Átlátszó gömbök fényszórása

A szabadon es˝o vízcseppek a felületi feszültség hatására gömb alakot vesznek fel, amit csak nagyon er˝os, tur-bulens szél tud számottev˝oen eltorzítani. Ezért es˝o, vízpára esetén az átlátszó gömbök fényszórásának esete áll fenn.

A fénysugarak átlátszó gömbön való szóródását mutatja be a8.10. ábra. Itt bal oldalon azt láthatjuk, hogy egy fénysugár minden közeghatárral való találkozáskor 2 részre oszlik, a visszavert és a megtört fénysugárra, de az energiamegmaradás miatt ezek fokozatosan gyengülnek. A jobb oldalon egy esetet, azt, amikor a fénysugár a gömb belsejében épp kétszer ver˝odik vissza, miel˝ott kijönne, külön kiemeltünk.

Számoljuk ki a beesési β szög függvényében a kijöv˝o fénysugár θirányszögét! Az irányszög számítása legyen

8.10. ábra. Fényszórás átlátszó gömbön. A sok lehetséges sugármenet (balra) és a belül kétszer visszaver˝od˝o eset áttekintése (jobbra).

a szokásos, azaz0^◦ az eredeti továbbhaladásnak feleljen meg és az óramutató járásával ellentétes irány legyen a pozitív. A 8.10. ábra alapján a közeghatár-váltáskor az irányszög mindig (γ −β)-nyit, míg a bels˝o vissza-ver˝odésekkor(180^◦−2γ)-nyit változik. Ezért hak-szor ver˝odik vissza belül, akkor az irányszöge:

θ_k(β) = 2(γ−β) +k·(2γ−180^◦) = 2

(k+ 1)arcsinsinβ n −β

−k·180^◦. (8.16) (Ide a Snellius-Descartes törvény alapjánγ =arcsin(sinβ/n)-et beírtuk.)

Ezt a függvénytk= 0,1,2,3esetekre a8.11. ábrán mutatjuk be, a vízn= 1,33-as törésmutatójára számolva és a szögértékeket 0^◦ és 360^◦ közé átszámolva.

Látható, hogy egy adottkeseténθ_k(β)nem veszi fel az összes lehetséges értéket, hiába futja beβa teljes,0^◦ és 90^◦közti tartományt. Ez azt jelenti, hogy egy adottkesetén nem az összes irányba lesz szórt fényt.

Másrészr˝ol k = 0 kivételével a θ_k(β)-nak helyi maximuma van bizonyos szögeknél, ami azért különleges je-lenség, mert ekkor a maximumhoz közeliβ értékekhez tartozó összes fénysugár körülbelül ugyanabba aθ_b,max

8.11. ábra. Vízgömbb˝ol kijöv˝o fénysugár irányakszámú bels˝o visszaver˝odés után, a beesési szög függvényében.

irányba megy, így ezekben az irányokban különösen er˝os fényszórást kapunk. Hogy melyek ezek az irányok, azt θ_k(β)deriváltjából kaphatjuk meg:

dθk

dβ = 2 (k+ 1) 1

p1−sin²β/n² ·cosβ n −1

!

. (8.17)

A maximumhelyek ebb˝oldθk/dβ= 0alapján egyszer˝uen kifejezhet˝ok. A számítás végeredménye:

cosβ_k,max= s

n²−1

k(k+ 2). (8.18)

Ez alapjánβkmeghatározható, és így (8.16) alapján az a szög is, amerre igen sok fénysugár szóródik.

k β_k,max θ_k,max 1 59,6^◦ 222,5^◦ 2 71,9^◦ 129,9^◦ 3 76,9^◦ 42,8^◦

5. táblázat. A maximális fényszórás iránya vízgömbök esetében.

A k = 1 esetben a 8.12. ábra mutatja be, hogy mutatkozik meg ez a maximális hatáskeresztmetszet-irány a sugármenetekben. Itt azt láthatjuk, ahogy a sok bemen˝o sugár két törés és egy visszaver˝odés után mindenképp csak egy bizonyos szögtartományba ver˝odik vissza, ennek széle felé pedig s˝ur˝usödnek a sugarak.

Ha tehát a hátunk mögül érkez˝o fény apró vízgömbökre esik, a k = 1-es esethez tartozó fénysugarak egy θ_1,max−180^◦ = 42,5^◦ fél-nyílásszög˝u kúp mentén igen sok fénysugár fog koncentrálódni, azaz látómez˝onkben egy 42,5^◦sugarú tartományból er˝os visszaszórt fényt fogunk tapasztalni. Ez a jelenség kicsit hullámhossz-függ˝o is, mert a víz törésmutatója pár százalékkal eltér a vörös és ibolya színek esetén, így az egyes színek er˝osítési iránya kissé eltér˝o lesz, azaz a fényforrás színét felbontva, koncentrikus körök mentén elrendezve fogjuk látni.

Ez aszivárványjelensége.

Ak= 2eset is egy szivárványnak felel meg, ami kb.180^◦−θ_2,max= 50,1^◦ sugarúnak látszik, és ezt másodlagos szivárványnak szokás nevezni. (Szemben ak= 1-hez tartozó els˝odleges- vagy f˝o szivárvánnyal.)

