8. 5.8 Érvelések értékelésének eszközei
E: Elegendőek-e a premisszák?
II. rész - Formális logika
8. fejezet - A predikátumlogika alapjai
A következtetések érvényességének vizsgálatához gyakran nem tekinthetünk el az érvelésekben szereplő állítások belső szerkezetétől. Már a legelső deduktív érvelésre vonatkozó példánkban is az állítások belső szerkezeti elemeinek összefüggése biztosította az érvényességet.
Minden magyar adócsaló.
Gábor magyar.
──────────
Gábor adócsaló.
Ha ezt a következtetést kijelentéslogikai eszközökkel formalizáljuk, akkor nyilvánvalóan érvénytelen következtetési sémát kapunk. Mind a három állítás különböző, ezért a séma:
p q
─────
r
Ez pedig természetesen érvénytelen. Jóllehet az állítások mint egészek különböznek, vannak közös, illetve egymáshoz kapcsolódó belső szerkezeti elemeik, és ennek a következtetésnek a jósága érezhetően épp ezeken múlik. Az ilyen fajta következtetések vizsgálatához és érvényességük eldöntéséhez tehát mindenekelőtt is szükség van a bennük szereplő állítások belső szerkezetének elemzésére. Erre szolgál a predikátumlogika.
Valójában a mindennapi gyakorlatban a legtöbbször ilyen típusú érvelésekkel találkozunk, és az számít kivételnek, amikor a formalizálás során az állítások egyszerűen állításkonstansokkal helyettesíthetők, és elegendő aztán mindössze az igazságértékükkel operálni.
A predikátumlogika lehetővé teszi, hogy a logikai elemzés mélyebbre hatoljon, az állítások belső szerkezetét is feltárja, és ezeket a részleteket is figyelembe vegye a következtetések logikai vizsgálata során. A predikátumlogika tehát ilyen értelemben a kijelentéslogika „folytatása”, kiterjesztése az állítások belső szerkezetének feltárására.1 Ez lehetővé teszi, hogy a predikátumlogika tárgyalását a kijelentéslogika során elsajátított szemléletre és fogalmi apparátusra építve lerövidítsük.
1. 8.1. A predikátumlogika eszköztára – áttekintés
A predikátumlogika célja az, hogy az állítások belső szerkezetét is feltárja. A belső szerkezet feltárása abból az alapvető megfigyelésből indul ki, hogy minden állítás valamiről állít valamit. Individuumoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyekről az állítások szólnak, és a formalizálás során individuumkonstansokkal jelöljük őket. Az individuumokról azok tulajdonságait, illetve a közöttük fönnálló viszonyokat állítjuk, ezeket a logikában a predikátumok fejezik ki. E tulajdonságok, illetve a viszonyok szimbolikus jelölésére a logikában predikátumkonstansokat használunk. Az egyszerű állításokat individuumkonstansok és predikátumkonstansok segítségével formalizáljuk:
Pista jól beszél angolul.
Jelölje „p” Pistát, és jelölje „A” azt a tulajdonságot, hogy jól beszél angolul! Ezekkel a jelölésekkel a fenti állítás:
Ap
alakban írható fel.
1Hangsúlyozni kell, hogy ebben a könyvben csak a legalapvetőbb logikai apparátust tárgyaljuk, amely korántsem tárja fel az állítások belső szerkezetének logikai szempontból minden fontos részletét. Az állítások belső szerkezete további elemeinek elemzéséhez szükséges logikai elméletek áttekintését megtalálja az olvasó Ruzsa–Máté (1997) enciklopédikus munkájában.
A logikában nem csak meghatározott individuumokról szeretnénk beszélni, hanem arra is szükségünk van, hogy általánosságban, konkrét individuumoktól eltekintve is tudjunk dolgokról, személyekről beszélni. Erre szolgálnak az individuumváltozók. Ha egy állítást kifejező mondatban a konkrét individuumra utaló nevet változóval helyettesítjük, akkor úgynevezett nyitott mondatot kapunk.
xjól beszél angolul.
Ax
Az „x jól beszél angolul” egyváltozós (vagy egyargumentumú) nyitott mondat, melybe behelyettesíthető egy individuumnév, és ekkor állítást kapunk.2 Individuumváltozók, individuumkonstansok, valamint nyitott mondatok segítségével hasonlóan formalizálhatjuk az individuumok közötti viszonyokat kifejező mondatokat is.
