Első rész: Tentamen juventutem stúdiósain in elementa matheseos introducendL
BOLYAI Farkas mathematikai írói minőségében talán még cseké-lyebb hatást gyakorolt, mint a tanításával; könyvei hazájában nem találtak elismerésre és a külföldön is jóformán ismeretlenek marad-tak. Ha halála után a tisztelet minden néniét tanúsították is iránta, mathematikai műveit mégis mindig csak kevesen fogják olvasni és még kevesebben méltatni. Farkas osztozkodik ebben a sorsban a leg-több olyan férfiúval, kit előhírnöknek szokás nevezni, ellentétben a külső sikerekben gazdagabb követőkkel, kik átveszik azt, a mit a nagy felfedezők feltaláltak és a nagy tömeg számára hozzáférhetővé teszik.
O fölismerte, hogy a mathematikának új korszaka virrad, de mint Mózses az igéret földjét csak a hegyről nézhette és nem volt neki szabad reálépnie. Élénken érezte a meglevőnek elégtelen voltát, de a hiányokra nem tudott pontosan reámutatni és még kevésbbé tudta őket megszüntetni. Nem egy fontos kérdésnek, melylyel későbbi mathematikusok foglalkoztak, férkőzött a közelébe, de arra nem volt képes, hogy ezeket a kérdéseket megragadja, szilárdan megfogja és velük megbirkózzék.
Farkas főműve a Tentamen juventutem stúdiósam in elementa matheseos purae, elementáris, ac sublimioris, methodo intuitiva evidentiaque huic propria, introdúcendi, a mely az 1832. és 1833.
évszámokkal ellátva két részben jelent meg Maros-Vásár helyt, typis collegii reformatorum. Már elbeszéltük, hogy a Tentamen alapgon-dolatai Farkasban még Jénában való tartózkodása idejében (1796) ébredtek és hogy a marosvásárhelyi tanszék elvállalása indította őt a «rendszer» kidolgozására; de csak hosszas és gyakran megszakí-tott munka után tudott 1829-ben előzetes befejezéséhez jutni. «Az élet majdnem mindennapi szükségével küzdő és ezenkívül családi, házi tűzhelyénél is folytonosan zavart, zaklatott tanár lángszellemét az élet viharos, zivataros hullámai nem zsibbasztották el, nem törték
Előfizetési felhívás a Tentamenre 27
meg, sőt mondhatni erejét edzették, fokozták. A szél a kis lángot eloltja, a nagyot éleszti» (KONOZ).
Az előfizetési felhívás 1829 május 4-ikóről van keltezve. Érde-mes reá, hogy itt helyet találjon.
«Kollégyomunk1 Typographiája jobb lábra állván, 'következő munkát szándékozom ezen most érkezett betűkkel, mellyekkel ezen Jelentés nyomtatva van, itt adni-ki:»
* Tentamen Systematis elementorum
Matheseos
purae (ele-mentaris, ac sublimcoris) demonstratae cum Appendice tripliá. In usum studii proprii accomodatum.»«Okom az itt lejendö kiadásra az, hogy tulajdon vigyázatom alatt hibátlanabb légyen.»
«Tzélom egy ollyan Compendiumot adni ai Ifjaknak, a' millyent magam kívántam volna: mellyben
1° Az Axiómák előre nyilván kitétetvén, minden egyéb a' mi a' Tudomány menetelére szükséges, szorossan meg légyen mutatva.
2° A' képzetek a' legeggyszerűbbeken kezdődve, ugy rakattassa-nak egybe, a' mint születnek, egésszen addig a' eféráig, mellyet a' dolog természete kiván.
3° Hogy minden a lehetségig eggyszerűen, röviden 's kézzel-foghatolag adattassék elé: ugy mindazáltal, hogy egyfelől a' felsőb-beknek — is (a' millyen a' Calculus Dífferentialis, Integrális, Varia-tionum) természetes útja találtatván, a' nehezek meg-könnyüljenek, mind a' tiszta igazság' szoros megmutatására, mind azoknak (p; o;
a' Geometriára, Mechanicara való) alkalmaztatására nézve; de más-felől az alsóbbak' nehézsége se lépettessék könnyűséggel áltaL — A' mi a Systóma' valóságához tartozik, mind eggyaránt fontos; nints kitsi ott nints nagy, egy jussok van a' figyelemre.
