5.1. Definíció. Legyen a (G,◦) csoportnak (H,◦) egy részcsoportja. Egy tet-sz˝oleges g ∈ G esetén a(G,◦) csoport g elemmel képzett H szerinti bal oldali mellékosztályánaknevezzük ag◦halakú elemek halmazát, aholh ∈ H. Jelölése:
g◦H. Hasonlóan, agelemmel képzettH szerinti jobb oldali mellékosztály:
H◦g = {h◦g|h∈ H}.
Megjegyzés. Ag◦Hmellékosztályt úgy is elképzelhetjük, mint az egyelem˝u{g} halmaz és aHhalmaz{g}◦Hkomplexusszorzatát. (Hasonlóan:H◦g= H◦{g}.)
Például:
1. (Z6,+) részcsoportjai: (A,+), ahol A = {0}; (B,+), ahol B = {0,3}; (C,+), aholC = {0,2,4}; továbbá maga a teljes(Z6,+)csoport, ahol
Z6= {0,1,2,3,4,5}. Az Aszerinti
ABszerinti
55
ACszerinti
A teljesZ6szerinti tetsz˝oleges elemmel képzett, akár bal, akár jobb oldali mel-lékosztályok megegyeznek magával a teljesZ6-tal.
Ha a csoport nem kommutatív, akkor általában nem egyezik meg az ugyanavval az elemmel képzett bal, illetve jobb oldali mellékosztály. Erre példa a következ˝o:
2. D3-ban (a szabályos háromszög szimmetriacsoportjában) az elemek: f0 (identikus leképezés), f120, f240 (forgatások), továbbá tA, tB, tC (az egyes csúcsokon átmen˝o tengelyekre vonatkozó tükrözések), a m˝uvelet pedig a leképezések szorzása (transzformációk egymásutánja).
A B
C
t
At
Bt
Cf
120f
240Figure 5.1:
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 57 D3részcsoportjai:
H1= {f0},
H2= {f0, f120, f240}, H3= {f0,tA}, H4= {f0,tB}, H5= {f0,tC}
és maga a teljesD3= {f0, f120, f240,tA,tB,tC}csoport.
AH1szerinti mellékosztályok: tetsz˝olegesgelem esetén g·H1= {g} = H1·g.
f0 f120 f240 tA tB tC
f0 f0 f120 f240 tA tB tC
f120 f120 f240 f0 tC tA tB
f240 f240 f0 f120 tB tC tA
tA tA tB tC f0 f120 f240
tB tB tC tA f240 f0 f120
tC tC tA tB f120 f240 f0
Table 5.1:
AH2szerinti mellékosztályok:
f0·H2= f120·H2= f240·H2= {f0, f120, f240} = H2=H2· f0=
= H2· f120 =H2· f240,
tA·H2=tB·H2=tC·H2= {tA,tB,tC} = H2·tA=
= H2·tB =H2·tC. AH3szerinti
AH4szerinti
AH5szerinti
A teljes D3szerinti tetsz˝oleges elemmel készített akár bal, akár jobb oldali mellékosztályok megegyeznek magávalD3-mal.
Vizsgáljunk meg egy olyan csoportot is, amelynek végtelen a rendje:
3. (Z,+)-ban például részcsoportot alkotnak a hárommal osztható számok:
H = {3k |k ∈Z}. AH szerinti mellékosztályok:
0+H = H =H +0
1+H = {1+3k |k ∈Z} = H+1 2+H = {2+3k |k ∈Z} = H+2
3+H = {3+3k |k ∈Z} = {3k|k∈Z} = H
4+H = {4+3k |k ∈Z} = {1+3k |k ∈Z} =1+H ...
