Egy- és többváltozós multiplikatív számelméleti függvények aszimptotikus tulajdonságai MTA doktori értekezés tézisei

Egy- és többváltozós multiplikatív számelméleti függvények aszimptotikus tulajdonságai

MTA doktori értekezés tézisei

Tóth László

Pécsi Tudományegyetem

2018

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

1.1. Multiplikatív függvények . . . 3

1.2. Az értekezés eredményeiről . . . 7

1.3. Jelölések . . . 8

2. Egyváltozós multiplikatív függvényekre vonatkozó eredmények 10 2.1. Átlagértékek . . . 10

2.2. Multiplikatív függvények alternáló összegei . . . 12

2.3. Maximális nagyságrendek . . . 15

2.4. Exponenciális osztókkal definiált számelméleti függvények . . . 16

2.4.1. Exponenciális Euler-függvény . . . 16

2.4.2. Exponenciális Möbius-függvény . . . 17

2.4.3. A t^peqpnqfüggvény . . . 18

2.5. Lnko-összegfüggvények . . . 18

2.5.1. Lnko-összegfüggvény . . . 18

2.5.2. Exponenciális lnko-összegfüggvény . . . 19

2.5.3. A (mod n) reguláris egészekkel definiált lnko-összegfüggvény . . . . 20

2.6. Ramanujan-összegek súlyozott átlagai . . . 20

2.7. Többismeretlenes kvadratikus kongruenciák megoldásszáma . . . 21

2.8. Véges Abel-csoportok részcsoportjainak száma . . . 22

2.8.1. A ZmˆZn csoportok . . . 23

2.8.2. A ZmˆZnˆZr csoportok . . . 23

3. Többváltozós multiplikatív függvényekre vonatkozó eredmények 25 3.1. k-anként relatív prím komponensű szám r-esek . . . 25

3.2. k pozitív egész legkisebb közös többszörösének átlagértéke . . . 26

3.3. Osztófüggvények többváltozós átlagai . . . 28

3.4. AZmˆZn csoportok részcsoportjai számának az átlaga . . . 30

3.5. A Busche-Ramanujan-azonosságok általánosításai . . . 31

3.6. Többváltozós számelméleti függvények Ramanujan-összegek szerinti sorfej- tése . . . 33

Irodalomjegyzék 34

1. fejezet Bevezetés

1.1. Multiplikatív függvények

Sok szerző vizsgálta a multiplikatív számelméleti függvények¹különböző aszimptotikus tulajdonságait. Az elemi és az analitikus számelmélet egyik fontos célkitűzése éles hiba- taggal rendelkező aszimptotikus formulák levezetéseř

nďxfpnq összegekre, ahol fpnqegy speciális multiplikatív függvény, vagy valamely multiplikatív függvényosztályhoz tartozik.

Például a Dirichlet-féle osztóprobléma azonθ kitevők infimumának a meghatározását jelenti, amelyekre

ÿ

nďx

τpnq “xlogx` p2γ´1qx`Opx^θ`εq, (1.1) fennáll mindenε ą0 esetén. Ismert, hogy 1{4ďθ ď131{416 .

“0.314903. Pontosabban, (1.1) eddigi legjobb hibatagja Opx^131{416plogxq^26947{8320q, ami Huxley [16] eredménye.²

Általánosabban, rögzített pozitíva₁ ď ¨ ¨ ¨ ďa_kegészek esetén tekintsük aτpa₁, . . . , a_k;nq :“ř

d^a₁¹¨¨¨d^ak_k “n1osztófüggvényt és jelölje∆pa₁, . . . , a_k;xqa következő aszimptotikus képlet maradéktagját:

ÿ

nďx

τpa₁, . . . , a_k;nq “ Hpa₁, . . . , a_k;xq `∆pa₁, . . . , a_k;xq,

ahol Hpa1, . . . , ak;xq a főtag. Lásd például Krätzel [18, Ch. 6] könyvét. Az a1 “ ¨ ¨ ¨ “ a_k“1 esetben aτ_kpnq Piltz-függvényt kapjuk és legyen, a szokásos jelölés szerint,∆_kpxq a megfelelő maradéktag (Piltz osztóprobléma).

A négyzetmentes osztóprobléma Mertens munkásságára nyúlik vissza (1874). Legyen

1olyanf :NÑCfüggvények, amelyekrefpmnq “fpmqfpnqteljesül, hapm, nq “1

2Egy 2017 szeptemberi új preprintben Bourgain és Watt [4] a jobbθď517{1648 .

“0.313713eredményt bizonyítják. Ugyanez a hibatag érvényes a Gauss-féle körproblémára is.

τ^p2qpnq “2^ωpnq az n négyzetmentes osztóinak száma. Akkor ÿ

nďx

τ^p2qpnq “ 6 π²x

ˆ

logx`2γ´1´2ζ¹p2q ζp2q

˙

`OpRpxqq, (1.2) ahol Rpxq !x^1{2δpxq, a

δpxq:“expp´cplogxq^3{5plog logxq^´1{5q (1.3) jelöléssel, c egy pozitív konstans. Lásd Suryanarayana és Siva Rama Prasad [30]. Ha a Riemann-hipotézis (RH) igaz, akkor Rpxq !x^4{11`ε, lásd Baker [2].

Az Euler-féle φpnq függvényre vonatkozik a ÿ

nďx

φpnq “ 3

π²x²`O`

xplogxq^2{3plog logxq^4{3˘

, (1.4)

aszimptotikus formula, a jelenleg ismert legjobb hibataggal, amely Walfisz [55, Satz 1, p.

144] eredménye. A ÿ

nďx

1

φpnq “Aplogx`γ´Bq `O`

x^´1plogxq^2{3˘

(1.5) formulát, ahol

A“ ζp2qζp3q

ζp6q “ 315ζp3q

2π⁴ , B “ ÿ

p

logp

p²´p`1, (1.6) először Landau vezette le a gyengébb Opx^´1logxq maradékkal. Lásd De Koninck és Ivíc [9, Th. 1.1] könyvét. A (1.5) képletben szereplő maradék Sita Rama Chandra Rao [27]

eredménye.

Tekintsük most az f :NÑ r0,1s multiplikatív függvények W osztályát. Wirsing [57]

nevezetes tétele szerint haf PW, akkor az Mpfq:“ lim

xÑ8

1 x

ÿ

nďx

fpnq középérték létezik és

Mpfq “ ź

p

ˆ 1´ 1

p

˙ 8

ÿ

ν“0

fpp^νq p^ν , ahol a szorzat nullának tekintendő, ha a ř

p 1´fppq

p sor divergál.

Más jellegű eredmények bizonyos multiplikatív függvények maximális nagyságrendjé- re vonatkoznak. Például a következő jól alkalmazható tétel, amelyet Suryanarayana és

Sita Rama Chandra Rao [29] bizonyított, megadja egy prím-független multiplikatív függ- vényosztály maximális nagyságrendjét: Legyen f egy olyan pozitív függvény, amelyre fpnq “ Opn^βq, ahol β ą 0 rögzített. Legyen F multiplikatív úgy, hogy Fpp^νq “ fpνq mindenp^ν (ν ě1) prímhatványra. Akkor

lim sup

nÑ8

logFpnqlog logn

logn “sup

mě1

logfpmq

m .

