Beruházási modellek jellemz½oi

(1)

& 6 2 1 . $ 3 È / ' 2 . 7 2 5 , , 6 . 2 / $

h7(0(=e6,e6.g/76e*7(59(=e6,)(/$'$72.

È/7$/È126Ë7È6$,$352-(.70(1('=60(17 7(5h/(7e1

3K''RNWRULpUWHNH]pV

&VRUGiV+HOJD

eStWpVNLYLWHOH]pVL7DQV]pN

(2)

Tartalomjegyzék 1

Jelölések 3

1. Bevezet½o 5

1.1. Hálózatok alkalmazása a modellezésben . . . 5

1.2. Beruházási modellek jellemz½oi . . . 6

1.3. Történeti áttekintés . . . 7

1.4. Az épít½oipari gyakorlat . . . 8

1.4.1. Egy felmérés eredményei . . . 9

1.4.2. Piaci helyzet . . . 11

1.5. Típusfeladatok . . . 11

1.5.1. Ütemezési feladat . . . 12

1.5.2. Költségtervezési feladat . . . 12

1.6. A hálótípusok megfeleltetése . . . 14

1.7. Célok megfogalmazása . . . 15

1.7.1. F½o cél . . . 15

1.7.2. Alcélok . . . 15

2. Irodalomkutatás 16 2.1. Hálóstruktúrával összefügg½o problémák . . . 16

2.1.1. Topologikus sorrend meghatározása . . . 16

2.1.2. Hurokkeresés . . . 21

2.1.3. Útvariáns számlálás . . . 23

2.2. Az ütemezési feladat . . . 24

2.2.1. Az alapfeladat ismertetése . . . 24

2.2.2. A feladat általánosításai . . . 26

2.3. A költségtervezési feladat . . . 30

2.3.1. Az alapfeladat ismertetése . . . 30

2.3.2. A maximális folyam algoritmus . . . 32

2.3.3. A feladat általánosításai . . . 33

3. Technológiaváltás lehet½osége a költségtervezési feladatban 35 3.1. Többszörös paraméterek kezelése . . . 35

3.1.1. Az egységesített költséggörbe megkonstruálása . . . 35

3.1.2. A háló megkonstruálása . . . 36

3.1.3. A feladat elemzése . . . 37

3.2. Folyamrendezések módszere . . . 37

3.2.1. A feladat de…niálása . . . 37

3.2.2. Az algoritmus . . . 39

3.2.3. Példa . . . 40

3.3. Folyamelterelés módszere . . . 45

3.3.3. Példa . . . 47

3.4. Független folyamok módszere . . . 50

3.4.3. Példa . . . 52

3.5. Algoritmusok összehasonlítása . . . 55

3.5.1. A futási id½ok összehasonlítása . . . 55

3.5.2. Költségek követése . . . 56

3.5.3. Eredmények értékelése . . . 57

3.5.4. Következtetés . . . 58

4. Az ütemezési feladat naptárasítása 59

(3)

