A N É G Y D IM E N Z IÓ S T É R -I D Ő . Hogyan lép fel a negyedik dimenzió eszméje ? — Hogyan fejeződik ki mozgásokban a mozdulatlanság 1 — Hogyan olvad össze az Idő a Térrel ? — A négydimenziós Tér-Idő általános fogalma. — Mit ad a valósághoz és mit vesz el belőle f — Kettős illúzió, melynek kiszolgáltat bennünket.
— Ennek a fogalomnak egészen sajátos jellege a Relativitás elméletében. — Különleges zavar, melybe itt beleeshetünk.
■— A valóságos és a virtuális. — Mit ábrázol valójában a Tér-Idő amalgám.
Hagyjuk most fényábránkat egymást követő deformációival. Használnunk kellett őket, hogy testet adjunk a Relativitás-elmélet abstrakcióinak s hogy a benne rejlő posztulátumokat kihámozzuk.
Az a viszony, amelyet a sokszoros Idők és a lélektani idő között már előbb megállapítottunk, talán vilá
gosabb lett tőle. És talán megnyílni láttuk azt a kaput is, melyen a négydimenziós Tér-Idő gondo
lata az elméletbe lép. Most a Tér-Idővel fogunk foglalkozni.
Már az imént végzett elemzés is mutatta, ho
gyan bánik el ez az elmélet a dolognak kifejezésé
hez való viszonyával. A dolog az, amit észre
veszünk ; a kifejezés az, amit az elme a dolog he
lyébe tesz, hogy számításnak vethesse alá. A dolog valóságos látványban van adva ; a kifejezés legfel
jebb annak felel meg, amit fantom-látványnak ne
vezünk. Az ilyen fantom-látványokat a valóságos
A negyedik dimenzió 159
látvány állandó és szilárd magja körül rendesen mint tünékeny udvart képzeljük. De a Relativitás elméletének lényege, hogy ezeket a látványokat mind egy rangba helyezi. Az a látvány, amelyet valóságnak nevezünk, szerinte csak e fantom-lát
ványok egyike. Legyen, oly értelemben, hogy nincs mód különbözésük matematikai kifejezésére. De ebből nem «kellene természetük hasonlóságára kö vetkeztetnünk. Pedig éppen ezt cselekszik azok, akik metafizikai értelmet adnak Minkovszki és Einstein kon'tinnumának, az ő négydimenziós Tér
idejüknek. Lássuk ugyanis, hogy ez a Tér-Idő mi- képen keletkezik.
Evégből csak pontosan meg kell határoznunk e fantom-látványok természetét abban az esetben, mikor az R rendszer belsejében levő megfigyelő, ki miután valósággal észrevett egy változatlan / hosszúságot, e hosszúság változatlanságát most úgy képzelné el, hogy gondolatban a rendszeren kívül helyezkednék, aztán feltenné, hogy a rend
szer sorban minden lehetséges sebességgel mozog.
Magában ezt mondaná : minthogy a mozdulatlan R rendszerben, ahol lakom, a mozgó R' rendszer
nek valamely előttem elvonuló A B’ vonala egybe
esik e rendszernek egy bizonyos / hosszúságával, tehát ez az A B’ vonal nyugalomban annyi volna, mint
Vizsgáljuk e nagyságnak négyzetét :
160 A négydimenziós Tér-idő
Mennyivel múlja felül az / hosszúság négyzetét ? Az
! _ /^v2 v2 c2
~ c2
mennyiséggel, amit így írhatunk :
1 lv~
/ 1 — —
f C2
c2 Már pedig
lv c*
éppen azt a T időközt méri, mely rám nézve, ha az R rendszerben vagyok, az A' és B’ pontokban vég
bemenő két esemény között telik el ; ezek az ese
mények, ha az R' rendszerben volnék, nekem egyidejűeknek tűnnének fel. Tehát amint R' sebes
sége zérustól növekedik, az A' és B' pontokon át
menő két esemény között, melyek R' ben mint egyidejüek vannak adva, a T időköz nagyobbodik ; de minden úgy történik, hogy az L2 — c^T2 kü
lönbség állandó marad. Ezt a különbséget hívtam azelőtt /2-nek. Így, ha c az időegység, mondhatjuk, hogy ami fi'-ben egy valóságos megfigyelőnek, mint térbeli nagyság rögzítettsége, mint l2 négyzet változatlansága van adva, az egy fí-ben levő kép
zelt megfigyelőnek úgy tűnnék fel, mint egy idő
érték négyzetének s egy térérték négyzetének különbsége.
