Sarhan, A. E. – Greenberg, B. G. – Roberts, E.: Módosított "square root” módszer matrix inverz meghatározására

31 170

n (

A n; : § speciális esetben ez a for- mula a szokásos visszatevés nélküli min-—

tavételnél használatos szórásnégyzet becs—

lésre redukálódik.

Bár a közölt szórásformulák a nagy- sággal arányos valószínűségű visszatevés nélküli csoportos mintavételre vonatkoz—

nak, a többlépcsős, illetve rétegezett mintavételre érvényes formulák ezekből már ' könnyűszerrel nyerhetők.

' Egyszerű összehasonlításból kitűnik, hogy a nagysággal arányos valószínűségi mintavételen alapuló becslés általában pontosabb, mint egyenlő valószínűségi mintavétel után alkalmazott hányados-

becslés. _

, (Ism. Éltető Ödön)

SARHAN, A. E. —— GREENBERG, 8. G. "

ROBERTS, E.:

MÓDÓSITOTT ,,soUARE noe?" MÓDSZER MA'rmx lNVERZ MEGHATÁROZÁSÁRA

(modified souare root method of matrix ggel-Sion.) — Technometrlcs. 1962. 2. sz. 282—

. p.

Egy matrix inverzének— a meghatáro- zása az inverz matrix eredeti definiciója alapján igen hosszadalmas és fáradsá- gos számolási munkával történhet már 4X4-es matrixok esetében is. Éppen ezért számos olyan indirekt módszert dolgoztak ki, amellyel, ha elektronikus számológép áll grendelkezésünkre, ele- gendő pontossággal meghatározható akár

100le méretű matrix inverze is.

Szerzők cikkükben a ,,sguare root"—nak nevezett invertálási módszer egy válto—

zatát dolgozták ki, amely speciális típusú matrixok invertálására, ha a matrix rendje nem túlságosan nagy, kitűnően alkalmazható elektronikus számológép igénybevétele nélkül. A módszer még ké- nyelmesen, viszonylag kevés számolási munkával alkalmazható lOXlO—es mat- rixok invertálására.

Mint említettük a módszer speciális matrix invertálására alkalmas, nevezete- sen az invertálandó matrixnak szimmet- rikusnak és pozitív definitnek kell lennie.

így alkalmazási területe elsősorban a többváltozós regressziós elemzés. A több- változós regressziós elemzésnél ugyanis szükséges az ún. korrelációs matrix in—

verzéneki meghatározása, amely matrix mindig szimmetrikus és pozitív definit.

Minthogy általában regressziós elemzé- seknél a vizsgálatba bevont változók szama nem igen szokta meghaladni a 10—

el, következik, hogy ezen a területen igen

hasznosan lehet felhasználni ezt az inver-

tálási módszert. ,

Az alábbiakban, a felhasznált összerog—

gések bizonyítása nélkül, ezta módszert kívánjuk ismertetni.

Jelölje A az invertálni kívánt szim—

metrikus pozitív definit matrixot. legyen A 100: méretű, és jelölje i—edik so—

rának j—edik elemét: aij.

A szimmetria miatt au zaj]. A fel- adat A inverzének — amit a továbbiak- ban C-vel, elemeit cif—vel jelölünk —-— a

meghatározása.

A ci, elemek meghatározása előtt egy segéd matrixot kell konstruálni, amely háromszög alakú, tehát csak a föátlóba'n és az efelett álló sorokban, illetve osze- lopokban vannak nullától különböző ele- mek a fő átló alatti elemek mind zéru—

sok. Jelöljük ezt a segéd matrixot T-Wel.

'! tehát, ha elemeit ti,-vel jelöljük, ilyen szerkezetű

tu tu tra-" am ,

o tn z,,... i.,,

0 0 ra,... ta"

r: o o . o .

6 o o 4",

T elemeinek meghatározása az A : T'T

összefüggésből történik, ahol 'I" a T mat- rix transzponáltja. T elemeinek megha—

tározását soronként kell végrehajtani.

Minden újabb elem kiszámítása a már ismert elemekre épül. A tü, illetve [tu elemeket az alábbi képletek segitségév

számíthatjuk ki: ,

5—1

Igaz!/air— Ella RLZ—u,"

kul

1 i—l 93:

'iig "*[aijz Z iratra) ?:

kul

Ezen két rekurzív képlet alapján elö- ször til-et, majd tiz—öt, ..., végül tln'et határozzuk meg, tehát a T matrix első sorát. Ha ezeket kiszámítottuk, rögtön el—

lenőrizhetjiik is számításainkat. Ugyanis fennáll az az összefüggés, hogy ' '

;" n _ :

!142 'I]: 201], . 12!

fal ;:1

i'.

