* STATISZTIKAI IRODAL'MI FIGYELÓ
azaz az invertálandó A matrix első so- rában álló elemek összege egyenlő a T matrix első sorában levő elemek össze—
,! gének tu-szeresével.
' Általánosságban az i-edik sornak a kontrollját az alábbi összefüggés segítsé—
gével végezhetjük el. ,
n n n "
2 al'jztli Z iif—PÉNZ taj-i' . . . min-Eli].
jul fel fel ;:1
A T segéd matrix ti] elemeinek isme—
retében a C inverz matrix cí] elemeit az
alábbi két képlet alapján tudjuk meg- határozni:
"
!
' 2 aik cik
lesi—% 1
tii l3/
n
2 tik "ki
kai—t 1 el'): _.
1
c. :: _—
s, [1
tíi
Először c,,n értékét tudjuk meghatározni a /3/ alatti első formulából, majd ennek ismeretében c,,_l n—et a /3/ alatti máso—
dik formulából és így tovább cm —ig. Ez- zel megkaptuk a keresett inverz matrix n-edik, tehát utolsó oszlopában álló ele—
meket. A számítások helyességét most is célszerű ellenőrizni mindjárt az utolsó oszlop meghatározása után. Ellenőrzés—
ként az A matrix bármelyik sorát fel- használhatjuk. Ismeretes ugyanis, hogy AC : E, ahol E az egységmatrixot je- löli. Ha tehát a C matrix most kiszámí- tott oszlopát skalárisan szorozzuk az A matrix i—edik sorával, eredményül nullát kell kapjunk, ha t' 4: n, ha viszont 1 : n, azaz A utolsó sorát szorozzuk skalárisan a C utolsó oszlopával, eredményül egyet kell kapnunk.
A C matrix n—edik oszlopa ismeretében most az n—l-edik oszlopában álló elemek (kiszámítására térhetünk át ugyancsak a l3/ képletekre támaszkodva. Majd telje—
sen hasonlóan mint az n—edik oszlop ese—
tében, ellenőrizhetjük számításaink he—
;lyességét és végül analóg módon, szuk—
cesszív lépésekkel eljutunk a C matrix összes elemeihez. Minthogy az A matrix szimmetrikus volt, és szimmetrikus mat- rix inverze is mindig szimmetrikus, nem szükseges C összes 11? számú elemét meg- határozni, hanem csak a főátlóban és az efölött álló elemeket, hiszen ha például Di] már ismert, e],- is az, mert a szim- metria miatt cU-zcji.
1171
Szerzők a módszer alkalmazását egy konkrét példán is bemutatják, amelynél az A matrix 4X4-es méretű és elemei 5 tizedesjegyre adottak. A módszer az inverz matrix majdnem minden elemét négy, egyeseket öt tizedesjegyre ponto- san szolgáltatta.
(Ism.: Schnell Lászlóné)
SMETS, HENRI :
MÓDSZER A TARTÓS JAVAK ÉLETTARTAMÁNAK KISZÁMTTÁSÁRA
(Une méthode de calcul de la durée de vie des biens durables. Application aux véhicules a deux roues.) —— Canters Economigues de Bruxelles, 1962. ápr. 307—824. p.
A cikk célja kettős: egyrészt matema—
tikai modellt dolgoz ki a tartós fogyasz—
tási cikkek élettartamának meghatáro—
zására, másrészt e modellt a tartós fo—
gyasztási cikkek egy konkrét csoportja, a kétkerekű járművek élettartamának kiszámítására alkalmazza.
A matematikai modell meghatározá- sánál szerző a következő feltételezések—
ből indul ki: az eladott javak minősége a vizsgált időszak folyamán nem válto—
zik, továbbá a fogyasztás független a rendelkezésre álló javak mennyiségétől és a vásárlás időpontjától. .
A modell kiinduló függvénye F(t) to- vábbélési függvény, amely megadja a 0 időpontban vásárolt javakból a t idő—
pontban még használatban levők ará- nyát. F(t) monoton nem növekvő függ—
vény, melynek értéke 1, ha t : O, és 0, ha tzoo. Az Rt) görbe alatti terület
oo
T:fF(t)dt III
0
az átlagos élettartam.
Ha 9 (0), 9 (l), ..., G (t)-vel jelöljük a O,1, ..., t időpontokban eladott javak mennyiségét, és feltételezzük, hogy a 0 időpont előtt eladás nem történt, akkor a t időpontban használatban levő javak mennyisége P (t) a következő lesz:
! !