De most egészen különleges esetről volt szó.
Általánosítsuk a problémát és kérdezzük előbb, hogyan fejeződik ki valamely R' anyagi rendszer
A Tér-ldö-amalgám 161
belsejében levő derékszögű tengelyekhez képest e rendszer két pontjának távolsága. Azután keresni fogjuk, hogyan fejeződik ki e távolság oly R rend
szerben levő tengelyekhez képest, melyekre nézve mozgásban van.
Ha terünk kétdimenziós volna, mondjuk, csak a papírlap, ha a vizsgált két pont A' és B' volna, melyeknek az O'Y' és O'X' tengelyektől mért távol
ságai x i, yi' és x í, ij2, világos, hogy A'W2= (.x2' - X,')2 + (y2' - yO
2-Tehát vehetnénk bármilyen más, az elsőhöz képest mozdulatlan tengelyű rendszert s adhatnánk így az
*i', X2', 1/1', y% mennyiségeknek az előbbiektől általá
ban különböző értékeket, az (X2 — X1')2 + (1/2' —yi)z négyzetösszeg ugyanaz maradna, mert mindig annyi
___ z
volna, mint A’B' . Ugyanígy három dimenziós térben, hol az A' és B' pontokról már nem tételez
zük fel, hogy az X 'O 'Y síkban vannak s ahol most egy csúcsával O'-ben levő derékszögű triéder há
rom síkjától mért Xi', iji, z 1', x í, 1)2, Z2 távolságok határoznák meg őket, megint konstatálnék az
(1) ( X / - XO2 + fy2' - yi')2 + (Z2 - Z ,r változatlanságát. És éppen ebben a változatlanság
ban jutna kifejezésre az, hogy az A' és B' közötti távolság az /í'-beli megfigyelőre nézve állandó.
De tegyük fel, hogy megfigyelőnk gondolatban az R rendszerbe helyezkedik, melyhez képest az R' rendszert mozgónak tekintjük. Tegyük fel azt is, hogy az A' és B’ pontokat ezen új rendszerében levő tengelyekre vonatkoztatja egyébként oly egy
szerűsített föltételek között, aminőket fentebb írtunk le, mikor Lorentz egyenleteit állapítottuk meg. Az A' és B’ pontoknak az R rendszerben talál
-Henri Bergson : Tarlam és Egyidejűség. 11
162 A négydimenziós Tér-Idő
kozó három egymásra merőleges síktól mért távol
ságai most xt, yu z i ; x2, y2, Z2. Két pontunk A B távolságának négyzetét most három négyzetnek összege adja :
(2) (x2 — X])2 -j- (y2 y,)2 4" (z2 — ztf.
De Lorentz egyenletei szerint, ha ezen összeg két utolsó négyzete egyenlő is az előző formula két utolsó négyzetével, nem úgy az első, mert ezen egyenletek az X\ és x2 értékéül az
— i ( x , ' - f v f ) , ille t ő le g
1 — —
c2
értékeket adják úgy, hogy az első négyzet értéke ---T2 (X2 ~ *0
2-1 - ~2 C2
(X2 + Vf) 1 —
C2
Természetesen most az imént vizsgált különleges esettel állunk szemben. Az K' rendszerben ugyanis megnéztünk egy bizonyos A B' hosszúságot, azaz egy A'-ben és egy fi'-ben végbemenő pillanatnyi és egyidejű esemény távolságát. De most a kérdést általánosítani akarjuk. Tegyük fel tehát, hogy az R' beli megfigyelő a két eseményt egymásután veszi észre. Ha egyik a f1, másik a f 2 pillanatban törté
nik, a Lorentz-féle egyenletek szerint
( x , ' + v t f )
X2 = (x2 -f- vt2'),
A Tér-Idő-amalgám 163
úgy hogy első négyzetünk lesz
— -y 2 [(X2 ~ V ) + V (t2' - V ) ] 2
1 ~ c2
és három négyzetből álló eredeti összegünk a
(3 > — - ¡ 5 K V - V ) + V ( V - / , ' ) p +
(y2 — Ti)2 “1“ (^2 -- Z\)2
kifejezéssel helyettesül, mely o-től függ és már nem változatlan.
