Bekapcsol´ asi jelens´ egek, tranziensek

Az el˝oz˝o fejezetekben t´argyaltuk hogy egy line´aris rendszer eset´en a harmonikus jelekre adott v´alasz teljes eg´esz´eben le´ırja a rendszert. A gyakorlatban ilyen – v´egtelen r´eg´ota tart´o adott amplit´ud´oj´u jel – nem fordul el˝o, ´erdekes viszont feltenni a k´erd´est, hogy milyen r¨ovid tranziens ut´an tekinthet˝o stacion´ariusnak (azaz a v´egtelen ideje tart´o jel hat´areset´eben l´ev˝onek) a rendszer. Fontos megjegyezni, hogy matematikailag ezek a jelek is el˝o´all´ıthat´ok harmonikus ¨osszetev˝okb˝ol (b´ar v´egtelen sz´am´ub´ol), az al´abbi t´argyal´as teh´at ink´abb praktikus, technikai szempontjai miatt tanuls´agos.

N´ezz¨unk egy p´eld´at: ha a t = 0 pillanatt´ol indulva egy sin(ω₀t) (´eppen a hat´ ar-frekvenci´anak megfelel˝o) jelet adunk egy alul´atereszt˝o sz˝ur˝ore, akkor a1.28 ´abra szerint alakul a kimeneti jel id˝of¨ugg´ese. L´athat´o, hogy k¨or¨ulbel¨ul≈3−5RC id˝o eltelte ut´an a kimenet teljesen belesimul a formailag v´egtelen r´egen tart´o jel alakj´aba.

Az al´abbiakban meghat´arozzuk az egyszer˝u alul- ´es fel¨ul´atereszt˝oRC kapcsol´asok ese-t´en a kimen˝o jel id˝obeli alakj´at konkr´et (egyszer˝u) bemeneti f¨uggv´eny eset´en. A sz´amol´ a-sokhoz hasznos els˝o l´ep´esben vizsg´alni egy R ellen´all´as ´es egy C kapacit´as´u kondenz´ator egyetlen hurokba val´o kapcsol´as´at: ez annak felel meg, ha egy felt¨olt¨ott kondenz´atort

1.28. ´abra. Egy z´erus id˝opillanatban indul´o szinuszos bemenet eset´en a kimen˝ojel alul´ at-ereszt˝o sz˝ur˝o eset´en, a hat´arfrekvenci´an´al. A stacion´arius, azaz v´egtelen ideje tart´o jelet bizonyos id˝o eltelte ut´an nagy pontoss´aggal k¨oveti a kimenet

egy R ellen´all´ason kereszt¨ul hagyunk kis¨ulni. A kapcsol´ast az 1.29 ´abr´an l´athatjuk. A kondenzt´atorban t´arolt Q t¨olt´es ´es az U_C fesz¨ults´eg k¨oz¨otti kapcsolat Q = CU_C. Az

´

aram ´eppen a t¨olt´es id˝oderiv´altja: I =dQ/dt, ´es a hurokt¨orv´eny miatt a kondenz´ator ´es az ellen´all´as fesz¨ults´eg´enek el˝ojeles ¨osszege z´erus. Ez ut´obbit kihaszn´alva:

U_C +U_R =Q/C +IR=Q/C+RdQ

dt = 0 (1.35)

Az id˝of¨ugg˝oQ(t) t´arolt t¨olt´esre kaptunk teh´at egy differenci´alegyenletet. Az egyenlet megold´asa matematikai tank¨onyvekben megtal´alhat´o, ´es mint kider¨ul a legegyszer˝ubbek egyike. Keress¨uk a megold´astQ₀e^−t/τ alakban, ahol Q₀ ´es τ adott param´eterek. Behe-lyettes´ıtve ad´odik:

a tetsz˝oleges kezd˝o´ert´ek, τ = RC pedig az id˝o´alland´onak nevezett, r¨ogz´ıtett param´eter.

A kapott jel alakja – exponenci´alis lecseng´es – a 1.29 ´abra jobb oldal´an l´athat´o. A lecseng´es id˝o´alland´oj´ara jellemz˝o a fenti k´eplet alapj´an, hogy ennyi id˝o alatt a t¨olt´es

´

eppen 1/e≈ 1/2.72-ed r´esz´ere cs¨okken. Az exponenci´alis f¨uggv´eny tulajdons´agai miatt az ´aram is ugyanilyen id˝o´alland´oj´u lecseng´est mutat.

Megjegyezz¨uk, hogy matematikailag a probl´ema ekvivalens a radioakt´ıv boml´as prob-l´em´aj´aval: ott cs¨okken´es (az id˝oegys´eg alatt elboml´o atomok sz´ama) ar´anyos az ´eppen rendelkez´esre ´all´o atomok sz´am´aval - azRC k¨or eset´en a fesz¨ults´egcs¨okken´es ¨uteme ar´ a-nyos a pillanatnyi fesz¨ults´eggel. Nem v´eletlen, hogy mindk´et eset id˝obeli megold´asa egyezik.

