Mint azt korábban láttuk, egy nem kommutatív csoportban az a ◦ H bal oldali mellékosztály néha megegyezik a H ◦a jobb oldali mellékosztállyal, néha nem.
Az, hogy a két halmaz egybeesik vagy nem, függ attól is, hogy a csoport melyik elemével képezzük a mellékosztályokat, attól is, hogy mely részcsoport szerinti mellékosztályokról beszélünk. Ha példáula ∈ H, akkora◦H =H◦a(=H). Ha H triviális részcsoportjaG-nek, akkor tetsz˝oleges elem esetén egybeesik az illet˝o elemmel képzettH szerinti bal oldali mellékosztály a jobb oldalival.
5.2. Definíció. A(G,◦)csoport egy(H,◦)részcsoportjátnormálosztónak(vagy normális részcsoportnak) nevezzük, ha tetsz˝olegesg ∈ Geseténg◦H = H ◦g.
Jelölése: H CG.
Például:
1. Kommutatív csoportnak minden részcsoportja normálosztó.
2. Tetsz˝oleges csoportban a triviális részcsoportok normálosztók.
Bizonyítás. Ha ugyanis H = {e}, ahol {e} a csoport egységeleme, akkor
∀g-re
g◦H = {g} = H◦g; ha pedigH =G, akkor
g◦H =G=H ◦g.
3. Tetsz˝oleges véges csoportban egy 2 rend˝u részcsoport normálosztó.
Bizonyítás. Ha ugyanisHrendje fele a csoport rendjének, akkor két külön-böz˝o – mondjuk bal oldali – mellékosztályt kapunk (|G :H| =2), amelyek egyike maga aH, a másik pedig aH-ból kimaradó elemek halmaza. Ha egy h ∈ Helemmel képezzük akár a bal, akár a jobb oldali mellékosztályt, akkor magát aHhalmazt kapjuk, ha pedig egyH-n kívüli elemmel, akkorH-nak a G-re vonatkozó komplementerét, ami szintén független attól, hogy bal vagy jobb oldali mellékosztályról van-e szó.
4. A(Z,◦)csoportban, ahola◦b =a+b, haapáros ésa◦b=a−b, haa páratlan, például a 10-zel osztható számok halmaza normálosztó.
Bizonyítás. Azt, hogy egy páros szám többszörösei részcsoportot alkotnak, már láttuk. Legyen N = {10k |k ∈Z}. Ha mostapáros szám, akkor mivel a 10kalakú számok mindig párosak, tetsz˝olegesk-ra
a◦10k =a+10k=10k+a =10k◦a, vagyisa◦N = N◦a. Haapáratlan, akkor
a◦10k =a−10k, míg
10k◦a =10k+a.
Mivel aza−10kalakú számok halmaza egybeesik a 10k+aalakú számok halmazával,a ◦N most is egyenl˝o N ◦a-val. Ugyanebben a csoportban a kételem˝u részcsoportok – például H = {0,3}– nem normálosztók. (Például 2◦H = {2,5}, mígH◦2= {2,1}).
5. D4-ben (a négyzet szimmetriacsoportja) azN = {f0, f180}normálosztó.
Bizonyítás. Könnyen meggy˝oz˝odhetünk arról, hogy a transzformációk egymásutánjára is és az inverzképzésre is zárt a halmaz, vagyis N részc-soport. Mivel D4-ben a forgatások kommutatív részcsoportot alkotnak (ami szintén normálosztó, hiszen rendje fele a csoport rendjének), és N részc-soportja az összes forgatás részcsoportjának, így ha g egy forgatás, akkor
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 63 g ·N = N ·g. Hag egy tükrözés, akkor könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy g·
·N = {g,t} = N ·g, aholt agtengelyére mer˝oleges tengelyre vonatkozó tükrözés.
6. Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy ugyanebben a csoportban a H = {f0,t} részc-soport, aholtaz egyik tükrözés, nem normálosztó.