De ha ebben a kifejezésben megnézzük az
---~ 7^2 K V ' V ) -f - v (¡2 — ti)]2
első tagot, mely megadja (£2—Xi)2 értékét, látjuk,1 hogy az (X2' — x i ) 2 értékét
~ l— 2 c*[itz - h') + V (X2' ~ X l'í] - c2 ( ü - t i ' ) 2 1 ~ C2
mennyiséggel múlja felül. Már pedig Lorentz egyenletei szerint
— s [ < v - V ) + v - '.)*•
1 ” c2 T eh át
(X2 - X,)2 - ix 2' - X,')2 = c2 (t2- U ) 2 - c2 (t2' - ti')2 1 Könnyen igazolható.
11*
164 A négydimenziós Tér-Idő
vagy y
(*2 - * l ) < - C2 (*2 - í i ) 2 = (X*' - X ,')2 - C2 (/2' - f,')*
vagy végül
(x2 X,)2 -(- 0^2 y 0 2 4~ (22 — ^l)2 c2 (t2 — ti)2 =
= (Xa' - Xi02+ ( y 2' - y i ') 2 + («2' - XaO2 - c2 (fa' - V )2- Ez az eredmény a következő módon volna ki
jelenthető. Ha az JT-beli megfigyelő a három négyzet
(X2' - X /)2 + (y2' _ y /) 2 + (Z 2' - *,')*■
összege helyett az
(X2 - X,')2 + (y2' - y O 2 + (22' - V ) 2- C2 (í2' - í , ' ) 2 kifejezést vizsgálta volna, hol egy negyedik négy
zet is szerepel, az Időnek e bevezetésével helyre
állította volna az invarianciát, mely a Térben megszűnt.
Számításunk kissé nehézkesnek látszik. Való
ban az. Mi sem lett volna egyszerűbb, mint azonnal konstatálni, hogy az
(x 2 — X i)2 + ( y 2 — y i ) 2 + (z2 — Zi)2 — C2 (t2 — ti)2 kifejezés nem változik, ha tagjaira a Lorentz-féle transzformációt alkalmazzuk. De ezzel egy rangba helyeztük volna mindazokat a rendszereket, me
lyekben az összes méréseket végezni gondoljuk. A matematikusnak és fizikusnak szabad így eljárnia, mert nem valóság-tényezőkben értelmezni próbál
ják, hanem egyszerűen használni akarják a Rela
tivitás elméletének Tér-Idejét. Nekünk ellenben éppen ez az értelmezés a célunk. Tehát azokból a mérésekből kellett kiindulnunk, melyeket az jR'-beli megfigyelő az R' rendszerben vett fel, — ezek az egyetlen, valóságos megfigyelőnek tulajdonítható valóságos mérések, — és a másik rendszerben vég
A Tér-ldő-amalgám 165
zett méréseket úgy kell tekintenünk, mint ezeknek módosulásait, még pedig oly módon egymáshoz rendelt módosulásait és eltorzulásait, hogy a mérés- adatok bizonyos viszonyai ugyanazok maradjanak.
