Az alapvet˝ o line´ aris alkatr´ eszek ´ aram- ´ es fesz¨ ults´ egviszonyai ´ allan-

Az ellen´all´as eset´eben az ´aram minden id˝opillanatban szigor´uan ar´anyos az ´arammal az Ohm-t¨orv´eny szerint. Kondenz´ator eset´eben az ´aram ´es fesz¨ults´eg k¨oz¨ott egy id˝obeli deriv´al´as teremt kapcsolatot, teh´at ´alland´osult esetben, ha a fesz¨ults´eg a fentiek szerint szinuszos, akkor az ´aram koszinuszos:

aram ´es a fesz¨ults´eg amplit´ud´oja k¨oz¨ott, de fontos megjegyezni k´et dolgot: egyik hogy a line´aris kapcsolat nem igaz minden id˝opillanatban, m´asik, hogy az ar´any frekvenciaf¨ugg˝o (´es ebben fog megnyilv´anulni a kondenz´ator ´aramk¨orbeli szerepe).

Az ´aram ´es a fesz¨ults´eg k¨oz¨otti kapcsolatot grafikusan ´abr´azolva l´athat´o hogy a k´et harmonikus jel 90 fokkal el van tolva egym´ashoz k´epest, frekvenci´ajuk szigor´uan azonos.

1.16. ´abra. Kondenz´atoron megjelen˝o ´aram ´es fesz¨ults´eg id˝obeli viszonyai

Az ´aram maximuma el˝obb van mint a fesz¨ults´eg´e (hiszen az ´aram az ami felt¨olti a kondenz´atort), szok´as azt mondani hogy az ´aram

”siet” a fesz¨ults´eghez k´epest.

Induktivit´as eset´en a deriv´al´as helye m´as, ez´ert az ´aram-fesz¨ults´eg ¨osszef¨ugg´es ´ıgy alakul:

U(t) =Ld

dtI(t) =Ld

dt(−I₀cos(ωt)) =LωI₀sin(ωt) =U₀sin(ωt) (1.18)

azaz a kondenz´atorhoz hasonl´o szinuszos fesz¨ults´eg eset´en az ´aram m´ınusz koszinusz jelleg˝u, mondhatni

”k´esik”. Az id˝obeli viszonyokat az al´abbi ´abra mutatja, felt´eve ism´et hogy egy v´egtelen ideje tart´o jel kis tartom´any´ara tekint¨unk r´a.

1.17. ´abra. Induktivit´ason (tekercsen) megjelen˝o ´aram ´es fesz¨ults´eg id˝obeli viszonyai

Szinusz- ´es koszinusz (harmonikus) f¨uggv´enyekkel, melyek a deriv´al´asok sor´an meg-jelennek, az´ert neh´ezkesek a sz´amol´asok, mert ha ilyenekkel m˝uveleteket v´egz¨unk, akkor a megfelel˝o komponenseket ¨osszegszab´alyokkal kell kibogar´aszni, a szinusz- ´es koszinusz f¨uggv´enyek keverednek egym´as k¨oz¨ott. T¨obb eleg´ans m´odszer is kialakult arra hogy mi-k´epp lehet egyszer˝us´ıteni ezeket a sz´amol´asokat, kett˝o ilyet bemutatunk az al´abbiakban.

Egyik a m´ern¨oki technol´ogi´aban igen elterjedt, forg´o vektorokkal val´o reprezent´aci´o. A m´asik a fizikusokhoz igen k¨ozel´all´o komplex sz´amokkal val´o sz´amol´as. R´amutatunk arra, hogy a kett˝o teljesen anal´og egym´assal, az ut´obbi viszont olyan sok egy´eb helyen el˝oker¨ul (elektrodinamika, hull´amtan, kvantummechanika, anyagfizika), hogy fizikusok sz´am´ara

´

erdemes megismerni ezt az - esetenk´ent kifejezetten egyszer˝ubb - le´ır´ast.

EgyU(t) = U₀cos(ωt+φ) alak´u f¨uggv´eny tekinthet˝o ´ugy, mint egyU₀ hossz´us´ag´uω k¨orfrekvenci´aval k¨orbeforg´o vektor v´ızszintes vet¨ulete az al´abbi ´abra szerint. A megfele-l˝oen v´alaszthat´oφf´azissz¨og miatt ebben a szinuszos jelek is benne vannak term´eszetesen.

