Első rész: Euklides XI. axiómájának bebizonyítására irányuló kísérletei (1820—1823).
BOLYAI János hagyatékából terjedelmes följegyzések kerültek elő, melyekben abszolút geometriájának keletkezéséről ő maga számol be.
E följegyzések egyik része az 1833 és 1835 közötti időből, másik része pedig az 1851 és 1858 közötti időből származik. Minthogy e följegyzések nem nyomtatásra kész szövegek, hanem csak be nem fejezett vázlatok sokszoros hézagokkal, ismétlésekkel, törlésekkel és részint a szövegbe közbeiktatott, részint czédulákra följegyzett pótlásokkal, azért teljes kinyomtatásukról le kellett mondanunk. De a rendelkezésre álló anyagból és néhány fennmaradt levélből, melyet Farkas Jánoshoz és János Farkashoz intézett, az abszolút geometria BOLYAI János által való fölfedezésének történetét úgy sikerült megszerkesztenünk, hogy benne lényegben ő meg apja viszik a szót. Hogy mennyire fontos az ilyen okiratszerű• előadás, az nyilvánvaló; becsét még emeli az a körül-mény, hogy csak kevés azoknak az eseteknek a száma, hogy valamely alapvető mathematikai tan felfedezője annak keletkezéséről olyan beható és megbízható módon számolt be, mint az a fennforgó eset-ben történt.
A parallelák elméletével való foglalkozásra János az első impulzust atyjától nyerte, ki maga tanította őt a mathematikára és «a parallelák, az egyenes és más alaptanok hiányosságára figyelmeztette.» Egy 1820 április hó 4-ikén kelt levelében, a melyre még ismételten vissza kell térnünk, fia kívánságára megírja Farkas, hogy mire tanította őt a parallelákról. «Az a' semmi axioma, mellyet gyermekek számára gondoltam volt, itt van; abból per se könnyen ki-jö. Minthogy ke-vésből áll le-irom kívánságodra. Ez eadem internorum summa aliter partita. Ki-irom a munkámból.» Valóban, ez az axióma annak a bebizonyításával együtt, hogy belőle a XI. axióma következik, meg-van a Tentamenben, ós ennek a könyvnek második részében (a 101.
és 102. oldalaink található. Ellenben a többi a Tentamenben
elő-7 4 A két BOLYAI élete és művei. X . fejezet
adott, a XI. axióma lehetséges bebizonyítására vonatkozó gondolatait — a mint János határozottan kijelenti — Farkas titokban tartotta előtte, és később is csak töredékeket közölt vele belőlük. Nem nehéz kitalálni, hogy mi volt Farkas e kétkedő eljárásának indító oka. Egyáltalában nem akarta, hogy fia a parallelák elméletével foglalkozzék, mely neki
«az életét elrontotta», de azért nem tudott annak a vágynak ellent-állni, hogy szóba ne hozza előtte. Korán megérett fia megértette őt és szavait híven őrizte meg szivében. «Egyszer azt mondta, a ki a tizenegyedik axiómára bebizonyítást találna, akkora gyémántot érde-melne, mint a Föld. Máskor: kinek ez sikerülni fog, annak, halan-dók, örök emléket állítsatok.»
És így megjött, a minek jönnie kellett. Midőn János az 1818. év őszén a bécsi mérnök-akadémiába belépett, «a feladatnak egészen kü-lönös kiválóságától és nagy fontosságától ingerelve» elhatározta: «bár-mint legyen is, ebben a dologban minden lehetőt megteszek», és va-lóban, a parallelák-elmélete csakhamar «kedvencz foglalkozása» volt.
«A XI. axióma bebizonyíthatására» — írja János — «először azt az utat követtem, hogy bebizonyítsam, hogy az egyenessel egyenközű vonal, azaz a síkban tőle mindenütt egyenlő távolságra levő vonal szintén egyenes, és e végből megvizsgáltam, hogy mik az ilyen vonal tulajdon-ságai az ellenkező esetben.» Ma tudjuk, hogy SACCHERI ( 1 7 3 3 ) és LAMBERT
( 1 7 6 G ) ugyanerre az útra léptek és jó darabot meg is tettek rajta.
