II. rész - LEÍRÓ STATISZTIKA
6. fejezet - A mérési hiba
Jézus: Én azért jöttem e világra, hogy bizonyságot tegyek az igazságról.
Pilátus: Mi az igazság?
1. 1. Bevezetés
Egy ideális világban ugyanazt a dolgot többször is megmérve minden alkalommal ugyanazt az eredményt kapnánk. A gyakorlatban azonban különbségeket tapasztalunk. Minden mérési eredményt valamelyest félrevisz a véletlen hiba, és ez a hiba mérésről mérésre változik. A problémával legkorábban foglalkozó tudósok közé tartozott Tycho de Brache dán csillagász (1546-1601). De legelőször valószínűleg a piactéren érzékelték, amint a kereskedők kimérték a fűszereket vagy lemérték a selyem hosszát.
Több kérdés is felmerül a véletlen hibával kapcsolatban. Honnan származik? Mekkora a valószínűsíthető nagysága? Mennyire valószínű, hogy a hibák az átlagban kioltják egymást? Az első kérdésre rövid a válasz: a legtöbb esetben senki sem tudja. A második kérdéssel ebben a fejezetben foglalkozunk majd, a harmadikat pedig a 7. fejezetben válaszoljuk meg.
2. 2. A véletlen hiba
Ebben a szakaszban a Nemzeti Mérésügyi Hivatal (National Bureau of Standards1) által végzett precíziós méréseknél fellépő véletlen hibákkal foglalkozunk. Következzen először is egy rövid ismertetés a hitelesített súlyokról. Az üzletekben az árut mérlegen mérik. Ezeket a mérlegeket a megyei mérésügyi hivatalnokok időről időre ellenőrzik a standard megyei súlykészlet segítségével. De a megyei standard súlykészletet is rendszeresen hitelesíteni kell, azaz össze kell vetni független standard súlyokkal. Ez állami szinten történik meg. Az állami szabványsúlyokat pedig a szövetségi szabványsúlyokkal vetik össze a Nemzeti Mérésügyi Hivatalban, Washingtonban.
Az összehasonlítások láncolata a platina-irídium ötvözetből készült nemzetközi alapmértéknél, a „kilogramm‖-nál végződik, melyet Párizs közelében őriznek a Nemzetközi Súly- és Mértékrendszer Irodában. A nemzetközi megállapodás (a mérést egységesítő egyezmény 1875-ben született meg) az „egy kilogrammot‖ úgy definiálta, mint ezen tárgy súlyát pontosan meghatározott körülmények között.2 Minden más súlyegységet a kilogrammhoz képest határoznak meg. Egy fontot nyom például valami, ha a súlya csak egy kicsivel kevesebb a kilogramm súlyának felénél, pontosabban
1 font = 1 kilogramm 0,4539237-szerese.
Amikor egy font vajról beszélünk, az azt jelenti, hogy vajdarabunkat egy hosszú és bonyolult összehasonlítás-sorozattal összekapcsolták a párizsi alapkilogrammal, melyhez képest 0,4539237-szer annyit nyom—nagyjából.
A mérésügyi egyezményt aláíró országok mindegyike kapott egy nemzeti kilogramm-etalont, melynek pontos súlyát a lehető legnagyobb precizitással határozták meg az alapkilogrammhoz képest. A nemzeti etalonokat sorsolással osztották szét, az Amerikai Egyesült Államok a 20-as sorszámút kapta. Az összes amerikai szabványsúly értékét ehhez a K20-hoz viszonyítják.
Az amerikai boltokban végzett mérések pontossága végső soron az amerikai Mérésügyi Hivatalban végzett kalibrálás precizitásától függ. Az egyik alapvető kérdés itt a reprodukálhatóság: ha megismételjük a mérést, mennyire változik meg az eredmény. A Hivatal úgy kezeli a kérdést, hogy saját súlyain ismételt méréseket hajt végre. Az egyik ilyen súly, az NB 10 mérési eredményeit fogjuk itt most tárgyalni. Az elnevezés onnan származik, hogy a Nemzeti Hivatal (National Bureau) tulajdona, névleges értéke pedig 10 gramm—két ötcentes súlya. (Egy csomag vaj „névleges‖ súlya 1 font, a pontos érték azonban ettől valamelyest eltér—véletlen hiba a vaj csomagolásánál; hasonlóan az NB 10-et előállító emberek is azon igyekeztek, hogy 10 gramm legyen a súlya, de egy picikét elhibázták.)
