3.4 A redızıdés kiértékelése Fourier elemzéssel
3.4.2 A mintavételezés gyakoriságának megválasztása
k analízishez használt egész számú többszöröse (esetünkben 1-180) A konstans tag esetünkben az átlag sugárnak felel meg:
) együtthatókból meghatározható a ck :
)
3.4.2 A mintavételezés gyakoriságának megválasztása
A vizsgálatoknál minden méréshez azonos beállítást (web kamera távolságot, fényerıt és képfelbontást) alkalmaztam. A köralak geometriája miatt a mintavételezési tartomány 0-360°
és a hullámok kezdı- és végpontja egybeesik. Koordinátarendszerben ábrázoltam a redık pontjainak középponttól mért távolságát (ri) a középponti szög (φi) függvényében. A hullámgörbérıl leolvasható a redık száma, a redık helyzete, a redık hullámhossza és az amplitúdója. Mivel a redızıdı kelme vetületét egy kör mentén olvastam le, ezért a redık szélessége, azaz hullámhossza fokban kifejezett érték.
A mintavételezéshez figyelembe vettem, hogy a digitális adatrögzítésnél egy jelben elıforduló legmagasabb frekvenciájú (fmax) összetevı egy periódusára legalább két minta kell essen, azaz fminta > fmax (Shannon tétel), annak érdekében, hogy az eredeti jelet információveszteség nélkül vissza lehessen állítani. Esetünkben nem beszélhetünk frekvenciáról (a redık amplitúdóit a szög függvényében rögzítettem), ezért a középponti szög alapján határoztam meg a mintavételezési gyakoriságot.
A Fourier sorba fejtéshez a 7.11 mellékletben bemutatott számítógépes programmal megállapítottam a vetületi kép felvett kontúrpontjainak adataiból a redızıdés hullámgörbéjére jellemzı alapharmonikust, valamint a felharmonikusokat. A harmonikus analízis során megvizsgáltam, hogy mekkora az a k érték, amelynél már nincs szignifikáns eltérés az eredeti és a visszaalakított függvény között. Egyértelmő, hogy pl. k=3 a mi esetünkben, a vizsgált közepes merevségő textíliáknál túl kicsi, mert a függvény alig illeszkedik a 10 fokonként felvett mérési adatokból kapott redızıdési görbéhez (3-21. ábra/a). Az eredeti és a visszatranszformált függvény adatainak az átlagra viszonyított eltérése meghaladja a 18 százalékot (3.21 ábra/b).
k=3
3-21. ábra Fourier analízis eredménye 3 harmonikus összetevıvel, 10 fokos mintavételi gyakorisággal a) az eredeti és Fourier-transzformált görbe, b) az illesztés százalékos eltérése
A harmonikusak számát 18-ra emelve a görbe illesztése már sokkal jobb (3-22. ábra), a két görbe pontjai közötti eltérés 1,6% alatt van (3-22. ábra, jobb oldali diagram).
k=18
3-22. ábra 18 harmonikus segítségével végzett Fourier analízis a) az eredeti és Fourier-transzformált görbe, b) az illesztés százalékos eltérése
A vetületi görbe eredeti és transzponált pontjait polárkoordinátán ábrázolva látható, hogy az elsısorban a kis hullámhosszú redıkben mutatkozó különbség elhanyagolható (3-23. ábra) mértékő. Ez várható volt, hiszen minél több tagból (k) áll a (3.7) összefüggés, annál pontosabban írható le az eredeti függvény.
f(Xi)
s(Xi)
3-23. ábra Az eredeti hullámgörbe és a 18 harmonikus segítségével végzett Fourier analízis eredménye
Bár az eltérés ennél a mintánál megengedhetınek látszik, az elızetes vizsgálatokból nyert tapasztalat alapján feltételeztem, hogy a jelben elıforduló legkisebb redı középponti szöge 2 fok, ezért a további vizsgálatokhoz az új számítógépes kiértékelı program 1 fokonként rögzítette a körvonal pontjainak középponttól való távolságát (n=360) és a pontos illesztés érdekében 180 harmonikussal számoltam.
Az számított függvény és az eredeti görbe pontjai közötti különbség így már nulla, az esetenként elıforduló 0,05 %-os eltérés az adatfeldolgozás technikai hibájára vezethetı vissza.
A redızıdés spektrumfüggvénye
A spektrumfüggvény ábrázolásához az x tengelyen az analízisnél alkalmazott harmonikusok száma (k) szerepel, a hozzá tartozó hullámhossz megadásával (λ= 360º/k) fokban, míg az y tengelyen a Fourier analízissel kapott ak és bk harmonikus összetevıkbıl számított ck értéket vettem fel, amplitúdó elnevezéssel. A domináns hullámhossz összetevık szemléletesebb ábrázolása kedvéért az x tengely osztásközét azonos méretőnek választottam és a ck értékeit a k érték növekvı sorrendjében vettem fel (3-24. ábra).
