II. rész - LEÍRÓ STATISZTIKA
7. fejezet - Pontok és egyenesek ábrázolása
Kérdés: Mit mondott az egyenes a pontnak?
Válasz: Pont te hiányoztál!
1. 1. Pontok a koordináta-rendszerben
Ebben a fejezetben megnézünk néhány gondolatmenetet a pontok és egyenesek ábrázolásával kapcsolatban, melyekre majd a III. részben lesz szükségünk. Nem kell feltétlenül végigolvasni most a fejezetet, visszatérhet ide az Olvasó később is, amennyiben a III. résznél nehézségekbe ütközne. Ha úgy dönt, hogy most veszi végig a fejezetet: az első négy szakasz a legfontosabb; az utolsó a legnehezebb.
Az 1. ábrán egy vízszintes tengely (az x tengely) és egy függőleges (az y tengely) látható. A berajzolt pont x koordinátája 3, mivel az x tengely mentén a 3-as számmal van egy vonalban. A pont y koordinátája 2, mivel az y tengely 2-esével esik egyvonalba. Így írjuk le ezt a pontot: x = 3, y = 2. Olykor még jobban lerövidítjük a leírást így: (3;2). A 2. ábrán feltüntetett pont a (-2;-1): az x tengely mentén nézve a –2 alatt található, és a –1-gyel van egyvonalban az y tengely mentén.
7.1. ábra
7.2. ábra
-A francia René Descartes-tól (1596-1650) származik az ötlet, hogy a pontokat számpárokkal jellemezzük.
Tiszteletére ezt az ábrázolásmódot „Descartes-féle koordináta-rendszernek‖ is szokás nevezni.
1.1. „A” feladatsor
1. A 3. ábrán 5 pontot láthatunk. Írja le az egyes pontok x és y koordinátáit!
2. Amikor a 3. ábra A pontjából elmegyünk a B pontba, akkor az x koordinátánk ________ -mal nő; az y koordinátánk pedig _______ -vel.
3. A 3. ábra egyik bejelölt pontjának y koordinátája 1-gyel nagyobb az E pont y koordinátájánál. Melyik ez a pont?
7.3. ábra
-Pontok és egyenesek ábrázolása
René Descartes (Franciaország, 1598-1650)
A Syracuse Egyetem George Arents Kutatókönyvtárának Wolff-Leavenworth Gyűjteményéből
Pontok és egyenesek ábrázolása
107
2. 2. Pontok bejelölése
A 4. ábrán felvettünk egy tengelypárt. A (2;1) pont berajzolásához keressük meg az x tengelyen a 2-est: a pont egyenesen e fölött lesz, ahogy az 5. ábra mutatja; majd keressük meg az y tengelyen az 1-est: a pont ettől egyenesen jobbra lesz, mint a 6. ábrán.
7.4. ábra
7.5. ábra
7.6. ábra
-2.1. „B” feladatsor
1. Rajzoljon egy tengelypárt és jelölje be a következő pontokat:
(1;1) (2;2) (3;3) (4;4)
2. A következő négy pont közül három egy egyenesbe esik. Melyikük a kakukktojás? Az egyenes alatt vagy fölött található?
(0;0) (0,5;0,5) (1;2) (2,5;2,5)
3. Az alábbi táblázatban négy pont szerepel. Az y koordinátát mindegyiknél a következő szabály alapján kaptuk meg az x koordinátából: y = 2x + 1. Töltse ki az üresen hagyott helyeket, majd ábrázolja a pontokat! Mit mondana róluk?
4. A 7. ábrán bevonalkáztunk egy területet. A következő két pont közül melyik esik ebbe bele: (1;2) vagy (2;1)?
5. Ugyanez a kérdés a 8. ábrával kapcsolatban is.
6. Ugyanez a kérdés a 9. ábrával kapcsolatban is.
7.7. ábra
-Pontok és egyenesek ábrázolása
7.8. ábra
7.9. ábra
-3. -3. A meredekség és a tengelymetszet
A 10. ábrán egy egyenest látunk. Vegyük az egyenes egyik pontját, például az A-val jelöltet. Most menjünk el A-ból kiindulva egy másik pontba, mondjuk a B-be. Megnőtt valamennyivel az x koordinátánk – nevezzük ezt oldalirányú elmozdulásnak. Ebben az esetben az oldalirányú elmozdulás 2 volt. Ugyanakkor az y koordinátánk is nőtt valamennyivel, nevezzük ezt függőleges elmozdulásnak. Ebben az esetben 1 volt a függőleges elmozdulás. Figyeljük meg, hogy feleakkora volt a függőleges elmozdulás, mint az oldalirányú. Ezen az egyenesen bármely két pontot vesszük is, a függőleges elmozdulás az oldalirányú fele lesz. A függőleges és az oldalirányú elmozdulás hányadosát az egyenes meredekségének nevezzük:
meredekség = függőleges elmozdulás / oldalirányú elmozdulás.