1A National Bureau of Standards (NBS) elnevezése NIST-re változott: The National Institute of Standards and Technology. Dr. H. H. Kunak szeretnénk köszönetet mondani a Hivatal részéről nyújtott segítségért.
2A köznapi súly szót használjuk a tömeg szakkifejezés helyett. A nemzetközi mérésügyi konferencia 1983-ban megváltoztatta a méter definícióját, de a súlyt továbbra is a referencia-tárggyal definiáljuk. A „kilogramm‖-ról szóló legfrissebb közlést lásd: Science (1995. május 12.) 804. o.
A mérési hiba
Az NB 10-et a Hivatal 1940 körül szerezte be, és azóta is nagyjából hetente egyszer lemérik a súlyát. 100 ilyen mérés eredményét fogjuk most megnézni. Az összes mérést ugyanabban a szobában, ugyanazzal a műszerrel, ugyanazok a szakemberek végezték. Minden erőfeszítést megtettek, hogy minden alkalommal ugyanazt az eljárást kövessék. Amennyire csak lehetséges, állandóak voltak mindazon tényezők, melyekről tudjuk, hogy befolyásolhatják az eredményeket, mint például a légnyomás vagy a hőmérséklet.
A sorozat első 5 mérése a következőképpen alakult:
9,999591 gramm változatlan, a 9,999. Az utána következő három számjegy ingadozik, mérésről mérésre változik. Ez a véletlen hiba hatása.3
Az NB 10 picivel kevesebbet nyom 10 grammnál. A 9,999 ismételgetése helyett a Hivatal azt adja meg, hogy mennyivel marad 10 gramm alatt a súlya. Az első mérésnél ez az érték
0,000409 gramm.
A sok nulla csak zavarja az embert, ezért a Hivatalban gramm helyett mikrogrammban dolgoznak: egy mikrogramm a gramm milliomodrésze. Ebben az egységben könnyebb áttekintenünk az NB 10 első öt mérési eredményét:
409 400 406 399 402.
Az 1. táblázatban mind a 100 mérés eredménye szerepel. Pillantsunk végig a táblázaton! Láthatjuk, hogy 400 mikrogramm körül alakulnak a mérési eredmények, de vannak köztük annál nagyobbak és kisebbek is. A legkisebb érték 375 mikrogramm (a 94-es sorszámú mérésnél); a legnagyobb 437 mikrogramm (86-os sorszámú). És a kettő között egy csomó szám előfordul. A nagyságrendek érzékeltetésére: egy mikrogramm egy nagyobbacska porszem súlya; 400 mikrogramm egy-két szem sóé. Ez tényleg precíziós mérés!
De akkor sem lehet az eltérő mérési eredmények mindegyike a pontos érték! Az nagyon valószínűtlen, hogy a táblázatban szereplő első számmal egyezne meg a 10 grammtól való eltérés pontos értéke, vagy hogy a másodikkal, vagy bármelyikükkel. A 100 mérés elvégzésére fordított fáradság ellenére az NB 10 egzakt súlya továbbra is ismeretlen, és talán megismerhetetlen.
6.1. táblázat - Az NB 10-en végzett 100 mérés. A méréseket a Nemzeti Mérésügyi Hivatalban Almer és Jones végezték. A mértékegység: mikrogramm, amennyivel kevesebb 10 grammnál.
3A Hivatalban végzett precíziós méréseknél a véletlen hiba két főbb feltételezett forrása:
• a kiegyensúlyozó mechanizmus holtjátéka, különösen az él közelében
• árnyalatnyi eltérések a súlyok helyzetében a mérlegserpenyőkben.
A mérési hiba meghibásodott valami, és rendbe kell azt hozni. (Az NB 10-est ezért kontollsúlynak is nevezik; a mérési eljárás ellenőrzésére használják.)