Debrecen nagyobb város, mint Szolnok.
formalizálva:
Nds,ahol
Nxy:xnagyobb város, minty.
d: Debrecen,s: Szolnok
Az „x nagyobb város, mint y” kétváltozós nyitott mondat. A nyitott mondatok segítségével tudjuk a dolgokról állított tulajdonságokat, valamint a dolgok között fennálló viszonyokat egyértelműen jellemezni. A konkrét tulajdonságot vagy viszonyt jelölő nyitott mondatok mellett szükségünk van olyan változókra is, amelyek segítségével az állítások általános szerkezete felírható. A
ϕx
tetszőleges egyváltozós nyitott mondatot, míg a ψxy
tetszőleges kétváltozós nyitott mondatot jelöl, ahol ϕ-t egyargumentumú, ψ-t pedig kétargumentumú predikátumváltozónak mondjuk.
A predikátumlogika két további logikai szót vizsgál: a „minden” és a „van” szavakat. Ezeknek rögzíti a jelentését, és helyükre a rögzített értelemben bevezeti az univerzális és az egzisztenciális kvantort, melyet rendre a ∀ és a ∃ jellel jelöl. Ezek segítségével az állítások igen széles és fontos körét tudjuk formalizálni.
Mindenki jól beszél
angolul. ∀x(Ax)
Van olyan, aki jól
beszél angolul. ∃x(Ax)
A „minden” és a „van olyan” világos meghatározásához meg kell adni a szóba jöhető objektumok körét. Azt a kört, amelyre az elemzés során az állításokat értelmezzük, és amelyre vizsgálható, hogy minden egyed rendelkezik-e a szóban forgó tulajdonsággal, illetve, hogy közöttük van-e meghatározott tulajdonsággal bíró egyed. Az individuumoknak ezt az összességét – más néven: osztályát – tárgyalási univerzumnak nevezzük, és
„U”-val jelöljük.
Összegezve, a predikátumlogika feladata az, hogy az állítások belső szerkezetét állítássémák segítségével tegye láthatóvá. Az állítások formális leírásához a predikátumlogikában a kijelentéslogika jelkészletét használhatjuk, továbbá az alábbi jeleket.
a, b, c… inidviduumkonstanso
k, amelyek konkrét
2„Az állítást kapunk” kifejezés természetesen úgy értendő, hogy állítást kifejező mondatot kapunk, ám a rövidség és a könnyebb érthetőség kedvéért a nyelvi kifejezés és a jelentése (pl. a kijelentő mondat és az általa kifejezett állítás) közötti különbség ilyen pedáns hangsúlyozását,
meghatározott
A predikátumlogika csak olyan állításokat vizsgál, amelyek ezek segítségével formalizálhatók.
2. 8.2. Individuumok és jellemzőik
Az állítások belső szerkezetének elemzéséhez abból indulunk ki, hogy az állítások logikai szempontból (talán kevés kivételtől eltekintve) két alapvető komponensre bonthatók, kissé pongyolán fogalmazva: valamiről állítunk valamit.
(1) A Balaton kedvelt üdülőhely.
(2) A Balaton nagyobb, mint a Velencei-tó.
(3) János szereti Zsuzsát.
(4) Zita, Benedek és Gábor együtt dolgozik.
(5) A koalák eukaliptuszt esznek.
(6) Az emberek többen vannak, mint a koalák.
Az elsőben a Balatonról, egy egyedi (földrajzi) objektumról állítunk valamit, a másodikban két egyedi dolog, a harmadikban két ember, a negyedikben pedig három ember viszonyát rögzítjük. Az ötödikben bizonyos fajta dolgok, a koalák összességéről – azaz osztályáról – mondunk valamit, a hatodikban pedig a dolgok két osztálya közötti viszonyt állapítunk meg. Szinguláris állításnak nevezzük az olyan állítást, amely egy vagy néhány megnevezett egyedi dologról szól, és azt állítja, hogy a meghatározott egyedi dolog adott tulajdonsággal rendelkezik (1. állítás), vagy azt, hogy a meghatározott egyedi dolgok között adott viszony áll fenn (2., 3., 4.
állítás). Kategorikus állításnak hívjuk az olyan állítást, amely a dolgok egy egész osztályáról állapít meg valamit, vagy osztályok közötti viszonyt fejez ki (5. és 6. példa).