4.1. A feladat de…niálása . . . 59

4.1.1. Primál feladat . . . 61

4.1.2. Duál feladat . . . 62

4.1.3. Eredmény . . . 62

4.2. A hagyományos módszer . . . 63

4.2.2. Példa . . . 64

4.3. Hurokazonosítás módszere . . . 67

4.3.2. Példa . . . 69

4.4. Az algoritmusok összehasonlítása . . . 70

5. A költségtervezési feladat naptárasítása 73 5.1. A feladat de…niálása . . . 73

5.1.1. Primál feladat . . . 73

5.1.2. Duál feladat . . . 74

5.1.3. Eredmény . . . 75

5.2. A logisztikai feladat átdolgozása . . . 76

5.3. Költséghatékonysági vizsgálaton alapuló algoritmus . . . 80

5.3.2. A költséghatékonyság fogalma . . . 82

5.3.4. Példa . . . 88

5.3.5. A megoldás értékelése . . . 90

6. Összefoglaló - tézisek 92 6.1. Technológiaváltás . . . 92

6.1.1. Az egységesített költséggörbe - 1. tézis . . . 92

6.1.2. A kidolgozott algoritmusok - 2. tézis . . . 92

6.2. Naptárasítás . . . 93

6.2.1. Az ütemezési feladat jellemz½oi - 3., 4. tézis . . . 93

6.2.2. Az ütemezési feladat algoritmusa . . . 94

6.2.3. A költségtervezési feladat általánosítása - 5. tézis . . . 94

7. Summary - Thesis 95 7.1. Technological change . . . 95

7.1.1. The integrated cost function - Thesis 1. . . 95

7.1.2. The worked out algorithms - Thesis 2. . . 95

7.2. Calendarization . . . 96

7.2.1. Features of the scheduling - Thesis 3., 4. . . 96

7.2.2. The algorithm of scheduling . . . 97

7.2.3. Generalization of the Time-cost Trade-o¤ problem - Thesis 5. . . 97

8. További kutatási feladatok 98

A disszertációval kapcsolatban megjelent publikációk 99

Irodalomjegyzék 100

De…níciótár 102

(4)

Jelölések

Bevezet½o

A az élek halmaza

N a csomópontok halmaza

n a hálóban szerepl½o csomópontok száma m a hálóban szerepl½o élek száma

ij általános élre történ½o hivatkozás annak kezd½o és végcsomópontjának indexével P(i; j) úti-b½ol j -be

s a háló kezd½ocsomópontja / forrása r a háló végcsomópontja / nyel½oje

H hurok

A⁺ pozitív folyamatid½ovel rendelkez½o élek halmaza A negatív folyamatid½ovel rendelkez½o élek halmaza A⁰ nulla folyamatid½ovel rendelkez½o élek halmaza

ij azij élhez rendelt feladat elvégzéséhez szükséges id½oegységek száma

i azi: csomópont potenciálja

aij rohamid½o

Kaij a rohamid½ohöz tartozó id½oegységre vetített költségszint bij normálid½o

Kbij a normálid½ohöz tartozó id½oegységre vetített költségszint cij költségintenzitás

T átfutási id½o

Irodalomkutatás

H hurokérték

C súlyozott szomszédsági mátrix

top csomópontok topologikus sorrendjének vektora

A^t a topológiai sorrend meghatározásához …gyelembe vett élek halmaza fij az ij élen realizálódó folyam nagysága

AH; NH a H hurok éleinek és csomópontjainak halmaza

Q hurokcsoport

W hurokmentes csoport M szomszédsági mátrix V kapcsolati mátrix t id½obeli változó

V ARi;j az iésj elemek (csomópontok vagy élek) közötti utak száma varij annak mér½oszáma, hogyij él hány útnak része

dij(t) az ij él által reprezentált folyamathoz tartozó naptárvektor

#ij( _i) naptárasított tevékenységid½o

" id½okülönbség

[N;A; rc]b szabad kapacitás háló rcij az ij él szabad kapacitása

gij az ij élen megjelen½o (többlet)folyam

[N;A]e folyam által telített élek kitakarásával kapott maradék háló v minimális vágás élhalmaza

S vágás el½otti csomópontok halmaza R vágás utáni csomópontok halmaza

vágásban lehetséges folyamatid½o módosítás mértéke

(5)

Technológiaváltás (csak ebben a fejezetben)

B azon élek halmaza, melyekre több technológiai variáns van de…niálva

l lassabb technológia fels½o indexe

g gyorsabb technológia fels½o indexe

v technológiaváltás fels½o indexe

e folyamelterelésre szolgáló él paraméterének fels½o indexe x; y; w B halmaz "bels½o" csomópontjai