−12 −9 −6 −3 0 3 6 9 12
−11 −8 −5 −2 1 4 7 10 13
−10 −7 −4 −1 2 5 8 11 14
::: ::: :::
::: ::: :::
Figure 5.2:A modulo 3 maradékosztályok, aH szerinti mellékosztályok Példáinkból lesz˝urhetünk néhány általánosabb észrevételt egy tetsz˝oleges (G,◦)csoport(H,◦)részcsoportja szerinti mellékosztályaival kapcsolatban:
5.1. Állítás. Tetsz˝olegesh ∈ H elem esetén ah◦ H, illetve H ◦hmellékosztály megegyezikH-val.
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 59 Bizonyítás. Egyrészt mivel H részcsoport, tetsz˝oleges két elemének, így h-nak és egy tetsz˝oleges elemének „szorzata” is benne van H-ban. Másrészt az inverz egyértelm˝usége miatt ha különböz˝o elemeit „szorozzuk” h-val, akkor az ered-mények is különböz˝oek lesznek. Az is igaz, hogy H egy tetsz˝oleges h∗ eleme el˝oállhés egyH-beli elem szorzataként, ugyanisH részcsoport, ígyh−1, valamint h−1◦h∗is elemeH-nak, ésh∗=h◦(h−1◦h∗). Vagyis ahi →h◦hi aHhalmazt bijektíven képezi le önmagára.
5.2. Állítás. Tetsz˝olegesg ∈ G elem esetén ag◦H, illetve H◦gmellékosztály számossága megegyezik a Hszámosságával.
Bizonyítás. Az el˝oz˝oekhez hasonlóan könnyen belátható, hogy a hi → g ◦hi bijektíven képezi leH-tg◦H-ra.
5.3. Állítás. Tetsz˝olegesg∈Gelem esetén ag◦H, illetveH◦gmellékosztálynak eleme lesz agelem.
Bizonyítás. MivelH részcsoport, benne van a csoporteegységeleme, így ag◦H mellékosztálynak eleme lesz a g ◦ e = g, a H ◦ g mellékosztálynak pedig az e◦g =gelem.
5.4. Állítás. Tetsz˝olegesa,b∈ Gesetén aza◦H ésb◦Hmellékosztályok vagy egybeesnek, vagy diszjunktak, és hasonlóan, a H◦a ésH◦bmellékosztályok is vagy azonosak, vagy diszjunktak.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy aza◦ H mellékosztály egya◦h1eleme egyben a b◦H mellékosztálynak is eleme. Ez azt jelenti, hogy ez az elem felírhatób◦h2 alakban is, aholh2∈ H, vagyis
a◦h1=b◦h2.
Ekkor mindkét oldalt jobbról „szorozva”h1inverzével, azt kapjuk, hogy a=(b◦h2)◦h−11.
Ezt felhasználva aza◦Hmellékosztály tetsz˝olegesa◦hi elemét a◦hi = (b◦h2)◦h−11
◦hi =b◦(h2◦h−11◦hi) alakban írhatjuk fel. Mivelh1,h2,hi ∈ H ésHrészcsoport,h−11és
hk =h2◦h−11◦hi
is elemeH-nak, vagyis aza◦Hmellékosztály minden eleme el˝oállb◦hkalakban, így aza◦Hmellékosztály minden eleme eleme ab◦Hmellékosztálynak is. Tehát a◦H ⊆b◦H. Hasonlóan bizonyítható, hogyb◦H ⊆a◦H, amib˝ol következik, hogya◦H = b◦ H. A jobb oldali mellékosztályokra is ugyanígy igazolható az állítás.
ah1=bh2 ⇒ a=b h2h−11 b=a
h1h−21
ahi =bh2h−11hi =bh3
bhi =ah1h−21hi =ah4
a H
b H
a H ⊆b H, b H ⊆a H
Figure 5.3:Ha két mellékosztály nem diszjunkt, akkor azonosak A fenti állítások alapján kimondhatjuk a következ˝o tételeket:
5.1. Tétel. A (G,◦) csoport (H,◦) részcsoportja szerinti összes – mondjuk bal oldali – mellékosztály megadjaG-nek egy osztályozását. (Hasonló állítás teljesül a jobb oldali mellékosztályokra is.)