Ez a tétel alkalmazható azFpnq “ τpnq osztófüggvényre és lim sup

nÑ8

logτpnqlog logn

logn “log 2, (1.7)

adódik, ami jólismert eredmény. Itt (1.7) igaz marad, haτpnqhelyett aτ^p2qpnqfüggvényt írjuk. HaFpnq “ τ^peqpnq, az n exponenciális osztóinak száma, akkor

lim sup

nÑ8

logτ^peqpnqlog logn

logn “ log 2 2 , amit Erdős korábban igazolt. Lásd [28, Th. 6.2].

Ramanujan [26] számelméleti függvényeknek a c_qpnq összegek³ szerinti pontonként konvergens sorfejtését adta. Például, legyenσpnqaznosztóinak összege. Minden rögzített nPN esetén

σpnq

n “ζp2q

8

ÿ

q“1

c_qpnq

q² (1.8)

“ π² 6

ˆ

1` p´1qⁿ

2² `2 cosp2πn{3q

3² ` 2 cospπn{2q 4<sup>2</sup> ` ¨ ¨ ¨

˙ ,

ami megmutatja hogyσpnq{nértékei miként váltakoznak harmonikusan aπ²{6középérték körül.

Egy nem azonosan nullaf :N^k ÑCfüggvényt multiplikatívnak nevezünk, ha fpm₁n₁, . . . , m_kn_kq “ fpm₁, . . . , m_kqfpn₁, . . . , n_kq

teljesül feltéve, hogy pm1¨ ¨ ¨mk, n1¨ ¨ ¨nkq “ 1. Ha f multiplikatív, akkor értékeit meg- határozzák az fpp^ν1, . . . , p^νkq értékek, ahol p prím és ν₁, . . . , ν_k P NY t0u. Pontosabban, fp1, . . . ,1q “1 és minden n₁, . . . , n_k PN esetén

fpn₁, . . . , n_kq “ ź

p

fpp^νppn1q, . . . , p^νppnkqq.

3ezeket ma Ramanujan-összegeknek nevezzük

Hak “1, akkor visszakapjuk a szokásos multiplikativitást. Egyszerű példákk-változós multiplikatív függvényekre az pn₁, . . . , n_kq és rn₁, . . . , n_ks. További példák ilyen függvé- nyekrespn₁, . . . , n_kqéscpn₁, . . . , n_kq, apZn1ˆ¨ ¨ ¨ˆZnk,`qcsoport összes részcsoportjának, illetve a ciklikus részcsoportjainak a száma. Jelölje %_r az olyan pn₁, . . . , n_rq P N^r rende- zett számr-esek halmazának karakterisztikus függvényét, amelyekren₁, . . . , n_r páronként relatív prímek. Akkor%_r egy r-változós multiplikatív függvény és teljesül a

ÿ

d1|n1,...,dr|nr

%_rpd₁, . . . , d_rq “τpn₁¨ ¨ ¨n_rq pn₁, . . . , n_r PNq. (1.9) azonosság.

A többváltozás multiplikatív függvények részletes vizsgálatát adta Vaidyanathaswamy [54] több, mint nyolcvanöt évvel ezelőtt. A [54] dolgozat szinte kizárólag csak algebrai és aritmetikai tulajdonságokat tartalmaz. A mai napig is csak kevés olyan eredmény van az irodalomban, amely többváltozás multiplikatív függvények aszimptotikus tulajdonságaira vonatkozik. A [46] dolgozatomban ennek a témának egy áttekintését adtam.

Az f :N^kÑC függvény középértéke Mpfq:“ lim

x1,...,xkÑ8

1 x₁¨ ¨ ¨x_k

ÿ

n1ďx1,...,nkďxk

fpn₁, . . . , n_kq,

feltéve, hogy ez a határérték létezik. A Wintner tétel (amely az egyváltozós esetre vonat- kozik) általánosításaként Ushiroya [52, Th. 1] igazolta a következő eredményt: Haf egy olyank-változós függvény (nem feltétlen multiplikatív), hogy

8

ÿ

n1,...,nk“1

|pµk˚fqpn1, . . . , nkq|

n₁¨ ¨ ¨n_k ă 8, akkor azMpfqközépérték létezik és

Mpfq “

8

ÿ

n1,...,n_k“1

pµ_k˚fqpn₁, . . . , n_kq n₁¨ ¨ ¨n_k , ahol ˚a Dirichlet-konvolúciót jelöli, amit

pf ˚gqpn₁, . . . , n_kq “ ÿ

d1|n1,...,dk|nk

fpd₁, . . . , d_kqgpn₁{d₁, . . . , n_k{d_kq,

definiál, µ_kpn₁, . . . , n_kq “µpn₁q ¨ ¨ ¨µpn_kq pedig ak-változós Möbius-függvény (a konstans 1függvény inverze a ˚ konvolúcióra nézve).

A [46] dolgozatomban megadtam az előbbi eredményt multiplikatív függvényekre, a következőképpen, lásd [46, Prop. 19]: Legyen f : N^k Ñ C egy multiplikatív függvény.

Tegyük fel, hogy

ÿ

p

8

ÿ

ν1,...,νk“0 ν1`¨¨¨`νkě1

|pµ_k˚fqpp^ν1, . . . , p^νkq|

p^{ν1`¨¨¨`νk} ă 8.

Akkor az Mpfq középérték létezik és Mpfq “

ź

p

ˆ 1´1

p

˙k 8

ÿ

ν1,...,νk“0

fpp^ν1, . . . , p^νkq p^{ν1`¨¨¨`νk} .

A többváltozós esetben nem ismerek ennél általánosabb középértéktételt. Bizonyos speciálisf függvények eseténř

n1,...,nkďxfpn₁, . . . , n_kqösszegekre vonatkozó aszimptotikus képleteket vezettek le Balazard, Naimi, Pétermann [3] és de la Bretèche [10], analitikus módszerrel. Például, a [3] cikkben a szerzők egy k-változós effektív Perron inverziós formulát használtak (egy nagyon bonyolult eljárással) annak bizonyítására, hogy

ÿ

n1,...,nkďx

µpn₁q ¨ ¨ ¨µpn_kq

rn1, . . . , nks “P_kplogxq `Opδpxqq,

ahol P_kptq egy polinom t-ben és δpxq-et (1.3) definiálja. Azt is igazolták, hogy ha k páratlan, akkorP_kptq azonosan nulla (k “1esetén ez ekvivalens a prímszámtétellel).

1.2. Az értekezés eredményeiről

Ezt az értekezést az utóbbi 16 évben kifejtett kutatómunkám alapján írtam. Azokat az eredményeimet gyűjtöttem össze, amelyeket a legfontosabbaknak tartok és amelyek kapcsolódnak a 1.1 Szakaszban leírtakhoz. Ezeket az eredményeimet a [33, 34, 35, 36, 37, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 47, 48, 49] egyszerzős dolgozataimban publikáltam, valamint a következő társszerzős cikkeimben: [13] (társszerző Mario Hampejs), [14] (társszerző Titus Hilberdink), [23] (társszerző Werner Georg Nowak), [31] (társszerző Marius Tărnăuceanu), [50] (társszerző Eduard Wirsing), [51] (társszerző Wenguang Zhai).

Bemutatom az irodalombeli fontosabb előzetes eredményeket és azokat, amelyek az én dolgozataim után születtek. Kiemelek csoportelméleti, kombinatorikai és numerikus számítási vonatkozásokat is.

A 2 Fejezetben az egyváltozós multiplikatív függvényekre vonatkozó eredményeim sze- repelnek. A ř

nďxfpnq típusú összegek aszimpotikus becsléseire a konvolúció-módszert használom. Ehhez az szükséges, hogy az f függvényt f “ g˚h Dirichlet-konvolúcióként írjuk. Ha a gpnq függvény „eléggé kicsi” és van egy „ jó” formula a ř

nďxhpnq összeg- re, akkor megfelelően éles hibatagú aszimptotikus képletet tudunk levezetni a ř

nďxfpnq összegre.