4° Az Alkotvány a' leg-alsobb fundamentomokrol láthatólag emelkedjék fel, míg az ég' tüz-koszorúi között a feneketlenbe el merül: hogy látván az Ifjú, az ész akármikor és hol, 's akármely név alatt lett légyen (az emberi nemé az), miként lépett a' legmaga-sabbakra is, ne tsudálkozzék vakon.»
* Reménységem hogy jóllehet ez koránt sem ollyan, a' millyent kedvezőbb környülállások közt magam-is hozhattam volna elé, az Ifjú ez által-is sok idö és erő megnyeréssel, mind az alsóbb, mind a' felsőbb Mathesisbe fundamentomoson vezettethetik-bé; 's annál fogva, résszerént ha Mathematicus nem lessz-is, azon lélekkel járva mindenütt a' lehetségig tiszta, meghatározott képzeteket keres, 's nem maradva a' dolog' héjján, bé-néz, 's fundamentommal itél, — résszerént pedig valahára vissza-is adhat azon külső világosságból,
2 8 A két BOLYAI élete és m v e i . . fejezet
mellyel még tsak, mint fél-holdak, szürkületesen világitunk ebbe a' viradástol meszsze lévő éjtzakába.»
«Az Appendix áll azokbol, mellyeket az ugy nevezett Applicata Matheeis, és Physica esztendejébe tanítani idő nem jutván, a' Ma-thesis esztendejére tettem: ezek a Perspectiva, Gnomonica és Chrono-logia, az holott némely nem leg-könnyebb dólgok' szoros megmuta-tásából könnyú közönséges regulák adattatnak
«Példa tsak annyi van a' mennyi a' megértésre szükséges; azt lehet kapni mindenütt: igy is a' sok Tárgynak két darabba kell köt-tetni — a Tábla is sok, 's jegyeket kell hozatni, söt ujjakat is ön-tetni : melyre nézve az árra előre fizetve 2 Rhfl. 30 kr. ezüstbe. •
«Mihelyt elég előfizetés gyűl, a' nyomtatás azonnal meg-indul.
*6 egymásután foly; és kiki nem-sokára a' magáét az elö-fizetést bé-vevö Urtol hiba nélkül kezéhez kapja.—»
«Ha pedig oskolai esztendőnk' bé-végzödéséig (mely Julius köze-pére esik) nem gyül elég pénz: ugy kiki a magáét a' kinek adta, attól vissza kapja.»
• Sajnálom, hogy ezen Munkát magyarul nem adhatom-ki; rész-szerént azért, mivel a' dolog természetét igazán, és minden más nyelven bé vetteknél jobban ki-fejező mesterszókat lehetne bé-hozni — résszerént pedig azért, hogy a' Mathesis (ez az ég' Leánya) nyelvün-kön szollva, inkább meg-kedveltetnék: de ezen munka nagy részint már régen deákul lévén meg-irva, 's fordítására most időm tellyes-seggel nem lévén; ezen hazafiúi kötelességemnek ezután másként szándékozom eleget tenni.»
«Minden ollyas helységekben, méltóztatik valamely Professor Ur (vagy más buzgó Hazafi) az előfizetést bé-venni, 's engem annak idejében tudósítani, és háládatosságom' jeléül minden kilencz pél-dányra eggyet el-fogadni.»
Az alatt a rövid idő alatt, mely 1829 május elejétől július közepéig eltelt, nem érkeztek be előfizetések; a közlekedés akkor Erdélyben olyan lassú volt, hogy a felhívás ennyi idő alatt el sem juthatott az ország távolabb eső részeibe. Ezért az aláírási határidőt egy évvel meghosszabbították. «De ha lehetetlen lessz» — írja Farkas az 1830. évben kiadott Aritmetica Eleje előszavában — «1-a Julii 1830-ig is [szándékomat kivinni]: nem kiáltva többé hiába a' pusz-tába, vissza ereszkedem a' köz alvásba, a' Dácia halmaira (hol Hazánk hajdoni Oriássai feküsznek) sütő hóldvilágon... a' remény utolsó szikrájáig lemondani nem akarván, ezen munkátskából jöhető kitsi nyereséggel is a' kevés előfizetést kívántam pótolni; hogy a' midőn egyfelől építeni igyekezem, ne rontsam másfelöl házomat le.»