A másodlagos szivárvány színeinek sorrendje fordított, mint az els˝odleges esetben. Ezt a fenti egyenletekb˝ol csak hosszas számolással lehet belátni, ezért ett˝ol eltekintünk.

A k= 3esetnek nem felel meg szivárvány, mert180^◦−θ_3,max <90^◦, így ez az er˝osítési irány az es˝ofüggönyön keresztül, közel a Nap irányába nézve lenne megfigyelhet˝o, és ráadásul ez igen gyenge jelenség, így csak nagyon speciális körülmények közt pillantható meg. A még magasabb rend˝u er˝osítések közt van ugyan olyan, amely visszaszórást jelent, de ezek már annyira gyengék, hogy csak igen-igen ritkán láthatóak.

8.12. ábra. Ak= 1eset sugármenetei.

Ak= 0esetben pedig nincs is ilyen er˝osítési irány. A8.11. ábra szerint ez az eset el˝oreszórást jelent, méghozzá majdnem 90^◦-os tartományban, azaz ez nem szivárványszer˝u jelenséget produkál, hanem egy általános szórt fényt jelent a fényforrás irányának tág környezetéb˝ol.

Az itt tanultak nemcsak a szivárvány okát, hanem annak részleteit is felfedik. Például a 8.11. ábra szerint a k = 1eset egy kb.42^◦ fél-nyílásszög˝u kúpon belül, míg ak = 2eset egy kb. 50^◦ fél-nyílásszög˝u kúpon kívülre jutó sugarakat mutat. Ezért az els˝odleges szivárvány belseje, a másodlagos szivárvány külseje irányából kapunk észlelhet˝o szórt fényt, a kett˝o közti körgy˝ur˝u pedig sötét. (Legalábbis a vízcseppekr˝ol szórt fény nem érkezik a szemünkbe innen.)

8.13. ábra. Kett˝os szivárvány. [Forrás: Wikipédia]

Most csak az er˝osítési irányokat állapítottuk meg. A fényes gömbhöz hasonló, de annál jóval bonyolultabb számításokkal a teljes hatáskeresztmetszet-függvény is megkapható lenne, de ez igen bonyolult számításokat jelentene, hisz azt is számolnunk kellene, hogy a közeghatárral való találkozásokkor hányadrész ver˝odik vis-sza, és mennyi megy tovább, ... Könyvünk keretein túlmenne egy ilyen számítás, ezért csak hozzávet˝olegesen rajzoljuk fel a vízgömb szórási keresztmetszetének irányfüggését a 8.14. ábrán. Itt a 8.12-nak megfelel˝o színekkel ak= 0,1,2,3eseteket tüntettük fel.

A szivárvány egy igen szép és érdekes természeti jelenség, melynek rengeteg változata és kísér˝ojelensége van.

Például a f˝o szivárvány bels˝o felén s˝ur˝u színes sávok láthatók, mely a fény hullámtulajdonságának hatására jön létre, vagy vízfelszínr˝ol visszaver˝od˝o napfény képes igen magas szögállású szivárványt létrehozni. Igen szép gy˝ujteményt találhatunk ilyen és hasonló jelenségekr˝ol [8]-ban.

8.2. feladat. Milyen lenne az els˝odleges, másodlagos és harmadlagos szivárvány sugara (fokban), ha nem

vízc-8.14. ábra.Vízcsepp szórási hatáskeresztmetszetének közelít˝o irányfüggése.

seppek, hanem 1,5 törésmutatójú üveggömbök hullanának az égb˝ol?

Megoldás: (8.16) és (8.18) alapján a válasz egyszer˝u behelyettesítéssel megadható.

⇐8.2. feladat

Így üveggömbök esetén az els˝odleges szivárvány sugaraθ1,max−180^◦ = 22,8^◦, a másodlagosé180^◦−θ2,max = 86,87^◦lenne. Az els˝odleges szivárványt így meg tudnánk figyelni, de elég speciális beállítás kellene ahhoz, hogy a majdnem 90^◦sugarú másodlagosat megpillantsuk.

A harmadlagos pedig ugyanúgy megfigyelhetetlen tartományban van, mint víz esetében.

k β_k,max θ_k,max 1 49,80^◦ 202,8^◦ 2 66,72^◦ 93,13^◦ 3 73,22^◦ 350,9^◦

6. táblázat.A maximális fényszórás irányai üveggömbök esetében.

8.3. feladat. Milyen törésmutatójú gömb esetében lenne az els˝odleges szivárvány 0^◦sugarú?

Megoldás: A fenti jelölésekkel: θ_1,max = 180^◦, ami csak úgy lehet, ha β_1,max = 0^◦. (8.18)-t erre az esetre ahonnét egyszer˝u átrendezésseln= 2adódik.

A 2-es törésmutató esetén tehát a bejöv˝o sugár egy jelent˝os része pont ellentétes irányban, a fényforrás felé ver˝odik vissza.

⇐8.3. feladat