A levezetett hibatagok sok esetben javítják az irodalomban ismerteket. Ezek nagy része feltételhez nem kötött, de néhány esetben használom a Riemann-sejtés igaz vol- tát. A kapott maradéktagok több esetben is olyan nevezetes problémák maradéktagjaitól függnek, mint az (1.1) Dirichlet-féle osztóprobléma vagy az (1.2) négyzetmentes osztó- probléma.

A 3 Fejezet a többváltozós multiplikatív függvényekkel kapcsolatos eredményeimet tar- talmazza. BizonyosFpn₁, . . . , n_kqmultiplikatív függvényekre vonatkozó aszimptotikák le- vezetésére kidolgoztama többváltozós konvolúció-módszer részleteit. Sok esetben ez tűnik a legtermészetesebb eljárásnak. Ahhoz, hogy felírjunk és alkalmazzunk egy többváltozós konvolúciós azonosságot, szükséges a megfelelő

8

ÿ

n1,...,nr“1

Fpn₁, . . . , n_rq n^s₁¹¨ ¨ ¨n^s_r^r “ź

p 8

ÿ

ν1,...,νr“0

Fpp^ν1, . . . , p^νrq p^{ν1s1`¨¨¨`νrsr} ,

többszörös Dirichlet-sorok és Euler-szorzatok alapos vizsgálata. A bizonyításaimbanelemi módszereket használok. A technikai nehézség abban áll, hogy az eljárás során

ÿ

n1ďx,...,ntďx nt`1ąx,...,n_kąx

ψpn₁, . . . , n_kq,

típusú többszörös összegeket kell megbecsülni bizonyos fellépő k-változós ψ multiplikatív függvényekre.

1.3. Jelölések

Az értekezésben a standard jelöléseket használom. Néhányat közülük az alábbiakban rögzítek. További jelölések magyarázata az első előfordulás helyén szerepel.

‚ N, Z, R, C jelöli a pozitív egészek, az egész, a valós, illetve a komplex számok halmazát;

‚ Zn“Z{nZ a modulo n (nP N) maradékosztályok halmaza;

‚ az n P N prímtényezős alakja n “ ś

pp^νppnq, ahol a szorzat az összes p prímre vonatkozik és véges sok kitevő kivételével mindenν_ppnq nulla;

‚ pn₁, . . . n_kqés gcdpn₁, . . . n_kq azn₁, . . . , n_kP Nszámok legnagyobb közös osztója;

‚ rn1, . . . , nkséslcmpn1, . . . , nkqazn1, . . . , nk PNszámok legkisebb közös többszöröse;

‚ idazidpnq “ n (nP N) függvény;

‚ τpnq az n osztóinak száma, σpnq az n osztóinak összege, σ_spnq az n osztói s-edik hatványösszege;

‚ φpnq az Euler-függvény,φ_spnq “n^sś

p|np1´1{p^sqaz s-edrendű Jordan-függvény;

‚µpnqa Möbius-függvény,ψpnq “nś

p|np1`1{pqa Dedekind-függvény,κpnq “ ś

p|np azn legnagyobb négyzetmentes osztója;

‚ ωpnq az n különböző prímosztóinak száma, Ωpnq “ ř

pν_ppnq az n prímhatvány- osztóinak száma;

‚ τ^p2qpnq “ 2^ωpnq az n négyzetmentes osztóinak száma;

‚ τ_kpnq a Piltz-függvény, ami megadja az n“d₁¨ ¨ ¨d_k felírások számát;

‚ τ^peqpnq “ś

p^ν||nτpνq az n exponenciális osztóinak száma;

‚ σ^peqpnq “ś

p^ν||n

ř

d|νp^d azn exponenciális osztóinak összege;

‚ apnq azn-edrendű nemizomorf Abel-csoportok száma;

‚ Ppnq “řn

k“1pk, nq az lnko-összegfüggvény (Pillai-függvény);

‚ Ppnqa partíciófüggvényt is jelöli;

‚ c_qpnq “ ř

1ďkďq,pk,qq“1expp2πikn{qq a Ramanujan-összegek;

‚ ˚ a számelméleti függvények Dirichlet-konvolúciója;

‚ ζ a Riemann-féle dzétafüggvény;

‚ γ .

“0.577215az Euler-állandó;

‚ G“ř8 n“0

p´1qⁿ p2n`1q²

“. 0.915956a Catalan-állandó;

‚ ř

p és ś

p a prímek szerinti összegek és szorzatok;

‚ az O (!), o, Ω és „ jelöléseket a szokásos módon használjuk, az első esetén az implikált konstans bizonyos paraméterektől függhet;

2. fejezet

Egyváltozós multiplikatív függvényekre vonatkozó eredmények

2.1. Átlagértékek

A τpnq osztófüggvényre Wilson (1922) analitikus eszközökkel bizonyította be, általá- nosítva Ramanujan (1915) egy korábbi állítását, hogy mindenr ě2 egész esetén

ÿ

nďx

τpnq^r “xP₂^r_´1plogxq `Opx²

r´1 2r`2`ε

q, (2.1)

ahol P₂^r_´1ptqegy (2^r´1)-edfokú polinom t-ben, amelynek főegyütthatója C_r “ 1

p2^r´1q! ź

p

ˆ 1´ 1

p

˙2^r 8

ÿ

ν“0

pν`1q^r p^ν .

Tekintsük most a τ^peqpnq függvényt, amely azn exponenciális osztóinak száma. Lásd a 2.4 Szakaszt. Ittτ^peq multiplikatív ésτ^peqpp^νq “τpνqmindenp^ν (ν ě1) prímhatványra.

Wu (1995) igazolta, Subbarao (1972) egy eredményét javítva, hogy ÿ

nďx

τ^peqpnq “A1x`B1x<sup>1{2</sup>`Opx^2{9logxq, (2.2) ahol

A₁ :“ź

p

˜ 1`

8

ÿ

ν“2

τpνq ´τpν´1q p^ν

¸ ,

B₁ :“ ź

p

˜ 1`

8

ÿ

ν“5

τpνq ´τpν´1q ´τpν´2q `τpν´3q p^ν{2

¸ .

A (2.2) hibatagja szorosan kapcsolódik a τp1,2;nq “ ř

ab²“n1 függvényre vonatkozó

∆p1,2;xq hibataghoz, és tovább javítható.

Legyen ∆<sub>k,`</sub>pxq :“∆pp1, `, `, . . . , ` looomooon

k´1

q;xq a megfelelő általánosított osztóprobléma hiba- tagja.

2.1.1. Tétel(Tóth [35], [39, Th. 2]). Legyenf :NÑCegy multiplikatív számelméleti függvény. Tegyük fel, hogy

i)fppq “fpp²q “ ¨ ¨ ¨ “fpp^{`´1</sup>q “1,fpp<sup>`}q “k mindenpprímre, ahol`, k ě2rögzített egészek,

ii) fpp^νq ! 2^ν{p``1q (νÑ 8) egyenletesen a p prímekre.

Akkor

8

ÿ

n“1

fpnq

n^s “ζpsqζ^k´1p`sqVpsq,

abszolút konvergens <psq ą 1 esetén, ahol a Vpsq Dirichlet-sor abszolút konvergens, ha

<psq ą1{p``1q.

