A héjmódszer összefoglalása.
Tekintet nélkül a forgástengely helyzetére (az lehet akár vízszintes, akár függőleges) a héjmódszer lépései a következők
1. Rajzoljuk fel a tartományt és vegyünk fel egy, a tartomány határait összekötő és a forgástengellyel párhuzamos egyenes szakaszt! Írjuk fel e szakasznak a hosszát (a héj magasságát) és a forgástengelytől való távolságát (a héj sugarát)!
2. A vastagsági változóra nézve állapítsuk meg az integrálási határokat!
3. Integráljuk a (héjsugár)(héjmagasság) szorzatot a vastagsági változóra (x vagy y) nézve, s ezzel megkapjuk a térfogatot!
Ugyanarra a testre alkalmazva a héjmódszer és a gyűrűmódszer ugyanazt az eredményt adja. Ezt az állítást itt nem bizonyítjuk, de illusztrálni fogjuk a 33. és a 34. feladatban. Mindkét képlet speciális esete egy általánosabb összefüggésnek, amit a kettős és hármas integráloknál, a 15. fejezetben fogunk majd látni. Az ott kapott általános összefüggés nemcsak a forgástestek, hanem más testek térfogatának kiszámítására is alkalmas.
2.2. 6.2. Feladatok
2.2.1. Síkmetszetek területe
A 1–6. feladatokban héjmódszerrel határozzuk meg a satírozott tartomány megadott tengely körüli forgatásával generált forgástest térfogatát!
1.
2.
3.
4.
5. Az y-tengely körül:
6. Az x-tengely körül:
2.2.2. y -tengely körüli forgatás
A 7–14. feladatokban héjmódszerrel határozzuk meg a satírozott tartomány y-tengely körüli forgatásával generált forgástest térfogatát!
7. , ,
8. , ,
9. , , esetén
10. , ,
11. , ,
12. , ,
13. Legyen
1. Mutassuk meg, hogy , !
2. Számítsuk ki a satírozott tartomány y-tengely körüli forgatásával generált test térfogatát!
14. Legyen
1. Mutassuk meg, hogy , !
2. Számítsuk ki a satírozott tartomány y-tengely körüli forgatásával generált test térfogatát!
2.2.3. x -tengely körüli forgatás
A 15–22. feladatokban héjmódszerrel határozzuk meg a satírozott tartomány x-tengely körüli forgatásával generált forgástest térfogatát!
3. , ,
4. , , ,
5. ,
6. ,
7. ,
8. , ,
9. , ,
10. , ,
2.2.4. Vízszintes tengely körüli forgatás
A 23. és a 24. feladatban használjuk a héjmódszert azon test térfogatának kiszámítására, amely a satírozott tartomány megadott tengely körüli forgatásával áll elő!
11.
1. Az x-tengely,
2. Az egyenes,
3. Az egyenes,
4. Az egyenes.
12.
1. Az x-tengely, 2. Az egyenes,
3. Az egyenes,
4. Az egyenes.
2.2.5. A gyűrűmódszer és a héjmódszer összehasonlítása
Vannak olyan tartományok, amelyekből a koordinátatengely körüli forgatással generált test térfogatmeghatározására mind a gyűrűmódszer, mind a héjmódszer alkalmas. Ez azonban nem mindig van így.
Ha a tartományt az y-tengely körül forgatjuk és a gyűrűmódszert használjuk, akkor y szerint kell integrálnunk.
Ez nem mindig lehetséges, sőt néha még az is akadályba ütközik, hogy az integrandust y változójaként kifejezzük. Az ilyen esetekben a héjmódszer lehetővé teszi az x változó szerinti integrálást. A 25 és a 26. feladat ilyen jellegű problémákba nyújt betekintést. tengely körüli megforgatásával előálló test térfogatát!
1. Az x-tengely körül forgatunk, és használjuk a gyűrűmódszert!
2. Az y-tengely körül forgatunk, és használjuk a héjmódszert!
3. Az egyenes körül forgatunk, és használjuk a héjmódszert!
4. Az egyenes körül forgatunk, és használjuk a gyűrűmódszert!
2.2.6. Héjmódszer vagy gyűrűmódszer
A 27–32. feladatokban számítsuk ki a megadott tartomány megadott tengely körüli forgatása révén keletkező forgástest térfogatát! Ha egy adott feladatban előnyösebbnek látjuk a gyűrűmódszer használatát, dolgozzunk azzal!
