Néhány nevezetes szerkeszthet˝oségi probléma
1. Algebrai m ˝uveletek
1. Az alábbiak közül melyik alkot algebrai struktúrát?
(a) A természetes számok az osztásra nézve.
(b) A prímszámok a szorzásra nézve.
(c) A természetes számok a rákövetkezés m˝uveletére. (n ∈ Nelemhez a rákövetkez˝o természetes számot rendeljük.)
(d) A valós számok.
2. Az alábbiak közül melyik alkot algebrai struktúrát?
(a) Az egész számok az osztásra nézve.
(b) Az 5-nél nem nagyobb természetes számok az összeadásra nézve.
(c) A természetes számok a rákövetkezés m˝uveletére. (n ∈ Nelemhez a rákövetkez˝o természetes számot rendeljük.)
(d) A 2×3-as invertálható mátrixok a mátrixösszeadásra nézve.
3. Az alábbiak közül melyik alkot algebrai struktúrát?
(a) A természetes számok a kivonásra nézve.
(b) Az 5-nél nagyobb természetes számok az összeadásra nézve.
(c) Az egész együtthatós polinomok a polinomosztásra nézve.
(d) A 2×3-as mátrixok a mátrixszorzásra nézve.
187
4. Az alábbiak közül melyik m˝uvelet a természetes számok halmazán?
(a) Összeadás.
(b) Additív inverzképzés.
(c) Kivonás.
(d) Osztás.
5. Az alábbiak közül melyik egyváltozós m˝uvelet az egész számok halmazán?
(a) Összeadás.
(b) Additív inverzképzés.
(c) Kivonás.
(d) Osztás.
6. Melyik nem alkot algebrai struktúrát az alábbiak közül?
(a) A természetes számok az összeadásra nézve.
(b) A természetes számok a rákövetkezésre nézve. (n ∈ N elemhez a rákövetkez˝o természetes számot rendeljük.)
(c) A természetes számok a szorzásra nézve.
(d) A természetes számok az osztásra nézve.
7. Az(S,◦)algebrai struktúrában melyik m˝uveleti tulajdonságból következik, hogy:∀a,b,c∈ S:(a◦b)◦c=c◦(a◦b)? (Figyelmesen nézze meg a felírt összefüggést!)
(a) ◦asszociativitása.
(b) ◦kommutativitása.
(c) ◦invertálhatósága.
(d) ◦disztributivitása.
8. Az (S,◦,∗) algebrai struktúrában melyik m˝uvelet melyik tulajdonságából következik, hogy∀a,b,c∈ S:(a◦b)◦(c∗d)=a◦(b◦(c∗d))?
(a) ∗asszociativitása.
(b) ◦asszociativitása.
(c) ◦disztributivitása∗-ra.
(d) ∗-nak◦-re vonatkozó disztributivitása.
9. Az(S,◦,∗)algebrai struktúrában melyik m˝uveleti tulajdonságból következik, hogy:∀a,b,c∈ S:(a∗b)◦c=(a◦c)∗(b◦c)?
Fried Katalin – Korándi József –Török Judit: A modern algebra alapjai alapjai 189 (a) ◦asszociativitása.
(b) ∗asszociativitása.
(c) ∗disztributivitása◦-re.
(d) ◦disztributivitása∗-ra.
2. Félcsoportok
1. Melyik félcsoport a következ˝ok közül?
(a) ({0,1,2,3,4,5},◦), ahol◦a valós számokon értelmezett szorzás.
(b) (R+,◦), ahola◦b=ab.
(c) (N,◦), ahol a◦az egymás után írást jelenti, pl. 47◦16=4716.
(d) (R,∗), ahol∗az additív inverz (ellentett).
2. Melyik félcsoport a következ˝ok közül?
(a) (N,◦), ahola◦b=a+b−1.
(b) (N,◦), ahola◦b=ab+1.
(c) (N,◦), ahola◦b=a+b+1.
(d) (N,◦), ahola◦b=ab−1.
3. Melyik nem félcsoport a következ˝ok közül?
(a) (Q,·).
(b) (Z−,·).
(c) (R+,·). (d) (Z−,+).
4. Melyik nem félcsoport és milyen okból a következ˝ok közül?
(a) (Z−,·), mert nem asszociatív.