C(T^k) ak: iterációban kapottT^k átfutási id½ohöz tartozó ütemezés költsége Az ütemezési feladat naptárasítása

p [N; A]digráfban létez½oPj(s; r); j = 1; :::; pútvariánsok száma L[i; j] aPj(s; i); i2Pj(s; r)útvariáns hossza,Lezek gy½ujt½omátrixa F[i; j] aPj(s; i)útvariáns súlyszáma

a leghosszabb útvariáns hossza

!ij várakozási id½o / a várakozással töltött munkanapok száma

q hurokcsoportok száma

Ik aQk hurokcsoportban szükséges iterációk száma az ütemezési feladatban A költségtervezési feladat naptárasítása

j(t) a j csomópontt id½on belüli elérésének minimális költsége P(i; j) feszített úti-b½ol j -be

p [N; A]digráfban létez½oPj(s; r); j= 1; :::; pútvariánsok száma [N^v; A^v] az útvariáns számításhoz de…niált digráf

teij( ij; _i) azij él id½ohatékonysága ceij azij él költséghatékonysága

(6)

1. Bevezet½o

A gazdasági élet egyik alappillére az épít½oipar, melynek feladata különböz½o mérnöki létesítmények meg- valósítása. A megvalósítás során a tervezés az a mozzanat, mely nagymértékben hozzájárul a beruházás gazdaságosságának és hatékonyságának minél magas szintjén való megjelenéséhez. A tervezés nemcsak a tartószerkezeti, építészeti, gépészeti és egyéb szakági terveket jelenti. Ezen tervekben megfogalmazott igények megvalósításának kulcsa a kivitelezés megfelel½o irányítása. Az irányítás szervezése során további tervek születnek, melyek célja az építési folyamatok különböz½o szempontok szerinti vizsgálata és ez alapján egy optimális megoldás megadása. A legtöbb ehhez kapcsolódó feladatban megjelenik az id½o, mint korlátozott er½oforrás. Jelen dolgozat a kivitelezési ütemtervek háttereként szolgáló tudományos eredmények további fejlesztési lehet½oségeit vizsgálja.

1.1. Hálózatok alkalmazása a modellezésben

Adott m½uszaki feladat modellezése gyakran hálózatok alkalmazását jelenti. A hálózat egy matematikai modell, mely a gráftechnikát hívja segítségül. A m½uszaki probléma részeit csoportosítjuk és dekódoljuk a gráf alapelemeire. Ezek a csomópontok vagy csúcsok és a köztük található élek. Mindennapjainkban is találkozunk ilyen jelenségekkel, melyek vizuálisan is megjelenítik a gráf topológiáját és egyértelm½uvé teszik a leképezés módját. Tipikus példák a közm½u-, út-, vagy telekommunikációs hálózatok.

1. ábra: Hálózatok mindennapjainkban

1. De…níció. A gráf csúcsok, vagy csomópontok és az ½oket összeköt½o élek halmaza. Legyen az élek halmazaA, a csomópontok halmazaN:A halmazok elemszámajNj=nés jAj=m .

2. Jelölés. A gráf csomópontjaira azok elnevezése (indexelése) alapján hivatkozhatunk, mely alapesetben a csomópontok számozását jelenti. N=f1;2; :::; ng

Az élek beazonosítása az általuk összekötött csomópontok alapján lehetséges. Annak függvényében, hogy a két csomópont közötti kapcsolat értelmezésének van-e meghatározható iránya, az élek lehetnek irányítottak, vagy irányítás nélküliek. Sok esetben ennek eldöntése egyértelm½u (például a vízhálózat esetében az áramlás iránya), máskor azonban megfontolás kérdése (például egy úthálózat modellezése esetében). Irányítatlan élek ábrázolása a két csomópont egy egyenessel történ½o összekötésével lehetséges.

Irányított élek esetében a kapcsolatot nyíl jelöli, mely a kezd½o csomópontból a végcsomópontba mutat.

Ha a feladat az irányított és irányítatlan élek vegyes alkalmazását igényli, akkor a modellben az összes élt irányítottként értelmezzük. Az irányítatlan élek helyettesíthet½ok két ellentétesen irányított éllel.