Hogy lássuk, mire szolgálnak még az ismételt mérések, képzeljük el, hogy egy tudományos laboratórium a saját 10 gramm névleges értékű súlyát beküldi hitelesítésre a Mérésügyi Hivatalba. Egyetlen mérés nem adhat számukra végleges választ a véletlen hiba miatt. A laboratórium azt is tudni akarja, hogy mekkora lehet ez a véletlen hiba. Kiderítheti direkt módon is: újfent beküldi a súlyt egy újabb mérésre. Ha a két eredmény pár mikrogrammal tér el egymástól, akkor valószínűsíthetően az egyes méréseknél is csak pár mikrogramm nagyságrendű a véletlen hiba. Ha viszont a két eredmény között több száz mikrogramm a különbség, akkor az egyes mérések is ennyivel tévednek valószínűleg. Az NB 10 ismételt megmérése mindenkit megkímél attól, hogy többször is be kelljen küldenie a saját súlyát. Szükségtelen a hitelesítés megismétlését kérni, hiszen a Hivatal már elvégezte a szükséges munkát.
A mérési hiba
Egy mérés, bármily gondosan végezzék is el, némileg különbözőképpen alakulhat. A mérés megismétlésekor kicsivel el fog térni az eredmény. Hogy mennyire? A kérdés megválaszolására a mérés megismétlése a legjobb módszer.
Az 1. táblázatban szereplő 100 mérés szórása picivel 6 mikrogramm fölött van. A szórás azt mutatja, hogy az NB 10-en végzett egyes méréseket nagyságrendileg 6 mikrogramm körüli véletlen hiba terheli. Igen gyakori a 2, az 5 vagy a 10 mikrogramm körüli véletlen hiba. Szerfelett ritkán fordulhat csak elő 50 vagy 100 mikrogramm nagyságú. A konklúzió: ha más 10 grammos súlyokat ugyanezzel az eljárással kalibrálunk, akkor nagyságrendileg 6 mikrogramm körüli véletlen hibával kell számolnunk.
A megismételt méréssorozat szórása becslést ad arra, hogy valószínűsíthetően mekkora véletlen hiba lép fel egy egyedi mérés esetében.
A következő egyenlet segít megvilágítani ezt a gondolatot:
egyedi mérési eredmény = egzakt érték + véletlen hiba.
A véletlen hiba eltéríti az egyedi méréseket az egzakt értéktől, mérésről mérésre változó mértékben. Az ismételt mérések közötti eltérések a véletlen hiba változásait tükrözik, és mindkettőt az adatok szórásával számszerűsíthetjük. Matematikailag: a véletlen hiba szórásának meg kell egyeznie a mérések szórásával, az egzakt érték hozzáadása ugyanis csupán a skála megváltoztatását jelenti (lásd az 5. fejezet 6. szakaszát.)
Nézzük meg ezt egy kicsit lassabban is! Az 1. táblázatban látható 100 mérés átlaga 405 mikrogrammal volt 10 gramm alatt. Ez nagy valószínűséggel közel van az NB 10 egzakt súlyához. Az első mérés 4 mikrogrammal tért el az átlagtól:
409 – 405 = 4.
Ez a mérés tehát közelítőleg 4 mikrogrammal tért el a pontos súlytól. A véletlen hiba közelítőleg 4 mikrogramm volt. A második mérés 5 mikrogrammal volt az átlag alatt; a véletlen hiba következésképpen –5 mikrogramm körül volt. Az átlagtól való tipikus eltérés 6 mikrogramm körüli, minthogy 6 mikrogramm a szórás. A tipikus véletlen hibának így 6 mikrogramm körül kellett lennie.
A 100 mérés átlaga (405 mikrogrammal kevesebb, mint 10 gramm) önmagában természetesen szintén csak az NB 10 egzakt súlyának egy becslése. Ez a becslés is eltér attól valamilyen parányi véletlen hibával. A 24.
fejezetben látjuk majd, hogyan lehet kiszámítani a véletlen hiba valószínűsíthető nagyságát az ilyenfajta átlagoknál.
6.1. ábra - Az amerikai kilogramm-etalon, a K20.