A mi a részleteket illeti, János különösen azt iparkodott kimutatni, hogy olyan «szabályos tört vonal, melynek minden töréspontja vala-mely egyenestől egyenlően távol van», ezt okvetetlenül metszi, és ily módon találkozott apjával, a ki — a mint láttuk -— a «Göttingai parallelák elméletében» szintén ilyen szabályos tört vonalat vizsgált.
Midőn 1820 tavaszán János a XI. axióma bebizonyítására vo-natkozó kísérleteiről hírt adott atyjának, ez nagyon is megijedt és megindító szavakban intette fiát, hogy hagyja abba ezt a dolgot.
«A' Parallelákat azon az úton ne próbáld: tudom én azt az útat is mind végig — meg mértem azt a feneketlen éjszakát én is az életemnek minden világossága minden öröme kialudt benne — az Istenért kérlek! haggy békét a' paralleláknak — ugy irtózz tölle mint akármitsoda feslett társalkodástol, éppen ugy megfoszthat minden idődtől, egésségedtöl, tsendességedtöl 's egész életed boldogságától — Az a' feneketlen sötétség talám ezer Newtoni óriási tornyokat elnyél — soha sem világosodik meg a földön — 's soha sem lessz a' szegény emberi nemnek semmije tökéletes tiszta, a' Geometria se; nagy 's örökös seb ez az én lelkemen; az Isten őrizzen meg téged, hogy ez valaha [nálad is] ollyan méjjen bé-egye magát — ez a'
Geometriá-BOLYAI Jánosnak a XI. axióma bebizonyítására irányuló kísérletei (1820—1823) 75
hoz, a' földhöz elveszi az ember kedvét: én fel-tettem volt magam-ban, hogy fel-áldozzam magamat az igazságért, 's kész lettem volna Martyr lenni, tsak hogy a' Geometriát meg-tisztitva ezen motsokbol adhassam az emberi nemnek: irtóztató óriási munkákat tettem: sok-kal jobbakat tsináltam, mint addig, de tökélletes meg elégedést nem találtam; itt pedig si paullum a summo discessit, vergit ad inuim — vissza tértem mikor által láttam, hogy ennek az éjszakának a' föld-ről fenekét érni nem lehet vigasztalás nélkül, sajnálva magamat 's a' szegény emberi nemet. Tanulj te az én példámon; én a parallélákac akarva megtudni, tudatlan maradtam, életem 's időm virágját mind az vette el — sőt minden azutáni hibáimnak töve mind ott volt 's a' házi fellegzésekből esett reá — Ha a' parallélákat fel-találtam volna, ha senki se tudta volna is meg, hogy én találtam, angyal lettem volna.»
«Higgy nekem! 's tanulj most, haladj, jegyezd fel, mit nem értesz, hol találsz hiányosságot, 's menj tovább... El-fogom én ne-ked küldeni az én próbáimat: 's akkor meg-gyözödöl közelebbről még-most, a' mit V A J D A úrral nektek tanitottam, mellyet legkönnyebbnek találtam gyermeknek, ha érkezem lehet hogy most le-irom. A' mun-kámból szóról szóra ki-irhatom; ha az axioma meg-állitódik, a' többi [jer se jö, ez is a' többi is; de az Axiómáim eggyik se olyan a' millyennek lenni kellene, eggyik demonstratiomba is. — Meg-fogha-tatlan hogy ez az el-hárithaMeg-fogha-tatlan homály ez az örök nap-fogyatkozás ez a' motsok hogy hagyatott a' Geometriába, ez az örök felleg a' szűz tiszta igazságon.»
«Ne próbáld, soha meg nem mutatod, hogy azokkal a' meg nem szünö mind egymértékü bé-hajlásokkal valaha az alsó rectát vágni fogja — egy örökké magába vissza forgato circulus van ebbe a ma-teriába — szünetlen be-tsalo labirintus — mint a kints-áso el-szegé-nyül, a' ki ebbe elegyedik, 's tudatlanul marad. — Akár mitsoda absurdumra menj ki, mind semmi, nem teheted axiómának; fel-teszem hogy J-ot 's akárhányoldalú polygonumot lehet tsinálni, ha nem igaz a parallelás theoria, melynek minden szegleteinek summája omni dabili kissebb, 's ezer efélék. A' recta egyedül volna, mely a' reá irt perpendicularisokat mind vágná több recta nem volna, mely mind vágná azokat — a' leg-kissebb szegletbe be lehetne tenni a' leg-nagyobb convexus angulust mind a két infini-tum crussá val —»
«Akármekkora akármilyen kitsi summa duomm internorumra lehetne demonstrálni, hogy vágja két recta egymást akármiilyen nagy rectának két végéről, osztán a' többit cum rigore tudom; de már
7 6 A két B o l y a i élete és m v e i . X. fejezet
illyent axiómának venni nem lehet. Mindenik demonstratio sokbol áll; külön is némellyik hosszú — egyszer mind közlöm.»