Tehát szükség volt a megtett kerülőre, hogy meg
tartsuk az /í'-beli megfigyelő központi helyzetét s így előkészítsük a Tér-Időről mindjárt adandó elemzéseket. Egyszersmind különbséget is kellett tennünk, amint látni fogjuk, azon eset között, mikor az R '-beli megfigyelő az A' és B' eseményeket egyidejűeknek észlelte, s azon eset között, mikor mint egymásutániakat jegyezi fel őket. Ez a meg
különböztetés eltűnt volna, ha nem tesszük az egyidejűséget azzá a különleges esetté, amelyben h’ — h ' — o ; az egyidejűséget így felszivattuk volna az egymásutánba, mert így minden különb
ség megsemmisült volna az fí'-beli megfigyelő való
ságosan felvett mérései s a rendszerén kívül levő megfigyelők egyszerűen gondolt mérései között.
De most nem erről van szó. Mutassuk meg egy
szerűen, hogyan jut a Relativitás elmélete az előbbi meggondoláson át a négy dimenziós Tér-Idő téte
lezésére.
Azt mondottuk, hogy az A' és B' pontok távol
ságának négyzete két dimenziós térben, két egy
másra merőleges tengelyre vonatkoztatva : (*2 — *i)2 + (У2 — Ti)2
ha xu yu X2, ij2 a pontoknak e tengelyektől mért távolságai. Hozzátettük, hogy három dimenziós tér
ben ugyanez a távolság
(x2 — x,)2 + (y2 - Ti)2 + (*2 — ¿i)2
volna. Mi sem akadályoz meg abban, hogy 4, 5, 6, . . . n dimenziós tereket ne képzeljünk. A két pont távolságának négyzete így 4, 5, 6, . . . n
166 A négydimenziós Tér-Idő
számú négyzettel volna adva. Nézzük tehát e ki
fejezésünket :
(x2 — X])2 4~ (y2 — Ti)2 4" (z 2 — z i)2 — c2 {h — UY-Ha az első három tag összege változatlan volna, akkor a távolság változatlanságát fejezhetné ki úgy, amint azt háromdimenziós terünkben a Relativitás elmélete előtt fogalmaztuk. De ez az elmélet lényegében annak kimondásában áll, hogy az invariancia kedvéért negyedik tagot kell beve
zetnünk. Mért ne felelne meg ez a negyedik tag egy negyedik dimenziónak ? Első tekintetre, há ragaszkodunk a távolságokról adott kifejezésünk
höz, ez ellen két meggondolás merül fel. Egyrészt a (h — h)2 tag előtt minus jel van plus helyett, másrészt ennek a tagnak az egységtől különböző c2 együtthatója van. De minthogy az időt ábrázoló negyedik tengelyre az időket mint hosszúságokat kellene rámérni, elhatározhatjuk, hogy azon a vo
nalon a másodperc c hosszúságú lesz ; együttha
tónk így az egységgé válik. Másrészt, ha oly % időt veszünk, hogy t = x ]/' — 1 és ha t értékét általá
ban az imaginárius *4 — j mennyiséggel helyet
tesítjük, negyedik négyzetünk —*2 lesz s akkor igazán négy négyzet összegével van dolgunk. Álla
podjunk meg abban, hogy az x2 — x\, ij-z — yj,
z 2 — z u különbségeket, melyek az x, y, z, t növekményei mikor xi-ből X2-be, illetőleg yi-ből z/2-be, zi-ből z2-be, n-ből *2-be megyünk, Ax, Ay, Az, A* néven fogjuk nevezni, és hívjuk Á s nék az A' és B' pontok intervallumát, akkor
T
A s2 — A x 2 4- Ay2 -f- A z2 4 “ A ^2
És most már semmi sem áll útjában annak, hogy s távolságnak, vagy inkább Térben és egy
A Térhez adódó Idő 167 szersmind Időben mért intervallumnak mondas
sák ; a negyedik négyzet így oly Tér-Idő kontinuum negyedik dimnziójának felelne meg, melyben az Idő és a Tér egymásba volnának olvasztva.