Bizonyítás. Azt kell megmutatnunk, hogy a H szerinti (bal oldali) mellékosztá-lyok olyan halmazrendszert alkotnak, amelynek uniója éppen a G halmaz, és amelyben a halmazok páronként diszjunktak és egyikük sem üres.
Az, hogy a mellékosztályok uniója a G, vagyis G minden eleme benne van valamelyik mellékosztályban, a 3. állításból; az pedig, hogy két különböz˝o maradékosztály nem tartalmazhat közös elemet, a 4. állításból következik. Az, hogy egyik mellékosztály sem üres, akár a 2., akár a 3. állításból következik.
5.2. Tétel. (Lagrange-tétel) Legyen (G,◦) egy véges csoport, amelynek (H,◦) egy tetsz˝oleges részcsoportja. Ekkor |H| | |G|(vagyis véges csoport tetsz˝oleges részcsoportjának rendje osztója a csoport rendjének).
Bizonyítás. A5.1. Tételb˝ol tudjuk, hogy a H szerinti (mondjuk bal oldali) mel-lékosztályok elkészítésekor közös részt nem tartalmazó részhalmazokra osztjuk fel aGhalmazt. A 2. állítás szerint a létrejöv˝o osztályok mindegyikének megegyezik a számossága|H|-val, így számosságuk egymáséval is megegyezik, ami véges hal-mazok esetén azt jelenti, hogy ugyanannyi elemük van. Vagyis a csoport elemeit egyenl˝o létszámú osztályokba soroltuk be. Ha a létrejöv˝o különböz˝o mellékosztá-lyok száma k, és minden osztályban |H| darab elem van, akkor, mivel minden elem pontosan egy osztályban szerepel,k· |H| = |G|, aholk egész szám, vagyis
|H| | |G|.
Megjegyzés. A 5.1. és 5.2. Tétel bizonyításának lényegi része az 1–4. állítások indoklásában rejlik.
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 61 Megjegyzés. Tetsz˝oleges G véges csoportban, ha a H részcsoport szerinti jobb oldali mellékosztályokat készítjük el, akkor – mivel ezek számossága is mege-gyezik H-éval – a csoport elemeit ugyanolyan létszámú osztályokba soroljuk be, mint a bal oldali mellékosztályok esetén. Emiatt – mivel a jobb oldali mellékosztá-lyok uniója isG– ugyanannyi különböz˝o jobb oldali mellékosztályt kapunk, mint bal oldalit. Az tehát, hogy a H szerinti osztályozás során hány mellékosztály lesz, független attól, hogy jobb vagy bal oldali mellékosztályokról beszélünk. (Bár a fentiek során kihasználtuk, hogy véges csoportról van szó, meggondolható, hogy haHegy végtelen csoport részcsoportja, akkor is igaz, hogy Hszerint osztályozva a csoport elemeit, ugyanannyi bal oldali mellékosztályt kapunk, mint jobb oldalit.) AH szerinti különböz˝o bal oldali – vagy különböz˝o jobb oldali – mellékosztá-lyok darabszámát szokás a H részcsoport G-re vonatkozó indexének nevezni, és
|G: H|-val jelölni. Ennek segítségével így is felírható a Lagrange-tétel:
|G| = |H| · |G :H|.
Következmény. A4.5. Tételt követ˝oen megjegyeztük, hogy egy elem rendje meg-egyezik az általa generált (ciklikus) részcsoport rendjével. Véges csoport esetén ez a rend egy pozitív egész szám, és a Lagrange-tétel miatt osztója a csoport jének, így véges csoportban egy tetsz˝oleges elem rendje is osztója a csoport rend-jének. Ennek alapján megállapíthatjuk például hogy minden prímrend˝u csoport ciklikus, így tetsz˝oleges pprím esetén a p-edrend˝u csoportok izomorfak.