A csoportoknál láttuk, hogy egy csoport kompatibilis osztályozásait a csoport speciális tulajdonságú részcsoportjai – a normálosztók – szerinti osztályozások adták.
Egy (R,+,·) gy˝ur˝u tetsz˝oleges (R1,+,·)részgy˝ur˝uje esetén az (R,+) cso-portnak mindig normálosztója lesz az(R1,+)részcsoport, hiszen(R,+) kommu-tatív csoport.
Így az(R,+,·)egy tetsz˝oleges részgy˝ur˝uje kompatibilis osztályozást generál az(R,+)csoporton.
De vajon szükségszer˝uen kompatibilis lesz-e az osztályozás a szorzásra is?
Két elem szorzatának osztálya csak az osztályaiktól függ-e, azaz független lesz-e az elemek választásától?
Nézzük meg most néhány példán, hogy az (R,+) csoport (R1,+) részcso-port szerinti osztályozása milyen(R1,+,·)részgy˝ur˝u esetén adja meg az(R,+,·
·) gy˝ur˝unek is egy kompatibilis osztályozását (vagyis teljesül-e, hogy két elem szorzatának osztálya csak az osztályaiktól és nem az elemek megválasztásától függ), illetve milyen részgy˝ur˝uknél nem lesz kompatibilis az osztályozás!
1. (Z,+,·)-ban egy tetsz˝oleges k egész szám összes többszörösei rész-gy˝ur˝ut alkotnak. Ha elkészítjük a (Z,+) csoport e részcsoport szer-inti mellékosztályait, akkor a mod k maradékosztályokat kapjuk. Mivel az, hogy két szám szorzata milyen maradékot ad k-val osztva (melyik maradékosztályban lesz) nem függ attól, hogy mi volt a két szám, csak at-tól, hogy milyen maradékot adtakk-val osztva (mely maradékosztályokban
voltak), ez az osztályozás a szorzásra nézve is kompatibilis. Vagyis ak több-szöröseinek részgy˝ur˝uje szerint osztályozva az egész számok gy˝ur˝ujét, kom-patibilis osztályozást kapunk.
2. A Gauss-egészek gy˝ur˝ujének részgy˝ur˝uje az egész számok gy˝ur˝uje. Ha a Gauss-egészek összeadási csoportját az egész számok összeadási csoportja – mint normálosztó – szerint osztályozzuk, akkor a következ˝o mellékosztá-lyokat kapjuk:Z,Z+i,Z−i,Z+2i,Z−2i, . . . ,Z+ki, . . . (k egész).
Ez az osztályozás a szorzásra nézve nem kompatibilis, mert például i, i, 1+i aZ+i osztály eleme, de a szorzataik különböz˝o osztályokba esnek:
i·i= −1∈Z+0·i,i(1+i)=i−1∈Z+i(8.1. ábra).
Hasonló a helyzet akkor is, ha az osztályozás alapjául aza+2bialakú Gauss-egészek részgy˝ur˝ujét válaszjuk. Ekkor két osztályt kapunk, az egyikben az a+2bi alakú, a másikban aza+(2b+1)i alakú Gauss-egészek lesznek.
Ez az osztályozás nem kompatibilis, hiszen például a 2 is és az 1+2i is aza+2bi alakú elemek osztályában van, de azi-szeresük két különböz˝o osztályban van (8.2. ábra).
Ha viszont a 2k+2nialakú Gauss-egészek részgy˝ur˝uje szerint osztályozunk, akkor kompatibilis lesz az osztályozás. Négy osztályt kapunk, az egyikben lesznek azok aza+bi Gauss-egészek, amelyekbena is ésbis páros; egy másikban azok, amelyekben a páros, b páratlan; egy harmadikban azok, amelyekbena páratlan,b páros; a negyedikben pedig azok, amelyekbena is ésbis páratlan. Az, hogy egy(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i szorzat melyik osztályban lesz, csak attól függ, hogya, b,c ésd paritása milyen (melyik osztályban vana+bi, illetvec+di) (8.3. ábra).
3. Láttuk, hogy a Gauss-egészek gy˝ur˝ujében az 1+i elem által generált rész-gy˝ur˝u az olyana +bi alakú számok, amelyekre a+bpáros (106. oldal).
Két osztályt kapunk: azt, amelyekben az együtthatók összege páros (ez a részgy˝ur˝u), illetve azt, amelyben páratlan (8.4. ábra).