Annak sem lesz útjában többé semmi, hogy az A' és B' pontokat végtelenül szomszédosaknak ne tételezzük fel úgy, hogy A'B' akár görbének is le
hessen eleme. A A * véges növekmény tehát dx infinitezimális növekménnyé válik és kapjuk a
ds2 = dx2 -f- dy2 -j- dz24- dx2
differenciál egyenletet, melyből végtelen kis ele
mek összegezésével, integrálással, ezúttal tetszőle
ges és egyszerre Tért és Időt is foglaló s vonal két pontjának e vonalon mért intervallumához jutha
tunk, amit A/i-nek fogunk nevezni. így fogjuk írni :
s ezt a kifejezést ismernünk kell, bár a következők
ben többé nem térünk rá vissza. Többet ér, ha köz
vetlenül hasznosítjuk azokat a meggondolásainkat, melyek rávezettek bennünket.1
Láttuk az imént, hogyan kerül be a Relativitás elméletébe úgyszólván automatikusan egy negye
dik dimenzió. Kétségkívül innen van az a gyakran kifejezett vélemény, hogy ennek az elméletnek
kö-1 A kissé matematikus olvasó bizonyára észrevette, hogy a ds2 = dx1 + dy2 + dz2 — c2dt2 kifejezést, úgy amint van, tekinthetjük egy hiperbolikus Tér-Idő megfelelőjének.
Minkowskinak itt leírt fogása abban áll, hogy ezt a Tér
időt, a t változónak ct ]/" — 1 változóval való behelyette
sítése révén, az euklidesi formára hozza.
B
168 A négydimenziós Tér-ldö
szönhetjük a tért és időt magábaölelő négydimen
ziós közeg legelső gondolatát. Csakhogy azt nem vették eléggé észre, hogy a tér negyedik dimenzió
ját az időnek minden tériesítése sugalmazza, tehát tudományunk és nyelvünk mindig magában hor
dozta. Sőt pontosabb, mindenesetre szemléletesebb alakban fejthetnék ki az idő közkeletű fogalmából, mint a Relativitás elméletéből. Csakhogy a közke
letű elméletbe az időnek negyedik dimenzióval való azonosítása hallgatólagosan van beleértve, ellenben a Relativitás fizikája kénytelen azt számí
tásaiba vinni. És ez a tér és idő endozmozisának és exoszmozisának, egymásba való behatolásuknak következménye, amit Lorentz egyenletei látszanak kifejezésre juttatni : itt, hogy valamely pontnak el
helyezését megadjuk, kimondottan meg kell ad
nunk mind időbeli, mind térbeli helyzetét. Mind
amellett Minkowski és Einstein Tér-Ideje az a faj, melynek az Idő szokásos tériesítése egy négy- dimenziós Térben, fölérendelt neme. Követendő utunk tehát adva van. Azon kell kezdenünk, hogy keressük, mit jelent általában egy időt és tért egye
sítő, négydimenziós közeg bevezetése. Azután azt fogjuk kérdezni, mit adunk hozzá, vagy mit ve
szünk el belőle, ha a térbeli dimenziók s az időbeli dimenzió viszonyát Minkowski és Einstein módjára fogalmazzuk. Már most átlátjuk, bogy ha a tériesí- tett idővel kisért térnek közkeletű fogalma elménk
ben természetszerűleg ölti négydimenziós közeg formáját és ha ez a közeg fiktív, mert egyszerűen az idő tériesítésének konvencióját jelképezi, ugyan
így leszünk azokkal a fajokkal is, melyeknek e négydimenziós közeg a neme. Mindenesetre a faj és a . nem egyforma valóságfokúak lesznek, és a Relativitás elméletének Tér-Ideje valószínűleg sem
mivel sem lesz a mi régi tartamfogalmunkkal
ösz-A Térhez adódó Idő 169
szeférhetlenebb, mint egy négydimenziós Tér és Idő, mely a közkeletű teret s a tériesített időt egy
szerre szimbolizálja. Mégsem oldhatjuk fel magun
kat az alól, hogy Minkowski és Einstein Tér-Idejét különösebben meg ne vizsgáljuk, miután már ezzel az általános négydimenziós Tér- és Idővel foglal
koztunk. Maradjunk tehát egyelőre ennél.