* STATISZTIKAI IRODAL'MI FIGYELÓ

azaz az invertálandó A matrix első so- rában álló elemek összege egyenlő a T matrix első sorában levő elemek össze—

,! gének tu-szeresével.

' Általánosságban az i-edik sornak a kontrollját az alábbi összefüggés segítsé—

gével végezhetjük el. ,

n n n "

2 al'jztli Z iif—PÉNZ taj-i' . . . min-Eli].

jul ^fel fel ;:1

A T segéd matrix ti] elemeinek isme—

retében a C inverz matrix cí] elemeit az

alábbi két képlet alapján tudjuk meg- határozni:

"

!

' 2 aik cik

lesi—% 1

tii l3/

n

2 tik "ki

kai—t 1 el'): _.

1

c. :: _—

s, [1

tíi

Először c,,n értékét tudjuk meghatározni a /3/ alatti első formulából, majd ennek ismeretében c,,_l n—et a /3/ alatti máso—

dik formulából és így tovább cm —ig. Ez- zel megkaptuk a keresett inverz matrix n-edik, tehát utolsó oszlopában álló ele—

meket. A számítások helyességét most is célszerű ellenőrizni mindjárt az utolsó oszlop meghatározása után. Ellenőrzés—

ként az A matrix bármelyik sorát fel- használhatjuk. Ismeretes ugyanis, hogy AC : E, ahol E az egységmatrixot je- löli. Ha tehát a C matrix most kiszámí- tott oszlopát skalárisan szorozzuk az A matrix i—edik sorával, eredményül nullát kell kapjunk, ha t' 4: n, ha viszont 1 : n, azaz A utolsó sorát szorozzuk skalárisan a C utolsó oszlopával, eredményül egyet kell kapnunk.

A C matrix n—edik oszlopa ismeretében most az n—l-edik oszlopában álló elemek (kiszámítására térhetünk át ugyancsak a l3/ képletekre támaszkodva. Majd telje—

sen hasonlóan mint az n—edik oszlop ese—

tében, ellenőrizhetjük számításaink he—

;lyességét és végül analóg módon, szuk—

cesszív lépésekkel eljutunk a C matrix összes elemeihez. Minthogy az A matrix szimmetrikus volt, és szimmetrikus mat- rix inverze is mindig szimmetrikus, nem szükseges C összes 11? számú elemét meg- határozni, hanem csak a főátlóban és az efölött álló elemeket, hiszen ha például Di] már ismert, e],- is az, mert a szim- metria miatt cU-zcji.

1171

Szerzők a módszer alkalmazását egy konkrét példán is bemutatják, amelynél az A matrix 4X4-es méretű és elemei 5 tizedesjegyre adottak. A módszer az inverz matrix majdnem minden elemét négy, egyeseket öt tizedesjegyre ponto- san szolgáltatta.

(Ism.: Schnell Lászlóné)

SMETS, HENRI :

MÓDSZER A TARTÓS JAVAK ÉLETTARTAMÁNAK KISZÁMTTÁSÁRA

(Une méthode de calcul de la durée de vie des biens durables. Application aux véhicules a deux roues.) —— Canters Economigues de Bruxelles, 1962. ápr. 307—824. p.

A cikk célja kettős: egyrészt matema—

tikai modellt dolgoz ki a tartós fogyasz—

tási cikkek élettartamának meghatáro—

zására, másrészt e modellt a tartós fo—

gyasztási cikkek egy konkrét csoportja, a kétkerekű járművek élettartamának kiszámítására alkalmazza.

A matematikai modell meghatározá- sánál szerző a következő feltételezések—

ből indul ki: az eladott javak minősége a vizsgált időszak folyamán nem válto—

zik, továbbá a fogyasztás független a rendelkezésre álló javak mennyiségétől és a vásárlás időpontjától. .

A modell kiinduló függvénye F(t) to- vábbélési függvény, amely megadja a 0 időpontban vásárolt javakból a t idő—

pontban még használatban levők ará- nyát. F(t) monoton nem növekvő függ—

vény, melynek értéke 1, ha t : O, és 0, ha tzoo. Az Rt) görbe alatti terület

oo

T:fF(t)dt III

0

az átlagos élettartam.

Ha 9 (0), 9 (l), ..., G (t)-vel jelöljük a O,1, ..., t időpontokban eladott javak mennyiségét, és feltételezzük, hogy a 0 időpont előtt eladás nem történt, akkor a t időpontban használatban levő javak mennyisége P (t) a következő lesz:

! !

P(t) : Z F(t—t') OMSZ om /2/

ize-0 tao

vagy, ha az eladások időpontja az év fo—

lyamán eloszlik:

!:

P(t):fF(t—u)g(u)du [3/

!;