0 1 2 3 4 5 6 7
360 180 120 90 72 60 51 45 40 36 33 30 28 26 24 23 21 20 19 18 17
hullámhossz (o)
amplitúdó, (mm)
0 1 2 3 4 5 6 7
360 40 21 14 11 9 7 6 6 5 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2
hullámhossz (o)
amplitúdó, (mm)
3-24. ábra Fourier sorfejtéssel kapott spektrumfüggvény (k=3 és k=180 esetén)
A fenti ábrán a redızıdési görbe spektrumfüggvénye látszik, 3 illetve 180 harmonikus függvény illesztésénél. Több parciális együtthatónál az amplitúdók egy adott hullámhossz után (13-15°) már nagyon kicsik (3-24. ábra jobb oldali diagram). Tapasztalati úton megállapítottam, hogy a mért mintákon a redızıdés jellemzı harmonikusai a 360-10°
hullámhossztartományban vannak és k<10 esetén az amplitúdó értékek a 0-hoz közelítenek, ezért ezeket a továbbiakban az ábrázolásnál elhanyagolhatónak tekintettem.
A spektrumfüggvény alkalmazhatóságát elıször idealizált vetületeken, majd különbözı szempontok szerint kiválasztott textil mintákon vizsgáltam. A 3-25. ábrán idealizált eset látható: azonos vetületi terület mellett (azonos esési tényezı, DC%) elméletileg elıforduló két különbözı redızöttséget mutat. A jellemzı redı szögelfordulása az f(α) = 5+cos4α függvénynél 90 fok, míg az f(α) =5+cos8α függvénynél 45 fok. A bemutatott spektrumfüggvények bizonyítják, hogy az esési tényezı önmagában nem ad elegendı információt a redızıdés geometriájáról, hiszen az elsı eset egy nagyobb, merevebb redıket mutató kelmét feltételez.
Spektrum
3-25. ábra Elméleti spektrumfüggvény két olyan kelménél, amelyeknek redızıdési tényezıje megegyezik
A spektrumfüggvény értelmezéséhez egy erre a célra készített Fourier számolóprogramot használtam. Ennek segítségével tetszıleges elméleti redızıdési hullámgörbét lehet kialakítani úgy, hogy a redızıdést jellemzı hullámhossz(ok)hoz különbözı amplitúdó értékeket veszünk fel. A redızıdési képek reprodukciója alapján az elméleti adatokból a következıket állapítottam meg:
− A redızıdés közel szabályosnak vehetı, ha azt többnyire egyenletes eloszlásban hasonló hullámhosszú és amplitúdójú redık jellemzik (3-26. ábra). Ilyenkor a spektrumban egy kiugró amplitúdó csúcs (fıkomponens) van, és a redıket az ehhez tartozó hullámhossz jellemzi (3-26. ábra), ahol λmax=51,4 fok és a hullámok száma 360°/
λmax=7.
3-26. ábra Szabályosnak mondható redızıdés spektrumfüggvénye
− Ha a redızıdés nem szabályos, a redık különbözı méretőek. Ekkor a spektrumban több fıkomponens van, a hullámgörbét több periodikus függvénnyel lehet közelíteni. Az amplitúdó értékei különbözık lehetnek, attól függıen, hogy melyik hullámhosszú függvények jellemzik leginkább a hullámgörbét. Az amplitúdó maximumától az x
tengelyhez közelítve megállapíthatóak a fıkomponensek és az azokhoz tartozó hullámhossz értékek (3-27. ábra).
0
3-27. ábra Szabálytalan redızıdés különbözı hullámhosszú redıinek spektruma
− A redızıdés aszimmetrikus, ha a görbe egyes szakaszain nincsenek jól körülhatárolható redık és a redık eloszlása nem egyenletes (3-28. ábra). Mivel egyes helyeken alig van lehajlás, a spektrumban a legnagyobb hullámhossznál jelenik meg az amplitúdó maximum értéke.
3-28. ábra Aszimmetrikus redızöttség spektruma különbözı hullámhosszú redıkkel
A következıkben azt vizsgáltam, hogy a síkvetület hullámgörbéjébıl nyert spektrumfüggvénybıl hogyan nyerhetı minél több információ a redızıdésrıl.
224 spektrum
3-29. ábra Síkvetület spektrumfüggvénye
A 3-29. ábrán egy textília redızıdésének digitális vetületi képe és a teljes spektrumfüggvény látható (k=180). Az így ábrázolt spektrumfüggvénybıl nem könnyő leolvasni, hogy a ck érték nagysága szerint a három fıkomponens hullámhossza 60 fok, 51,4 fok és 72 fok. A továbbiakban a fıkomponensek hatásvizsgálatához és a jellegzetes
különbségek kiemeléséhez a harmonikus összetevık (ck) négyzetes hatványát ábrázoltam (3-30. ábra), feltételezve, hogy így könnyebben megállapítható, melyek azok, amelyek leírják a redızıdés változatosságának legnagyobb százalékát.
0
3-30. ábra Spektrumfüggvény változása a ck értékek négyzetre emelésével (jobb oldali diagramon a hatvány értékek szerepelnek)