A mérési hiba
97 Forrás: National Bureau of Standards Bulletin (1905)
3. 3. Magányos esetek
Hogyan illeszkedik vajon az 1. táblázatban bemutatott méréssorozat a normálgörbéhez? A válasz az, hogy nem túl jól. A 36-os sorszámú mérés 3 szórásnyira esik az átlagtól; a 86-os és a 94-es 5 szórásnyira – kisebb csodák.
Az ilyen extrém mérési eredményeket magányos esetekneki nevezzük. Ezek nem valamiféle baklövésből származnak: a hivatal legjobb tudomása szerint semmi sem romlott el, amikor ezeket a méréseket végezték.
Mindazonáltal a három extrém érték megnöveli a szórást. Ennek következtében az átlagtól egy szórásnyin belül eső mérési eredmények aránya 86% – jócskán nagyobb a normálgörbe alapján jósolt 68%-nál.
Ha a három magányos esettől eltekintünk, a fennmaradó 97 mérés átlagára 10 gramm alatt 404 mikrogramm jön ki, mindössze 4 mikrogramm szórással. Az átlag nem sokat változott, viszont a szórás mintegy 30%-kal csökkent. A 2. ábrán láthatjuk, hogy a fennmaradó 97 mérés közelebb áll a normális megoszláshoz. Összegezve:
iA magyar statisztikusok jellemzően az angol „outlier‖ elnevezést használják, és ha feltétlenül magyar kifejezést kell mondaniuk, többnyire extrém értékekről vagy extrém esetekről beszélnek. Magunk a könyv szaknyelvújító szellemét követve választottuk ezt a szemléletes elnevezést.
A mérési hiba
az adatok többségének szórása 4 mikrogramm körüli; pár mérési eredmény viszont messzebb esik az átlagtól, mint azt a szórás alapján gondolnánk. A teljes (6 mikrogramm) szórás egyfelől a hisztogram törzsének 4 mikrogrammos szórásából, másfelől a magányos esetekből együttesen áll elő.
6.2. ábra - Magányos esetek. A felső ábra az NB 10-es 100 mérési eredményének hisztogramja; az összehasonlítás kedvéért berajzoltuk a normálgörbét. A görbe nem jól illeszkedik a hisztogramhoz. Az alsó ábra a három magányos eset elhagyása után nyert hisztogramot mutatja. A görbe jobban illeszkedik. Az adatok többsége a normálgörbét követi, ám néhány mérési eredmény sokkal messzebb esik az átlagtól, mint azt a görbe alapján várnánk.
Gondos mérés esetén kis százalékban számítunk magányos esetek előfordulására. Az NB 10 adatsorának valójában az az egyetlen szokatlan vonása, hogy közlik a magányos eseteket. Nézzük meg a Mérésügyi Hivatal mondandóját arról, hogy sokan nem szerepeltetik az adatok közt az extrém értékeket!4 Hivatalos szöveg lévén, a stílusa eléggé érdes.
4P. E. Pontius, „Measurement phylosophy of the pilot program for mass calibration,‖ NBS Technical Note No. 288 (1966). A Mérésügyi Hivatal magányos eseteket csak „valamilyen okból, például ajtócsapódás vagy a berendezés hibás működése miatt‖ vet el. Lásd még H. H.
Ku (szerk.) Precision Measurement and Calibration. NBS Special Publication no. 300, vol. 1 (Washington, D. C., 1969).
A mérési hiba
99
A statisztikai módszerek mérési adatok elemzésére történő alkalmazásának egyik legnagyobb nehézsége abban áll, hogy megfelelő adatokhoz jussunk. A probléma gyakran azzal a tudatos, esetleg tudattalan, törekvéssel függ össze, hogy adott folyamat kimenetelét úgy alakítsák, amilyennek azt a szakember látni szeretné, a tényleges kimenetel elfogadása helyett .... Ha önkényes határok felállítása alapján elvetünk adatokat, az súlyosan meghamisítja a valóságos folyamatoknál előforduló eltérések becslését. Az ilyen eljárások a ... program célját akadályozzák. A valóságos paraméterek meghatározásához az összes olyan adatot figyelembe kell vennünk, melyeket jó okkal nem tudunk elvetni.