1. az x-tengely, 2. az y-tengely,
3. az egyenes, 4. az egyenes
körül.
7. Az görbe és az y-tengely által határolt, az első síknegyedben fekvő tartományt megforgatjuk 1. az x-tengely,
2. az egyenes körül.
8. Az , és által határolt első síknegyedbeli tartományt megforgatjuk 1. az x-tengely,
10. Az és az által határolt tartományt megforgatjuk 1. az x-tengely,
2. az egyenes körül.
11. Az első síknegyedben fekvő tartományt felülről az görbe, balról az egyenes, alulról pedig az egyenes határolja. A tartományt megforgatjuk az x-tengely körül. Számítsuk ki a test térfogatát
1. gyűrűmódszerrel, 2. héjmódszerrel!
12. Az első síknegyedben fekvő tartományt felülről az görbe, balról az egyenes, alulról pedig az egyenes határolja. A tartományt megforgatjuk az y-tengely körül. Számítsuk ki a test módszert használhatjuk a test térfogatának meghatározására? Hány integrálra van szükség az egyes esetekben? Válaszunkat indokoljuk!
14. Az ábrán látható tartományból az y-tengely körüli forgatással egy forgástestet hozunk létre. Melyik módszert használhatjuk a test térfogatának meghatározására? Hány integrálra van szükség az egyes esetekben? Válaszunkat indokoljuk!
3. 6.3. Síkgörbék hossza
Tudjuk mit jelent egy egyenes szakasz hossza, de egy tetszőleges görbe hosszáról a kalkulus nélkül nem alkothatunk pontos fogalmat. Az ókori görög matematikusoktól származik az a gondolat, hogy az A ponttól a B pontig futó görbe hosszát úgy lehet közelíteni, hogy a görbét sok kis görbedarabra osztjuk fel, s az osztópontokat egyenes szakasszal összekötjük. Arkhimédész ezt a módszert alkalmazta akkor, amikor a kör kerületét a körbe írt n oldalú sokszögek kerületével közelítette (6.23. ábra). Ennek a gondolatnak a körnél általánosabb görbékre való kiterjesztését mutatja a 6.24. ábra, s a továbbiakban ezzel fogunk foglalkozni.
6.23. ábra. Arkhimédész a kör kerületét a körbe írt sokszögek kerületével közelítette. esetén a módszer π-re, mint az egységnyi átmérőjű kör kerületére a 3.14103 értéket adja.
3.1. Paraméteres alakban definiált görbe hossza
Legyen C az
egyenletekkel paraméteresen megadott görbe! Az ilyen görbét legegyszerűbben annak a részecskének a pályájaként képzelhetjük el, amely a időpontban az pontból elindul a
pont felé (6.24. ábra). Feltesszük, hogy f és g deriváltja is folytonos az intervallumon és egyidejűleg nem nullák. Az ilyen függvényeket folytonosan differenciálható függvényeknek nevezzük, az általuk definiált C görbét pedig sima görbének. Az pályát (vagy ívet) az osztópontokkal n darabra osztjuk fel. Ezek a pontok az intervallum egy felosztásának felelnek meg, ahol és . E felosztás szomszédos pontjait kössük össze egyenes szakaszokkal (6.24. ábra)! Egy ilyen egyenes szakasz hossza általános alakban
lesz (6.25. ábra). Ha kicsi, akkor az hosszúság közel azonos lesz a ívdarabnak a hosszával. A középértéktétel szerint vannak olyan és értékek a intervallumban, amelyekre
6.24. ábra. Az és , egyenletekkel paraméteres alakban megadott C görbe. A görbe darabjának hosszát egy olyan töröttvonalnak a hosszával közelítjük, amelynek kezdőpontja az
pont, végpontja pedig a pont.
6.25. ábra. A ívet az itt látható szakasszal közelítjük, amelynek hossza: . Ha feltételezzük, hogy miközben t felveszi a és közötti értékeket, a részecske az pályát pontosan egyszer járja be, azaz nem tér vissza és visszafele sem halad, úgy az görbe ,,hosszára” intuitív közelítést adhatunk az hosszúságok összegzése révén:
Bár ez az összeg nem pontosan Riemann-összeg (mert -nek és -nek nem ugyanabban a pontban felvett értékei szerepelnek benne), a felsőbb analízis egy tétele biztosítja a határérték létezését, amint a felosztás normája nullához tart, s ez a határérték lesz az
határozott integrál értéke.