A meredekség azt mutatja, hogyan nő az y az x növekedésével az egyenes mentén. Hogy még világosabban értsük, képzeljük az egyenest egy hegyre felfelé vezető útnak. A meredekség azt méri, hogy mennyire erős a kaptató. A 10. ábrán látható egyenes esetében 50%-os emelkedővel van dolgunk – út esetében ez igencsak meredeknek számítana. A 11. ábrán látható egyenes meredeksége 0. A 12. ábrán –1 a meredekség. Ha a meredekség pozitív, akkor fölfelé megyünk a hegyre [ha balról jobbra haladunk]. Ha a meredekség 0, vízszintes egyenessel van dolgunk. Negatív meredekség esetén lefelé jövünk a hegyről [ha balról jobbra haladunk].
7.10. ábra - A meredekség ½.
7.11. ábra - A meredekség 0.
Pontok és egyenesek ábrázolása
109
7.12. ábra - A meredekség –1.
A (függőleges) tengelymetszet az egyenes magassága x = 0-nál. A tengelyek általában 0-nál metszik egymást. A tengelymetszet ekkor az, ahol az egyenes az y tengelyt metszi. A 13. ábránál 2 a tengelymetszet. Néha azonban úgy vesszük fel a tengelyeket, hogy azok nem a 0-nál metszik egymást. Ilyenkor vigyáznunk kell egy kicsit. A 14. ábrán például az (1;1) pontban találkoznak a tengelyek. Az egyenes tengelymetszete itt 0, mivel ez lenne a magassága x = 0-nál.
A tengelyeknek gyakran mértékegységük is van. A 15. ábrán például az x tengelyen hosszúságegység (hüvelyk) szerepel, az y tengelyen Celsius-fok. Ilyenkor a meredekségnek és a tengelymetszetnek is van mértékegysége. Itt most 2,5 fok per hüvelyk a meredekség, a tengelymetszet pedig –5 Celsius fok.
7.13. ábra
7.14. ábra
7.15. ábra
-3.1. „C” feladatsor
1. A 16-18. ábrákon különböző egyenesek láthatók. Határozza meg a meredekségüket és a tengelymetszetüket!
Vigyázat: a tengelyek nem mindig a 0-nál metszik egymást!
7.16. ábra
-Pontok és egyenesek ábrázolása
7.17. ábra
7.18. ábra
-4. -4. Egyenesek ábrázolása
1.példa. Rajzoljuk fel azt az egyenest, amely átmegy a (2;1) ponton, és ½ a meredeksége.
Megoldás: Először rajzoljunk fel egy tengelypárt, és jelöljük be a megadott (2;1) pontot a 19. ábrán látható módon. Azután a megadott pontból menjünk el vízszintesen jobbra valamilyen kényelmes távolságra: a 20.
ábránál 3 egységet tettünk meg. Rajzoljunk be egy segédpontot erre a helyre. Minthogy az egyenes emelkedik, a segédpont fölött fog elmenni. Hogy mennyivel lesz fölötte, azaz 3 egységnyi oldalirányú elmozdulás esetén mennyit emelkedik az egyenes függőlegesen? A válasz a meredekségből derül ki. Az egyenes vízszintes egységenként fél függőleges egységet emelkedik, és mivel esetünkben 3 egység az oldalirányú elmozdulás, az emelkedés 3 ·½ = 1,5.
függőleges elmozdulás = oldalirányú elmozdulás · meredekség.
Segédpontunktól menjünk 1,5-et fölfelé, és jelöljük be itt harmadik pontunkat a 21. ábrán látható módon. Ez a pont az egyenesen fekszik. Tegyük rá vonalzónkat, és kössük össze a megadott (2;1) ponttal.
7.19. ábra
7.20. ábra
-Pontok és egyenesek ábrázolása
111
7.21. ábra
-4.1. „D” feladatsor
1. Rajzoljon egyeneseket a (2;1) ponton keresztül a következő meredekségekkel:
a. +1
b. –1
c. 0
2. Induljunk el a 21. ábrán szereplő (2;1) pontból! Ha 2-öt lépünk oldalra és 1-et fölfelé, akkor vajon az egyenesen, az alatt vagy afölött leszünk?