«Vannak ollyan axiómák is az enyimek között, melyek hirtelen jóknak tetszenének; de nem jók, nem tökéletes simplex 's elég tiszta fundamentum egy ollyan tudomány-nak a' millyen a' Geometria. Itt az ember a quantitassal semmire se menyen, mert itt totum est aequale parti. Ex.gr. u~u' 4. ábra1 's con-gruál, ha reá teszem, a' mint pedig itt van, z köz feljül marad. — Azért hiába tudom azt is demonstrálni, hogy ha a' paraltelarum theoria nem igaz, tehát x [5. ábra apadjon O-ig, CA 4. ábra. (C felé in infinitum ki-nyujtva)
for-duljon A pont körül, mig AB-be ér, és bár x' mindég egyenlő legyen x-hez, B lehet ollyan messze minden állására nézve AC-nek, hogy mig AC AB-be ér BD (in infinitum ki-nyujtva) soholt se vágja AC-1; és igy itt a* summa internorum fit omni dabili minor, decrescit ad null[um] s' mig AC bé-érkezik A B-be a' plánum infinitum mind a szárai között egészen el-fér w-dje hijján, 'ö n omni dabili nagyobb szám, 's ha lehetne
meg-c D adni akármitsoda kitsi
de meg-határozottrectát,
fí melynek két végéről a' 5. ábra. recták egymást,
akármi-tsoda kitsivel legyen a' summa internorum kissebb a 2 rectusnál, egymást vágnák, ugy nyert per volna, — 's még mind is nem elég, 's ne hogy próbáld ki-potolni.
el-végezni, tovább menni; ezeken a tájakon vannak a Hercules columnái; egy lépést se menj tovább, különben elveszett ember vagy.»
E «nagyon nyomatékos és erélyes intés, mely talán alkalmas-nak látszik arra, hogy még a legmerészebbet is mindenkorra meg-foszsza bátorságától», nem fogott Jánoson. Azt írja: «A helyett, hogy elriasztattam volna, érdeklődésem csak még élénkült, és a leg-hevesebbre fokozódott vágyam és energiám, hogy a lehetőség szerint minden áron keresztül hatoljak rajta.» Ama tört vonal vizsgálatát természetesen abbahagyta, de helyette még 1820-ban tért arra az útra, mely őt végre abszolút geometriájának fölépítéséhez és ahhoz a meggyőződéshez vezette, hogy a XI. axióma nem bizonyítható be.
«Az út, melyet e mellett követtem» — írja János — «annál
BOLYAI Jánosnak a XI. axióma bebizonyítására irányuló kísérletei (1820—1823) 77
0. ábra.