A Tentamen megjelenése és fogadtatása 2 9
Az 1830. év május havában az előfizetők száma még igen kicsiny volt. «A' Deákhoz fognék* — panaszkodik Farkas BOD Péter nevű tanítványának 1830 májas hó 6-ikán Bécsbe küldött levelében —
<de a' Magyarra [Arithmetica Eleje] lett költségnek is tsak hatoda jött ki 's igen kevés a deákra való prsenumeratio; a' mi van, kérem gyüjtse-bé 's ha lehet szaporítsák, hogy a károgó világ ellenére is jöjjön ki.»
A mint az előfizetőknek az első kötet végén közölt névsora mutatja, a mű megrendelőinek száma 127 volt, kik többnyire Erdély főnemességéhez tartoztak. «A* 2-dik darabot» — így nyilatkozik Farkas az első kötethez csatolt magyar függelékben — «magyarul akartam kiadni; egyfelől azért, mivel az első darab (az Arithmetika Elejíben vallott kárommal együtt) szinte minden költséget elnyelvén, nem láttam máa módját a' 2-diknak, hanem hogy megrövidítve oltsobb papirosra 300-at nyomtattassak (nem 500-at mint az elsőből), mathe-sisből ennyi is felesleg lévén nálunk; — másfelől igy Hazámnak egy közhasznú könyvet adni reményi ettem, melyhez az első darabot is ugyan magyarúl hozzá alkalmaztam vólna; de az előfizetők közül többen, a' kiknek tanátsokat meg nem vethettem, azt kivánták, hogy ha az első déák, a' második is úgy legyen.»
«BOLYAI Tentamenjéveí» — írja B E D Ő H Á Z I — «úgy volt a közön-ség, mint a KLOPSTOCK ,Messias'-áva,l vannak, sokan emlegették, de kevesen ismerték. Tudták, hogy egy nagy embernek nagy műve, de hogy miben áll e nagyság, nem is sejtették. A ,Magyar Tudós Tár-saság' sem e műve alapján választotta meg a mathematikai osztály levelező tagjául, miután a választás még a ,Tentamen' megjelenése előtt, 1832 márczius 9-edikén történt, s inkább egyesek közetlen tapasztalata és ismeretsége szolgált reá, hogy mint nagyhírű tudós az akadémia tagjainak sorába felvétessék.»
BEDŐHÁZI a valóságnál talán még mindig kedvezőbben ítéli meg azt a fogadtatást, melyben a Tentamen részesült; mert maga Farkas erről 1835 április 20-ikán a következőt írja GAussnak: «Itt mindenki kiált ellene, kivéve tanítványaimat, kik idő megtakarításával szeren-csésen boldogulnak. . . Szó sincs róla, hogy [az előfizetőkön kívül]
más valaki ilyesmit megvenne; még tanítványaimnak is (ha szegé-nyek) oda ajándékozom vagy kölcsönzőm, csak hogy tanuljanak. így állunk mi még... Ha a rossz (bár elég nagy) nyomtatás szemedet (az Igazság templomának drágaságát) nem bántaná és a reá forditolt idő templomrablás nem volna, merészkedném a te Ítéletedet kikérni: bár eltekintve minden hibától (melyeknek ugyanavval az igazságszeretet-tel való kimutatását látni szeretném), némi figyelmet érdemel egy
3 0 A két BOLYAI élete és m v e i . . fejezet
hihetetlen kevés előismerettel kutatónak természetes menete, melyet, még a jót sem, a mi benne van, (fiamon kívül) nem méltat senki.»
És 1836 október hó 3-ikán írja GAUssnak: «A mathematika itt nem kell senkinek; tanítványaim közül is csak kevésnek van hozzá igazi érzéke — müvemet makulatúrára használom, csomagolásra és más effélére... Jele annak, hogy nálunk a mathematika hogyan áll, az, hogy a Tudós Társaság mostanában egy magyarul kiadott müvet, mely az arithmetika és algebra elemeit tárgyalja [szerzője NAGY Ká-roly], kétszáz aranynyal jutalmazott, bár e műnek egyéb érdeme nin-csen, mint az, hogy Bécsben szépen és pontosan kinyomtatták; a leg-csekélyebb eredetiség és minden elmééi hijával van, semmi sincsen benne tisztázva, a szigorúságnak még szikrája is hiányzik belőle és kevés a tartalma, nemcsak középszerű, hanem roasz; nem szeretném, ha valamely leendő mathematikus ebből tanulna — még jó mesterszó sincsen benne, minden csak rabszolgai módon van lefordítva. — De mégis örvendek neki, mert ez már lépés az első lépcsőfokra; egy évszázad, és az elsőből az ezredik lesz (vagy legalább lehet). Nekem itt nincsen már reményleni valóm; én már az örökkévalóság felkelő sugarai között állok, melyekben ez a, mint az éjszakában világító Föld sötét ponttá válik, és az időnek e harmatcseppje eltűnik. Meg-nyugtat, hogy — ha még oly keveset is — annyit tettem, a meny-nyire körülményeim között képes voltam.»