Feltevésünk az, hogy a világ megkülönböztethető egyedi dolgokból, individuumokból áll, és az állításokban ezekről állítunk valamit – ezek tulajdonságait vagy viszonyait állítjuk. A valamiről-állítani-valamit szerkezetben ezek az individuumok azok, amikről az állítások szólnak, és valamilyen sajátságuk vagy valamilyen közöttük fennálló viszony az, amit róluk állítunk. A szinguláris állítások meghatározott individuumokról szólnak, míg a kategorikus állítások individuumok meghatározott összességéről jelentenek ki valamit.
Látható, hogy a valamiről állítani valamit szerkezetben nem a nyelvtani alany-állítmány struktúráról van szó, hanem az állítások tartalmában megjelenő alapvető viszonyrendszerről. Nem feltétlenül nyelvtani alanya a mondatnak az, amiről vagy amikről valamit állítunk, és nem feltétlenül állítmány az, amit állítunk róla vagy róluk. A harmadik példában „János” alany, de „Zsuzsa” nem. Logikai szempontból e kettő mégis ugyanabba a kategóriába esik, mindkettő individuumnév, és e két individuumról állítjuk, hogy valamilyen viszony áll fenn közöttük, mégpedig azt, hogy János szereti Zsuzsát.
A valamiről állítani valamit szerkezet logikai struktúrájának feltárásában induljunk ki a legegyszerűbb esetekből, az olyan szinguláris állításokból, amelyekben egyetlen absztrakt vagy konkrét dologról állítunk valamit. Ezek tárgyalhatók a legegyszerűbben, és ezek alapján érthetők meg a bonyolultabb belső szerkezetű állítások is. Az alábbi állítások mind olyan szinguláris állítások, amelyek csak egyetlen megnevezett dologról (élőlényről) szólnak. Azt állítják, hogy egy megnevezett individuum egy meghatározott tulajdonsággal rendelkezik.
Katiúszik.
Jánoskönyvtáros.
ANapfényesen ragyog.
A hárompáratlan szám.
Budapestzsibongó nagyváros.
A lopásbűn.
Sándorkiválóan beszél angolul.
Közeledik azéjfél.
A XX. századelmúlt.
A logikában individuumnak nevezzük azokat az absztrakt vagy konkrét dolgokat, amelyekről az állítások szólnak. Individuum lehet bármely egyedi, egyértelműen meghatározott objektum. Lehet élőlény (János, Sándor), dolog (Nap), hely (Budapest), időpont (az éjfél) vagy időtartam (a XX. század) vagy absztrakt tárgy (a hármas szám, a lopás). Az individuumokról azok tulajdonságait, jellemzőjét állítjuk, ezeket a predikátumok fejezik ki. A predikátumok tehát jelölhetik az individuális dolgok bármely jellemzőjét.
A fenti állítások valamennyien szinguláris állítások, amelyek egyetlen megnevezett individuumról szólnak. Az állításokban aláhúztuk az individuumok megnevezését, a fennmaradó rész pedig a predikátum.
Miután az állításokban elkülönítettük az individuumokat és azokat a tulajdonságokat, amelyekkel rendelkeznek, e kettő jelölésére most kétfajta szimbólumot vezetünk be. Az állítások formalizálása során az individuumok megnevezését az a, b, c … w kis betűkkel, az úgynevezett individuumkonstansokkal rövidítjük. A formulákban tehát ezek jelölik az
individuumokat. (Az x, y, z betűket nem használjuk erre a célra, ezek változókat jelölnek majd.) A predikátumok rövidítésére pedig tetszőleges nagybetűket használunk. Ezeket predikátumkonstansoknak nevezzük. Az individuumkonstans tehát egy individuum neve, a predikátumkonstans pedig egy tulajdonságot jelöl. Az állítás belső szerkezetének formalizálása során mindig a tulajdonságot jelölő betűt, a predikátumkonstanst írjuk előre, melléje pedig az individuumot jelölő betűt.
Ezekkel az eszközökkel állítások belső szerkezete így szimbolizálható:
Uk(k: Kati, U: úszik) Kj(j: János, K: könyvtáros) Ph(h: a három, P: páratlan szám)
Ks(s: Sándor, K: kiválóan beszél angolul)
Mint az állításkonstansok esetében, e szimbólumok esetében is meg kell adni, hogy melyik betű mit jelöl.
Általában célszerű a megfelelő kifejezés első betűjét individuum-, illetve predikátumkonstansként választani.