P(t) : Z F(t—t') OMSZ om /2/
ize-0 tao
vagy, ha az eladások időpontja az év fo—
lyamán eloszlik:
!:
P(t):fF(t—u)g(u)du [3/
!;
11172
ahol a (u) az időegységre eső vásárlás mennyisége. A Laplace-operatorokra vo—
natkozó konvoluciós tétel alapján
oo
fpma
CX)
T: fF(t)dtzO—————m [4]
O famdt
0
Azaz az átlagos élettartam kiszámítható, ha elég hosszú (elvileg végtelen) időtar—
tamra ismerjük az eladott és a ren—
delkezésre álló mennyiséget. Minthogy azonban ilyen adatokkal általában csak rövidebb időszakokra vonatkozóan ren- delkezünk, kevésbé pontos, közelítő meg- oldáshoz kell folyamodni.
A közelítő megoldások során a tovább- élési függvényt egy— vagy többparamé—
"keres analitikus függvény formájában ír—
juk fel, melyek eleget tesznek a következő feltételeknek:
F*(t, m,5,7,...)20 t)0
F*(0, a,6,7,...)21 F*(w,a,5,'y,...)—:O
W
Bt * fől
oo
fF*(t,m,5,-y, ...)d't4oo 0
Az a, 5, y, . . . paraméterek meghatározása többiéle módon lehetséges, például így a legkisebb négyzetek módszerével és li—
neáris differenciálegyenletek alapján. A szerző részletesen a következő, egypara- méteres függvénnyel foglalkozik:
P (a a) : e—at 16/
Ez esetben az átlagos élettartam
oo
1
Tzfeatdtz— ;7/
a
Az exponenciális továbbélési függvény közgazdaságilag azt jelenti, hogy a basz—
nálaton kívül helyezett javak aránya füg- getlen a használatban levő javak életko—
tától.
Aza paraméter meghatározását az a 13/
függvényt az idő szerint deriválíuk és behelyettesítjük a /6/ függvényt.
Ekkor kapjuk:
d
aP(t)zt]t——————— /s/
STATISZTIKAI mom szavam
illetve
!; !; t ,
afP(u)du : [ gu(u)du — P(u) I [9]
to t., én
ha P (t) és a (t) adatok to—ü interval- lumra ismeretesek. Ha ez az intervallum n egymást követő év, akkor
to-l—n 1
l
af P(u)du * 2 G(toi- ———H')—
:, is?)
— P(t0 4— n) 4- P(to) [10]
1
ahol G(toJr —2— ti) a (tom') és (ta'-Pil— l)
időpontok közötti vásárlások összege.
1 Mivel T : -— ,
a
lyi-n
Ill!
——f P(u)du
Taj-1112 OGG—k;-- sü— P(to—an-Pug]
i———0
A számláló az átlagos állomány mennyi- sége a vizsgált időszak folyamán, a ne—
vező pedig az ugyanezen időszak alatt használaton kívül helyezett mennyiség éves átlaga.
Mivel a P (t) értékek általában csak évenként egyszer állapíthatók meg, a Émiáló kromológlkus átlaggal közelít—
tő.
A llll formula által adott átlagos élet—
tartam annál megbízhatóbb minél hosz—
szabb a rendelkezésre álló adatai:; az át—
lagos élettartamhoz viszonyítva és minél kevésbé változók az adawk. Ha az eladá—
sok évi mennyisége, növekvő, akkor félő, hogy a számított átlagos időtartam 5—30 százalékkal magasabb lesz a reálismál.
A módmer alkalmazására a szerzo szá- mításokat végzett :; kétkerekű járművek (kerékpárok, segédmotoros kerékpámk, rahogók és motorkerékpárok), átlaga; élet—
tartamára vonatkozóan, azt IMS—1950. évi hakim adatok Mján.— A számítások
főbb eredményeit lásd az lms. Mm.
" A különböző időszakokra vonatkozó szá- ra részben Minőségi változásuk, részben a rendelkezése álló adatok tar- talmi változása miatt volt szükség.
STATISZTIKAI mODALMI FIGYELÓ
Számított
%dggáém élettartam
(éV)
Kerékpárok 1 949 — 1 959 9,9
*Segédmotoros
kerékpárok 1949 — 1952 2,56
1953 — 1957 8 1949 —— 195 7 6,6
lobogók 1954-1957 11
1955 — 1957 s Iotorkerékpárok 1951 —— 1957 SA
1949—1957 10,5
(Ism.: Szilágyi György)
STONE, RICHARD :
AZ IDÉNYSZERÚSÉG
KIEGYENLfTÉSÉNEK MODELLJEI
(Modele wyrównywania sezonowoscl.) ——
Przeglad Statystyczny. 1962. 2. sz. IIS—134. p.