inkább érdemli meg a közelebbi megjelölést, mert a tárgy elég fon-tosnak tekinthető és azonkívül majd látszik, hogy ez az cf/yellen ösvény, mely a meghódítandó várhoz vezet. Beláttam, hogy az egye-nes vonalú háromszögből a tizenegyedik axiómát illetőleg alig adódik ki valamivel több, mint az, hogy két szögének összege <2jR, 2 oldallal egyidejűleg 2 szög [fekszik szemben], két oldal összege > a har-madiknál ; itt azonban észrevettem, hogy mikor az egyik oldalt vég nélkül meghosszabbítjuk, míg egy másik oldal,
valamint az e két oldal által bezárt szög állandók maradnak, a háromszög bizonyos konkrét térbeli határalakhoz közeledik, a melyben mégis legalább több közelebbi vonatkozás ismerhető fel a meglevő C> alkotó rész között. Bizonyos volt ugyanis, hogy bam+abn 6. ábra1 nem >2fí; a harmadik szög eltűnt, és mindjárt sejtettem, hogy ha a c körül ca-val az a-n keresztül körvonalokat huzunk: akkor (ha ac"—oo) a valóságos metszéspontoknak, melyek-ben azok a bn-t metszik, egy konkrét b határ-pontjuk van és hogy (felületesen beszélve) bb a két végtelen egyenesnek am, bn-nek különbsége, vagy szigorúan kifejezve, a végtelenbe növekedő
bc, ac oldalok különbségének határértéke. Azt is felismertem azon-nal, hogy midőn a sugár [ca] —-oo : akkor a körvonalnak van egy térbeli határvonala vagy, ha a szót valamivel bővebb értelemben vesszük, felismertem a végtelen sugarú körvonal létezését, mely a véges sugarú körvonalokkal és az egyenessel egyenközű vonalokkal olyan vonatkozásban áll, mint a parabola az ellipszisekkel és hiper-bolákkal. Ez már mindenesetre valami, nem is szalasztottam el többé; élénken éreztem, hogy a helyes útra tértem.»
E fontos és termékeny gondolatok keletkezésére János és SZÁSZ
Károly már említett baráti érintkezésének nagyjelentőségő befolyása volt.
A parallelák elméletéről «vasár-, ünnep- és általában kimenő napokon»
folytatott beszélgetéseik közben egyszer SzÁsznak a következő «szel-lemes, valóban geometriai és a XI. axiómától független tér-tudománya helyes kifejtésének alapjául szolgáló eszméje volt, hogy ha azt az egyenest, melyet valamely b pontból (6. ábra) valamely másik egye-nesnek valamely c pontján keresztül húztunk, a két egyenes meg-határozta síkban ama b pont körül forgatjuk, akkor a forgó egyenes, mely a másik am egyenest egy ideig metszi, attól egy bizonyos hely-zetben — SZÁSZ kifejezésével élve — elpattan, és e [bn] helyzetben ő a legközelebbi parallelának vagy nem vágónak nevezte». Később
78 A két BOLYAI élete és m v e i . X . fejezet
János ezt az egyenest asymptotikus parallelának vagy röviden asymptotának nevezte.
Máskor SZÁSZ azt a kérdést vetette fel «vájjon abból, hogy bn (G. ábra) az am asymptotája, nem következik-e, hogy am=bn», és
e r r e — mondja János — «rögtön nemmel feleltem». «Mert ha ab merőleges am-re és cb-re c-től kezdve mindig reá rakjuk a cq = ca-t:
akkor a q pont, ba bc-t b körül a bn helyzetbe forgatjuk, végre bizonyos b pontba megy át, mely abban az esetben, ha abn nem derékszög, a b-től különböző.»
Továbbá azt beszéli el János, hogy a két barát «ösztönszerűleg sej-tette e végtelen sugarú kör természetének és a XI. axióma igazsága kér-désének szoros összefüggését, és nem kételkedtek benne, hogy a XI.
axióma szigorúan igazolható, mihelyt e végtelen sugarú körnek egye-nes voltát sikerül kimutatni», valamint, hogy «nagy ügyességre tettek szert a szóban forgó esetben elégtelen tételek használhatatlan voltá-nak felismerésében.» «De ennél» — végzi János — «aztán meg is álltunk.»
Mikor SZÁSZ Károly 1 8 2 0 végén vagy 1 8 2 1 elején Bécset el-hagyta, János és ő azt a «gyerekes és tulajdonképen ostoba Ígéretet tették egymásnak, hogy ha a jövőben, az elválás után ebben a dolog-ban, melynek vizsgálatát együtt kezdték meg, egyikük czélt érne, akkor az érdemben osztozkodnak». «Ez azonban» — teszi hozzá János — «csak a XI. axióma bebizonyítására vonatkozott; mert csak ezt kerestük és egy ettől fiigrjetlen geometria még álmunkban sem jutott eszünkbe».
A mint már említettük, SZÁSZ Károly az 1 8 4 8 . évtől kezdve egészen az 1853. évi október hó 23-ikán bekövetkezett haláláig Maros-Vásárhelyt tartózkodott. Mielőtt Maros-Vásárhelyre került, Német-országban utazgatott és Göttingában meglátogatta G A U S S L Abban az időben, amaz Ígéretre támaszkodva, megpróbálta, hogy János föl-fedezéséből részt biztosítson magának. Erre a dologra vonatkozik Jánosnak 1855 január 20-ikán apjához intézett következő levele.