2.1. 8.2.1. Individuumok és megnevezésük
Az individuum tehát az a tetszőleges dolog vagy objektum, amelyről az állítás szól. Hogy mégsem dolognak vagy objektumnak nevezzük, hanem individuumnak, az abból adódik, hogy individuumként csak olyan dolgok vagy objektumok jöhetnek szóba, amelyek – legalább elvileg – egyediek, megkülönböztethetők. Ezt a specialitásukat hangsúlyozza maga az individuum kifejezés is. Ez a feltétel a hétköznapi gyakorlatban általában nem jelent problémát, de vannak esetek, amikor nem teljesül. Például a szobában lévő levegő bizonyos részei, a valószínűségszámítási feladatok urnájában lévő golyók, illetve a kvantumfizika részecskéi bizonyos összefüggésekben nem tekinthetők megkülönböztethető egyedeknek.
Az individuumokat megnevezhetjük a fentiek szerint a tulajdonnevük segítségével. Az eddigi példáinkban tulajdonnév volt a „Kati”, a „János”, a „Budapest” stb., de a „három” is az, noha az utóbbi nyelvtani szempontból nem számít tulajdonnévnek, ám a számnevek tekinthetők absztrakt objektumok, nevezetesen a számok tulajdonnevének. Individuumokra azonban nem csak a tulajdonnevük segítségével utalhatunk:
Bence édesanyjaúszik.
Szent István koronájaaz Országházban található.
Mari főnökeelviselhetetlen.
A kedvenc zenémszól.
Növekvő nyereséget jelentettaz ország legnagyobb bankja.
Eltörta szék.
Közeledikaz éjfél.
Itt az individuumok megnevezésére határozott leírásokat (úgynevezett deskripciókat) használtunk, amelyek az adott beszédhelyzetben az azonosításhoz szükséges elegendő részletességgel írják le az individuumot. A határozott leírással szemben támasztott további követelmény az egyértelműség: csak egyetlen dolog feleljen meg a leírásnak. A határozott leírás egy speciális, csak rá jellemző tulajdonsága, jellemzője segítségével nevez meg egy objektumot. Tegyük fel, hogy Kati Bence édesanyja; ekkor a
Bence édesanyjaúszik.
ugyanazt az állítást fejezi ki, mint a „Kati úszik”, de másképpen. Itt kihasználtuk, hogy Bence és Kati között egyértelmű kapcsolatot teremt az, hogy Kati anyja Bencének, és így – mivel egy embernek csak egy anyja van – Bence segítségével is tudjuk azonosítani Katit.
A kedvenc zenémszól.
Növekvő nyereséget jelentettaz ország legnagyobb bankja.
Ezekben az esetekben is határozott leírással van dolgunk: egy individuumot valamely egyedi, kitüntető tulajdonsága alapján nevezünk meg.
A leggyakoribb leírások azonban a határozott névelővel ellátott névszók.
Eltörta szék.
Közeledikaz éjfél.
A határozott névelővel jelezzük, hogy egy meghatározott individuumra gondolunk. A leírásokkal szemben támasztott követelményeknek ekkor is teljesülniük kell: nevezetesen, hogy tartalmazzanak az azonosításhoz elegendő információt, és legyenek egyértelműek. Ezek a feltételek azonban néha nem teljesülnek.
– Eltörtaszék.
– Melyik szék?
– Hát ez.
Megnevezhetünk individuumokat névmások segítségével is, mint azt a fenti párbeszédtöredék is mutatja. A magyarban a névmásokat gyakran nem szükséges kitenni, ilyenkor például a személyrag utal az individuumra.
Ezbarna.
Ővolt a tettes.
Futunk.
Vonattal utaznak.
Amikor a névmás meghatározott dologra (dolgokra) vagy személy(ek)re utal, akkor a kimondás körülményei vagy a szövegösszefüggés segítségével azonosítjuk a megnevezett individuumo(ka)t. Mondjuk, a rámutatásból kiderül, hogy az „ez” az íróasztalomra, a szövegösszefüggésből pedig, hogy az „ő” Piszkos Fredre vonatkozik.
A fenti példáink valamennyien szinguláris állítások voltak, mert ezekben csak megnevezett individuumokról állítottuk valamely jellemzőjüket. A példák mutatják, milyen különböző módjai vannak az individuumok megnevezésének. Az individuumok megnevezésének grammatikailag különböző formáit a logikában egységesen individuumnévnek nevezzük.