Ha háromdimenziós térből indulunk ki, bajos újabb dimenziót képzelni, mert a tapasztalás nem mutat negyediket. De mi sem egyszerűbb ennél, ha kétdimenziós Teret akarunk e ráadásdimenzió
val gazdagítani. Idézhetünk fel lapos lényeket, me
lyek felületen élnek, beleolvadnak és csak két térbeli kiterjedést ismernek. Egyikük számításaival odajutott, hogy harmadik dimenzió létét posztu- lálta. Társai, a szó mindkét értelmében felületesen, kétségkívül vonakodnak őt követni ; maga sem tudja elképzelni, amit értelme felfogott. De nekünk, akik három dimenziós Térben élünk, valóságos észrevevésiink van arról, amit ő egyszerűen mint lehetségesét képzelt : mi pontosan számot adunk magunknak arról, mit adott ő a térhez, mikor új dimenziót vitt bele. És minthogy ilyesfélét tennénk magunk is, ha három dimenzióra korlátozott mi
voltunkban feltételeznők, hogy négydimenziós kö
zegbe vagyunk merülve, ilyenféleképen képzelnők el ezt a negyedik dimenziót, mely kezdetben kép- zelhetlennek látszott. Igaz, hogy az eset nem volna egészen ugyanaz. Mert a háromnál több dimen- ziójú tér tisztára az elme építménye és lehet, hogy nem felel meg semmiféle valóságnak. Ellenben a háromdimenziós tér tapasztalásunk tere. Mikor tehát a következőkben valóságosan észrevett há
romdimenziós terünket használjuk arra, hogy testbe öltöztessük egy lapos világegyetembe szorult matematikus ábrázolásait, melyek reánézve csak
170 A négydimenziós Tér-Idő
felfoghatók, de nem képzelhetők, — ez nem akarja azt mondani, hogy van, vagy lehet négy- dimenziós Tér is, mely a mi matematikai kon
cepcióinkat volna képes konkrét formában meg
valósítani, mikor azok háromdimenziós világunkat meghaladják. Ez túlságos engedmény volna azok
nak, akik a Relativitás elméletét, mindjárt metafizi
káikig értelmezik. A fogásnak, mellyel élni akarunk, egyetlen célja a teóriának képzeleti támasztékot nyújtani, így azt világosabbá tenni s ezzel jobban tudomásunkra juttatni a tévedéseket, melyekbe el
sietett következtetések sodorhatnának bennünket.
Egyszerűen visszatérünk tehát arra a felte
vésre, melyből kiindultunk, mikor két derékszögű tengelyt vontunk és néztünk egy síkjukban fekvő A'B' vonalat. Csak a papírlap felületét adtuk meg.
Ezt a kétdimenziós világot a Relativitás elmélete újabb dimenzióval gazdagítja, ez volna az idő ; az invariáns többé nem
dx2 + dif, hanem
dx2 + d if — c2dt2.
Az bizonyos, hogy ez a hozzátett dimenzió egészen különleges természetű, mert ha az idő olyan dimen
zió volna, mint a többi, az invariáns dx2 -f- díj2 + dt2
volna, és nem lenne szükségünk semmiféle jelzés
beli fogásra avégből, hogy erre a formára vissza
vezessük. Számon kell tartanunk ezt a jellemző különbséget, mely már foglalkoztatott bennünket és amely mindjárt újból figyelmünk főtárgya lesz.
De egyelőre mellőzzük, mert ezt maga a Relativitás elmélete kívánja tőlünk ; csak azért folyamodott itt fogáshoz, csak azért fogadott el imaginárius időt,
A Térhez adódó Idő 171 hogy invariánsa megtartsa a négy, egységnyi együtthatójú négyzet összegének formáját és hogy uz új dimenzió egyelőre a többivel azonosítható legyen. Kérdezzük tehát általában, mit hozunk és talán mit veszünk egyszersmind el egy kétdimen
ziós világegyetemből, ha az időt harmadik dimenzió
nak tekintjük ? Azután majd beszámolunk róla, miféle különleges szerepet játszik ez az új dimen
zió a Relativitás elméletében.