»Sz[ász] K[ároly] miért ellenezte a' német [Kurzer GrundriB]
kiadását? tán a LOBATSEWSKI és Appendix közötti pár-vonalért. De föl-hiva érzem magamat az állitmányjára: ,azt ketten csináltuk volt már régen ki' halála után is megismételni azt, mit életében is régen ki-mondottam... mert én töle semmit sem tanultam; igaz ugyan, hogy beszéltük (tulajdonképen én mondván azt is leg-elöbb) hogy ha a* XI. Axfioma] nem igaz: ugy a' kör-határ, vagy ha tetszik cir-cul[us] rad. oo egy görbe unif[ortnis] vonal in piano; vagy-is, hogy ha annak egyenességét meg lehetne mutatni: ugy a' XI. Ax[ioma
meg-BOLYAI Jánosnak a XI. axióma bebizonyítására irányuló kísérletei (1820—1823) 79
volna mutatva De mind-ezt sem vitattuk tovább vagy vettük apróra 's bizonyitottuk-meg együtt; 's ennél tovább, többre nem is mentünk:
mi onnan is ki-világlik, hogy én aztán magamra mindent ki-dolgozva, az ö (mint akkor mindjárt irtam) TOMPA Profral 's egy Enyedi Deák-kal Aradon nálam jártakor én mint merőben uj dolgokat nagy Zelus, entUusiasmussal, ~ * fogadtatást várva közöltem vele az eredmé-nyeket : mikor azonban ö hecsüköt és hatásukat telyességgel nem volt még csak képes is átlátni, mind csak azt erősítvén: hisz a' nem formula! biz a nem formula, nyilványos jeléül annak, hogy mind azt nem együtt csináltuk. Továbbá az Appfendix" ki-jőte után Enye-den át-jőtemkor a VÁRADI Dr. és VAJDA jelenlétében (ki tehát ma is élő tanú lehet) kérdeztem SzAsztól, szo kerülvén az App[endix]re, hogy hát el-olvasta-e ? Feleié : El. Kérdém: egészen ? Feleié: egészen :
<le hogy leg < része lett volna benne arról altissimum silentium volt: pedig ott jo rés lett volna most alacsonul hát-megett el-lopott részéhezi jogát meg-emlitni. És ha itt léte alatt magát hozzám le-alázta volna: mindenkor kész voltam telyes föl-világosítást és ki-elé-gitést adni; 's ugy tudom ez az igazság' utja, nyíltan értekezni és mind-két felet ki-hallgatni: nem pedig (hallatlanul) hát megett bito-rolni szerzőji czimet, mintha azért, hogy föl-teszem G[AUSS]-vel egy-szer kétegy-szer vagy bár hányszor is beszéltem, azt állítni, hogy ketten irtuk a' Disqu. Ar-1. 'S G[Auss]-nál is híában locsogott olyasmit, mert okos ember az ilyesmit nem hiszi...»
Térjünk azonban vissza az 1820. év eseményeire. Midőn János új vizsgálatairól hírt adott apjának, Farkas ezekkel szemben merően tagadó álláspontot foglalt el. «A mi a végtelen sugárú kört illeti, azt egészen elvetette, mondván, hogy ettől E U K L I D E S elfordítaná arczát.
és el akarván velem hitetni, hogy azon G A U S S és általában mindenki bizonyosan meg fog ütközni, és hogy nélkülözhető.»
Farkas most szükségesnek tartotta, hogy fiát körülbelül a kö-vetkező szavakkal újból óvja a parallelák elméletének veszélyeitől.
«Megvallom, hogy egyenesed elpattanásától sem várok semmit. Azt velem, ezeken a tájakon is jártam; e pokoli holt tenger minden szirtje mellett elhajóztam é9 mindenhonnan szétzúzott árboczczal és el foszlott vitorlákkal tértem vissza, és innen számítom kedvem pusz-tulását és bukásomat. Meggondolatlanul életemet es boldogságomat erre tettem — aut Caesar aut nihil. Alighanem ezzel NEWTON is egész becses életét eltékozolta volna. Én ezt nagy szerencsétlenségnek tekintem. Sajnállak. Látom, hogy szerencsétlen életem benned
ismét-* — hasonló].