Továbbá, tegyük fel, hogy ∆_{k,`</sub> !x<sup>αk,`</sup>plogxq<sup>βk,`</sup>, ahol 1{p``1q ăα<sub>k,`} ă1{`. Akkor ÿ

nďx

fpnq “ Cr_fx`x<sup>1{`</sup>P_f,k´2plogxq `R_fpxq, (2.3) ahol P_f,k´2 egy (k´2)-edfokú polinom,

Cr_f :“ź

p

˜ 1`

8

ÿ

ν“`

fpp^νq ´fpp^ν´1q p^ν

¸ , és R_fpxq ! x^{αk,`</sup>plogxq<sup>βk,`} (ugyanaz).

2.1.2. Megjegyzés. Minden k, ` ě 2 esetén ∆<sub>k,`</sub>pxq ! x<sup>uk,``ε</sup>, ahol u<sub>k,`</sub> :“ <sub>3`p2k´1q`</sub><sup>2k´1</sup> P p<sub>``1</sub>¹ ,¹_`q. Lásd [18, Th. 6.10]. Így R_fpxq !x^uk,``ε is igaz.

A 2.1.1 általános Tételt és a 2.1.2 Megjegyzést alkalmazva az fpnq “ τ^peqpnq^r függ- vényre (az` “2, k “2^r választással) megkapjuk a (2.1) formula analógját:

2.1.3. Tétel (Tóth [35, Eq. (4)]). Legyen r ě1 egy rögzített egész. Akkor ÿ

nďx

τ^peqpnq^r “Arx`x<sup>1{2</sup>Q2<sup>r</sup>´2plogxq `Opx^ur`εq minden ε ą0 esetén, ahol

Ar :“ź

p

˜ 1`

8

ÿ

a“2

τpaq^r´τpa´1q^r p^a

¸ , Q₂^r_´2 egy (2^r´2)-edfokú polinom és u_r :“ ²₂<sup>r`1</sup>r`2^´1`1.

A 2.1.1 Tétel más speciális függvényekre is alkalmazható. Legyen apnq az n-edrendű nemizomorf Abel-csoportok száma. Ittapnqmultiplikatív és app^νq “Ppνq a partíciófügg- vény, mindenp^ν (ν ě1) prímhatványra. Az ř

nďxapnqösszegre először Erdős és Szekeres (1934) vezettek le aszimptotikát. Zhang, Lü és Zhai [58]ř

nďxapnq² aszimptotikus becs- lését adták.

2.1.4. Következmény (Tóth [39, Th. 1]). Legyen r ě 2 egy rögzített egész. Tegyük fel, hogy ∆_rpxq:“∆pp1,2,2, . . . ,2

loooomoooon

2^r´1

q;xq !x^αrplogxq^βr, ahol 1{3ăα_r ă1{2. Akkor

ÿ

nďx

apnq^r “C_rx`x<sup>1{2</sup>S<sub>2</sub><sup>r</sup><sub>´2</sub>plogxq `R_rpxq, ahol

Cr :“ź

p

˜ 1`

8

ÿ

ν“2

Ppνq^r´Ppν´1q^r p^ν

¸ ,

S2^r´2 egy (2^r´2)-edfokú polinom ésRrpxq ! x^αrplogxq^βr (ugyanaz). Igaz az Rrpxq ! x^ur becslés, ahol u_r a 2.1.3 Tételben adott.

2.1.5. Megjegyzés. Krätzel [19] egy eredménye szerint

∆₂pxq “ ∆pp1,2,2,2q;xq ! x^45{127plogxq⁵, ahol 45{127 .

“ 0.354330 P p1{3,1{2q. Így ugyanez a hibatag igaz ř

nďxapnq² esetén. Ez javítja az R₂pxq !x^96{245`ε becslést, amit az [58] cikkben adtak.

2.1.6. Megjegyzés. Az én [35] cikkemre hivatkozva, Lelechenko [21, Th. 4] belátta, hogy a 2.1.2 Megjegyzésbeli R_fpxq ! x<sup>uk,``ε</sup> maradék javítható. Mégpedig, u<sub>k,`</sub> “ <sub>``1´θ</sub>¹

k´1

vehető, ahol θt-re ∆tpxq ! x<sup>θt`ε</sup>. Mivel θtpxq ď <sup>t´1</sup><sub>t`2</sub> igaz t ě 4 esetén, következik, hogy u_{k,`</sub> ď <sub>`pk`1q`3}^{k`1</sup> P p1{p``1q,1{`q, ha k ě 5. Emiatt, ha r ě 3, akkor a 2.1.3 Tétel és a 2.1.4 Következmény hibatagjai javíthatók az ur “ ₂r`1<sup>2r`1}`5 választással.

2.2. Multiplikatív függvények alternáló összegei

Bordellès és Cloitre [5]

ÿ

nďx

p´1q^n´1 1

fpnq (2.4)

alternáló összegekre vezettek le aszimptotikákat, aholfpnqbizonyos multiplikatív függvé- nyek, példáulfpnq “ φpnq, σpnq,ψpnq.

Ha fpnqmultiplikatív, akkor p´1q^n´1_fpnq¹ szintén multiplikatív. Továbbá

8

ÿ

n“1

p´1q^n´1 1 fpnqn^s “

˜ 8

ÿ

n“1

1 fpnqn^s

¸¨

˝2

˜ 8

ÿ

ν“0

1 fp2^νq2^νs

¸´1

´1

˛

‚,

így alkalmazhatók azř

nďx 1

fpnq összegekre ismert eredmények, de jó hibatagok levezetése érdekében szükség van bizonyos reciprok hatványsorok együtthatóinak pontos becslésére.

A következő eredményeim javítják az [5] cikkbeli maradéktagokat, a módszerem más, és új eredményeket is bizonyítok. Tekintsük a következő Bell-hatványsort: S_1{fpxq :“

ř8

ν“0a_νx^ν, ahol a_ν “ 1{fp2^νq (ν ě 0), a₀ “ 1. Jelölje S_1{fpxq :“ ř8

ν“0b_νx^ν a reciprok haványsort, amelyreb₀ “1 és ř_ν

j“0a_jb_ν´j “0(ν ě1).

2.2.1. Tétel (Tóth [48, Prop. 7]). Legyen f : NÑ Czt0u egy multiplikatív függvény.

Tegyük fel, hogy

(i) léteznek olyan D_f és E_f konstansok, hogy ÿ

nďx

1

fpnq “D_fplogx`E<sub>f</sub>q `O`

x^´1R_1{fpxq˘

, (2.5)

ahol 1!R_1{fpxq “opxq, ha xÑ 8, és R_1{fpxq nemcsökkenő;

(ii) az S_1{fpxq hatványsor konvergenciasugara r_1{f ą1;

(iii) a b_ν együtthatókra b_ν !M^ν, ha ν Ñ 8, ahol 0ăM ă1 egy valós szám.

Akkor

ÿ

nďx

p´1q^n´1 1

fpnq “Df

˜ˆ 2

S_1{fp1q ´1

˙

plogx`Efq `2plog 2qS_1{f¹ p1q S_1{fp1q²

¸

`O`

T_1{fpxq˘ , (2.6) ahol

T_1{fpxq “

$

’&

’%

x^´1R_1{fpxq, ha 0ăM ă ¹₂; x^´1R_1{fpxqlogx, ha M “ ¹₂; x^{logM{log 2}maxplogx, R_1{fpxqq, ha ¹₂ ăM ă1.

