Legyen az zárt intervallumon értelmezett korlátos függvény. Azt mondjuk, hogy az I szám az f függvény intervallumon vett határozott integrálja és a
Riemann-összegek határértéke, ha teljesülnek a következő feltételek:
Bármely adott számhoz van olyan szám, hogy minden olyan felosztására, amelyre , bárhogyan is választjuk ki -t az intervallumból, teljesül, hogy
Leibniz a határozott integrálra olyan jelölést vezetett be, amely a Riemann-összegekre emlékeztet. Látta, hogy a véges összegekből az függvényértéket az ,,infinitezimális” részintervallumok hosszúságával beszorozva végtelen összegeket kapunk. A ∑ jelet határértékben a ∫ jellel helyettesítjük, mely az ,,S” betűből ered. Az függvényértékeket határértékben az függvényérték helyettesíti, a részintervallumok hosszát a differenciál. Olyan, mintha az összes szorzatot összegeznénk, miközben x az összes értéket felveszi a és b között. Ez a jelölésmód utal az integrál előállításának folyamatára, a Riemann-féle definíció pedig pontos értelmet ad a határozott integrálnak. (A definícióban a korlátosságot nem lenne szükséges kikötni, de nem korlátos függvény Riemann-integrálja nyilvánvalóan amúgy sem létezik, és ez a feltevés a további vizsgálódásokat leegyszerűsíti.)
3.2. A határozott integrál jelölése és létezése
A határozott integrál definíciójában az I számot a
szimbólum helyettesíti, amit úgy kell kimondani, hogy ,,integrál a-tól b-ig dé x” vagy ,,fx szerinti integrálja a-tól b-ig”. A szimbólum összetevőinek is van külön nevük:
Ha a definíció feltételei teljesülnek, akkor azt mondjuk, hogy f -hez tartozó Riemann-összegei konvergálnak az határozott integrálhoz, és hogy f integrálható az intervallumon. A P felosztást sokféleképpen kiválaszthatjuk úgy, hogy normája nullához tartson, és bármely felosztásra sokféleképpen megválaszthatjuk -t is. A határozott integrál akkor létezik, ha mindig ugyanazt az I határértéket kapjuk függetlenül attól, hogy milyen felosztást és abban milyen -t választottunk. Ha a határérték létezik, akkor azt felírhatjuk, mint a függvény határozott integrálját:
Ha mindegyik felosztás n egyenlő nagyságú részintervallumot tartalmaz, amelyek hossza , akkor úgy is írhatjuk, hogy
A határértéket mindig úgy képezzük, hogy a felosztások normája nullához tartson, a részintervallumok száma pedig végtelenhez.
A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját. Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk
Nincs jelentősége az integrál írásmódjának, az mindig ugyanaz a szám, a Riemann-összegek határértéke.
Mivel a Riemann-összegek határértékének képzésekor nagyon sok lehetőség adódik, úgy tűnhet, nehéz lesz megmondani, hogy létezik-e ez a határérték. Ha az integrál létezik, akkor nincs jelentősége, hogyan választottunk felosztást és függvényértékeket, a Riemann-összegek mindig ugyanahhoz a határértékhez konvergálnak. Ez az eset, ha a függvény folytonos.
1. Tétel: Folytonos függvény határozott integrálja
Ha az f függvény folytonos az intervallumon, akkor az intervallumon létezik határozott integrálja.
A szélsőértéktétel (1. szakasz, 4.1. tétel) szerint, amennyiben f folytonos, meg tudjuk választani -t úgy, hogy az részintervallumon f-nek legyen a maximális értéke, s ezzel egy felső közelítő összeget kapunk. Úgy is meg tudjuk választani -t, hogy az részintervallumon f-nek a minimális értéke legyen, s így egy alsó közelítő összeget kapunk. lehet az intervallum felezőpontja, jobb oldali végpontja vagy egy véletlenszerűen kiválasztott pontja, a felosztás lehet egyenlő közű vagy változó szélességű, -ra mindig ugyanaz a határérték adódik, amikor . A 1. tétel hátterében az az ismeret áll, hogy bármely felosztásához hozzárendelt Riemann-összeg nem lehet nagyobb a felső közelítő összegnél, és nem lehet kisebb az alsó közelítő összegnél. Az alsó és a felső közelítő összeg egyaránt ugyanahhoz a határértékhez konvergál, amikor . Minden más Riemann-összeg az alsó és a felső közelítő összeg között fekszik, és mindnek ugyanaz a határértéke. A 1. tétel bizonyítása a függvények, felosztások és határértékek gondos vizsgálatára épül, ezért ebben a bevezető jellegű könyvben nincs helye. A bizonyítás mikéntjére utalnak a 80. és a 81. feladatok.
