecske gyorsulása pozitív vagy negatív?
3. Hol tartózkodik a részecske a időpontban?
4. Az első 9 másodpercben mikor veszi fel s a legnagyobb értéket?
5. Hozzávetőleg mikor lesz a gyorsulása nulla?
6. Mikor távolodik a részecske a kezdőponttól? Mikor közeledik hozzá?
7. A időpontban az origótól jobbra vagy balra van a részecske?
60. Legyen g egy differenciálható függvény, amelynek grafikonját a mellékelt ábra mutatja és tegyük fel, hogy az x-tengely mentén mozgó részecske helyzetét a t időpontban az
függvény adja meg méterben. A grafikon segítségével válaszoljuk meg a következő kérdéseket, és indokoljuk is!
1. Mekkora a részecske sebessége a időpontban?
2. A időpontban a részecske gyorsulása pozitív vagy negatív?
3. Hol tartózkodik a részecske a időpontban?
4. Az első 9 másodpercben mikor veszi fel s a legnagyobb értéket?
5. Mikor lesz nulla a gyorsulása?
6. Mikor távolodik a részecske a kezdőponttól? Mikor közeledik hozzá?
7. A időpontban az origótól jobbra vagy balra van a részecske?
4.5.7. Elmélet és példák
8. Mutassuk meg, hogy ha k egy pozitív állandó, akkor az görbe két gyöke közé eső egy darabja és az x-tengely közé eső tartomány területe .
9. Határozzuk meg
értékét!
10. Tegyük fel, hogy . Keressük -et!
11. Határozzuk meg értékét, ha !
12. Keressük meg
linearizációját az pontban!
13. Keressük meg
linearizációját az pontban!
14. Tegyük fel, hogy f-nek minden x-re létezik deriváltja és az pozitív, továbbá, hogy . A következő állítások közül melyek igazak a
függvényre?
1. g az x-nek differenciálható függvénye.
2. g az x-nek folytonos függvénye.
3. Az pontban g grafikonjának vízszintes az érintője.
4. g-nek lokális maximuma van az pontban.
5. g-nek lokális minimuma van az pontban.
6. g-nek inflexiós pontja van az pontban.
7. grafikonja az x-tengelyt az pontban metszi.
15. Tegyük fel, hogy f-nek minden x-re létezik deriváltja és az negatív, továbbá hogy . A következő állítások közül melyek igazak a
függvényre?
1. h az x-nek kétszer differenciálható függvénye.
2. h és mindketten folytonosak.
3. Az pontban h grafikonjának vízszintes az érintője.
4. h-nak lokális maximuma van az pontban.
5. h-nak lokális minimuma van az pontban.
6. h-nak inflexiós pontja van az pontban.
7. grafikonja az x-tengelyt az pontban metszi.
16. A Newton–Leibniz-tétel. Ha f folytonos, akkor azt várjuk, hogy
egyenlő legyen -szel, mint azt a Newton–Leibniz-tétel bizonyításának első részében láttuk. Például, ha , akkor
(5.10)
A (5.10) egyenlőség jobb oldala a szinuszfüggvény differenciahányadosa, s azt várjuk, hogy annak határértéke .
Ábrázoljuk -et a intervallumban! Azután, lehetőleg egy másik színnel, ábrázoljuk a (5.10) egyenlőség jobb oldalát is mint x függvényét a , 1, 0.5 és 0.1 értékek mellett! Figyeljük meg, hogyan konvergál ez a görbe a grafikonjához, amint !
17. A feladat ugyanaz, mint a 69. gyakorlatban, csak most legyen . Mi lesz az
határérték? Ábrázoljuk az függvényt a intervallumon! Azután ábrázoljuk a hányadost is mint x függvényét a , 0.5, 0.2 és 0.1 értékek esetén! Figyeljük meg, hogy az utóbbi görbe miként konvergál a gráfhoz, amint !