Mivel a rendszerben minden harmonikus jelre ugyanaz lesz a frekvencia, a forg´ast ki-transzform´alhatjuk (form´alisan

”forg´o koordin´atarendszerbe ¨ulhet¨unk”), ´es mondhatjuk, hogy egy referenciak´ent v´alasztott jel legyen ´eppen koszinuszos, a t¨obbit pedig ehhez m´erj¨uk. Ellen´all´as, kondenz´ator ´es induktivit´as eset´en az ´aram-vektorok egym´ashoz k´ e-pest az al´abbi ´abra jobb oldal´anak megfele˝oen n´eznek ki, ha a fesz¨ults´eget v´alasztjuk referenci´anak. A 90 fokos sz¨og a fesz¨ults´eg ´es az ´aram k¨oz¨ott ´epp a szinusz-koszinusz k¨ozti dervi´al´asi viszonyt reprezent´alja.

Ha a fesz¨ults´eg vagy ´aram igazi, adott id˝opillanatbeli ´ert´ek´ere vagyunk k´ıv´ancsiak, akkor az eg´esz vektor-rendszert meg kell forgatnunk term´eszetesen. Erre praktikusan sosincs sz¨uks´eg, hiszen fizikai szempontb´ol az amplit´ud´o ´es a relat´ıv f´azis egy´ertelm˝uen megmondja a fesz¨ults´egviszonyokat.

A komplex sz´amok a fenti, k´et dimenzi´os vektorok nagyon eleg´ans le´ır´as´at teszik le-het˝ov´e. Kiindulva az e^ix = cosx+isinx Euler-k´epletb˝ol, ahol a val´os r´esz ´epp cosx, fel´ırhatjuk az ´altal´anos alak´u harmonikus jelet: Re(U₀e^iωt+iφ) =U₀cos(ωt+φ). Az ¨otlet

1.18. ´abra. Forg´o vektor v´ızszintes vet¨ulet´evel reprezent´alt harmonikus jel. Ellen´all´as, kondenz´ator ´es induktivit´as ´arama koszinuszos jelleg˝u fesz¨ults´eg eset´en (be¨ulve a vekto-rokkal egy¨utt forg´o rendszerbe)

teh´at a k¨ovetkez˝o: a (val´os ´ert´ek˝u) fesz¨ults´eg- vagy ´aram´ert´eket egy U₀e^iωt+iφ mennyi-s´eggel reprezent´alunk, ahol a val´os r´esz a fizikai mennyis´eg, az imagin´arius r´esz pedig csak egy sz´amol´asi seg´ed. Ha b´armilyen egyenletet fel´ırunk, akkor a val´os r´esz k´epz´es´et mindk´et oldalra

”odak´epzelj¨uk”, ´es mivel k´et komplex sz´am akkor egyenl˝o ha a val´os ´es imagin´arius r´eszek is egyenl˝ok, a val´os (fizikai) mennyis´egek egyenl˝os´ege is garant´alt (az hogy az imagin´arius r´eszek ´epp egyenl˝oek, itt ´erdekes, de irrelev´ans t´eny).

Az exponencializ´alt alak igen kellemes sz´amol´asi tulajdons´agokkal rendelkezik. A kitev˝oben l´ev˝o ¨osszeg az exponencializ´al´as szab´alya szerint (melyek ´erv´enyesek komplex sz´amok eset´ere is!) fel´ırhat´o mint egy szorzat tagjai:

U(t) =U₀e^iωt+iφ=U₀e^iφe^iωt =U e^iωt (1.19) ahol bevezethetj¨uk az U0e^iφ komplex amplit´ud´ot. A komplex amplit´ud´o tartalmazza a fizikai amplit´ud´o ´ert´ek´et (U abszol´ut ´ert´eke ´epp U₀), de tartalmazza a f´azist is mint inform´aci´ot az id˝obeli viszonyokr´ol. A deriv´al´as ´es integr´al´as szint´en az exponenci´alis f¨uggv´enyekre vonatkoz´o szab´alyok miatt v´alik egyszer˝uv´e: az id˝o szerinti deriv´al´as egyiω szorz´ot jelent, az id˝o szerinti integr´al´as pedig egy 1/iωoszt´ast jelent, hiszen a szorzatnak csak egyetlen tagja tartalmaz id˝of¨ugg´est.

A fentiekben l´atott, kondenz´ator eset´en megval´osul´o ´aram- ´es fesz¨ults´eg k¨oz¨otti kap-csolat komplex fel´ır´asa ´ıgy alakul:

I(t) = Cd

dtU(t) = C d

dtU e^iωt =CiωU e^iωt =Ie^iωt (1.20) Ebben a fel´ır´asban azU komplex fesz¨ults´egamplit´ud´o ´es azIkomplex ´aram-amplit´ud´o k¨oz¨otti kapcsolat teh´at: U/I = 1/(iCω) hiszen az e^iωt faktor mindk´et oldalr´ol kioszt-hat´o. Ez az ut´obbi oszt´as ´eppen annak anal´ogi´aja, mikor a forg´o vektoros m´odszer eset´en

be¨ul¨unk egy vektorokkal egy¨utt forg´o rendszerbe. A vektorokkal szeml´eltetett le´ır´as ´epp a komplex s´ıkon a megfelel˝o, komplex sz´amokat le´ır´o k´et dimenzi´os vektorokat adja.