(2.7)

Ha fpnq “φpnqés M “1{2, akkor az (1.5) formula „alternáló alakját” kapjuk:

2.2.2. Következmény (Tóth [48, Th. 17]).

ÿ

nďx

p´1q^n´1 1

φpnq “ ´A 3

ˆ

logx`γ´B´8 3log 2

˙

`O`

x^´1plogxq^5{3˘

, (2.8)

ahol A és B értékeit (1.6) definiálja.

Ez javítja [5, Cor. 4, (i)] hibatagját, ami Opx^´1plogxq³q. 2.2.3. Következmény (Tóth [48, Th. 23]).

ÿ

nďx

p´1q^n´1 1

σpnq “E ˆˆ 2

K ´1

˙

plogx`γ`Fq `2plog 2qK¹ K²

˙

(2.9)

`O`

x^´1plogxq^5{3plog logxq^4{3˘ ,

ahol a fellépő konstansok értékei az értekezésben explicit módon adottak.

A (2.9) maradéka jobb, mint Opx^´1plogxq⁴q, lásd [5, Cor. 4, (v)].

A következő formula Ramanujan (1915) egy ismert képletének alternáló megfelelője:

2.2.4. Tétel (Tóth [48, Th. 27]). Minden rögzített N ě1 estén ÿ

nďx

p´1q^n´1 1 τpnq “x

N

ÿ

t“1

Bt

plogxq^t´1{2 `O

ˆ x plogxq^N`1{2

˙

, (2.10)

ahol Bt (1ďt ďN) explicit módon megadható konstansok, B₁ “ 1

?π ˆ 1

log 2 ´1

˙ ź

p

ˆ

ap²´p log ˆ p

p´1

˙˙

.

A (2.9) és (2.10) becslések levezetésére szükség van Kaluza [17] egy régi, reciprok hatványsorokra vonatkozó eredményére. Más esetekben ez nem használható. A következő új, explicit Kendall-típusú egyenlőtlenséget igazoltam, amely alkalmazható más, általam vizsgált függvényekre is.

2.2.5. Állítás(Tóth [48, Prop. 12]). Legyenř₈

ν“0a_νx^ν egy olyan komplex együtthatójú hatványsor, amelyre a0 “1 és |aν| ďAq^ν (ν ě1) valamely A, q ą0 konstansokra. Akkor a reciprok hatványsor b_ν együtthatóira

|b_ν| ďAq^νpA`1q^ν´1 pν ě1q.

Jelöljeσ^˚˚pnqaznbi-unitér osztóinak számát (bi-unitary divisors). Aσ^˚˚pnqfüggvény multiplikatív. A 2.2.5 Állítást használva igazoltam, hogy

2.2.6. Tétel (Tóth [48, Th. 50]).

ÿ

nďx

p´1q^n´1 1

σ^˚˚pnq “A^˚˚₁ logx`B<sub>1</sub><sup>˚˚</sup>`Opx^cplogxq^14{3plog logxq^4{3q, ahol A^˚˚₁ , B₁^˚˚ explicit konstansok és c“ plog 9{10q{plog 2q .

“ ´0.152003.

2.3. Maximális nagyságrendek

A továbbiakban egyszerűen alkalmazható tételeket mutatok be L“Lpfq:“lim sup

nÑ8

fpnq log logn

meghatározására, aholf bizonyos nemnegatív valós értékű multiplikatív függvények. Le- gyen

%ppq “%pf, pq:“sup

νě0

fpp^νq ap prímekre, ahol%ppq ě fpp⁰q “1 és

R“Rpfq:“ ź

p

ˆ 1´ 1

p

˙

%ppq. Az L alsó, illetve felső becsléseire vonatkoznak az alábbiak:

2.3.1. Tétel (Tóth és Wirsing [50, Th. 1]). Tegyük fel, hogy %ppq ă 8 minden p prímre és azR szorzat feltétel nélkül (azaz a sorrendtől függetlenül) konvergál, improprius határértékek megengedettek. Akkor

Lďe^γR. (2.11)

A következő tétel egy más feltételt használ.

2.3.2. Tétel (Tóth és Wirsing [50, Th. 2]). Tegyük fel, hogy %ppq ă 8 minden p-re, az R szorzat konvergál, improprius határértékek megengedettek, és

%ppq ď1`o

ˆlogp p

˙ . Akkor (2.11) fennáll.

Ahhoz, hogy e^γR az alsó becslés legyen, több információ szükséges. Mégpedig az kell, hogy a %ppq szuprémum jól approximálható legyen a p nem túl nagy hatványainál.

2.3.3. Tétel (Tóth és Wirsing [50, Th. 3]). Tételezzük fel, hogy (i) %ppq ă 8 minden p prímre,

(ii) minden p prímre létezik e_p “p^op1qPN úgy, hogy ź

p

fpp^epq%ppq^´1 ą0,

(iii) az R szorzat konvergál, improprius határértékek megengedettek.

Akkor

Lěe^γR.

2.3.4. Következmény (Tóth és Wirsing [50, Cor. 1]). Ha minden p prímre (i) %ppq ď p1´1{pq^´1, és

(ii) létezik olyan e_p “p^op1q PN, hogy fpp^epq ě 1`1{p, akkor L“e^γR,

azaz fpnq maximális nagyságrendje e^γRlog logn.

A 2.3.4 Következmény alkalmazható például az fpnq “ σpnq,1{φpnq függvényekre és Gronwall (1913), valamint Landau (1909) ismert eredményeit kapjuk. Legyen fpnq “ σ^peqpnq azn exponenciális osztóinak összege. Akkor

lim sup

nÑ8

σ^peqpnq

nlog logn “ 6 π²e^γ

adódik, ami Fabrykowski és Subbarao (1989) eredménye. Egy más alkalmazás a 2.5.4 Tétel. További alkalmazásokat adott Apostol (2013), Apostol és Petrescu (2013).

2.4. Exponenciális osztókkal definiált számelméleti függ- vények

Legyen d “ ś

pp^νppdq az n “ ś

pp^νppnq szám egy osztója. Azt mondjuk, hogy d egy exponenciális osztó, ha ν_ppdq | ν_ppnq minden p prímre. Jelölés: d |e n. Ezt a fogalmat Subbarao [28] vezette be. Jelöljeτ^peqpnqésσ^peqpnqazn exponenciális osztóinak a számát, illetve összegét, amelyek multiplikatív függvények. Ezeket és más hasonló módon definiált függvényeket sok szerző vizsgálta. Lásd például Cao és Zhai [7], Lelechenko [21, 22], Pétermann és Wu [25], Wu [56].

2.4.1. Exponenciális Euler-függvény

A φ^peqpnq exponenciális Euler-függvény multiplikatív és φ^peqpp^νq “ φpνq minden p^ν (ν ě 1) prímhatványra. A 2.1.1 Tétel és a 2.1.2 Megjegyzés egy újabb alkalmazásaként kapjuk:

2.4.1. Tétel (Tóth [33, Th. 1], [35, Eq. (6)]). Legyen rě1 egy egész szám. Akkor ÿ

nďx

φ^peqpnq^r “B_rx`x<sup>1{3</sup>T<sub>2</sub><sup>r</sup><sub>´2</sub>plogxq `Opx^tr`εq, (2.12) minden ε ą0 esetén, ahol

Br:“ź

p

˜ 1`

8

ÿ

a“3

φpaq^r´φpa´1q^r p^a

¸ , T₂^r_´2 egy (2^r´2)-edfokú polinom, t₁ “1{5 és t_r :“ ²_3¨2<sup>r`1</sup>r`1^´1, ha r ě2.