(b) (Z,−), mert nem zárt.
(c) (R,−), mert nem asszociatív.
(d) (R−,·), mert nem asszociatív.
5. Melyik tulajdonság szükséges ahhoz, hogy(S,◦)félcsoport legyen?
(a) ◦kommutatív.
(b) ◦asszociatív.
(c) ◦invertálható.
(d) ◦disztributív.
6. Melyik tulajdonság nem szükséges ahhoz, hogy(S,◦)félcsoport legyen?
(a) Snem üres.
(b) Szárt a◦m˝uveletre.
(c) ◦kommutatív.
(d) ◦asszociatív.
7. Melyik egységelemes félcsoport?
(a) (N,·).
(b) (Z−,·).
(c) (R+,+).
(d) (R−,+).
8. Melyik félcsoportban nincs egységelem?
(a) (Z+,+). (b) (R+,·).
(c) (R,+).
(d) (Z+,·).
9. Melyik félcsoportban nincs egységelem, és ennek mi az oka?
(a) Az 5-nél nagyobb természetes számok összeadásra vett félcso-portjában, mert a m˝uvelet nem kommutatív.
(b) A pozitív egész számok szorzásra vett félcsoportjában, mert nincs benne a 0.
(c) A negatív egész számok összeadásra vett félcsoportjában, mert nincs benne a 0.
(d) A valós együtthatós polinomok szorzásra vett félcsoportja, mert a poli-nomok körében nincs inverz.
10. Mi az egységelem a(Z,◦)félcsoportban, ahola◦b= −ab+a+b?
(a) −1.
(b) 1.
(c) 0.
(d) Nincs.
Fried Katalin – Korándi József –Török Judit: A modern algebra alapjai alapjai 191
3. Csoportok
1. Melyik alkot csoportot az alábbi struktúrák közül?
(a) (N,+) (b) (Z,+) (c) (N,·) (d) (Z,·)
2. Melyik nem csoport az alábbiak közül?
(a) (R,+) (b) (Q,+) (c) (Z,+) (d) (N,+)
3. Melyik nem csoport, és miért nem az?
(a) (Z,+), mert a m˝uvelet nem asszociatív.
(b) (Z,·), mert a m˝uvelet nem invertálható.
(c) (Z,+), mert a m˝uvelet nem invertálható.
(d) (Z,·), mert a m˝uvelet nem asszociatív.
4. Keresse ki azt a struktúrát, amelyik csoport, de nem ciklikus?
(a) (N,+) (b) (Z,+) (c) (R,+) (d) (Z5,+mod 5)
5. Az(S,◦)csoportban a m˝uvelet melyik tulajdonságát nem követlejük meg?
(a) Asszociativitás.
(b) Zártság.
(c) Invertálhatóság.
(d) Kommutativitás.
6. Melyik elemnek nem 6 a rendje a(Z18,+mod 18)csoportban?
(a) 3.
(b) 6.
(c) 9.
(d) 15.
7. Hány részcsoportja van a(Z8,+mod 8)csoportnak?
(a) 1.
(b) 2.
(c) 4.
(d) 8.
4. Mellékosztályok, normálosztó
1. Hány mellékosztálya van a(Z8,+mod 8)csoportnak egy kételem˝u részcso-portja szerint?
(a) 1.
(b) 2.
(c) 4.
(d) 8.
2. Melyik normálosztó D3-ban (a halmaz elemeit a szokásos módon f0, f120, f240,tA,tB,tCjelöli)?
(a) {tA,tB,tC}. (b) {f0, f120, f240}. (c) {f0,tA}. (d) {f0,tB}.
3. Egy 24 elem˝u csoportot egy 6 elem˝u részcsoportja szerint faktorizálnuk.
Hány eleme lesz a faktorcsoportnak?
(a) 24.
(b) 6.
(c) 4.
(d) 8.
4. Melyik állítás nem igaz az alábbiak közül?
(a) Egy ciklikus csoportban minden részcsoport normálosztó.
(b) Minden csoportban minden 2 index˝u részcsoport normálosztó.
(c) Minden csoportban minden kételem˝u részcsoport normálosztó.
