Invariancia a pivot determin´ans v´alaszt´as´ara

Nem ker¨ult eddig sz´oba, hogy a pMCPT ´es uMCPT elj´ar´asok egyik h´atul¨ut˝oje a pivot v´alaszt´as sz¨uks´egess´ege. B´ar pivot determin´ansk´ent a (84) sor b´armely, nem nulla koefficiens˝u tagja megfelel elvben, a sz´amszer˝u eredm´enyek f¨uggnek a pivot v´alaszt´ast´ol. A gyakorlatban rendszerint azt a determin´anst v´alasztjuk pivotnak amely (84)-ben a legnagyobb s´ullyal szerepel, ez azonban nem mentes´ıt minden probl´em´at´ol.

Nem egy´ertelm˝u p´eld´aul a v´alaszt´as ha legnagyobb s´uly´u determin´ansb´ol kett˝o vagy t¨obb van. Gondot okoz az is, ha a vizsg´alt potenci´alis energia fel¨ulet ment´en a legnagyobb

´es egy kisebb s´uly´u determin´ans szerepet cser´el. Ilyenkor a pivot v´alt´as t¨or´est okozhat a g¨orb´en, a v´alt´as pontj´aban a potenci´alis energia fel¨ulet nem deriv´alhat´o.

Ez a fejezet a pivot f¨ugg´est tekinti ´at a k´epletek szintj´en ´es bevezet egy ´atlagol´asi elj´ar´ast a pivot invariancia biztos´ıt´as´ara[S15].

A direkt- ´es reciprok t´erbeli vektorok alakj´at a m´asodrend˝u energia kifejez´esekbe helyettes´ıtve kapjuk a

formul´akat, ahol a bal oldalon z´ar´ojelben a pivot index´et t¨untett¨uk fel. A k´epletek jobb oldal´an, a szumma megszor´ıt´asa mindk´et formul´anak pivot f¨ugg´est ad. Amennyiben Eeref = Eref, a tagok sz´aml´al´oja pivot invari´ans pMCPT eset´en. A h0|Hˆ|Ki/c₀ tag megjelen´ese miatt az uMCPT j´arul´ekokn´al a sz´aml´al´o is pivot f¨ugg˝o. Az energianevez˝ok viselked´ese a part´ıci´o v´alaszt´as´anak f¨uggv´enye. Legkev´esb´e hangs´ulyos pivot f¨ugg´est EN part´ıci´oban, a (94) szerint sz´am´ıtva kapunk, ´ıgy pMCPT eset´en a nevez˝o pivot invari´ans.

A DK part´ıci´o jellemz˝oen pivot f¨ugg´est visz a nevez˝obe az´altal, hogy a∆εK gerjeszt´esi energi´ahoz j´arul´ekot ad´o egyr´eszecske indexeket a pivot ´es a K determin´ansban elt´er˝o bet¨olt´esi sz´am´u p´aly´ak adj´ak. Konkr´et esetben vizsg´alni kell az egyr´eszecske energi´ak kifejez´es´et is. Nem sz¨uks´egszer˝u, de elk´epzelhet˝o, hogy ezek is mutatnak pivot f¨ugg´est.

Osszess´eg´eben mark´ansabb pivot f¨ugg´est v´arunk uMCPT-ben, pMCPT-vel ¨osszevetve.¨ A pivot f¨ugg´es kik¨usz¨ob¨ol´es´enek egy egyszer˝u m´odja, ha az ¨osszes lehets´eges pivot

v´alaszt´as s´ulyozott ´atlag´at k´epezz¨uk. Vizsg´aljuk el˝obb a pMCPT-t ebb˝ol a szempontb´ol.

S´ulyfaktork´ent a (84)-beli koefficiensek n´egyzet´et alkalmazzuk, mivel ezek ¨osszege norm´alt f¨uggv´enyre egy. Az els˝orend˝u hull´amf¨uggv´enyt ´es a m´asodrend˝u energi´at a

Ψ⁽¹⁾_pMCPT =

kifejez´es adja, ahol z´ar´ojelben megintcsak a pivot indexe szerepel a jobb oldalon, fel¨ulvon´as pedig az ´atlagol´asra utal. A szumm´akon szerepl˝o vessz˝o a (114) ´es (115) kifejez´esekben az ¨osszegz´es megszor´ıtott volt´ara utal, mivel az ´atlagol´as a (84) sorban nem nulla koefficienssel rendelkez˝o determin´ansokat, vagy ak´ar azoknak is csak egy r´esz´et ´erinti. Amennyiben az energianevez˝o pivot-f¨uggetlen, a m´asodrend˝u ´atlagolt pMCPT energi´at a

