A lencsék képalkotásának tárgyalása minden alapozó optika kurzus tananyagában benne van, így itt csak a legfontosabb ismereteket foglaljuk össze bizonyítás nélkül.
A hétköznapi lencsék általában sokkal nagyobb méret˝uek a fény hullámhosszánál, így m˝uködésük f˝o jellemz˝oi megérthet˝ok a geometriai optika alapján, azaz úgy, hogy a fényt olyan sugarakból állónak képzeljük, melyek homogén közegben egyenes vonalban mozognak és csak közeghatáron ver˝odnek vissza vagy törnek meg a Snellius-Descartes-törvényszerint.
r
1r
21.4. ábra. Domború lencse görbületi sugarai
Els˝o közelítésben a lencsék olyan átlátszó anyagból készült testek, melyeket két gömbsüveg határol, ahogy azt az1.4. ábrán láthatjuk. Leggyakoribbak a mindkét oldalukon domborodó lencsék, és ezek a töréstörvény miatt könnyen beláthatóan úgy törik meg a beérkez˝o párhuzamos fénysugarakat, hogy azok összetartóak lesznek. Ezt szemlélteti az1.5. ábra.
A számítások szerint a domború lencsék a tengelyükkel párhuzamosan beérkez˝o fénysugarakat a túloldalon egy jól meghatározott pontba, a fókuszpontba gy˝ujtik össze. A lencse fontos paramétere a fókusztávolság, ami a
F F
lencse f´okuszpont
f´enyt¨or´es
1.5. ábra. Domború lencse fénygy˝ujt˝o képességének magyarázata
fókuszpont és a lencse távolsága. Ez a paraméter a lencse környezethez viszonyított n törésmutatójából és a lencsét határoló két gömbsüveg görbületi sugarából határozható meg:
1
Ez az összefüggés az un. „vékony lencsékre” igaz, azaz akkor, ha a lencse vastagsága elhanyagolható az át-mér˝ojéhez képest. Vastag lencsékre hasonló jelleg˝u, de bonyolultabb összefüggések igazak.
A tengellyel párhuzamosan érkez˝o sugarak tehát a fókuszpontban találkoznak, de azt is tudjuk, hogy egy pont-szer˝u fényforrásból kiinduló, és a lencsét elér˝o sugarak a törés után vagy újra egy pontban találkoznak (valódi képalkotás), vagy úgy mennek tovább, mintha egy pontból indultak volna (látszólagos képalkotás).
A képalkotás szerkesztésére az elemi optika a nevezetes sugármenetekfogalmát vezeti be. Gyors ismétlésként álljon itt ezek szöveges ismertetése és szemléltet˝o ábrája. (Lásd az1.6. ábra.)
1. A gy˝ujt˝olencse tengelyével párhuzamosan érkez˝o fénysugarak a lencse után a fókuszponton fognak átha-ladni.
F F F F F F
1.6. ábra. Gy˝ujt˝olencse nevezetes sugármenetei.
2. A gy˝ujt˝olencse fókuszpontjának irányából érkez˝o (a fókuszponton átmen˝o) fénysugarak a lencse után a tengellyel párhuzamosan fognak haladni.
3. A gy˝ujt˝olencse középpontján áthaladó fénysugarak az eredeti irányban haladnak tovább.
Az1.7. ábrán egy olyan tárgy képét szerkesztettük meg, amely távolabb van a lencsét˝ol, mint a fókusztávolság:
ilyenkor valódi képet kapunk. Itt az alábbi jelöléseket használjuk:
• fókusztávolság: f; a fókuszpontok és a lencse távolsága,
• képtávolság: k; a kép és a lencse távolsága,
• tárgytávolság:t; a tárgy és a lencse távolsága,
• képméret: K; a kép mérete,
• tárgyméret: T; a tárgy mérete.
Bebizonyítható, hogy
1 f = 1
k +1
t (1.6)
K T
t k
F
F
f f
1.7. ábra. Domború lencse valódi képalkotása, szokásos jelölések.