(d) Egy csoport centruma mindig normálosztó. (A(G,◦)csoport centruma azonhelemei halmaza, amelyekre minden csoportbeligelemreh◦g= g◦h.)
Fried Katalin – Korándi József –Török Judit: A modern algebra alapjai alapjai 193
5. Csoport kompatibilis osztályozása
1. A valós számok összeadásra vett csoportjában az egészek részcsoportot alkotnak ezzel faktorizálva a kapott struktúra melyik alábbival lesz izomorf?
(a) (Z,+).
(b) (Z,◦), ahola◦b= {a} + {b}. (c) ([0,1),◦), ahola◦b= {a+b}. (d) ([0,1),◦), ahola◦b= {a} + {b}.
2. Melyik állítás nem feltétlenül igaz az alábbiak közül?
(a) Egy G csoport kompatibilis osztályozásakor az egységelemet tartal-mazó osztály normálosztó.
(b) EgyGcsoport normálosztója szerinti osztályozás kompatibilis.
(c) Egy G csoportot homomorf módon leképezve egy H csoportba a kapott képelemek halmaza normálosztóG-ben.
(d) Egy G csoportot homomorf módon leképezve egy H csoportba a kapott képelemek ˝osképei a csoport kompatibilis osztályozását adják.
3. (Z,+)melyik osztályozása kompatibilis?
(a) Azokat az elemeket soroljuk egy osztályba, amelyek abszolút értéke ugyanarra a számjegyre végz˝odik.
(b) Azokat az elemeket soroljuk egy osztályba, amelyek ugyanazzal a számjeggyel kezd˝odnek.
(c) Azokat az elemeket soroljuk egy osztályba, amelyekben ugyanannyi az 1-es számjegyek száma.
(d) A számokhoz hozzáadjuk az abszolút értékeik 10-szeresét, majd azokat a számokat soroljuk egy osztályba, amelyekhez az így képzett összeg ugyanarra a számjegyre végz˝odik.
4. Az alábbi csoportpárok közül melyek nem izomorfak?
(a) S3ésD3.
(b) ({igaz,hamis},∨)és({0,1},min). (c) (R+,·)és(R,+).
(d) (Q+,·)és(Q,+).
6. Permutációcsoportok
1. Mennyi a
1 2 3 4 5
3 1 5 2 4
permutáció rendje?
(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7
2. Hány diszjunkt ciklusra bomlik a
1 2 3 4 5 6 7
2 7 5 6 3 4 1
permutáció?
(a) 1 (b) 3 (c) 5 (d) 7
3. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? (Figyelmesen olvassa el az állítá-sokat!)
(a) Páros permutációk szorzata páros.
(b) Páratlan permutációk szorzata páratlan.
(c) Páros permutációk összege páros.
(d) Páratlan permutációk összege páratlan.
4. Melyik állítás nem helyes?
(a) Minden véges csoporthoz van vele izomorf permutációcsoport.
(b) Minden permutációval van vele izomorf véges csoport.
(c) Minden véges csoport izomorf egy permutációcsoport valamely részc-soportjával.
(d) Minden permutációcsoport izomorf egy csoporttal.
7. Gy ˝ur ˝uk
1. Melyik nem gy˝ur˝u az alábbi struktúrák közül?
(a) (Z,+,·).
(b) A 3×2-es valós elem˝u mátrixok a mátrixösszeadásra és a mátrixs-zorzásra.
Fried Katalin – Korándi József –Török Judit: A modern algebra alapjai alapjai 195 (c) A valós együtthatós polinomok a polinomösszeadásra és
polinom-szorzásra.
(d) A teljes valós halmazon folytonos függvények a függvényösszeadásra és függvényszorzásra.
2. Az alábbiak közül melyik gy˝ur˝u nem izomorf az egész számok gy˝ur˝ujével?
(a) Az a 0
a 0
alakú mátrixok a mátrixösszeadással és a mátrixszorzással.
(b) Az a a
0 0
alakú mátrixok a mátrixösszeadással és a mátrixszorzással.
(c) Az a a
a a
alakú mátrixok a mátrixösszeadással és a mátrixszorzással.
(d) Az a 0
0 0
alakú mátrixok a mátrixösszeadással és a mátrixszorzással.
3. Melyik igaz az alábbiak közül mindegyik(R,+,·)gy˝ur˝ure?
(a) Az összeadás nem feltétlenül kommutatív.