Annál nagyobb örömöt okozhatott Farkasnak az az elismerés, melyben GAUSS a Tentament részesítette. «Mathematikai müved pél-dányát* — iija GAUSS 1 8 3 6 október hó 23-ikán — «szívesen megköszö-nöm. Mindenütt örömmel vettem észre benne az alaposságra és ön-állóságra iránynló becsületes törekvést. Csak sajnos, hogy a közönség-ben kevés az érzék az ilyen törekvések iránt. A legtöbb ember leg-jobban Bzereti a felületest; attól is tartok, hogy a te könyvedtől némely embert az a követelés fogja elijeszteni, hogy új jelölésekkel kell megismerkednie.» Hogy GAUSB fiatalkori barátjának művét figyelem-ben és megbecsülésfigyelem-ben részesítette, kitűnik MENTOVICH Ferencz közlemé-nyéből, ki 1843-ban Göttingában jártakor meglátogatta GAUSSÍ. E köz-leményben olvashatjuk: «Mintán tudatám vele, hogy erdélyi vagyok, csak hamar élénk részvéttel kérdezé: ha valljon erdélyi jó barátjáról professor BOLYAITÓI nem tudnék-e valami ujabb tudósítást mondani egy őt előttem nem sok idővel meglátogatt erdélyi hazámfiánál pro-fessor SzÁsznál?... Láttam BoLYAink mathematikai munkáját dolgozó asztala melletti kisded könyvtárában, hová ugy látszott kedveltebb iróktóli 's inkább kézi könyvül használni szokott művek valának be-szorítva. E' jeles férfin minden szavából kitetszett, miként Boi/YAmkat
A Tentamen fogadtatása; BOLYAI Farkas mathematikai rendszere 3 1
nemcsak mint barátját — tiszteli, de tndományos érdemeit is sokra méltatja.» G A U S S hajdani tanítványát és barátját, GERLiNcet, a mar-burgi egyetem tanárát is figyelmeztette a Tentam énre, mire G E R L I N G
levelezni kezdett Farkassal. Farkas levelei, fájdalom, ugy látszik, el-vesztek.
Miután a Tentamen a könyvpiaczon ritkává vált, a Magyar Tudományos Akadémia elhatározta, hogy belőle új, a szerzőhöz méltó kiadást rendez. Ennek első, K Ö N I G Gyula és R É T H Y Mór által kiadott kötete 1897-ben, második, KÜRSCHÁK József, R É T H Y Mór és zepethneki
TŐTÖSSY Béla által kiadott kötete pedig 1904-ben jelent meg.
A Tentamen első kötetéhez külön lapon az arithmetika és geometria fai vannak mellékelve, melyekben Farkas «rendszerét» alap-vonalaiban kifejti. Ennek magyar fordítása található e mű második részének 114—122. oldalam. «A külső és belső képzetekről» — kezdi Farkas — «absztrakczió útján jutunk mindannak végső helyeihez, a mi a külső világban megvan és a mi a külső és belső világban történik. Ezek a tér és az idő, a melyeket részint külön-külön, részint pedig együttesen Bzoktank vizsgálni Ha t. L a külső világban vala-mely testet abból a helyből, a vala-melyet elfoglalni látszik, egészen el-távolítunk és kérdezzük, hogy mi az, a mi hátramarad és a mi ezen túl van, származik a tiszta tér szemléleti képe és .ugyanabból, a mit különböző helyeken észlelünk vagy pedig különbözőkből, a melye-ket ugyanazon a helyen észlelünk, vagy pedig különböző képzetek-ből, melyek ugyanabban a képzeteket alkotó alanyban felmerülnek, származik az idő szemléleti képe.» A tiszta tér a geometriának tárgya, az idő alakjára visszavezetett mennyiség az arilhmetikándk tárgya,
«úgy hogy mind a két testvér-fa, melyeknek gyökerei össze vannak nőve, egyik a másiknak segítséget nyújtva, a tér és idő örökkévaló házasságának fényes pályái között az ég rengeteg magasságában koro-nájával összeérjen» ; ez az összeérés pedig a mechanikában történik.