Nehéz döntéssel áll szemben a kutató, amikor magányos eseteket talál. Vagy figyelmen kívül hagyja azokat, vagy pedig elfogadja, hogy mérési eredményei nem követik a normálgörbét. A görbe presztizse oly nagy, hogy az előbbit szokás választani. Íme, az elmélet győzelme a tapasztalat fölött.
4. 4. Torzítások
Képzeljük el, hogy a hentes a hús lemérésekor hüvelykujjával kicsit megnyomja a mérleget. Ez hibát okoz a mérésnél, de a dolog nem a véletlenen múlt. Vegyünk egy másik példát! Tegyük fel, hogy egy méteráru üzletben olyan mérőszalagot használnak, mely kinyúlt már kicsit, 100 centiméterről 101 centiméterre. Így az anyag minden eladott „méteréhez‖ egy extra centiméter tapad. Ez sem véletlen hiba, hiszen mindig a vevő javára dolgozik. A hentes ujja és a megnyúlt mérőszalag két példa a torzításra, avagy szisztematikus hibára.
A torzítás minden mérési eredményt egyformán befolyásol, ugyanabba az irányba térít el. A véletlen hiba mérésről mérésre változik, hol felfelé, hol lefelé téríti el az eredményt.
Alapegyenletünkön változtatnunk kell, ha az egyes mérések a véletlen hibán kívül torzításnak is ki vannak téve:
egyedi mérési eredmény = egzakt érték + torzítás + véletlen hiba.
Ha a mérési eljárásban nincsen torzítás, az ismételt mérések átlaga hosszú távon megadja a mérendő dolog egzakt értékét: a véletlen hibáknak ki kell ejteniük egymást. Ha azonban torzítás is jelen van, akkor az átlag hosszú távon is túl nagy vagy túl alacsony lesz.
A torzítást általában nem lehet észrevenni magukból a mérési eredményekből. A méréseket egy külső, hiteles mérőeszközzel vagy valamilyen elméleti jellegű feltevéssel kell összevetni. A K20 és a Párizsban őrzött alapkilogramm közötti kapcsolaton múlik az összes súlymérés, melyet Amerikában elvégeznek. Több alkalommal is összehasonlították a két súlyt, és a becslés szerint a K20 icipicivel könnyebb a „kilogramm‖-nál, mégpedig 19 milliárdodnyival. A Mérésügyi Hivatal ennek kompenzálására 19 milliárdoddal felfelé módosítja a súlyokra vonatkozó összes számítását. Mindazonáltal ez a faktor is csak közelítés, elvégre maga is valamilyen mérési eljárás eredményeképpen állt elő. Az Amerikában mért összes súlyérték tehát valamilyen (egészen parányi) arányban szisztematikusan eltér a valódi értéktől. Ez is a torzítás egy példája, de cseppet sem olyan, hogy aggódnunk kellene miatta.
5. 5. Ismétlő feladatsor
1. Igaz-e a következő állítás? Adjon indoklást is! „Egy gyakorlott kutatónak, aki az elérhető legjobb berendezéssel dolgozik, elég egyszer elvégeznie egy mérést – feltéve, hogy nem követ el hibát. Ha kétszer mérné meg ugyanazt a dolgot, akkor is ugyanazt az eredményt kapná.‖
2. Egy ács textilből készült mérőszalagot használ a deszkák hosszának lemérésére.
a. Miféle torzítások léphetnek fel?
b. Az acélból vagy a textilből készült mérőszalag van-e jobban kitéve a torzítás lehetőségének?
c. Megváltozhat-e idővel a textil mérőszalag torzítása?
3. Igazak-e a következő állítások? Adjon magyarázatot is!
a. A torzítás egyfajta véletlen hiba.
A mérési hiba
b. A véletlen hiba egyfajta torzítás.
c. A mérési eredményeket általában torzítás és véletlen hiba is befolyásolja.
4. Beküldtünk egy egyjardos mérőrudat hitelesítésre a helyi laboratóriumba (a rúd hosszának centiméterben 91,44-nek; hüvelykben 36-nak kell lennie), és azt kértük, hogy háromszor végezzék el a mérést. A következő értékeket kapták:
35,96 hüvelyk 36,01 hüvelyk 36,03 hüvelyk
Ha egy negyedik mérésre is visszaküldenénk a mérőrudat, mekkora eltérésre számítanánk vajon a 36 hüvelyktől (pozitív vagy negatív irányban)?