(b) Az összeadás nem lehet invertálható.
(c) A szorzás nem lehet invertálható.
(d) A szorzás nem feltétlenül kommutatív.
9. Testek
1. Melyik igaz az alábbiak közül minden(T,+,·)testre?
(a) Az összeadás nem feltétlenül kommutatív.
(b) Az összeadás nem szükségképpen invertálható.
(c) Van olyan eleme, amelynek nincs multiplikatív inverze.
(d) A szorzás nem lehet kommutatív.
2. Melyik nem test az alábbiak közül?
(a) (Q,+,·). (b) (Z,+,·). (c) (R,+,·). (d) (C,+,·).
3. Melyik nem test az alábbiak közül?
(a) (Q,+,·).
(b) (C,+,·)
(c) (Z5,+mod 5,·mod 5). (d) (Z9,+mod 9,·mod 9).
4. Melyik nem prímtest az alábbiak közül?
(a) (Q,+,·).
(b) ({0,1},◦,∗), ahol 0 az összeadás, 1 a szorzás egységeleme.
(c) (Z5,+mod 5,·mod 5).
(d) A 3×3-as reguláris (nem 0 determinánsú) mátrixok a mátrixösszead-ásra és -szorzmátrixösszead-ásra.
11. Testb˝ovítések
1. Melyik testet kaphatjuk meg a(Z3,+mod 3,·mod 3)test b˝ovítéseként?
(a) (Z,+,·).
(b) (Z5,+mod 5,·mod 5).
(c) (Q,+,·).
(d) A fentiek egyikét sem.
2. Melyik test fölött algebrai elem azi·π? (a) (Q,+,·).
(b) (Z11,+mod 11,·mod 11).
(c) (R,+,·).
3. Melyik algebrai szám?
(a) ππ2
(b) ππ2 (c) π2π2 (d) π/π2
4. Hányadfokú testb˝ovítéseQ-nak a√ 2+√
7-tel való b˝ovítése?
(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4
Fried Katalin – Korándi József –Török Judit: A modern algebra alapjai alapjai 197 5. Ha A=Q(√
2), B =Q(√
3),C =Q(√ 2+√
3), akkor az alábbi állítások közül melyik igaz?
(a) C = A∩B (b) C ⊂ A (c) A⊂C (d) A=C\B
12. A geometriai szerkeszthet˝oség algebrai elmélete
1. Egy szakasz ismeretében hányadrésze szerkeszthet˝o meg Euklideszi es-zközökkel?
(a) Aπ-ed része.
(b) Aze-ed része.
(c) A√
2-ed része.
(d) Azi-ed része.
2. Egy szög ismeretében annak hányadrésze szerkeszthet˝o meg Euklideszi es-zközökkel?
(a) A hatoda.
(b) A hetede.
(c) A nyolcada.
(d) A tizede.
EZ MÉGSEM PERMUTÁCIÓK SZORZATA.
A tesztek megoldása:
1. fejezet: 1. (c) 2. (c) 3. (b) 4. (a) 5. (b) 6. (d) 7. (a) 8. (b) 9. (d) 2. fejezet: 1. (c) 2. (c) 3. (b) 4. (c) 5. (b) 6. (c) 7. (a) 8. (a) 9. (c) 10. (c) 3. fejezet: 1. (b) 2. (d) 3. (b) 4. (c) 5. (d) 6. (b) 7. (c)
4. fejezet: 1. (c) 2. (b) 3. (c) 4. (c) (Felezni mindig lehetQ-ban, gyököt vonni nem minden esetben aQ+-ban.)
5. fejezet: 1. (c) 2. (c) 3. (d) 4. (d) 6. fejezet: 1. (c) 2. (b) 3. (a) 4. (b) 7. fejezet: 1. (b) 2. (c) 3. (d) 9. fejezet: 1. (c) 2. (b) 3. (d) 4. (d) 11. fejezet: 1. (d) 2. (c) 3. (d) 4. (d) 5. (c) 12. fejezet: 1. (c) 2. (c)
198
Index
testb˝ovítés foka,148,156 transzcendens elem,142 vektoriális szorzat,20 zéruselem,12,13 zérusosztómentes,15