Az r “ 1 esetben Pétermann [24, Th. 1] Opx^1{5logxq-re javította (2.12) hibatagját.

Cao és Zhai [8] az pa, b, c, cq típusú négydimenziós osztóproblémára értek el új eredmé- nyeket és alkalmazásként tovább javították a maradékot. Az rě3 esetben a maradékra a jobb t_r “ _3p2^2rr<sup>`1</sup>`2q is igaz, amint azt Lelechenko [21] megmutatta. Lásd még a 2.1.6 Megjegyzést.

2.4.2. Exponenciális Möbius-függvény

A µ^peqpnq exponenciális Möbius-függvény multiplikatív és µ^peqpp^νq “ µpνq minden p^ν (ν ě1) prímhatványra. A következő eredményem Wu [56, Th. 2] maradéktagját javítja, ha a Riemann-sejtés (RH) igaz.

2.4.2. Tétel (Tóth [34, Th. 3]). Ha RH igaz, akkor ÿ

nďx

|µ^peqpnq| “C₁x`Opx<sup>1{5`ε</sup>q.

IttC₁ “ś

p

´

1`ř8 a“4

µ²paq´µ²pa´1q p^a

¯

az exponenciálisan négyzetmentes számok (min- den ν_ppnq ě 1 kitevő négyzetmentes) aszimptotikus sűrűsége. Később, Cao és Zhai [7, Th. 1, 2] igazolták, hogy RH eseténř

nďx|µ^peqpnq| “C₁x`C<sub>2</sub>x<sup>1{5</sup>`Opx^38{193`εq és hogy ez utóbbi maradékΩpx^1{8q.

2.4.3. Tétel (Tóth [34, Th. 2]).

ÿ

nďx

µ^peqpnq “ Kx`Opx^1{2expp´cplogxq^9{25´δq, (2.13) minden δ ą0 esetén, ahol cą0 egy konstans és

K “ź

p

˜ 1`

8

ÿ

a“2

µpaq ´µpa´1q p^a

¸ .

Ha RH igaz, akkor a maradék Opxp2´rq{p5´4rq`εq, ahol 1{4 ăr ă1{3 a négyzetmentes számokra vonatkozó hibatagban szereplő kitevő.

Itt r legjobb ismert értéke r “ 17{54 .

“ 0.314814 (Jia, 1993), így RH mellett (2.13) maradékaOpx^91{202`εq, ahol 91{202 .

“0.450495. A Perron-képletet használva Cao és Zhai [7, Th. 1, 2] eztOpx^37{94`εq-ra javították és igazolták, hogy a hibaΩpx^1{4q.

2.4.3. A t

p n q függvény

A [34] dolgozatomban bevezettem és vizsgáltam a t^peqpnq függvényt, ahol az n “ p^a₁¹¨ ¨ ¨p^a_r^r jelöléssel

t^peqpnq “ 2^ωpa1q¨ ¨ ¨2^ωparq. 2.4.4. Tétel (Tóth [34, Th. 4]).

ÿ

nďx

t^peqpnq “C₁x`C<sub>2</sub>x<sup>1{2</sup>`Opx^1{4`εq, (2.14) ahol C₁, C₂ explicit módon adott konstansok.

Pétermann [24, Th. 1] a (2.14) maradékát Opx^1{4q-re javította. Cao és Zhai [7, Th. 1, 2] RH mellett megmutatták, hogy ez Opx3728{15469`εq ésΩpx^1{6q.

2.5. Lnko-összegfüggvények

2.5.1. Lnko-összegfüggvény

Az lnko-összegfüggvény (gcd-sum function, Pillai’s function) így definiált:

Ppnq “

n

ÿ

k“1

pk, nq.

Itt Ppnq multiplikatív és minden n P N esetén az p1, nq, . . . ,pn, nq értékek számtani közepe

Apnq:“ Ppnq

n “ÿ

d|n

φpdq

d “τpnqź

p^ν||n

ˆ

1´ν{pν`1q p

˙

, (2.15)

ami „közel van” τpnq-hez.

A Ppnqfüggvény tulajdonságait sok szerző vizsgálta, lásd az én [37] survey cikkemet.

A következő eredményem azApnqfüggvény négyzetes momentumára vonatkozik. Legyen α₄ a τ₄pnq Piltz osztóproblémában fellépő kitevő. Ismert, hogy α₄ ď 1{2 (Hardy és Littlewood) és az a sejtés, hogyα₄ “3{8.

2.5.1. Tétel (Tóth [37, Th. 1]). i) Minden εą0-ra ÿ

nďx

Apnq² “xpC₁log³x`C<sub>2</sub>log<sup>2</sup>x`C₃logx`C<sub>4</sub>q `Opx^1{2`εq, (2.16) ahol

C₁ “ 1 π²

ź

p

ˆ 1` 1

p³ ´ 4 ppp`1q

˙ ,

és C₂, C₃, C₄ explicit konstansok.

ii) Tegyük fel, hogy α₄ ă1{2. Akkor (2.16) hibatagja Opx^1{2δpxqq, ahol δpxq-et (1.3) definiálja.

iii) Ha RH igaz, akkor (2.16) hibatagja Opx^{p2´α4q{p5´4α4q}λpxqq, ahol λpxq:“exppplogxq^1{2plog logxq¹⁴q.

2.5.2. Megjegyzés. LegyenMpxq “ř

nďxµpnqa Mertens-függvény. Az előbbi maradék- tag az Mpxq !?

x λpxq becslés következménye, ami az eddigi legjobb, és Soundararajan (2009) eredménye. Analitikus módszerrel Zhang és Zhai [60, Th. 1] általánosították a (2.16) képletet ř

nďxApnq^k esetére, ahol k ě 2 egész szám, de a k “ 2-re vonatkozó maradéktagot nem javították.

2.5.2. Exponenciális lnko-összegfüggvény

A [33] cikkemben bevezettem a P^peqpnq “

n

ÿ

j“1 κpjq“κpnq

pj, nq_peq,

függvényt, ahol pj, nqpeq a j és n legnagyobb közös exponenciális osztója. Ez a Pillai- függvény exponenciális megfelelője. AP^peqpnqfüggvény multiplikatív és mindenp^ν (ν ě1) prímhatványra

P^peqpp^νq “

ν

ÿ

t“1

p^pt,νq “ÿ

d|ν

p^dφpν{dq.

2.5.3. Tétel (Tóth [33, Th. 3]).

ÿ

nďx

P^peqpnq “C4x²`Opxplogxq^5{3q, (2.17) ahol C₄ egy explicit konstans.

2.5.4. Tétel (Tóth [33, Th. 4]).

lim sup

nÑ8

P^peqpnq

nlog logn “ 6

π²e^γ. (2.18)

Itt (2.18) egyszerű következménye, hogy (2.17)-ben a maradék Ωpxlog logxq. Péter- mann [24, Th. 2] igazolta, hogy ez a maradék Ω_˘pxlog logxq.

2.5.3. A (mod n) reguláris egészekkel definiált lnko-összegfüggvény

Azt mondjuk, hogy a k P Z szám reguláris (mod n), ha létezik olyan x P Z szám, hogyk²x”k (mod n), azazpk a Zn maradékosztálygyűrű egy Neumann-reguláris eleme.

LegyenReg_n “ tk : 1ďk ďn,k reguláris (mod n)u.