Nem ismételhetjük túlságos sokszor : a mate matikus ideje szükségképen oly idő, amely m ér
hető, tehát tériesítelt idő. Egyáltalán nem szüksé
ges a Relativitás hipotézisével élnünk ; minden
képen lehet (több, mint harminc esztendeje, hogy rámutattunk) a matematikai idővel mint a többi
hez adott térbeli dimenzióval bánni. Tételezzünk fel egy, a P síkra szorítkozó világegyetemet és néz
zünk e síkban egy M mozgót, mely egy bizonyos pontból kiindulólag, amit időpontnak veszünk, tet
szőleges vonalat, például kört ír le. Mi, akik há
romdimenziós világban lakunk, el tudjuk képzelni, hogy a mozgó M egy, a síkra merőleges MN vona
lat visz magával, melynek hosszúsága minden pil
lanatban a kezdőpont óta lefolyt időt méri. Ezen vonal N végpontja a háromdimenziós térben csa
varalakú görbét ír le. Könnyű belátni, hogy ez a háromdimenziós térbe vont görbe megadja a két
dimenziós P térben végbement változó összes idő
beli sajátosságait. A csavargörbe valamely tetsző
leges pontjának távola P-től jelzi ugyanis az idő
nek azt a pillanatát, amellyel dolgunk van, s a görbe érintője e pontban a P síkhoz való hajlásá- val adja a mozgónak ezen pillanatban volt sebes
ségét.1 Így, mondják, majd „a kétdimenziós
1 Igen egyszerű számítás mutatja.
172 A négydimenziós Tér-Idő
görbe“1 a P síkon konstatált valóságnak csak egy részét rajzolja, mert pusztán tér abban az értelem
ben, amit P lakói adnak ennek á szónak. Ellenben a háromdimenziós görbe ezt a valóságot mindenes
tül tartalmazza ; e valóságnak számunkra három tér dimenziója van ; e valóság háromdimenziós Tér és Idő volna egy kétdimenziós matematikus
nak, aki a P síkban lakna és aki a harmadik dimenziót képtelen lévén elképzelni, a mozgás konstatálása révén azt mégis megfogalmazná és analitikailag kifejezné. Aztán megtanulhatná tőlünk, hogy háromdimenziós görbe van ténylege
sen, képszerűen is.
Ha egyébként a lapos világegyetem matema
tikusa a háromdimenziós görbét, mely tér és idő egyszerre, már tételezte, akkor a kétdimenziós görbe úgy tűnik fel neki, mint annak a görbének egyszerű vetülete arra a síkra, hol ő lakik. E két
dimenziós görbe csupán felületi és térbeli képe volna valamely szilárd valóságnak, amit térnek és egyszersmind időnek kellene nevezni.
Szóval, a háromdimenziós görbe formája tájé
koztat bennünket mind a sík pályára, mind a két
dimenziós térben végbemenő mozgás időbeli saját
ságaira vonatkozólag. Általánosabban : az, ami valamely tetszőleges dimenzió-számú térben mint mozgás van adva, eggyel több dimenziójú térben mint forma ábrázolható.
De vájjon ez az ábrázolás valóságosan egybe
vág-e az ábrázolttal ? Vájjon pontosan ugyanazt tartalmazza-e ? Első tekintetre, mint éppen most
1 Kénytelenek vagyunk használni ezeket az alig kor
rekt kifejezéseket: „kétdimenziós görbe“, „háromdimenziós görbe“, hogy a síkgörbét és a térgörbét jelezzük. Nincs más mód rá, hogy mindeniknek térbeli és időbeli vonatko
zásait kifejezésre juttassuk.
A Térhez adódó Idő 173
mondottuk, azt hinnők, hogy igen. De az igazság az, hogy egyfelől többet, másfelől kevesebbet fog
lal magában és e két dolog csak azért látszik fel- cserélhetőnek, mert elménk alatíomban elveszi áb
rázoló képzetéből azt, ami benne sok, és épp ily alattomban belecsempészi azt, ami belőle hiányzik.