Bármilyen módon neveztük is meg a köznyelvi szövegben, hogy kiről-miről van szó, a logikában az individuumokat egyetlen betűvel, egy individuumkonstanssal jelöljük. Logikai értelemben az individuumkonstans is individuumnév (méghozzá tulajdonnév). Ez a betű egyben a köznyelvi megnevezés rövidítése is. Tehát a logikában individuumnevek a tulajdonnevek, a leírások, a rögzített jelentésű névmások és az individuumkonstansok. (Talán nem árt figyelmeztetni, hogy az „individuumnév” kifejezés a „név” hétköznapi értelmezése alapján félreértésekre adhat alkalmat! Ezért használtuk helyette eddig a „megnevezés” szót.)
Az individuumnévről feltételezzük, hogy egy individuumnév egy szövegösszefüggésen belül mindig ugyanazt az egyetlen individuumot jelöli, és minden különböző individuumra különböző névvel utalunk. Tehát egy névhez nem tartozhat több különböző dolog, és különböző dolgoknak nem lehet ugyanaz a nevük.
A természetes nyelvben ez a feltétel esetenként még a tulajdonnév esetében sem teljesül, a leírásokról nem is beszélve. Az ilyen helyzet néha félreértésekre ad okot.
Egy társaságban több János is lehet, és ilyenkor a „János könyvtáros”
mondat nem rendelkezik egyértelmű információtartalommal (így állítást sem fejez ki), ezért vissza szoktunk kérdezni:
– Melyik János?
– Gáspár János.
A Jánosokat, például, a vezetéknevükkel különböztetjük meg.
A fenti kitétel azonban megengedi azt, hogy egy individuumnak több különböző neve legyen.
Ez összhangban van a nyelvi gyakorlattal is. Hiszen sok embernek a tulajdonnevén kívül van például beceneve, adóazonosító száma, TAJ száma, fedőneve stb., mely bizonyos használati körben az ő neve.
2.2. 8.2.2. Tulajdonságok és predikátumok
Az előzőekben az individuum és az individuumnév logikai fogalmát tisztáztuk. Most térjünk át a predikátumok vizsgálatára! A predikátum fejezi ki azt a tulajdonságot, jellemzőt, amelyet az individuumról állítunk. A predikátumot úgy kapjuk meg, hogy mondatainkban elhagyjuk az individuumneveket.
A „Kati úszik” mondat predikátuma például az „úszik”.
Ezt a műveletet visszafelé végrehajtva: a predikátumot individuumnévvel megfelelően kiegészítve mondatot kapunk, amely állítást fejez ki. Az olyan predikátumot, amelyet egyetlen névvel lehet kiegészíteni, egyargumentumú vagy monadikus predikátumnak nevezzük. A fentiek valamennyien egyargumentumú predikátumok. A bevezetőben azonban már láttuk, hogy vannak olyan predikátumok is, amelyek két individuum viszonyára utalnak, és amelyeket kétargumentumú predikátumoknak nevezünk.
ABalatonnagyobb, mint aVelencei-tó.
JánosszeretiZsuzsát.
GézaelfogultMarivalszemben.
Állításainkban azonban kettőnél is több egyed között fennálló viszonyokat, kapcsolatokat is ki tudunk fejezni.
Zita, BenedekésGáboregyütt dolgozik.
AGellérthegyrőljól látjukaDunát.
ALánchídés aSzabadság hídközött van azErzsébet híd.
A felsorolt állításokban található predikátumok háromargumentumú predikátumok. Egy szinguláris állítás elvileg tetszőlegesen sok különböző, névvel megnevezett egyed viszonyát rögzítheti, ezért elvileg tetszőlegesen sok argumentumú predikátum is elképzelhető.
Kissé pontatlanul, de szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a logikában a predikátum bármit kifejezhet, ami egy vagy több individuumról állítható, és amit a megfelelő számú individuumra alkalmazva állítást kapunk. Következésképpen a tulajdonság és a viszony fogalmát – az individuum fogalmához hasonlóan – nagyon általánosan kell felfogni. Éppen ezért olyan széles a predikátumlogika alkalmazási területe!
Sokféle nyelvi kifejezési eszköz fejezhet ki predikátumot. Igék, igemódosítókkal vagy azok nélkül, főnevek jelzőkkel vagy azok nélkül, melléknevek egyaránt kifejezhetnek predikátumokat. Érdekes módon bizonyos esetekben még tulajdonnevek is jelölhetnek predikátumot:
A kocsim Renault.
Itt a „Renault” tulajdonnév jelöli a predikátumot, amelyet természetesen úgy kell érteni, hogy „Renault típusú”.
