Gyakran tapasztalhatjuk – például amikor egy adott számhoz keresünk olyan cso-portokat, amelyeknek az adott szám a rendje –, hogy látszólag teljesen különböz˝o csoportok nagyon hasonlóan viselkednek, azonos szerkezet˝uek.
Vizsgáljunk meg például néhány másodrend˝u (kételem˝u) csoportot:
– A paralelogramma szimmetriacsoportjának elemei f0 (helyben hagyás) és f180 (180 fokos forgatás, más néven középpontos tükrözés), a m˝uvelet-táblázata a következ˝o:
– (Z2,+)elemei a0 és az¯ 1 maradékosztályok, m˝uvelettáblázata a következ˝o:¯
– (Z3\ ¯0,·)elemei az1 és¯ 2 maradékosztályok, m˝uvelettáblázata a következ˝o:¯
– Az S2szimmetrikus csoport elemei:
1 2 1 2
és 1 2
2 1
, a m˝uvelettáblázat a következ˝o:
Látható, hogy a fenti csoportok bizonyos értelemben teljesen egyformák, a két elem közül az egyik (e) egységelem, a másik (a) pedig egy másodrend˝u elem, m˝uvelettáblázata pedig mindegyiknek a következ˝o alakú:
Könnyen belátható az is, hogy egy tetsz˝oleges kételem˝u csoport egységelemét e-vel, a másik elemét pediga-val jelölve mindig ilyen alakú lesz a m˝uvelettáblázat, hiszen abból, hogyeegységelem (aminek egy csoportban lennie kell), következik, hogy e ◦ e = e és e ◦ a = a ◦ e = a; az inverz egyértelm˝uségéb˝ol pedig következik, hogy a m˝uvelettáblázat semelyik sorában vagy oszlopában nem sz-erepelhet ugyanaz az elem kétszer, ígya◦acsakelehet. Vagyis minden kételem˝u csoport egyforma.
Vizsgáljuk meg most a háromelem˝u csoportokat. Egyik elemük az egységelem, a másik kett˝ot jelöljüka-val, illetveb-vel. A m˝uvelettáblázatának egységelemhez tartozó sorát és oszlopát csak így tölthetjük ki:
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 47 Ezekutána ◦a már a nem lehet (merta◦e = a◦a-ból következnee = a, de mi feltettük, hogye,aésbhárom különböz˝o elem), így a második sor második eleme vagye, vagyb:
Figyelembe véve, hogy a m˝uvelettáblázat egy sorában vagy oszlopában sem szerepelhet ugyanaz az elem kétszer, az els˝o táblázatot nem tudjuk jól folytatni, (teháta◦anem lehete), a másodikból pedig a következ˝ot kapjuk:
, vagyis háromelem˝u csoport is csak egyféle lehet.
Könnyen ellen˝orízhet˝o, hogy ha például a következ˝o háromelem˝u csoportok elemeinek az alábbi módon feleltetjük meg aze,a,belnevezéseket, akkor m˝uvelet-táblázatuk a fenti alakot ölti:
– A szabályos háromszög szimmetriacsoportjából a forgatások részcso-portjábane= f0,a= f120,b= f240.
– (Z3,+)-bane=0,a =1,b =2.
– S3-nak aza=
1 2 3
3 1 2
, elem által generált részcsoportjában
e=
1 2 3
1 2 3
, a=
1 2 3
3 1 2
, b=
1 2 3
2 3 1
.
Észrevehet˝o az is hogya2 = bésa3 = e, így az összes háromelem˝u csoport ciklikus. (Hasonlóan,b2=aésb3=e, így akár aza, akár abelem generálja.)
Azt, hogy általában mikor tekinthet˝o két csoport „egyformának”, tükrözi a következ˝o definíció:
4.8. Definíció. Azt mondjuk, hogy a(G1,◦)és a(G2,∗)csoportokizomorfak, ha létezik olyan f: G1 → G2 bijektív leképezés, amelyre tetsz˝oleges a,b ∈ G1 elemek esetén f(a◦b) = f(a)∗ f(b). (Vagyis a két csoport között létezik kölc-sönösen egyértelm˝u, m˝uvelettartó leképezés.) Jelölése: (G1,◦) ∼= (G2,∗) vagy (G1,◦)'(G2,∗).