Farkas e felfogásával egészen a KANT-féle filozófia alapján állva, a melylyel németországi tartózkodása idejében megismerkedett, abban is követi a königsbergi filozófust, hogy az épület architektonikájára is nagy súlyt helyez. Nem bizonyos erőszak nélkül iparkodik az arithmetika és geometria között párhuzamosságot létesíteni. Nyilvá-nul az abban a törekvésében, hogy ellentétben a még a XIX. század nagy részében Bzokásos összevegyítéssel, e két tudomány mindegyiké-nek önálló alapját vesse meg; persze nem sikerült mindegyiké-neki, hogy ezt az elválasztást következetesen keresztülvigye. Jellemzi e törek-vését a következő nyilatkozata, mely GAUssnak az algebrai egyenletek gyökeinek létezésére vonatkozó első bebizonyításáról szóló közlésében
32 A két BOLYAI élete és műv e i . . fejezet
olvasható. Miután GAUSS dissertatióját lelkes szavakkal, mint «a leg-dúsabb aratás első termését» dicséri, mathematikai lelkiismerete mégis arra készteti, hogy hozzátegye: «történik pedig a geometria segít-ségével ; ámde egyik igazság sem származik más nemből, mint más igazság». Ugyanerre az álláspontra helyezkedik mindenesetre az apa befolyása alatt Farkas fia, János is, ki GAUssnak a képzetes mennyi-ségekre vonatkozó elmélete ellen méltán azt a kifogást emelte, hogy a jobbra és balra benne alkalmazott fogalmai nem eléggé meghatá-rozottak és hogy az arithmetikában a geometriára való hivatkozás egyáltalában kerülendő.
Az arithmetika önálló fölépítésének koronája az irraczionális számokról szóló újabb tan. Farkas az itt mutatkozó nehézségeket úgy kerülte meg, hogy támaszkodva KANTra, az időt tekinti a folytonosan változó mennyiséi/ hordozójának, ezt élesen megkülönböztetve a disz-krét számtól. Az idő belevonása, melyhez a XIX. század első felének más mathematikusai, mint pl. HAMILTON is folyamodnak, figyelemre méltó átmenete a folytonosan változó mennyiség fogalmának geometriai alapvetéséről a tisztán arithmetikai megalapozására. Ezek az eddig alig figyelembe vett törekvések bizonyára behatóbb vizsgálatra érdemesek.
Farkasnak a geometria alapjaira vonatkozó vizsgálatairól részle-tesen a következő fejezetben számolunk be ; ebben a fejezetben még csak az arithmetika néhány különösen fontos helyére akarunk reámutatni.
A ki a Tentamen gondolatvilágába mélyebben akar behatolni, jól teszi, ha mindenekelőtt az 185 l-ben megjelent I\urzer Gr und ri fit veszi kezébe, a melyben Farkas főművének tartalmáról rövid áttekin-tést nyújt. E most már ritkává vált művecskének magyar fordítása található e mű második részének —191. oldalain.
Nagy gonddal fejtette ki Farkas a pozitiv és negatív raczionális számok elméletét, és itt kielégíti tárgyalása a szigorúságnak ama követelményeit, melyeket az újabb axiomatika felállít. Hogy a nega-tív számokra tegyen szert, pl. az eredeti egység, a • +1» mellett egy új egységet, a « —l»-et vezeti be. Áthatva e gondolat jelentőségé-től, ellentétben a hozzáadás és elvétel «+» és «—» jeleivel a pozitiv és negativ egység jelölésére a külön «+1» és «•—'1» jeleket vezette be. Valóban igazi nehézséget okoz a + és — jeleknek az a kettős jelentése, hogy az összeadás és kivonás jelei és e mellett a számok pozitiv vagy negativ voltát is jelölik. E nehézséget újabb időben
HAMKEL eljárása szerint úgy kerülik el, hogy az összeadás és kivonás jelölésére eleinte új jeleket, pl. a ^ és jeleket használják. Utó-lagosan azután megmutatják, hogy meg van engedve, hogy helyettük a + és — jeleket használjuk; mert ha azoknak az új jeleknek meg is
Az arithmetika alapjai BOLYAI Farkas mveiben
van a maguk haszna a negativ számok tanának alapvetésében, mégis ajánlatos e bilincseket minél előbb ismét levetni, nehogy a tárgyalás nehézkessé és túlterjengővé váljék.