és K
T = k
t. (1.7)
Szokás azN =K/T hányadost a rendszernagyításánakis nevezni.
A valódi képet alkotó eset adja több optikai rendszer m˝uködésének elvét. Így m˝uködik pl. a vetít˝ogép és a fényképez˝ogép. Mindegyik esetben a tárgyról lencse segítségével alkotunk valódi képet, a vetít˝ogépnél ez egy vásznon történik meg, mely szétszórja a fényt, hogy minden irányból látható legyen a kép, a fényképez˝ogépnél pedig a kép egy fényérzékeny területre jut, ahol a hagyományos filmek esetén kémiai változásokat, a digitális fényképez˝ogépek esetén elektromos változásokat hoz létre, amit aztán a megfelel˝o módon fényképpé alakí-tunk. Szemünkben pedig a szemlencse alkot valódi képet, amit a szemünk hátulsó részén lev˝o ideghártya (retina) alakít agyba men˝o elektromos impulzusokká.
Amennyibent < f, látszólagos képet kapunk, mely az el˝oz˝ohöz hasonló módon megszerkeszthet˝o, de ez az eset nem fontos a látás fizikájában, ezért itt nem tárgyaljuk.
1.3. feladat. Egy fényképez˝ogép objektívje 35 mm fókusztávolságú, objektívátmér˝oje 10 mm. El˝oször egy távoli hegyet fényképezünk le, melyr˝ol teljesen éles képet kapunk. Ehhez a helyzethez képest mennyivel kell az objektív lencséit eltávolítani a fényérzékel˝ot˝ol (film vagy CCD), ha egy 2 m-re lev˝o tárgy éles képét szeretnénk el˝oállítani? Mekkora foltba ken˝odik szét a 2 m távolságra lev˝o pontszer˝u fényforrás képe, ha ezt az élesre állítást elfelejtjük megtenni és gépünk a végtelenre fókuszálva marad?
Megoldás: A „végtelen távoli”, pontosabban a fókusztávolságnál több nagyságrenddel messzebbi tárgyak képe épp fókusztávolságban képz˝odik, azaz kezdetben az objektív éppf = 35mm-re van a filmt˝ol (vagy CCD-t˝ol).
t= 2m esetén viszont a kép olyanktávolságra képz˝odik, melyre (1.6) teljesül, így
k= 1
1/f−1/t = 0,03562m= 35,62mm
Ez 0,62 mm-rel nagyobb, mintf, tehát az els˝o kérdésre a válasz: 0,62 mm-nyit kell az objektívet eltávolítani a végtelenre fókuszált helyzethez képest, ha a 2 m-re lev˝o tárgy éles képét karjuk el˝oállítani.
A második kérdés megválaszolásához azt kell meggondolnunk, hogy a film helyzetét˝ol függetlenül az el˝oz˝o k = 0,03562m távolságban képz˝odne a kép a lencsét˝ol, de a film nem itt van, hanem pontosanf = 0,035 m-nyire, azaz itt még nem tudtak találkozni a sugarak.
Az 1.8ábra szerint az elvi képpont (ami a film mögött van) két, egymáshoz hasonló egyenl˝o szárú háromszög csúcsa, melyek alapjai a filmen illetve a lencsénél vannak. Ezek hasonlóságát felírva megkaphatjuk a filmen képz˝od˝o foltdméretét: (D= 0,01m, az objektív átmér˝oje.)
d
D = k−f
k ⇒ d=Dk−f
k = 0,000175m
1.8. ábra. Életlen kép keletkezése „végtelenre állított” fényképez˝ogépben.
A filmen tehát az életlen beállítás miatt majdnem 0,2 mm-es folttá mosódik el egy pont képe. Ez igen jól látható lesz, amikor a képet megjelenítjük (felnagyítjuk a filmet vagy monitoron nézzük a digitális képet), hisz ez a foltméret olyan αlátószögnek felel meg, melyre tanα=d/f, azazα= 0,29◦, ami majdnem a telehold szögmérete.
⇐1.3. feladat