Kezdjük a másodikon. Világos, hogy a tulaj- donképeni történést kiküszöböltük. A tudomány ugyanis a jelen esetben nem tud vele mit kezdeni.
Mi a tudomány célja ? Egyszerűen megtudni, hol lesz a mozgó test, utazásának valamely tetszőleges pillanatában. A tudomány tehát változatlanul min
dig Valamely már befutott intervallum végpontjába helyezkedik ; csak a már elért eredménnyel foglal
kozik ; ha egyszer egy csapásra tud ábrázolni min
den pillanatra vonatkozólag nyert minden ered
ményt, oly módon, hogy mindig tudja, mely pilla
natnak minő eredmény felel meg : akkor ugyanazt a sikert aratta, mint a gyermek, aki vontatott befű
zés helyett immár pillanatnyilag olvassa a szót.
így állunk egymásnak pontról pontra megfelelő körünkkel és csavargörbénkkel. De megfelelé
süknek csak azért van jelentése, mert elménk be
futja a görbét és annak pontjait egymásután fog
lalja el. Csak azért tudtuk az egymásutánt sorba- rakottsággal, a valóságos időt tériesített idővel, a történőt a megtörténttel helyettesíteni, mert ben
nünk megmarad a történés, -a valóságos tartam : mikor a gyermek ténylegesen egyszerre olvassa a szót, virtuálisan betűzi. Ne képzeljük tehát, hogy háromdimenziós görbénk úgyszólván összekristá
lyosodva szolgáltatja a síkgörbét rajzoló mozgást és e síkgörbét magát. Egyszerűen kivonta a törté
nésből azt, ami a tudományt érdekli s a tudomány is csak azért használhatja ezt a kivonatot, mert el
ménk a kiküszöbölt történést visszaállítja, vagy
lég-174 A négydimenziós Tér-Idő
alább is képesnek érzi rá magát, hogy visszaállítsa.
Ebben az értelemben az n + í dimenziós megraj
zolt, kész vonal, mely az n dimenziós rajzolódó vonalnak volna egyenértéke, valóban kevesebbet ábrázol, mint amennyit ábrázolni vél.
De más értelemben többet ábrázol. Egyfelől levon, másfelől hozzátesz és így kétszeresen pon
tatlan.
Egészen határozott eljárással jutottunk hozzá, egy M pont körmozgása révén, mely változó, s a le
folyt idővel arányos hosszúságú vonalat vitt magá
val. E sík, e kör, ez az egyenes, ez a mozgás a műveletnek, mellyel az ábrát rajzoltuk, teljesen meghatározott elemei. De a kész ábra ezt a szár
maztatás-módot nem szükségképpen hordozza ma
gában. Sőt ha magában hordja is, keletkezhetett volna más síkra merőleges más egyenes mozgásá
ból, melynek M végpontja e síkban egészen más sebességekei írhatott le oly görbét, mely nem is volt köralakú. Adjunk ugyanis egy tetszőleges más síkot és vetítsük rá csavargörbénket : e görbe ábrázolója lesz az új sebességekkel befutott, új időkkel összeolvadó új síkgörbének is. Ha tehát az imént meghatározott értelemben a csavargörbe ke
vesebbet tartalmaz, mint a kör-kerület és a moz
gás, melyet benne feltalálni vélünk, más értelem
ben többet tartalmaz : mihelyt elfogadtuk, mint egy bizonyos síkgörbének egy bizonyos mozgás-móddal való összeolvadását, azonnal végtelen sok más moz
gással kiegészített végtelen sok más sík ábrát fede
zünk fel benne. Szóval, mint előre megmondtuk, az ábrázolás kétszeresen pontatlan ; innen is marad, túl is megy az eredetijén. Kitaláljuk, hogy miért. Ha ahhoz a térhez, amelyben vagyunk, még egy dimen
ziót adunk, kétségtelen, hogy ebben az új Térben ábrázolhatunk dologgal valamely, a régiben