A képzetes mennyiségekre nézve is jobbat iparkodott nyújtani Farkas, mint előzői. Hogy épen ez a tárgy őt mennyire foglalkoz-tatta, mutatja a Tentamen második kötetének előszava, melynek egyik helye igy hangzik: «Midőn pedig a tiszta képzeteseknek csakis saját meggyőződésem szerint értelmet tulajdonítani próbáltam, attól tar-tottam, hogy ki fognak engem nevetni; míg meg nem ismerkedtem a (messze az én dicséretemen felül álló) göttingai nagy férfiúnak (a Göttinger gelehrte Anzeigenben) már régebben kiadott képzetes mennyiségek alapvonalaival és egyidőben ezeknek [a mennyiségeknek közönséges] tárgyalására vonatkozó panaszával. Ez nagy vigasztalá-somra szolgált: és az én elméletemet (a mely úgy, a hogyan meg-alkotni tudtam, már ki volt nyomtatva) csak addig kell tanítványaim-nak előadnom, míg amaz meg nem jelen. Ha pedig meg fog jelenni, meg vagyok győződve, hogy egyenlőrangú lesz a többi müvekkel, melyek-ben az ő biztos, átható (és majdnem csalhatatlan) elméjét az igaznak mesterkéletlen bélyege árulja el; én pedig meg leszek elégedve, hogy legalább ugyanazt akartam, a mit az ilyen nagy elme.»
Farkasnak a képzetes számokra vonatkozó elméletében alapvető a következő megjegyzés. O minden mennyiséget bizonyos még szaba-don választható egységgel gondol ellátva, úgy hogy a a jel amaz egység alkalmas választása esetében mindig valami valósat jelent.
«Az egységet [a többi mathematikusok] önkényesen veszik fel és ]/ — 4 csakis az e feltevésen alapuló szorzás miatt nem valós. Hogyan állana a dolog, ha az egységet negatívnak vennők fel? Nyilvánvaló, hogy akkor [a szorzás esetében] az egyenlő előjelek ra és a kü-lönböző előjelek + -ra vezetnének. Legyen tehát szabad azokat a mennyiségeket, melyeknek valós voltuk a -J-l-re vonatkozó szorzáson alapszik, + 1 -re vonatkozólag valósaknak (röviden valósaknak), azo-kat pedig, melyeknek valós voltuk a —l-re vonatkozó szorzáson alapszik, — 1 -re vonatkozólag valósaknak vagy tiszta képzeteseknek nevezni. (A ^ —a lehet valós, ha a pl. —4-et jelent.) A —l-re vonat-kozólag valósak jelöltessenek egy alájuk helyezett ponttal; igy pl.
4 = ±2, ^4= ±2; és a —l-re vonatkozólag valósak külön összeadva a +1 -re vonatkozólag valósaknak összegével összekap-rsolva, de össze nem keverve összeget alkotnak, pL 2+1—3=1—1.
Az ilyent (bővebb értelemben) nevezzük képzetesnek.»
Érthető, hogy Farkas a képzetes mennyiségeknek már most következő szorzása értelmezésénél és még nagyobb mértékben az
Slúrktl: Bolyai Farka» ét Bolyai János. L 3
3 4 A két BOLYAI élete és műv e i . . fejezet
osztásénál nehézségekbe ütközött. Az ezekre vonatkozó fejtegetései meg-lehetősen homályosak és helyenként még hibáktól sem mentesek. Ki kell azonban emelnünk, hogy Farkas a képzetes mennyiségekre vonatkozó elméletében nagyon közel járt a permanenczia elvéhez, melyet PEA-cocKra ( 1 8 3 0 ) és HANKELTO ( 1 8 6 7 ) szokás visszavezetni; a számolásra vonatkozó szabályoknak — mondja — úgy kell alakulniok, «hogy a müveletek az általánosság vitorlája alatt folytathatók legyenek és az általánosság, a mennyire lehetséges, el ne veszszen».
BOLYAI Farkasnak a negativ és képzetes mennyiségekre vonatkozó gondolatainak természetszerű továbbfejlesztéséből eredt BOLYAI János-nak a képzetes mennyiségekre vonatkozó elmélete, mely ezen a téren lényeges haladást jelent. Erről a XIV. fejezetben bővebben lesz szó.
Ha a folytonosan változó mennyiség arithmetikai fogalma Farkas-nál hiányzik is, mégis a határ fogalmát megfeszített fáradozás árán
Ha a folytonosan változó mennyiség arithmetikai fogalma Farkas-nál hiányzik is, mégis a határ fogalmát megfeszített fáradozás árán