Az idényszerű ingadozások kérdése ál—
landóan visszatérő probléma az idősorok elemzése esetén. Többféle módszer isme—
retes a normális szezonális mozgásnak a konjunkturális változásoktól való külön—
választására. A gyakorlat szempontjából .az adott helyzetnek legjobban megfelelő módszer kiválasztása a nehéz feladat. A cikk általános ,,strate'giát" ismertet az idényszerű ingadozások kiküszöbölésére alkalmazott módszerek közötti választás
megkönnyítésére.
Ezt a módszert a következő elvek 'lemzik:
1. Minden modellnek, amelyre az elem—
zés támaszkodik stochasztikus megfonto—
lások képezik az alapját. Az általános fel—
tételezések alapján a kiválasztott módszer segítségével megállapíthatók az idény—
szerűségi állandók és a többi paraméterek és kidolgozhatók a ,,lényegességi próbák".
2. A vizsgálatoknál a szezonalitás leírása az első feladat, csak ez után kerülhet sor az elemzésre. Az első feladat annak meg-
állapítása, hogy az idősorban:
a) nincsen idényszerűség, b) állandó az idényszerűség,
c) az idényszerűség rendszeresen válto-
"zik.
Ebben a kérdésben a változók regresz—
szióanalízise és a megfelelő kovariancia—
elemzés segítségével lehet dönteni.
3. A vizsgált idősor az elemzés előtt át—
alakítást igényelhet. A szezonalitásra vo- natkozó hipotézis néha indokoltabb a Vi—
szonyszámok, mint az abszolút értékek alapján. Ilyen esetben a vizsgálatban sze- replő függő Változók a megfigyelt érté—
kek logaritmusai és nem maguk a megfi—
gyelt értékek. A becslés hatékonyságát inéha nagymértékben növeli, ha az eredeti settlement annak elsőmddifferenciálhánya—
7 Statisztikai Szemle
jel—
1173
dosát vesszük figyelembe. Az ilyen mód—
szer gyakran jó eredményre vezet, külö—
nösen akkor, ha gazdasági idősorokról van szó. A módszer megválasztását azonban a megfigyelt adatok száma is nagymértékben befolyásolja.
4. A szezonalitás kiegyenlítése céljából olyan eljárás alkalmazása kívánatos, amely az egyes időszakokban ható külön—
leges tényezőket nem veszi figyelembe.
így például az 1926. évi lengyelországi általános sztrájk rendellenes változásokat okozott a gazdaságstatisztikai idősorokban, az 1926. évi adatok tehát nem adhatnak megfelelő képet az idényszerű változások—
ról. Ha sok év adatai állnak rendelke- zésre, akkor az ilyen zavaró tényezők ha—
tása nagymértékben csökken. A gyakor—
latban rendszerint csak egy generáció idő- szakáról állnak rendelkezésre adatok.
Ezért kívánatos az olyan adatok figyelmen kívül hagyása, amelyeket rendkívüli ese- mények nagymértékben befolyásolták. Ezt a szelektálást azonban nem szabad túl- zásba vinni, mert minden időszak adatait befolyásolja valamely különleges esemény.
A szezonalitás legegyszerűbb modelljé—
nek képletét szerző a következő formában alkalmazza:
ystga*ős*8st:7$*5st ahol:
yst —— a vizsgált tömeg eleme az s idény—
ben és a t esztendőben,
a —— az egész tömeg tényleges átlaga, [53 —- az átlagtól való eltérés azsidény—
ben,
83, —- szóródás, amelyről feltételezzük, hogy átlaga : 0, varianciája pedig állandó.
Ez az egyszerű modell könnyen felírható matrix alakban is, ami bonyolultabb ese—
tekben igen megkönnyíti a megoldást. Ek- kor
yzia$SB*8:S(ima-l-B)—i—ezSV-l—s
ahol:
a —— egyenlő az /1/ képletben szereplő y-nal,
in'm —- egységvektorok,
y, (3, e — ysg, 193 illetőleg vektorok,
S — man fokú matrix, amely az m fokú egységmatrixot n—szer foglalja magában.
est elemből álló
A tanulmány az ajánlott módszer alkal—
mazását gyakorlati példán is bemutatja.
Erre a célra a lengyel háztartásstatisztika 1948—1954. évi adatait használja fel.
(Ism.: Andorka Rudolf)