Megjegyzés. Ha egy normáloszó szerint készítjük el a mellékosztályokat, akkor a normálosztó definíciója szerint mindegy, hogy bal vagy jobb oldali mellékosztá-lyokról van szó, így beszélhetünk a g elemmel képzett N normálosztó szerinti mellékosztályról anélkül, hogy megmondanánk, hogy az bal vagy jobb oldali mel-lékosztály.
5.3. Tétel. Egy csoport két normálosztójának metszete is és komplexusszorzata is normálosztó.
Bizonyítás. Legyen N1 és N2 a (G,◦) csoport két normálosztója. Azt, hogy N1∩N2részcsoport, már a 2.3. tételb˝ol tudjuk (a normálosztók részcsoportok, és részcsoportok metszete is részcsoport). Legyengegy tetsz˝oleges eleme a csoport-nak. Könnyen meggondolható, hogy a g◦(N1∩ N2)mellékosztály részhalmaza lesz a(g◦N1)∩(g◦N2)halmaznak és viszont, így a kölcsönös tartalmazás miatt
g◦(N1∩N2)=(g◦N1)∩(g◦N2).
Mivel N1ésN2normálosztó,
g◦N1= N1◦g és g◦N2= N2◦g, így
g◦(N1∩N2)=(g◦N1)∩(g◦N2)=(N1◦g)∩(N2◦g)=(N1∩N2)◦g. Vagyis a két normálosztó metszete is normálosztó.
Ahhoz, hogy N1◦ N2részcsoportja G-nek, a3.2. Tétel értelmében elegend˝o azt belátni, hogy(N1◦N2)◦(N1◦N2)−1 ⊆ N1◦N2. Ehhez egyrészt azt fogjuk felhasználni, hogyN1◦N2= N2◦N1(hiszen N2normálosztó, ígyN1tetsz˝oleges neleméren◦N2=N2◦n); másrészt, hogy
(N1◦N2)−1(N2)−1◦(N1)−1⊆ N2◦N1 (hiszenN2is ésN1is részcsoport). Ezek alapján:
(N1◦N2)◦(N1◦N2)−1=(N1◦N2)◦(N2−1◦N1−1)=
=N1◦(N2◦N2−1)◦N1−1⊆(N1◦N2)◦N1−1=(N2◦N1)◦N1−1=
= N2◦(N1◦N1−1)⊆ N2◦N1=N1◦N2.
Be kell még látnunk, hogyN1◦N2normálosztó, vagyis tetsz˝olegesgelem esetén g◦(N1◦N2)=(N1◦N2)◦g.
Felhasználva, hogyN1ésN2normálosztók:
g◦(N1◦N2)=(g◦N1)◦N2=(N1◦g)◦N2=
= N1◦(g◦N2)=N1◦(N2◦g)=(N1◦N2)◦g.
Megjegyzés. A bizonyítás els˝o felében a részcsoport tulajdonság a nyilvánvaló, a második részben a normálosztó tulajdonság.
Megjegyzés. A (G,◦) csoport egy N normálosztójára ugyan teljesül, hogy tet-sz˝oleges g ∈ G elemreg◦ N = N ◦g, mindazonáltal nem szükségszer˝u, hogy mindenn ∈ Nelemre fennálljon, hogyg◦n =n◦g. S˝ot!
Vizsgáljuk a D6csoport m˝uveleti táblázatát!
A szomszédos tengelyek az els˝ot˝ol a hatodikig az egymással 30◦-os szöget zárnak be egymással. H = {f0, f120, f240} részcsoport. Normálosztó is, mert a forgatások részcsoportja eleve kommutatív – a táblázatban feltüntetett tükörtengely indexelés mellett pedig – a tengelyek indexének paritása megmarad, akár jobbról, akár balról szorozzuk meg veleH-t:
Az is látszik viszont, hogy például f120t16= t1f120.