A 1. tétel semmit sem mond arról, hogy hogyan kell a határozott integrált kiszámítani. Ennek módját a 5.4.
szakaszban, a primitív függvény meghatározásának problémájával közösen fogjuk vizsgálni.
3.3. Integrálható és nem integrálható függvények
A 1. tétel azt mondja ki, hogy az intervallumon folytonos függvények integrálhatóak. A nem folytonos függvények vagy integrálhatók, vagy nem integrálhatók. A nem folytonos, de integrálható függvények lehetnek pl. szakaszonként folytonos függvények, amelyeket e fejezet végén, a további példák és feladatok között fogunk definiálni. (Ezek véges számú pont kivételével folytonosak az intervallumon.) Ahhoz, hogy ne legyen integrálható, a függvénynek annyira szakadásosnak kell lennie, hogy a grafikonja és az x-tengely közé eső tartomány ne legyen helyesen közelíthető egyre keskenyedő téglalapokkal. Lássunk egy példát nem integrálható függvényre!
1. példa
Az
függvény nem Riemann-integrálható a intervallumon. Ennek a kijelentésnek az az alapja, hogy bármely két szám között van mind racionális, mind pedig irracionális szám. Azaz a függvény túlságosan szeszélyesen ugrál ahhoz, hogy a grafikonja alatti és az x-tengely fölötti területet közelíteni lehessen akármilyen keskeny téglalapokkal. Megmutatjuk, hogy a felső közelítő összeg és az alsó közelítő összeg különböző határértékekhez konvergál.
Ha kijelöljük a egy felosztását, -t pedig úgy választjuk, hogy az az f maximális értéke legyen az intervallumon, akkor a megfelelő Riemann-összeg
mivel minden intervallumban van racionális szám, s arra . Így mindegyik Riemann-összeg 1-gyel egyenlő, s így határértékük is 1.
Másfelől, ha -t úgy választjuk, hogy az az f minimális értéke legyen az intervallumon, akkor a megfelelő Riemann-összeg
mert minden intervallumban van irracionális szám, s arra . Mivel a határérték függ megválasztásától, a függvény nem integrálható.
3.4. A határozott integrál tulajdonságai
hogy mit jelent ,,visszafelé integrálni”, most definiálhatjuk úgy, hogyAz integrál fogalmát nulla hosszúságú intervallumra is kiterjeszthetjük, amikor is . Mivel nulla, ha , ezért definíció szerint legyen
A 2. tétel az integrál hét tulajdonságát, az úgynevezett integrálási szabályokat mondja ki, többek között a fenti kettőt is. Ezek a szabályok nagyon hasznosak, amikor integrálok értékét kell kiszámítani. Újra és újra hivatkozni fogunk rájuk, amikor egyszerűsíteni akarjuk számításainkat.
A hét szabály közül kettőnek geometriai jelentése van, ezt a 5.11. ábra mutatja. Az ábrán látható grafikonok ugyan pozitív függvények grafikonjai, de a szabályok általánosan alkalmazhatók az integrálható függvényekre.
2. Tétel
Ha f és g integrálható, akkor a határozott integrálra igazak a 5.3. táblázatba foglalt szabályok.
1. Az integrálási határok felcserélése: . 2. Nulla hosszúságú intervallum: .
3. Konstanssal való szorzás: .Konstanssal való szorzás: .
4. Összeg és különbség: .
5. Additivitás: .
6. Maximum–minimum egyenlőtlenség: Ha f-nek van minimális és maximális értéke az intervallumon, akkor
7. Domináció:
5.3. táblázat. A határozott integrálra vonatkozó szabályok.
(a) Nulla hosszúságú intervallum:
(Egy pont felett 0 területű tartomány van.)
(b) Konstanssal való szorzás:
(Lásd -re.)
(c) Összeg:
(A területeket összeadjuk.)
(d) Additivitás:
(e) Maximum–minimum egyenlőtlenség:
≤
≤
(f) Domináció:
5.11. ábra.
Az 1. és a 2. szabály definíció, a 5.3. táblázat 3–7. szabályait azonban bizonyítani kell. Alább megadjuk az egyik szabály bizonyítását. A többi integrálási szabályt is hasonlóképpen lehet belátni.1