4.5.8. Számítógépes vizsgálatok
A 71–74 gyakorlatokban legyen , adott f függvényre és intervallumra. Számítógépes program (Maple, Mathematica stb.) segítségével hajtsuk végre a következő lépéseket, és válaszoljunk a feltett kérdésekre!
(a) Szerkesszük meg az f és az F függvényeket az intervallumon!
(b) Oldjuk meg az egyenletet! Mit állíthatunk az f és az F függvények grafikonjairól abban a pontban, ahol ? Megfigyelésünk túlmegy-e az Newton-Leibniz tétel első részéből, valamint az első deriváltból leszűrhető információkon? Válaszunkat indokoljuk!
(c) Hozzávetőleg mely intervallumokon nő illetve csökken az F függvény? Mit mondhatunk f-ről ezekben az intervallumokban?
(d) Számítsuk ki az deriváltat és ábrázoljuk F-fel közös koordinátarendszerben! Mit mondhatunk F grafikonjáról azokban a pontokban, amelyekben ? Megfigyelésünk túlmutat az Newton-Leibniz tétel első részén? Válaszunkat indokoljuk! Mathematica stb.) segítségével hajtsuk végre a következő lépéseket, és válaszoljunk a feltett kérdésekre!
(a) Keressük meg F értelmezési tartományát!
(b) Számítsuk ki -et, és határozzuk meg zérushelyeit! Értelmezési tartományának mely pontjaiban csökkenő, illetve növekvő az F függvény?
(c) Számítsuk ki -et, és határozzuk meg zérushelyeit! Azonosítsuk be F lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait!
(d) A feladat (a)–(c) részében nyert információk alapján vázoljuk fel hozzávetőlegesen az görbét F értelmezési tartományában! Vázlatos görbénk ellenőrzésére számítógéppel is rajzoltassuk meg grafikonját!
12. , ,
13. , ,
14. , ,
15. , ,
A 79–80 gyakorlatokban feltesszük, hogy f folytonos és kétszeresen differenciálható!
16. Számítsuk ki értékét, és eredményünket ellenőrizzük számítógépes program segítségével!
17. Számítsuk ki értékét, és eredményünket ellenőrizzük számítógépes program segítségével!
5. 5.5. A határozatlan integrál és a helyettesítési szabály
A határozott integrál egy szám, amelyet egy véges, zárt intervallum felosztásaihoz rendelt Riemann-összegek határértékeként definiálunk, amikor a felosztások normája nullához tart. A Newton–Leibniz-tétel azt mondja ki, hogy egy folytonos függvény határozott integrálját könnyedén kiszámíthatjuk, ha ismerjük a függvény primitív függvényét. A primitív függvényt általában nehezebb meghatározni, mint a deriváltat. Ugyanakkor sok előnnyel jár, ha elsajátítjuk a primitív függvény meghatározására alkalmas módszereket.
Most emlékeztetünk arra (lásd 8. szakasz), hogy az f függvény összes primitív függvényének halmazát az fx szerinti határozatlan integráljának nevezzük és a
szimbólummal jelöljük. Ezt a jelölést a primitív függvény és a határozott integrál között fennálló, a Newton–
Leibniz-tételben megfogalmazott kapcsolat indokolja. Ha valamely f függvény határozatlan integrálját keressük, mindig gondoljunk arra, hogy az csupán egy tetszőleges C állandó erejéig meghatározott.
A határozott és a határozatlan integrált gondosan meg kell különböztetnünk egymástól. Az határozott integrál egy szám. Az határozatlan integrál egy tetszőleges C állandóval kiegészített függvény.
Eddig csupán olyan függvények primitív függvényeit voltunk képesek meghatározni, amelyekről nyilvánvaló volt, hogy deriváltak. Ebben a szakaszban általánosabb módszereket keresünk a primitív függvény meghatározására. Az elsőként vizsgált integrálási technikák olyan, a derivált meghatározására alkalmas módszereknek az inverzei, amilyen a hatványfüggvény deriváltjának szabálya és a láncszabály.