A fajta- és márkanevek esetében predikátummal van dolgunk, annak ellenére, hogy a fajtára tulajdonnévvel utalunk.
2.3. 8.2.3. Induviduumváltozók és nyitott mondatok
Nézzük az állítások alábbi sorozatát!
Kati úszik.
Bence úszik.
A Titanic úszik.
A kutyám úszik.
Ezeket szimbolizálhatjuk: Uk, Ub, Ut, Ua formában. (Az utolsó esetében a dőlt szedés jelzi, hogy a kutyámat az a individuumkonstans jelöli, mivel a k már foglalt.) Nézzük, hogyan ragadható meg az, hogy mi a közös a fenti állítások szerkezetében! Különböző individuumokról ugyan, de valamennyien azt állítják, hogy egy individuum rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy úszik. Tehát az a közös bennük, hogy azt állítják valamiről, hogy az úszik. Ezt az állításokban közös szerkezetet nyitott mondatnak nevezzük, és az alábbi formában jelöljük:
xúszik.
Az U predikátumkonstanst felhasználva:
Ux.
Ez jelöli azt a szerkezetet, amely közös minden olyan szinguláris állításban, amely egy individuumról azt állítja, hogy az úszik. Ez a nyitott mondat azt fejezi ki, hogy rendelkezik azzal a tulajdonsággal, hogy úszik. Hogy ki-mi rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, az meghatározatlan. A nyitott mondat azt fejezi ki, hogy egy adott tulajdonságot állítunk. Az Ux kifejezésben x-et individuumváltozónak nevezzük. Szinguláris állításból úgy kapunk nyitott mondatot, hogy a benne szereplő individuumneveket individuumváltozóval helyettesítjük. Az Uk, Ub, Ut, Ua állításokban megnyilvánuló közös általános szerkezetet tehát az individuumváltozók és a nyitott mondat fogalmával tudjuk megragadni.
Az individuumváltozók individuumnevek helyett álnak, azt a helyet jelölik, ahová individuumnevet helyettesíthetünk. Az individuumváltozókat az x, y, z kisbetűkkel jelöljük (ha háromnál többre lenne szükség, akkor indexekkel látjuk el őket). Az individuumkonstansok és az individuumváltozók összekeverését elkerülendő ragaszkodnunk kell ehhez a konvencióhoz!
xúszik.
ypáratlan szám.
zkiválóan beszél angolul.
Ezekbe a nyitott mondatokba x, y, és z helyére tetszőleges, de természetesen a megfelelő kategóriába eső individuumnév behelyettesíthető. x és z helyére személy megnevezését kell helyettesíteni, y helyére pedig egy szám nevét.
A nyitott mondat olyan kifejezés, amely legalább egy individuumváltozót tartalmaz, és amelyből állítás keletkezik, ha valamennyi individuumváltozó helyére megfelelő individuumnevet helyettesítünk. Minden szinguláris állítás tekinthető egy nyitott mondat helyettesítési esetének, amelyben az individuumváltozók helyére a szinguláris állításban szereplő individuumneveket helyettesítettük.
A nyitott mondatok nem szólnak egy meghatározott személyről vagy dologról, ezért ezek nem fejeznek ki állítást, és így nem lehetnek igazak vagy hamisak. (Ellentétben a behelyettesítésükkel kapott szinguláris állításokkal.) Csak azt mutatják meg, hogyan kell behelyettesíteni őket, hogy állítást kapjunk. A nyitott mondatban szereplő változók a nyitott mondat argumentumai vagy bemenetei.
Említsük meg már itt (később erről részletesen lesz szó), hogy a fenti egyváltozós nyitott mondatok mintájára értelmezzük a többváltozós nyitott mondatot is.
A Balaton nagyobb, mint a Velencei-tó.
János szereti Zsuzsát.
Zita, Benedek és Gábor együtt dolgozik.
A fenti állításokban helyettesítsük változókkal az individuumneveket!
xnagyobb, mint y.
xszeretiy-t.
x, y, és zegyütt dolgozik.
Az első kettő kétváltozós, míg a harmadik háromváltozós nyitott mondat. Ha bevezetjük a megfelelő predikátumkonstansokat, akkor szimbolikusan így írhatjuk fel őket:
Nxy Sxy Exyz
A nyitott mondat megfelelő behelyettesítés esetén mondatot eredményez, amely állítást fejez ki. A nyitott
A nyitott mondat megfelelő behelyettesítés esetén mondatot eredményez, amely állítást fejez ki. A nyitott