Ez a részgy˝ur˝u kompatibilis osztályozást ad a szorzásra nézve is, mert ha c+di-ben c + d páros, akkor a generált részgy˝ur˝un belül lesz minden szorzat, ha pedig páratlan, akkorac+bd+bc+ad =(a+b)(c+d)is páros.
Vagyis akár a részgy˝ur˝un belül, akár a részgy˝ur˝un kívül van az elem, amivel szorzunk, a részgy˝ur˝un belül lesz a szorzat. Két részgy˝ur˝un kívül es˝o elemre pedig az együtthatók összege páratlan, így azok szorzatában is páratlan lesz az együtthatók összege.
4. Az a +b√
2 alakú számok (a, b egész) gy˝ur˝ujében a 2k +5n√ 2 alakú elemek részgy˝ur˝ut alkotnak. Eszerint a részgy˝ur˝u – mint az összeadási cso-port normálosztója – szerint osztályozva aza +b√
2 elemeket, tíz osztályt kapunk annak megfelel˝oen, hogyapáros-e vagy páratlan, illetve hogyb mi-lyen maradékot ad 5-tel osztva. Ez az osztályozás nem lesz kompatibilis, mert például a√
2 és a 2+√
2 egy osztályban van, de a√
2-szeresük (a 2 és
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 109
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5i
−4i
−3i
−2i
−1i 1i 2i 3i 4i 5i
Figure 8.1: A fekete pontok a részgy˝ur˝u elemei, az azonos mellékosztályokhoz tartozó pontokat ugyanolyan színnel színeztük. A szorzásra nézve nem kompatibilis az osztály-ozás.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5i
−4i
−3i
−2i
−1i 1i 2i 3i 4i 5i
Figure 8.2: A fekete pontok a részgy˝ur˝u elemei, az azonos mellékosztályokhoz tartozó pontokat ugyanolyan színnel színeztük. A szorzásra nézve nem kompatibilis az osztály-ozás.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5i
−4i
−3i
−2i
−1i 1i 2i 3i 4i 5i
Figure 8.3: A fekete pontok a részgy˝ur˝u elemei, az azonos mellékosztályokhoz tartozó pontokat ugyanolyan színnel színeztük. A szorzásra nézve is kompatibilis az osztályozás.
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−5i
−4i
−3i
−2i
−1i 1i 2i 3i 4i 5i
Figure 8.4:A kék pontok a Gauss-egészeket, a piros keresztek a részgy˝ur˝u elemeit jelölik – ez az osztályozás a szorzásra nézve is kompatibilis
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 111 a 2+2√
2) két különböz˝o osztályban van (a√
2 együtthatója a 2 esetében 0, a 2+2√
2 esetében 2 maradékot ad 5-tel osztva).
Ha viszont a 2k +n√
2 alakú számok részgy˝ur˝uje szerint osztályozunk, akkor kompatibilis lesz az osztályozás. Két osztályt kapunk, az egyikben lesznek azok aza+b√
2 elemek, amelyekben azapáros, a másikban azok, amelyekben az a páratlan. Az, hogy két elem (a +b√
2)(c + d√ 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)√
2 szorzata melyik osztályban lesz, csak attól függ, hogy az illet˝o két elem mely osztályokból való (vagyis a, illetve c paritásától).
Látható, hogy ha egy (R,+,·) gy˝ur˝ut egy részgy˝ur˝uje – mint az összeadási csoport normálosztója – szerint osztályozunk, akkor nem minden esetben lesz az osztályozás a szorzásra nézve is kompatibilis, csak speciális részgy˝ur˝uk esetén.
Ahhoz, hogy az osztályozás kompatibilis legyen, az kell, hogy akárhogy választunk is ki két azonos osztálybeli elemet, egy tetsz˝oleges harmadik elemmel megszorozva
˝oket, a szorzatoknak ugyanabban az osztályban kell lenniük.
Tegyük fel, hogy az R1részgy˝ur˝u szerinti osztályozás azR-nek egy kompati-bilis osztályozását adja (a szorzás szerint is).
Ha az osztályozás kompatibilis, akkor tetsz˝oleges r ∈ R elemre 0 ∈ R1 és r·0 =0·r =0∈ R1miattr ·r1 ∈ R1(r1∈ R1). (Ez nagyon er˝os, de csak szük-séges feltétel! Azaz ha egy R1szerinti osztályozás kompatibilis, akkor tetsz˝oleges r ∈ Reseténr ∗R1⊆ R1.)