3. Ugyanaz, mint az előző feladat, de most oldalra 4-et, fölfelé 2-öt lépünk.
4. Ugyanaz, mint az előző feladat, de most oldalra 6-ot, fölfelé 5-öt lépünk.
5. Rajzolja fel azt az egyenest, melynek tengelymetszete 2, meredeksége pedig –1! Kis segítség: ez az egyenes átmegy a (0,2) ponton.
6. Rajzolja fel azt az egyenest, melynek tengelymetszete 2, meredeksége 1!
5. 5. Az egyenes algebrai egyenlete
2.példa. Most a következő szabály szerint kapjuk meg egy pont y koordinátáját az x koordinátájából: y = 1/2x + 1. Az alábbi táblázatban feltüntettük azokat a pontokat, amelyeknek x koordinátája 1, 2, 3, 4. Ábrázoljuk ezeket!
Egy egyenesbe esnek vajon? Ha igen: mekkora az egyenes meredeksége és tengelymetszete?
Megoldás: A pontok a 22. ábrán láthatók. Egy egyenesbe esnek. Bármely pont, melynek y koordinátája ugyanazon y = 1/2x + 1 egyenlet szerint kapható meg az x koordinátából, egyazon egyenesre esik. Azt mondjuk, hogy az egyenes az egyenlet ábrázolása. Az egyenes meredeksége ½, ez az x együtthatója az egyenletben. A tengelymetszet 1, ez az egyenletben szereplő konstans tag.
x y
1 1,5
2 2,0
3 2,5
4 3,0
7.22. ábra
-Pontok és egyenesek ábrázolása
Az y = mx + b egyenletet egy egyenes ábrázolja, melynek meredeksége m, tengelymetszete b.
3.példa. Mi a 23. ábrán látható egyenes egyenlete? Mennyi a magassága x = 1-nél?
Megoldás: Az egyenes meredeksége –1, tengelymetszete 4. Az egyenlete tehát y = –x + 4. Ha behelyettesítjük x
= 1-et, y = 3-at kapunk; x = 1 esetén tehát 3 az egyenes magassága.
7.23. ábra
7.24. ábra
7.25. ábra
-4.példa. Ábrázoljuk azt az egyenest, melynek y = –1/2x + 4 az egyenlete!
Megoldás: Az egyenes tengelymetszete 4; rajzoljuk be tehát a (0;4) pontot a 24. ábrán látható módon. Az egyenesnek át kell ezen mennie. Menjünk oldalirányban tetszőleges távolságra – mondjuk 2 egységnyire. A meredekség –1/2, tehát ekkor egy egységnyit csökken függőlegesen az egyenes. Jelöljük be azt a pontot, mely oldalirányban 2-re, lefelé 1-re van az első ponttól. Azután kössük össze egyenes vonallal a két pontot.
5.1. „E” feladatsor
1. Ábrázolja a következő egyenleteket:
a. y = 2x + 1
b. y = ½x + 2
Mondja meg, mennyi a meredekségük és a tengelymetszetük, és adja meg az egyenes magasságát x = 2-nél!
2. A 25. ábrán három egyenes látható. Párosítsa össze az egyeneseket és az egyenleteket!
Pontok és egyenesek ábrázolása
113
y = 3/4x + 1 y = –1/4x + 4 y = –1/2x + 2
3. Rajzoljon fel négy olyan pontot, melyek y koordinátája kétszerese az x koordinátának! Egy egyenesbe esnek vajon? Ha igen, mi az egyenes egyenlete?
4. Rajzolja be az (1;1), (2;2), (3;3), (4;4) pontokat ugyanabba az ábrába! A pontok egy egyenesbe esnek. Mi ennek az egyenesnek az egyenlete?
5. A következő pontok vajon az előző feladatban szereplő egyenesen, az alatt vagy afölött helyezkednek el?
a. (0;0)
b. (1,5;2,5)
c. (2,5;1,5)
6. Igaz-e:
a. Ha y nagyobb x-nél, akkor az (x;y) pont a 4. feladatban szereplő egyenes fölött van.
b. Ha y = x, akkor az (x;y) pont a 4. feladatban szereplő egyenesen van.
c. Ha y kisebb x-nél, akkor az (x;y) pont a 4. feladatban szereplő egyenes alatt van.