E⁽²⁾_pMCPT = hΦ|Hˆ −Hˆ_pMCPT⁽⁰⁾ |Ψ⁽¹⁾_pMCPTi (116)

´atmeneti m´atrixelemmel sz´am´ıtva a (115)-vel ekvivalens alakra jutunk. A direkt- ´es reciprok gerjesztett vektorokat megjelen´ıtve a

E⁽²⁾_pMCPT = −

munkak´eplet ad´odik. A (117) jobb oldal´an az h^fL^′(K)| jel¨ol´es arra utal, hogy a (90) k´epletben0hely´ebenK(´esK hely´ebenL) ´ertend˝o. R¨oviden sz´olva a reciprok vektorK pivottal sz´am´ıtand´o. Ezen k´ıv¨ul az(E_L−Eref)⁻¹ energianevez˝o isK-f¨ugg˝o lehet (117)-ben (pl. DK part´ıci´o eset´en).

T´erj¨unk most r´a az uMCPT kifejez´esek pivot f¨uggetlen alakj´ara. A vizsg´alatot itt a nulladrend˝u energi´aval kezdj¨uk, mivel a (105) szerintiE^erefnem felt´etlen¨ul pivot invari´ans.

Ac²_K s´ulyfaktorral sz´am´ıtott Eeref =

megegyezik a pivot invari´ans pMCPT nulladrend˝u energi´aval, (93)-mal. Az ´atlagolt

els˝orend˝u hull´amf¨uggv´enyt ´es m´asodrend˝u energi´at a kor´abbival anal´og m´odon kapjuk

A modell-t´er projektor´anak nemszimmetrikus volta miatt itt nincs ´ertelme a (116)-tal anal´og k´eplet sz´am´ıt´as´anak, mivel ez pivot f¨ugg´est gener´alna. A m´asodrend˝u ´atlagolt uMCPT energia r´eszletesebb alakja j´atssza a pivot szerep´et. A (118) k´eplet sz´am´ıt´asakor nem lehetK-ra fel¨osszegezvehΦ|-t megjelen´ıteni, azL=Ktag kivon´asa mellett sem, mivelhL(K)^e | ´es(EL−E^eref(K))⁻¹is pivot-, azazK-f¨ugg˝o.

A pivot invari´ans kifejez´esekkel kapcsolatban megjegyz´esre ´erdemes az a t´eny, hogy az ´atlagol´as k¨ovetkezm´enyek´epp a sz´am´ıt´asi k¨olts´egbeli elt´er´es elv´esz. Az ´atlagolt uMCPT ´es pMCPT is ugyanazt az n²_refn²_occn²_virt sz´am´ıt´asig´enyt mutatja, amennyiben az

´atlagol´as az ¨osszes, null´at´ol elt´er˝o koefficiens˝u determin´anst ´erinti (84)-ben.

Mindk´et formula multipart´ıci´os term´eszet˝u, tekintve hogy az energianevez˝ok pivot f¨ugg˝ok. K¨ul¨on odafigyel´es n´elk¨ul ´ıgy k¨onnyen intruder probl´em´aba futunk, amennyiben egy pivotk´ent kezelt K determin´anshoz tartoz´o nulladrend˝u energia k¨ozel ker¨ul egy gerjesztett determin´ans szerep´et j´atsz´oL nulladrend˝u energi´aj´ahoz. Ilyen helyzet ´allhat el˝o p´eld´aul DK part´ıci´oban, egy ny´ılth´ej´u determin´ans p´art k´epzelve a fenti K ´es L szerepbe, teh´at|Ki = |jβiα. . .i ´es|Li = |jαiβ. . .i . Egyetlen ny´ılth´ej´u p´alyap´ar esete kezelhet˝o a determin´ansok spinadapt´al´as´aval, de ezen az ´uton nem jutunk el˝ore, ha t¨obb spinf¨uggv´eny is tartozik a referenci´anak megfelel˝o multiplicit´ashoz. Megold´ast jelenthet az intrudert okoz´o K determin´ans elhagy´asa az ´atlagol´asb´ol, ez azonban csak akkor c´elravezet˝o, ha a vizsg´alt rendszerbenKsosem v´alik a legs´ulyosabb determin´anss´a a (84) sorban.

Az uMCPT ´es pMCPT v´altozatok pivot f¨ugg´es´et ´es a pivot ´atlagolt m´odszerek teljes´ıt˝ok´epess´eg´et a2.7.3. fejezet numerikus p´eld´ai szeml´eltetik.