1.29. ´abra. Balra: Egy ellen´all´as ´es egy kondenz´ator egyetlen hurokban val´o sorbakapcso-l´asa. Jobbra: Az ´aram (vagy fesz¨ults´eg) id˝of¨ugg´ese: egy τ =RC id˝o´alland´oj´u lecseng´es

Tekints¨uk most a fentiekben m´ar l´atott RC alul´atereszt˝o sz˝ur˝o kapcsol´ast. V´ a-lasszunk egy speci´alisUbe(t) bemeneti fesz¨ults´eget: ez legyen z´erust <0 id˝okre ´es legyen konstans U₀ at >0-ra (szok´as ezt l´epcs˝of¨uggv´enynek nevezni). A fentiekben l´atott sz´ a-mol´ast alapul vehetj¨uk, azzal kieg´esz´ıtve, hogyU_be =U_C+U_R ´esU_ki =U_C. A megold´as t >0-ra val´oban aτ id˝o´alland´oj´u exponenci´alis f¨uggv´eny szerint alakul, konkr´etan (err˝ol behelyettes´ıt´essel meggy˝oz˝odhet¨unk):

Uki(t) =U0(1−e^t/RC) (1.37) azaz a kimen˝o fesz¨ults´eg exponenci´alisan k¨ozel´ıti (konstans) bemenet ´ert´eket. A be- ´es kimenet k¨oz¨otti k¨ul¨onbs´eg az, ami exponenci´alisan cs¨okken - ez, mivel line´aris rendszerr˝ol van sz´o, ahol k´et megold´as ¨osszege is megold´as az 1.36 egyenlet f´enyben ´erthet˝o.

Fel¨ul´atereszt˝o sz˝ur˝o eset´en ugyanilyen l´epcs˝of¨uggv´eny bemenetn´el azt kapjuk, hogy t = 0-ban a kimenet (azaz ellen´all´ason es˝o fesz¨ults´eg) felugrik U0-ra, majd exponenci´ ali-san (ism´et aτ =RC id˝o´alland´oval!) z´erushoz tart. Az1.30´abra mutatja a kimen˝ojeleket az ut´obbi k´et esetben. Ez az eredm´eny egyszer˝uen bel´athat´o ´ugy is, hogy az alul´atereszt˝o

´es a fel¨ul´atereszt˝o jel´enek ¨osszege vissza kell, hogy adja a bemeneti l´epcs˝of¨uggv´enyt.

Erdekes megvizsg´´ alni egy m´asik t´ıpus´u bemen˝ojelet, ami matematikai szempontb´ol m´eg ´erdekesebb: ez egy nagyon r¨ovid (az RC id˝o´alland´on´al jelent˝osen r¨ovidebb ideig tart´o) impulzusra adott kimeneti v´alasz. Az 1.31 ´abr´an egy ilyen eset l´athat´o (1/3RC ideig tart´o impulzus). A v´egtelen¨ul r¨ovid, de adott ter¨ulet˝u impulzus hat´areset´et Dirac-delta-f¨uggv´enynek nevezik, az 1.31 ´abr´an l´athat´o jelalak f˝obb tulajdons´agaiban ennek felel meg: alul´atereszt˝o sz˝ur˝o eset´en a jel egy kicsi konstans ´ert´ekig fut fel, majd ex-ponenci´alisan lecseng. R¨ovid jelekre ez egy h´aromsz¨ogjel alakot ¨olt (az ´aramk¨or mint integr´al´o ´aramk¨or m˝uk¨odik). Fel¨ul´atereszt˝on´el az impulzus k¨ozvetlen¨ul megjelenik a kimeneten, majd egy ellent´etes el˝ojel˝u exponenci´alis f¨uggv´enyk´ent cseng le. Ut´obbi

je-1.30. ´abra. Alul- ´es fel¨ul´atereszt˝oRC kapcsol´as kimenet´en megjelen˝o fesz¨ults´eg, l´epcs˝ o-f¨uggv´eny bemenet eset´en

lens´eg magyar´azata, hogy a kondenz´atoron az ¨osszt¨olt´es z´erus kell legyen hossz´u t´avon, azaz a kimen˝o fesz¨ults´eg (ami az ´arammal ar´anyos) id˝obeli integr´alja z´erus lesz. Megint-csak elmondhatjuk, hogy az alul´atereszt˝o ´es a fel¨ul´atereszt˝o jel´enek ¨osszege visszaadja a bemeneti impulzust.

1.31. ´abra. Alul- ´es fel¨ul´atereszt˝o RC kapcsol´as kimenet´en megjelen˝o fesz¨ults´eg, r¨ovid impulzus bemenet eset´en