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 65 Feladatok
1. Hány elem˝u részcsoportja lehet egy (a) 6, (b) 5 elem˝u csoportnak? (Használ-hatja a csoportkészít˝o programot.) Melyek lehetnek normálosztók? Egy konkrét példán adja meg a mellékosztályokat!
2. Határozza meg a (a)(Z6,+mod 6)(b)(Z5,+mod 5)csoport részcsoportjait, normálosztóit!
3. Határozza meg a(Z6,+mod 6)csoport részcsoportjait, normálosztóit!
4. Legyen p tetsz˝oleges pozitív prímszám. A {1,p,p2,p3,p4,p5}halmazon értelmezzük a◦m˝uveletet úgy, hogypk◦pm = pr, aholr ≡k+m (mod 6), 0≤r <6. Igazolja, hogy csoportot kapunk!
Van-e normálosztó ebben a csoportban?
Ciklikus-e ez a csoport? Kommutatív-e a csoport?
5. Ellen˝orizze, hogy(Z,+)csoport!
Igazolja, hogy aH = {8k |k ∈Z}részhalhamaz részcsoportot alkot.
Készítse el aH szerinti mellékosztályokat! Mit kapunk?
6. Határozza meg (Z6,+mod 6) részcsoportjait! Melyek normálosztók ezek közül?
7. Igazolja, hogy a 2×2-es valós reguláris (invertálható) mátrixok a mátrixs-zorzásra nézve csoportot alkotnak. Igazolja, hogy az 1 determinánsú mátrixok halmaza részcsoport ebben a struktúrában!
8. Melyek lesznek a(R,+)csoportZrészcsoport szerinti mellékosztályai?
9. Igazolja, hogy a valós számok [0,1)intervallumába es˝o részhalmaza a mod 1 összeadás szerint csoportot alkot. (r1 ésr2 összegét értelmezzükr1+r2 törtrészeként, azaz{r1+r2}-nek.)
10. A sík vektorai a vektorösszeadásra nézve csoportot alkotnak. Ennek részc-soportja az y = x egyenessel egyirányú vektorok halmaza. Mik lesznek eszerint a részcsoport szerinti mellékosztályok?
11. Igazolja, hogy a komplex egységvektorok (az 1 abszolút érték˝u komplex számok) a komplex számok szorzására nézve csoportot alkotnak. Keressen részcsoportot ebben a csoportban!
12. Határozza meg(Z8,+mod 8)elemeinek rendjét!
Hány eleme lehet egy részcsoportjának?
Határozza meg a részcsoportokat!
Adja meg a részcsoportok indexét!
Melyek normálosztók a részcsoportok közül?
13. A (G,◦) csoport centrumának nevezzük a csoport azon c elemeinek hal-mazát, amelyekre teljesül, hogy tetsz˝olegesg∈Gelemreg◦c =c◦g.
(a) Igazolja, hogy egy csoport centruma részcsoport.
(b) Igazolja, hogy egy csoport centruma normálosztó.
14. Igazolja, hogy egy ciklikus csoport minden részcsoportja normálosztó!
15. Tekintsük R[x] összeadásra vett csoportjának a legfeljebb n-edfokú valós együtthatós polinomokH részcsoportját.
Adja meg aH szerinti mellékosztályokat!
16. (a) A(Z,+)csoportnak részcsoportja, s˝ot normálosztója aH3= {3k |k ∈
∈Z}ésH4= {4k |k ∈Z}is. (Lássa be!)
Határozza meg H3∩H4-t ésH3+H4-et. Ellen˝orizze, hogy mindkett˝o normálosztó!
(b) A(Z,+)csoportnak részcsoportja, s˝ot normálosztója aH9= {9k |k ∈
∈Z}ésH12 = {12k|k∈Z}is. (Ezt is lássa be!)
Határozza megH9∩H12-t ésH9+H12-t. Ellen˝orizze, hogy mindkett˝o normálosztó!