Fenti példáink alapján elmondhatjuk, hogy az összes másodrend˝u csoport izomorf egymással, és az összes harmadrend˝u csoport is izomorf egymással. Az is könnyen belátható, hogy az összesn-ed rend˝u ciklikus csoport izomorf egymás-sal.
Azt is mondhatjuk, hogy az egymással izomorf csoportok csak abban külön-böznek egymástól, hogy az elemek és a m˝uvelet neve más az egyik csoportban, mint a másikban, az elemek és a m˝uvelet minden lényeges tulajdonsága ugyanaz – például az egyik csoport elemeinek rendje megegyezik a másik csoportban nekik megfelel˝o elemek rendjével, egy elem inverzének a képe megegyezik az elem képének inverzével, ha egy csoport kommutatív, akkor a vele izomorf csoport is az, ha az egyik ciklikus (amit egyg elem generál), akkor a másik is ciklikus lesz (amit agképe generál) stb.
Például:
A negyedrend˝u csoportok közül(Z4,+)izomorf(Z5\ {0},·)-ral:
,
viszont ezek nem izomorfak például a téglalap szimmetriacsoportjával, hiszen ab-ban az egységelemen kívül minden elem másodrend˝u (vagyis saját magának az inverze), így nem lehet ciklikus, míg a fenti csoportokban 2-2 negyedrend˝u elem is van, így ciklikusak.
A hatodrend˝u csoportok közül például a D3(a szabályos háromszög szimme-triacsoportja) izomorf az S3 szimmetrikus csoporttal, de nem izomorf a (Z6,+) maradékosztály csoporttal.
A permutációcsoportok érdekes tulajdonságára utal a következ˝o tétel:
4.6. Tétel. (Cayley-tétel) Tetsz˝oleges (véges) n-ed rend˝u (G,◦) csoporthoz létezikSn-nek olyan részcsoportja, amely izomorf a(G,◦)csoporttal.
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 49 Bizonyítás. Jelöljük a csoport elemeitg1,g2,g3,. . .,gn-nel, és rendeljük hozzá a gi elemhez a következ˝o permutációt:
g1 g2 g3 . . . gn
Ez valóban permutáció lesz, hiszen ha a csoport minden elemét ren-dre „megszorozzuk” gi-vel, akkor különböz˝o elemeket „megszorozva” (az in-verz egyértelm˝usége miatt) különböz˝o eredményeket kapunk; az összes elemet
„megszorozva”n különböz˝o eredményt kapunk, amelyek a m˝uvelet zártsága mi-att mind elemei a csoportnak, aminek viszont éppenn eleme van, vagyis minden eleme pontosan egyszer áll el˝o eredményként. (Más szavakkal: az x 7→ gi ◦ x leképezés bijektív.) Valójában azt a permutációt rendeltük hozzá a gi elemhez, amely a csoport m˝uvelettáblázatában a „fejlécet” agi sorába viszi.
Azt fogjuk megmutatni, hogy hasonlóan hozzárendelve a G csoport minden eleméhez aGhalmaz egy permutációját, a
gi 7→
x gi◦x
hozzárendelés m˝uvelettartó, vagyis aga◦gbelemhez rendelt x
(ga◦gb)◦x
permutáció megegyezik agaelemhez rendelt x
ga◦x
permutációnak és agbelemhez rendelt x
gb◦x
permutációnak a szorzatával. Ez könnyen ellen˝orizhet˝o, a x
gb◦x
permutáció a csoport elemeit agb-szeresükbe viszi, a képekre alkalmazva a x
ga◦x
permutációt, azok a ga-szorosukba kerülnek, így a két leképezés egymásutánja minden elemet aga◦gb-szeresébe visz. Vagyis:
x
Mivel a csoport különböz˝o elemeihez nyilvánvalóan különböz˝o permutációkat rendeltünk (csoport m˝uvelettáblázatának nem lehet két egyforma sora), ezzel sik-erült bijektív, m˝uvelettartó leképezést létesítenünk a(G,◦)csoport elemei és aG halmazhoz tartozó Pnpermutációcsoport egy részhalmaza között, ami azt jelenti, hogy a hozzárendelésben szerepl˝o permutációkPn-nek egy részcsoportját alkotják.