0,01 hüvelyk körüli 0,03 hüvelyk körüli 0,06 hüvelyk körüli
5. A bevezető statisztika kurzus 19 hallgatóját arra kérték, hogy tolómércével mérjék meg egy asztallap vastagságát. A tolómérce beosztása 0,001 hüvelyk (azaz kb. 2 milliméter). Két mérést végzett mindenki, amint az alább látható. (A mértékegység hüvelyk; az első személy például 1,317-et és 1,320-at kapott a két mérés eredményeképpen.)
a. Egymástól függetlenül dolgoztak-e a diákok?
b. Hogyan tudná egy hitetlenkedő barátját meggyőzni a véletlen hiba létezéséről az adatok segítségével?
Személy Első Második Személy Első Második
sorszáma mérés (hüvelyk) sorszáma mérés (hüvelyk)
1 1,317 1,320 11 1,333 1,334
2 13,26 13,25 12 1,315 1,317
3 1,316 1,335 13 1,316 1,318
4 1,316 1,328 14 1,321 1,319
5 1,318 1,324 15 1,337 1,343
6 1,329 1,326 16 1,34 1,336
7 1,332 1,334 17 1,320 1,336
8 1,342 1,328 18 1,342 1,340
9 1,337 1,342 19 1,317 1,318
10 13,26 13,25
6. 6. Különleges ismétlő feladatsor
Ezek a feladatok az I. és a II. rész anyagát is felkasználják..
A mérési hiba
a. Egy számsorozat szórása 0. Ez azt jelenti, hogy _________________.
b. Egy lista négyzetes középértéke 0. Ez azt jelenti, hogy _________________.
Válaszlehetőségek:
i. nem szerepelnek számok a listán ii. a lista csupa egyforma számból áll iii. a listán szereplő összes szám 0 iv. a lista átlaga 0
3. Személyiségtesztet töltetnek ki emberek egy nagyobb csoportjával. Öt tesztpontszámot láthatunk alább az eredeti egységben, illetve standard egységben. Töltse ki az üresen hagyott helyeket!
79 64 52 72 ______
1,8 0,8 ____ _____ -1,4
4. Az egyik egyetem elsőévesei körében a nyelvi felvételi pontszámok a normálgörbét követik; az átlag 500, a szórás 100.
a. A hallgatók hány százaléka ért el 350 és 650 közötti pontszámot?
b. Körülbelül ezer hallgató pontszáma esett a 400 és 600 közötti tartományba. Közülük körülbelül _______
hallgató pontszáma volt a 450 és 550 közötti tartományban. Töltse ki az üresen hagyott helyet a válaszlehetőségek valamelyikével, és adjon magyarázatot is!
Válaszlehetőségek: 440, 500, 560.
5. Egy, a HANES-hez hasonló, 1960-61-ben készült egészségügyi felmérésben 6672 személy vett részt. A megkérdezettek nemét a felvétel két különböző fázisában is rögzítették. 17 esetben találtak ellentmondást: az egyik kérdezés során férfiként, a másik kérdezésnél nőként kódolták az illetőt. Mivel magyarázná ezt?
6. Az egyik főiskolán az elsőéves férfiak matematikai pontszámainak átlaga 650, szórása pedig 125 volt. A nők átlaga 600 volt, de a szórása szintén 125. Az évfolyamra 500 férfi és 500 nő járt.
a. Ha a férfiakat és a nőket együtt nézzük, a matematikai teszt átlaga _________ volt.
b. Ha a férfiakat és a nőket együtt nézzük, vajon 125-nél kevesebb, 125 körüli vagy 125-nél nagyobb volt a matematikai teszt szórása?
7. Oldja meg a 6. feladatot arra az esetre, ha 600 férfi és 400 nő jár az évfolyamra. (A nőkre és a férfiakra vonatkozó átlagok és szórások most is ugyanazok.)