Fontos megjegyezni, hogy az ´aram- ´es fesz¨ults´eg amplit´ud´o-ar´any frekvenciaf¨ugg˝o.

A linearit´as felt´etelez´ese azt jelenti, hogy ha a fesz¨ults´eg dupl´aj´ara n¨ovekszik, akkor az ´aram is k´etszeres´ere n˝o, ar´anyuk teh´at konstans (de f¨ugg a rendszer param´etereit˝ol

´

es a frekvenci´at´ol is, ahogy ´epp l´attuk). Ez az ar´any eml´ekeztet az Ohm-t¨orv´enyb˝ol k¨ovetkez˝o ar´anyoss´agra, emiatt az U/I komplex amplit´ud´o-h´anyadost

”v´altakoz´o fesz¨ ult-s´eg˝u ellen´all´asnak”vagy szok´asosan impedanci´anak nevezz¨uk ´es Z-vel jel¨olj¨uk. Egy R

´

ert´ek˝u ellen´all´as impedanci´aja term´eszetesen ´eppen Z_R=R(val´os sz´amnak ad´odik), egy kondenz´ator´e a fentiek szerint ZC = 1/(iCω), egy induktivit´as´e (a bizony´ıt´as a felada-tok k¨oz¨ott is szerepel) Z_L = iLω. ¨Osszetett ´aramk¨or¨ok impedanci´ait az al´abbiakban kisz´amoljuk.

A komplex impedancia bevezet´ese az´ert teszi rendk´ıv¨ul hat´ekonny´a a line´aris elektro-nikai rendszerek sz´amol´as´at, mert a (Kirchoff-t¨orv´enyek teljes¨ul´ese miatt) a soros- ´es p´ ar-huzamos kapcsol´asi k´epletek igazak r´ajuk, azaz ´ugy sz´amolhatunk vel¨uk mintha

”igazi”

ellen´all´asok voln´anak. Figyelni kell viszont hogy ezek komplex sz´amok, amelyek szorz´ asi-oszt´asi szab´alyait (melyeket az Appendixben ????? feleleven´ıt¨unk) k¨ovetn¨unk kell. A komplex sz´amok elektrom´ern¨oki alkalmaz´asa is igen kiterjedt, egyetlen konvenci´obeli el-t´er´essel: mivel az i mennyis´eget v´altoz´o ´aram jel¨ol´es´ere is haszn´alj´ak, az imagin´arius egys´eget j-vel jel¨olik. Jelen jegyzetben tart´ozkodunk ett˝ol, teh´at az ´aram mindig nagy-bet˝us I lesz, a k´epzetes egys´eg pedig, fizikus jel¨ol´es szerint, kisbet˝usi.

A harmonikus v´altakoz´o fesz¨ults´eg˝u jeleket az amplit´ud´o nagys´aga meghat´arozza, ha az id˝obeli viszonyokra nem vagyunk k´ıv´ancsiak. A gyakorlatban m´egsem ezt szok´as megadni, hanem az ´ugynevezetteffekt´ıv ´ert´eket, melynek defin´ıci´oja, hogy olyan egyenfe-sz¨ults´eg˝u t´apegys´eg fesz¨ults´ege, ami egyR ellen´all´ason ´epp akkora ´atlagteljes´ıtm´enyt ad le, mint a k´erd´eses szinuszos fesz¨ults´eg. A h´al´ozati 230V-os fesz¨ults´eg teh´at nem 230V-os amplit´ud´oj´u, hanem pont annyira meleg´ıt ´atlagosan egy villanyrezs´ot, mint tenn´e ezt egy 230V-os egyenfesz¨ults´eg˝u akkumul´ator.

Az effekt´ıv ´ert´ek ´es az amplit´ud´o kapcsolat´at egyszer˝uen megkaphatjuk, a teljes´ıt-m´eny id˝obeli ´atlag´ab´ol sz´amolva. HaP(t) a pillanatnyi teljes´ıtm´eny, akkor:

P(t) =U(t)I(t) = U²(t)

Az effekt´ıv ´ert´ek defin´ıci´oja ez volt:

P_´atlag= 1

2 azaz az effekt´ıv ´ert´ek szinuszos-koszinuszos jel eset´en az amplit´ud´o 1/√

2-ed r´esze. A h´al´ozati fesz¨ults´eg amplit´ud´oja p´eld´aul 325V. Nem harmonikus jelek eset´en is ´ertelmezhet˝o az effekt´ıv ´ert´ek, de ekkor term´eszetesen nem a fenti v´alt´osz´am adja az effekt´ıv ´ert´ek ´es az amplit´ud´o k¨oz¨ott a kapcsolatot.