A [36] dolgozatomban bevezettem a

Prpnq:“ ÿ

kPReg_n

pk, nq

függvényt, amely multiplikatív és mindennP Nesetén Prpnq “nź

p|n

ˆ 2´ 1

p

˙

“2^ωpnqnź

p|n

ˆ 1´ 1

2p

˙

. (2.19)

2.5.5. Tétel (Tóth [36, Th. 2]).

ÿ

nďx

Prpnq “ x²

2ζp2qpK₁logx`K<sub>2</sub>q `Opx^3{2δpxqq, (2.20) ahol K₁ és K₂ explicit konstansok és δpxq-et (1.3) definiálja.

Ha RH igaz, akkor (2.20) hibatagjaOpxp7´5θq{p5´4θqηpxqq, aholθ a Dirichlet osztóprob- léma kitevője és ηpxq:“exppBplogxqplog logxq^´1q (B ą0 egy konstans).

2.5.6. Tétel (Tóth [36, Th. 1]). A Prpnq minimális nagyságrendje 3n{2, logpPrpnq{nq maximális nagyságrendje pedig log 2 logn{log logn.

Zhang és Zhai [59] rámutattak arra, hogy (2.20) hibatagja szoros kapcsolatban van a négyzetmentes osztóproblémával. Használva Baker [2] eredményét (lásd Bevezetés) igazolták, hogy RH mellett a hiba Opx^15{11`εq.

2.6. Ramanujan-összegek súlyozott átlagai

Alkan [1] a ckpjq Ramanujan-összegek Srpkq:“ 1

k^r`1

k

ÿ

j“1

j^rckpjq prPNq (2.21)

súlyozott átlagait vizsgálta és igazolta, hogy minden k, rPNesetén S_rpkq “ φpkq

2k ` 1 r`1

tr{2u

ÿ

m“1

ˆr`1 2m

˙

B_2mź

p|k

ˆ 1´ 1

p^2m

˙

, (2.22)

ami az

ÿ

kďx

Srpkq “

˜ 3

π² ` 1 r`1

tr{2u

ÿ

m“1

ˆr`1 2m

˙ B_2m ζp2m`1q

¸

x`Oplogxq aszimptotikához vezet, ahol Bm (mě0) a Bernoulli-számok.

A [43] cikkemben (2.22) egy egyszerűbb bizonyítását adtam és igazoltam a következő új azonosságokat:

2.6.1. Állítás (Tóth [43, Prop. 2, 4, 5]). Minden kP N-re 1

k

k

ÿ

j“1

plogjqc_kpjq “ Λpkq ` ÿ

d|k

µpdq

d logpd!q, (2.23)

1 φpkq

k

ÿ

j“1

plog Γpj{kqqc_kpjq “ 1 2

ÿ

p|k

logp

p´1´ log 2π

2 pk ě2q, (2.24)

1 2^k

k

ÿ

j“0

ˆk j

˙

ckpjq “ ÿ

d|k

µpk{dq

d

ÿ

`“1

p´1q<sup>`k{d</sup>cos<sup>k</sup>p`π{dq (2.25) ahol Λ a von Mangoldt-függvény, Γ pedig a Gamma-függvény.

2.7. Többismeretlenes kvadratikus kongruenciák megol- dásszáma

Legyen k P N, n P Z és jelölje N_kpn, rq az x²₁ ` ¨ ¨ ¨ `x²_k ” n (mod r) kvadratikus kongruencia inkongruens megoldásainak számát. Azr ÞÑNkpn, rqfüggvény multiplikatív.

Jólismert, hogy har“p^segy prímhatvány, akkorN_kpn, p^sqmegadható a Gauss- és Jacobi- összegekkel. Kevésbé ismert az, hogy hak páros ésr páratlan, akkor N_kpn, rqkifejezhető a cqpnq Ramanujan-összegekkel. Továbbá, ha k páratlan, r páratlan és pn, rq “ 1, akkor N_kpn, rq felírható a Möbius-függvény és a Jacobi-szimbólum segítségével.

A [45] dolgozatomban rövid, közvetlen bizonyítását adtam ezeknek az azonosságok- nak és igazoltam a következő aszimptotikus képleteket, amelyek tudomásom szerint nem szerepelnek az irodalomban.

2.7.1. Tétel (Tóth [45, Prop. 28]).

ÿ

rďx

N₁p0, rq “ 3

π²xlogx`cx`Opx^2{3q, ahol c“ _π³2

´

3γ ´1´^2ζ

1p2q ζp2q

¯ .

2.7.2. Tétel (Tóth [45, Prop. 30]).

ÿ

rďx

N1p1, rq “ 6

π²xlogx`c1x`Opx^1{2δpxqq, ahol c₁ “ _π⁶2

´

2γ´1´^{log 2}₂ ´^2ζ_ζp2q^1p2q

¯

és δpxq-et (1.3) definiálja. Ha RH igaz, akkor a maradék Opx^4{11`εq.

2.7.3. Tétel (Tóth [45, Prop. 34]).

ÿ

rďx

N₂p0, rq “ π

8Gx²`Opx^547{416plogxq^26947{8320q ahol G a Catalan-állandó.¹

Itt azN1p0, rq-re vonatkozó aszimptotika az (1.1) Dirichlet-képlet megfelelője,ř

nďxN1p1, rq a négyzetmentes osztóproblémával kapcsolatos, míg ř

nďxN₂p0, rq a Gauss-féle körprob- léma analógja.

2.8. Véges Abel-csoportok részcsoportjainak száma

A véges Abel-csoportok részcsoportjai számának vizsgálata visszavezethető ap-csoportokra.

A részcsoportok számára különböző formulákat adtak Delsarte (1948), Yeh (1948), Sho- kuev (1972), Bhowmik (1996) és mások. Lásd Butler [6] monográfiáját. Ugyanakkor, igen körülményes alkalmazni ezeket a képleteket még a kevés generálóelemmel rendelkező p-csoportok esetén is, és nehéz meghatározni a megfelelő Hall-polinomok együtthatóit.

Egyszerűbb a helyzet a kommutatív p-csoportok ciklikus részcsoportjai számára nézve.

Abel-féle p-csoportok helyett én a G:“Zn1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆZnk csoportokat vizsgáltam, ahol n₁, . . . , n_ktetszőleges pozitív egészek. Jelöljespn₁, . . . , n_kqéscpn₁, . . . , n_kqaGösszes rész- csoportjának, illetve a ciklikus részcsoportjainak a számát. Ezek k-változós multiplikatív függvények.

2.8.1. Tétel (Tóth [40, Th. 1]). Ha n1, . . . , nkP N, akkor cpn₁, . . . , n_kq “ ÿ

d1|n1,...,dk|nk

φpd1q ¨ ¨ ¨φpdkq

φprd₁, . . . , d_ksq. (2.26) Az spn₁, . . . , n_kqfüggvényre nem adható ilyen egyszerű képlet és nehéznek tűnik ezen függvények aszimptotikus tulajdonságainak a vizsgálata tetszőleges k esetén. A k “ 2 és k “ 3 speciális esetekkel foglalkozom a következő szakaszokban. Az ř

m,nďxspm, nq összegre vonatkozó aszimptotika a 3.4 Szakaszban szerepel.

1Jobb maradéktag a Opx^2165{1648q, ami következik Bourgain és Watt [4] eredményéből. Lásd a Beve- zetést.