80 A két BOLYAI élete és művei. X . fejezet
lődik. Mintegy vészes szirtek között, hol még mindenki hajótörést szen-vedett, látlak sötét viharban ide-oda hányatni. Ijesztő csatatér ez melyen mindenkor megverettem; a kutató elme minden törekvésével daczoló bevehetetlen sziklavár. Ebben a materiában az egész élet csak égő, a tengerbe mártott fáklya. ValóságJS betegség, az őrület egy neme, zsarnok eszme. Olyan, mint a kör quadraturája, a bölcsek kövének kere-sése, az aranycsinálás, a kincsásás. A kincsásó elrongyosodik : mennél mélyebbre ásta saját sírját, annál jobban reménykedik; mindig is csak kevés az, a mi hiányzik, mint valamely végtelen sornál. Mindez — a mint látom, jobb elméknél a parallelák is — betegség. Nemsokára belátva, hogy e téren semmit sem tettél, aligha én hozzám hasonlóan mindenkorra el fogsz kedvetlenedni. Erre és más dolgokra nézve okulj példámon. Ha csakugyan kitaláltad volna, természetesen jobban örül-nék neki, mint valami uradalomnak. De ezt egyáltalában nem hivén, attól félek, hogy mindenedet elveszted feltéve egy milliós betétű sorsjátékon. >
János elbeszélését 1820. évi vizsgálatairól megerősíti egy abból az időből származó följegyzése; ez legrégibb bizonyítéka annak a mun-kálkodásnak, melyet ő az abszolút geometria terén kifejtett. Oszszel a VL osztályba lépett, a melyben a mechanikát tárgyalták. Egyik füze-tében, mely az elemi mechanikába tartozó feladatok megoldását tar-talmazza, négy ábra látható ezzel a felírással: A Pnrallelarum theoria.
Az e könyv elején található hasonmáson az 1., 2. és 4. ábrák a vég-telen sugarú körre vonatkoznak, a 3. pedig olyan háromszögeket tün-tet fel, melyeknek egyik oldala a másik kettőnek aszimptotája.
Hogy az akadémián való tartózkodása idejében János e téren mennyire haladt, arra nézve a fennmaradt följegyzésekből csak reszletek ismerhetők fel. Törekvése mindenesetre odairányult, hogy a XI. axiómát bebizonyítsa. Ennek eszközéül azokat a vonatkozásokat akarta felhasz-nálni, a melyek az axióma helytelen volta esetében a síkbeli egyenes-vonalú háromszög 6 alkotó része között fennállanak. Abban az időben azonban még nem hatolt át az egész anyagon és csak bizonyos előkészítő tételeket tudott felállítani. Mennél jobban haladtak előre János vizs-gálatai, annál kevesebb elismeréssel volt irántuk atyja, ki nyilván nem tudta követni lángelméjü fia gondolatainak röptét, de azért mégis azt hitte, hogy tapasztalat dolgábun öt felülmúlja. Néhány dologból látja ugyan — írja akkor a fiának Farkas — hogy mélyen hatolt, talán az ő saját mélységeinek fenekéig; ámde először János magát ezt a feneket egészen meg nem érte el, másodszor pedig, ha vinné is eny-nyíre, ez hiábavaló fáradság volna, mert még sem elegendő. «Azt is tette hozzá, hogy a parallelákat úgy, a mint az kívánatos volna, nem
BOLYAI Jánosnak a XI. axióma bebizonyítására irányuló kísérletei (1820—1823) 81
fogom soha sem feltalálni. Akkor is, mikor mindenféle szép és a XI. axióma lényegének kipuhatolására nézve fontos és nélkülöz-hetetlen dolgot, mint pl. az Appendix 23. §-át, bebizonyítás nélkül
fogom soha sem feltalálni. Akkor is, mikor mindenféle szép és a XI. axióma lényegének kipuhatolására nézve fontos és nélkülöz-hetetlen dolgot, mint pl. az Appendix 23. §-át, bebizonyítás nélkül