A mérési hiba
8. A 6. fejezetben található 1. táblázat közli az NB 10-zel végzett 100 mérés eredményét, a 2. ábra alsó része mutatja a hisztogramot. Az átlag 405 mikrogramm, a szórás 6 mikrogramm volt. Ha normális közelítéssel becsülnénk meg a 400 és 406 mikrogramm közé eső mérési eredmények arányát, vajon túl alacsony, túl magas vagy nagyjából megfelelő értéket kapnánk-e? Adjon rövid indoklást is!
9. Az egyik gyakorlatvezető gyakorló feladatsort ad fel a csoportjába járó hallgatóknak. Tíz kérdés szerepel a feladatlapon, és az eredmény nem számít bele a félévvégi osztályzatba. A feladatlapok kijavítása után a gyakorlatvezető összeírja, hogy hány kérdésre válaszoltak jól, illetve rosszul az egyes hallgatók. A jó válaszok átlaga 6,4, a szórás 2,0. A hibás válaszok száma átlagosan ____________, a szórás ___________.
Töltse ki az üresen hagyott helyeket – vagy esetleg szüksége lenne a konkrét adatokra is? Adjon rövid indoklást!
10. 1976-80-ban az amerikaiak egy nagy, reprezentatív mintáját vizsgálták az egészséggel és a táplálkozással foglalkozó felmérés (HANES) keretében5. A balkezesek aránya a megkérdezettek körében folyamatosan csökkent az életkorral, a 20 éves kori 10%-ról 4%-ra a 70 éveseknél. „Az adatok azt mutatják, hogy életkoruk előrehaladtával sokan áttérnek a balkezességről a jobbkezességre.‖ Igaz-e ez az állítás? Miért? Amennyiben hamis, hogyan magyarázná az adatokat?
11. Nők egy csoportjában a testmagasságok 25-ödik percentilise 62,2 hüvelyk, a 75-ödik percentilis pedig 65,8 hüvelyk. A hisztogram a normálgörbét követi. Mekkora a testmagasság megoszlásának 90-edik percentilise?
12. A rendszeres népességfelmérés keretében minden márciusban megkérdezik az amerikaiak egy nagy, reprezentatív mintáját az előző évi jövedelmeikről.6 Alább láthatunk egy hisztogramot az 1992-es családi jövedelmekről. (Az intervallumok a baloldali végpontot tartalmazzák, a jobboldalit nem.) 10 000 és 60 000$
között magasabb és alacsonyabb blokkok szabályos váltakozását figyelhetjük meg. Miért van ez? Adjon rövid magyarázatot!
13. Kutatók úgy vizsgálták a testmozgásnak a szívbetegség kockázatára gyakorolt hatását, hogy összehasonlították a szívbetegségek előfordulását a londoni tömegközlekedési vállalat dolgozóinak két nagy csoportjában: a buszvezetők és a kalauzok körében. A kalauzok sokkal többet mozognak, hiszen egész nap körbejárnak beszedni a viteldíjakat. A két csoport életkori megoszlása nagyon hasonló volt, és minden vizsgált személy legalább 10 éve ugyanazt a munkát végezte. A szívbetegségek előfordulása lényegesen ritkábbnak bizonyult a kalauzok körében, amiből a kutatók levonták azt a következtetést, hogy a testmozgás véd a szívbetegségek ellen.
Más kutatók szkeptikusan viszonyultak az eredményhez. Megkeresték a tömegközlekedési vállalatot, ahol kiderült, hogy a vállalat egyenruhával látja el dolgozóit, és ezért nyilvántartják a ruhaméreteiket.7
a. Miért fontos, hogy a két csoport életkori megoszlása hasonló volt?
b. Miért számít az, hogy a vizsgált személyek mindegyike legalább 10 éve végezte ugyanazt a munkát?
5Az adatok a National Center for Health Statistics és az Inter-University Consortium for Political and Social Research által rendelkezésünkre bocsátott mágnesszalagról származnak.
6Az adatok a Bureau of the Census által, a U.C. Survey Research Center közvetítésével rendelkezésünkre bocsátott CD-ROM-ról
6Az adatok a Bureau of the Census által, a U.C. Survey Research Center közvetítésével rendelkezésünkre bocsátott CD-ROM-ról