2.8.1. A Z

ˆ Z

csoportok

A [44] cikkemben aZ^mˆZⁿcsoportok részcsoportjainak a következő reprezentációját adtam. A bizonyítás a Goursat-lemmát használja. Minden m, nPNesetén legyen

J_m,n :“

!

pa, b, c, d, `q PN⁵ :a|m, b|a, c|n, d|c,a b “ c

d, ` ď a b, gcd

´

`,a b

¯

“1 )

. (2.27) Ha pa, b, c, d, `q PJm,n, akkor legyen

Ka,b,c,d,`:“

!´

im a, i`n

c `jn d

¯

: 0ďiďa´1,0ďj ďd´1 )

. (2.28)

2.8.2. Tétel(Tóth [44, Th. 3.1]). i) Az pa, b, c, d, `q ÞÑ K<sub>a,b,c,d,`</sub> megfeleltetés egy bijek- ció a J_m,n halmaz és ZmˆZn részcsoportjai halmaza között.

ii) K_a,b,c,d,`»Zpb,dqˆZra,cs, ahol pb, dq | ra, cs.

iii) A K_a,b,c,d,` részcsoport rendje ad és exponense ra, cs.

iv) A K_a,b,c,d,` részcsoport akkor és csak akkor ciklikus, ha pb, dq “1.

2.8.3. Tétel (Tóth [44, Th. 4.1]). Mindenm, nPN esetén ZmˆZn részcsoportjainak a száma

spm, nq “ ÿ

i|m,j|n

pi, jq “ ÿ

t|pm,nq

φptqτ

´m t

¯ τ

´n t

¯

. (2.29)

A [31, Prop. 3.2] dolgozatban igazoltuk, hogy Zm ˆZn (m, n P N) részcsoportjai exponenseinek az összegeσpmqσpnq. Tekintsük azm “n esetet. JelöljeAEpnqaZnˆZn

részcsoportjai exponenseinek a számtani közepét.

2.8.4. Tétel (Tărnăuceanu és Tóth [31, Prop. 3.3]).

ÿ

nďx

AEpnq “ C

2x²`O`

xlog³x˘

, (2.30)

ahol

C :“ź

p

ˆ 1´1

p

˙ 8

ÿ

ν“0

pp^ν`1´1q²

p^2νpp<sup>ν`2</sup>`p<sup>ν`1</sup>´ p2ν`3qp`2ν`1q.

2.8.2. A Z

ˆ Z

ˆ Z

csoportok

2.8.5. Tétel (Hampejs és Tóth [13, Th. 2.1]). Ha m, n, r P N, akkor a Γ :“ Zmˆ ZnˆZr részcsoportjai így reprezentálhatók:

(i) Legyenek a, b, cPN úgy, hogy a|m, b|n, c|r.

(ii) Legyen A :“gcdpa, n{bq, B :“gcdpb, r{cq, C:“gcdpa, r{cq.

(iii) Tekintsük

X:“ ABC

gcdpapr{cq, ABCq. (iv) Legyen s:“at{A, ahol 0ďtďA´1.

(v) Legyen

v :“ bX

Bgcdpt, Xqw, ahol 0ďwďBgcdpt, Xq{X´1.

(vi) Határozzuk meg az pr{cqu”rvs{pbcq (mod a) lineáris kongruencia egy u₀ megol- dását.

(vii) Legyen u:“u₀`az{C, ahol 0ďz ďC´1.

(viii) Tekintsük:

Ua,b,c,t,w,z :“ xpa,0,0q,ps, b,0q,pu, v, cqy

“ tpia`js`ku, jb`kv, kcq: 0ďiďn{a´1,0ďj ďn{b´1,0ďk ďn{c´1u. AkkorUa,b,c,t,w,z egymnr{pabcq-rendű részcsoportjaΓ-nak. Mi több, bijektív megfelelte- tés van az (i)-(viii) feltételekkel meghatározott pa, b, c, t, w, zq vektorok és Γ részcsoportjai között.

Következményként adódik:

2.8.6. Tétel (Hampejs és Tóth [13, Th. 2.2]). Ha m, n, r PN, akkor ZmˆZnˆZr

részcsoportjainak a száma

spm, n, rq “ ÿ

a|m, b|n, c|r

ABC

X² PpXq, (2.31)

a 2.8.5 Tétel jelölései szerint, ahol Ppnq az lnko-összegfüggvény.

Megjegyzem, hogy a [31, Cor. 2.2] cikkben igazoltuk, hogy aZp^λ1 ˆZp^λ2 ˆZp^λ3 (λ₁ ě λ₂ ěλ₃ ě1) p-csoport részcsoportjainak a száma _pp2´1q^Fppq2pp´1q, ahol

Fppq “pλ₃`1qpλ<sub>1</sub>´λ<sub>2</sub>`1qp^λ2`λ3`5`2pλ<sub>3</sub>`1qp^λ2`λ3`4´2pλ₃ `1qpλ<sub>1</sub>´λ<sub>2</sub>qp<sup>λ2`λ3`3</sup>

´2pλ3`1qp<sup>λ2`λ3`2</sup>` pλ3`1qpλ1´λ2´1qp<sup>λ2`λ3`1</sup> ´ pλ1`λ2´λ3`3qp<sup>2λ3`4</sup>

´2p^{2λ3`3</sup>` pλ₁`λ<sub>2</sub>´λ<sub>3</sub>´1qp<sup>2λ3`2}` pλ<sub>1</sub>`λ₂`λ<sub>3</sub>`5qp²`2p´ pλ<sub>1</sub>`λ₂`λ<sub>3</sub>`1q.

A fejezet utolsó eredménye a Z³n csoport részcsoportjai számára vonatkozik, jelölés:

spnq:“spn, n, nq.

2.8.7. Tétel (Hampejs és Tóth [13, Th. 2.3]).

ÿ

nďx

spnq “ x³

3 pAplogx`2γ´1q `Bq `Opx<sup>2`θ`ε</sup>q, (2.32) ahol A, B explicit konstansok és θ az (1.1) Dirichlet-féle osztóprobléma kitevője.

3. fejezet

Többváltozós multiplikatív

függvényekre vonatkozó eredmények

3.1. k-anként relatív prím komponensű szám r -esek

Ismert, hogy a relatív prím komponensű szám r-esek (r ě 2) aszimptotikus sűrű- sége 1{ζprq. Jelölje %_r,2pn₁, . . . , n_rq azon pn₁, . . . , n_rq P N^r szám r-esek karakterisztikus függvényét, amelyekre n₁, . . . , n_r páronként relatív prímek.

A [32] cikkemben induktív módszerrel igazoltam, hogy ÿ

n1,...,nrďx

%_r,2pn₁, . . . , n_rq “ d_r,2x^r`O`

x^r´1plogxq^r´1˘

, (3.1)

ahol d_r,2 “ś

p

´ 1´¹_p

¯r´1´

1`^r´1_p

¯

a megfelelő sűrűség.

Általánosabban, legyen %_r,kpn₁, . . . , n_rq a k-anként relatív prím komponensű szám r- esek karakterisztikus függvénye, ahol r ě k ě 2 adott egészek. A (3.1) formulámat általánosítva és a módszeremet használva Hu [15] igazolta, hogy

ÿ

n1,...,nrďx

%_r,kpn₁, . . . , n_rq “d_r,kx^r`O`

x^r´1plogxq^δr,k˘

, (3.2)

ahol d_r,k a megfelelő aszimptotikus sűrűség (explicit módon adott) és δ_r,k “max

"ˆ r´1

j

˙

: 1ďj ďk´1

* .

Más szerzők, például de Reyna és Heyman (2015), J. L. Fernández és P. Fernández (2015) is foglalkoztak hasonló kérdésekkel.