Mint kés˝obb látni fogjuk, ez a feltétel elégséges is ahhoz, hogy az osztályozás kompatibilis legyen.
Ahogyan a részcsoportok között a normálosztót, úgy a gy˝ur˝uknél is az ilyen – nagyon er˝os feltételnek – eleget tev˝o részgy˝ur˝uket nevükben is megkülönböztetjük a közönséges részgy˝ur˝ukt˝ol:
8.6. Definíció. Az(R,+,·) gy˝ur˝u egy I részgy˝ur˝ujétideálnak nevezzük, ha tet-sz˝olegesr ∈ Reseténr I ⊆I ésI r⊆ I.
Például:
1. Az egész számok(Z,+,·)gy˝ur˝ujének minden részgy˝ur˝uje ideál.
2. Az egész számok egy tetsz˝oleges részgy˝ur˝ujének is minden részgy˝ur˝uje ideál.
3. Maga a teljes gy˝ur˝u mint triviális részgy˝ur˝u minden gy˝ur˝uben – így egy null-gy˝ur˝uben is – ideál.
4. Tetsz˝oleges m modulus esetén a (Zm,+mod m,·mod m) maradékosztály-gy˝ur˝u minden részmaradékosztály-gy˝ur˝uje ideál.
5. A Gauss-egészek gy˝ur˝ujében – mint már láttuk – például az egész számok részgy˝ur˝uje, vagy az a +2bi alakú elemek részgy˝ur˝uje nem ideál, míg a 2k+2ni alakú elemek részgy˝ur˝uje ideál.
6. Aza+b√
2 alakú számok (a,begész) gy˝ur˝ujében – mint már láttuk – például a 2k+5n√
2 alakú elemek részgy˝ur˝uje nem ideál, míg a 2k +n√ 2 alakú elemek részgy˝ur˝uje ideál.
7. Egy tetsz˝oleges test feletti polinomok gy˝ur˝ujében például a konstans poli-nomok olyan részgy˝ur˝ut alkotnak, amely nem ideál. Ideál viszont például az egész együtthatós polinomok gy˝ur˝ujében azoknak a polinomoknak a rész-gy˝ur˝uje, amelyeknek minden együtthatója páros szám, vagy egy tetsz˝oleges test (vagy gy˝ur˝u) feletti polinomgy˝ur˝uben azoknak a polinomoknak a rész-gy˝ur˝uje, amelyekben a konstans tag 0.
8. Egy tetsz˝oleges test (vagy gy˝ur˝u) feletti 2×2-es mátrixok gy˝ur˝ujében sem az
a 0 0 0
alakú mátrixok részgy˝ur˝uje, sem az a b
0 0
alakú mátrixok részgy˝ur˝uje nem ideál, mert az els˝o esetben egy
a 0
mátrixszal (a gy˝ur˝u egy elemével) az a a
0 0
mátrixot kapjuk, amely nem eleme az a 0
0 0
alakú mátrixok rész-gy˝ur˝ujének. Hasonló a helyzet a második esetben is, ha egy
a b 0 0
alakú mátrixot megszorzunk balról például az
1 0
mátrixot kapjuk, ami nem eleme az a b
0 0
alakú mátrixok rész-gy˝ur˝ujének. Belátható, hogy egy tetsz˝oleges test feletti n ×n-es (n ≥ 2) mátrixgy˝ur˝unek soha nincs valódi ideálja (csak maga a teljes gy˝ur˝u vagy a gy˝ur˝u 0 elemét tartalmazó null-gy˝ur˝u)
9. Hasonló a helyzet egyT test feletti vektorteret önmagára viv˝o lineáris tran-szformációk gy˝ur˝ujében is: egyetlen valódi részcsoport sem lesz ideál.
10. A(Z,◦,∗)gy˝ur˝u (ahola◦b =a+b−1 ésa∗b =a+b−ab) minden részgy˝ur˝uje ideál.
11. Egy tetsz˝oleges zérógy˝ur˝u minden részgy˝ur˝uje ideál.
Fried Katalin – Korándi József – Török Judit: A modern algebra alapjai 113 8.4. Tétel. Egy tetsz˝oleges gy˝ur˝u akárhány ideáljának metszete is, összege is ideál.