Vagyis van olyan részcsoportjaPn-nek, amely izomorfG-vel.
Például:(Z5\{0},·)esetén a következ˝o permutációkat rendeljük az elemekhez:
3·
Megjegyzés. Az Sn szimmetrikus csoport viselkedése teljesen független attól, hogy mik annak az n elem˝u halmaznak az elemei, amelynek az önmagára viv˝o bijektív leképezéseir˝ol beszélünk. Amikor például az
1 2 3
3 1 2
permutációról beszélünk, akkor ezt úgy képzeljük, hogy van egy háromelem˝u halmazunk, ame-lynek az elemeit sorba raktuk, vagyis az „els˝o”, „második”, illetve „harmadik”
névvel láttuk el ˝oket. Ez a permutáció azt a bijektív leképezést jelenti, amely az els˝o
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 51 elemet a harmadikba, a másodikat az els˝obe, a harmadikat pedig a másodikba viszi, függetlenül attól, hogy valójában mik voltak ezek az elemek. Ebben a jelölésben az elemeket a sorbarakás során kapott indexeikkel helyettesítjük. Amikor azonban valamilyen szempontból fontos, hogy mik voltak az alaphalmaz elemei, akkor a permutáció megadásakor magukat az elemeket és a képeiket írjuk fel. Ezt tettük a fenti példában. Úgy is elképzelhetjük, hogy mindennelem˝u halmaznak megvan a maga szimmetrikus csoportja, de ezek mind izomorfak.
Feladatok
1. AzS = {a,b,c}halmazon értelmezzük a◦m˝uveletet a következ˝ok szerint:
tetsz˝olegesx,y ∈ S elemekre x ◦ y = x. Mely csoporttulajdonságok tel-jesülnek◦-re? Melyek nem?
2. Csoportot alkot-e az egész számok halmaza a ∗ m˝uveletre, amelyet úgy értelmezünk, hogya∗b=ab+a+b.
3. Csoport-e? Ha nem, azt is mondja meg, miért nem!
(a) (N,+) (b) (N,−) (c) (N,·) (d) (N, /) (e) (Z,+) (f) (Z,−) (g) (Z,·) (h) (Z, /)
(i) (Q,+) (j) (Q,−) (k) (Q\ {0},·)
(l) (Q, /) (m) (Z4,+mod 4)
(n) (Z4,·mod 4) (o) (R,+) (p) (R\ {0},·) (q) (C\ {0},·)
(r) ({z |z∈C,|z| =1},·)
(s) ({z |z∈C,zp=1,pprímszám},·)
4. Csoport-e? Ha nem, azt is mondja meg, miért nem! (Ahol nem jelöltük másként, ott a+és a·a szokásos m˝uveleteket jelenti.)
(a) ({0},·) (b) ({0},+) (c) ({1},·) (d) ({1},+) (e) ({−1,1},·) (f) ({0,1},+mod 2) (g) ({0,1},·mod 2) (h) ({5k |k ∈Z},·)
(i) ({Z[x]},+)(egész együtthatós polinomok a polinomösszeadásra) 5. Igazolja, hogy ha egy véges félcsoportban érvényes a bal és jobb oldali
egyszer˝usítési szabály is (tetsz˝olegesa,b,cfélcsoportbeli elemekrea◦c= b◦c-b˝ol ésc◦a=c◦b-b˝ol is következik, hogya=b), akkor ez csoport!
Miért nem igaz az állítás végtelen félcsoportban?
Mondjon olyan végtelen (egységelemes) félcsoportot, ahol bár igaz mindkét oldali egyszer˝usítési szabály, mégsem csoport.
6. Egy tetsz˝oleges csoportban melyik egyenlet oldható meg az alábbiak közül (x jelöli az ismeretlent, minden más bet˝u a csoport elemét jelöli)?
(a) ax =b (b) xa =b (c) ax =ab (d) a2bx =b (e) ax b=c (f) ax =x b
7. Csoportot alkotnak-e az (a) egész, (b) racionális, (c) komplex együtthatós polinomok az összeadásra nézve?
8. Csoportot alkotnak-e a legfeljebbn-edfokú (a) egész, (b) racionális, (c) kom-plex együtthatós polinomok az összeadásra nézve?
9. Csoportot alkotnak-e a 2×2-es valós reguláris (invertálható) valós mátrixok a mátrixszorzásra nézve?
10. Csoportot alkotnak-e a síkvektorok a vektorösszeadásra nézve?
11. Csoportot alkotnak-e a síkvektorok a skaláris szorzásra nézve?
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 53 12. Csoportot alkotnak-e a térvektorok a vektoriális szorzásra nézve?
13. Csoportot alkotnak-e a térvektorok a skaláris szorzásra nézve?
14. Igazolja, hogy a szabályos hatszög egybevágósági transzformációi a transz-formációszorzásra (D6) csoportot alkotnak! Határozza meg, hogy azS6mely részcsoportjával izomorfD6!
15. Igazolja, hogy a{5n |n∈Z}halmaz a szokásos szorzásra nézve csoport!
Kommutatív-e ez a csoport?
Igaz-e, hogy izomorf a(Z,+)csoporttal!
16. Igazolja, hogy bármely kétnelem˝u ciklikus csoport izomorf!
17. Igaz-e, hogy({−1,1},·)és({0,1},+mod 2)izomorf csoportok?
18. Igaz-e, hogy bármely négyelem˝u csoport ciklikus? Igaz-e, hogy minden négyelem˝u csoport kommutatív? Igaz-e, hogy minden négyelem˝u csoport izomorf egymással? (Használhatja acsoportkészít˝o programot. A piros bet˝u az invertálhatóság, a narancssárga színezés az asszociativitás sérülésére utaló hibát jelez.)
19. Igazolja, hogy D3 ésS3izomorfak egymással! Van-e másk is, amelyre Dk
ésSk izomorf csoportok?
20. Adja meg D8 (a szabályos 8-szög szimmetriacsoportja) összes ciklikus részcsoportját!
21. A következ˝okben megadjuk egy csoport m˝uveleti táblázatát – hiányosan. Fe-jezze be a kitöltést!
* a b c d e f g h
a e a g d
b a b
c c
d g f d
e a b c d e f g h
f g f
g h e g
h h e b
(Használhatja acsoportkészít˝o programot. A piros bet˝u az invertálhatóság, a narancssárga színezés az asszociativitás sérülésére utaló hibát jelez.) Határozza meg a kapott csoport részcsoportjait!
Hány eleme lehet egy 8 elem˝u csoport részcsoportjainak?
Van-e más 8 elem˝u csoport?
22. Igazolja, hogy egyGcsoport tetsz˝olegesa,belemeire (a) arendje egyenl˝o ab−1abelem rendjével, (b) abrendje egyenl˝obarendjével.
23. Igazolja, hogy ha egynelem˝u csoportban vann-edrend˝u elem, akkor a cso-port ciklikus!
24. Igazolja, hogy ha egy csoportban vann1·n2rend˝u elem, akkor vann1rend˝u elem is.
25. Igazolja, hogy minden prímszám elem˝u csoport ciklikus. Van-e nem prím-szám elem˝u ciklikus csoport?
26. Igazolja, hogy ha G ⊆ Rhalmaz a valós számok összeadására nézve cso-portot alkot, akkor a H = {2g |g ∈ G}halmaz a szorzásra nézve csoportot alkot, és(G,+)≡(H,·)!
Igazolja, hogy ha G ⊆ R+ halmaz a valós számok szorzására nézve cso-portot alkot, akkor a H = {log2 | g ∈ G} halmaz az összeadásra nézve csoportot alkot, és(G,+)≡(H,·)!
27. Igazolja, hogy a legfeljebbn-edfokú, valós együtthatós polinomok összead-ásra vett csoportja izomorf az(n+1)-dimenziós valós vektorok összeadásra vett csoportjával!