Bizonyítás. Az, hogy ideálok metszete részgy˝ur˝u, következik abból, hogy az ideálok részgy˝ur˝uk, és részgy˝ur˝uk metszete is részgy˝ur˝u (8.3. Tétel). Ha I1 és I2 ideál, akkor a gy˝ur˝u tetsz˝olegesr elemérer I1 ⊆ I1 ésr I2 ⊆ I2, ígyr(I1∩ I2) részhalmaza lesz I1-nek is ésI2-nek is, vagyisI1∩ I2-nek is. Az, hogy(I1∩I2)r is részhalmazaI1∩I2-nek, ugyanígy gondolható meg.
Az, hogy ideálok összege az összeadásra nézve csoport lesz, a normálosztók komplexusszorzatára vonatkozó5.3. Tétel következménye (az ideálok ugyanis az (R,+)csoportban normálosztók, a csoportm˝uvelet az összeadás, így komplexuss-zorzatuk most az összegüket jelenti).
Az, hogy az ideálok összege a szorzásra is zárt (így részgy˝ur˝u) abból következik, hogy a gy˝ur˝u egy tetsz˝oleges r elemével megszorozva I1 + I2 egy r1+r2 alakú elemét, aholr1 ∈ I1,r2 ∈ I2,r(r1+r2) = rr1+rr2 is eleme lesz I1+I2-nek, hiszen I1ésI2ideál, ígyrr1 ∈ I1ésrr2 ∈ I2. Ugyanígy gondolható meg, hogy(I1+I2)r is részhalmazaI1+I2-nek. Ezek szerint részgy˝ur˝u (hiszen ha r elemeI1+I2-nek, akkor a fentiek éppen a szorzásra való zártságot jelentik), s˝ot ideál.
(Kett˝onél több ideál metszete, illetve összege esetén ugyanígy bizonyítható az állítás.)
8.5. Tétel. Egy (R,+,·) gy˝ur˝u kompatibilis osztályozásai éppen a valamelyik ideálja szerinti osztályozások.
Bizonyítás. Az, hogy egy ideál szerinti osztályozás kompatibilis az összeadásra nézve, következik abból, hogy az(R,+)csoport kompatibilis osztályozásai éppen a valamelyik normálosztója szerintiek (6.2. Tétel). Legyenek az I ideál szerinti mellékosztályok:I,a+I,b+I, . . . Azt kell megmutatnunk, hogy példáula+I két tetsz˝olegesa1,a2elemére ésb+I két tetsz˝oleges,b1,b2elemére teljesül, hogy a1b1ugyanabban az osztályban van, minta2b2. Legyena1 =a+i1,a2 =a+i2, b1=b+ j1,b2 =b+ j2, aholi1,i2, j1,j2∈ I. Ekkora1b1=(a+i1)(b+ j1)= ab+a j1+i1b+i1j1ésa2b2=(a+i2)(b+ j2)=ab+a j2+i2b+i2j2.
Mivel I ideál, aza j1,i1b,i1j1,a j2,i2b,i2j2 elemek mindegyike elemeI-nek (hiszen mindegyik szorzatban valamelyik tényez˝oI-beli elem), ígya1b1is ésa2b2 is elemeab+I-nek.
Az, hogy csak a valamely ideál szerinti osztályozások kompatibilisek, egyrészt annak a következménye, hogy(R,+)kompatibilis osztályozását csak valamelyik normálosztója szerint kaphatjuk. Másrészt, ha ez a normálosztóI, akkor azI,a+I, b+I, . . . osztályozás – mint már az ideál definícióját megel˝oz˝o példákon láttuk – csak úgy lehet kompatibilis a szorzásra nézve is, ha I egy tetsz˝oleges elemét a
gy˝ur˝u egyr elemével szorozva ugyanabban az osztályban (I-ben) lesz az ered-mény, mint amikorr-et a 0 (∈ I)-val szorozzuk, vagyis csak ha I ideál.
Könnyen meggondolható, hogy egy gy˝ur˝u kompatibilis osztályozása esetén a maradékosztályok maguk is gy˝ur˝ut alkotnak a maradékosztályok összeadására, il-letve szorzására nézve. Az így kapott gy˝ur˝ut az eredeti gy˝ur˝u – az osztályozást létrehozó ideálja szerinti –faktorgy˝ur˝ujéneknevezzük.
A csoportoknál látottakhoz hasonlóan látható be a gy˝ur˝ukre vonatkozó homo-morfizmustétel:
8.6. Tétel. Egy gy˝ur˝u homomorf képe mindig izomorf a gy˝ur˝u egy faktor-gy˝ur˝ujével.