3. Jelölés. Az irányított élekre az általuk összekötött csomópontok alapján lehet hivatkozni az él kezd½o és végcsomópontjának sorrendjében. A=f(1;2); (1;3);:::; (m 1; m)g

Az irányított gráfok esetében további jellemz½oket lehet megfogalmazni.

4. De…níció. ÉrtelmezzükP(i; j)utat, mint irányított élek által összekötött csomópontok sorozata, vagyis P(i; j) =fi=x0; x1; x2; :::; xk =jg, ahol(xz 1; xz)2A,z= 1; :::; k:

(7)

5. De…níció. P(i; j)út egyszer½u út, ha az azt beazonosító pontsorozatban nincs ismétl½od½o csomópont.

6. De…níció. [N; A] hálózat megkülönböztetett pontja a forrás, melynek jellemz½oje, hogy a hálóban nem létezik olyan él, mely ezen pontba érkezne. Jelöléses:

7. De…níció. [N; A] hálózat megkülönböztetett pontja a nyel½o, melynek jellemz½oje, hogy a hálóban nem létezik olyan él, mely ezen pontból indulna. Jelöléser:

8. De…níció. [N; A] digráf összefügg½o, ha 8i2N esetén 9P(s; i):

9. De…níció. A hurok egy út és egy - az út kezd½o- és végcsomópontját - összeköt½o él. Jelölése H = fx0; x1; x2; :::; x0g; ahol(xz 1; xz)2A,z= 1; :::; k:

10. De…níció. [N; A] digráfot tervütem hálónak nevezünk, ha létezik egyetlen s 2 N forrás és r 2 N csomópont úgy, hogy mindeni2Nn fs; rg csomóponton keresztül vezet út s-b½ol r -be, továbbá bármely i ésj2N csomópont között legfeljebb egy ij2A él létezik.

A de…níció egyben azt is jelenti, hogy a tervütem háló összefügg½o.

A gráf egyes elemeihez társíthatók a feladat adatai. Legtöbb esetben az élekhez rendelünk valós, vagy természetes számokat. Ezt nevezzük az élek súlyozásának. Ilyen súlyszám lehet az eddigiekben említett alkalmazási lehet½oségek esetén például egy vízvezeték hossza, átmér½oje, vagy átbocsátási képessége; egy út hossza id½oben vagy térben.

1.2. Beruházási modellek jellemz½oi

Az eddig ismertetett de…níciók alapján meghatározható a jelen dolgozat további részeire értelmezett ütemezési feladat, mely egy tervütem háló a további jellemz½okkel:

1. Minden tevékenység pontosan egyszer szerepel.

2. Nem tartalmazhat azonos kezd½o- és végcsomóponttal rendelkez½o párhuzamos éleket.

3. Az élek súlyszámainak el½ojele tetsz½oleges lehet, mely az éleketA⁺; A⁰ ésA diszjunkt halmazokra osztja (A⁺[A⁰[A =A).

4. Pontosan egy forrással rendelkezik.

5. Hurok létezése megengedett, kivéve az egyetlen élb½ol álló hurkot.

6. Az[N; A⁺[A⁰]részgráf összefügg½o és egy forrással rendelkezik.

Az itt felsorolt feltételek a projektek sajátosságainak modellezésében semmilyen akadályt nem jelentenek. A következ½o pontok rendre a fenti tulajdonságok teljesíthet½oségét igazolják.

1. Minden tevékenység pontosan egyszer kell, hogy elvégzésre kerüljön.

2. Szükség esetén látszattevékenység beiktatásával lehet½oség van az eredetileg párhuzamos élek együttes használatára. A látszattevékenység, ahogy a neve is sugallja, nem rendelkezik semmilyen m½uszaki tartalommal, vagy szükséges er½oforrással, csupán hálótechnikai segédelem.

3. A minimális feltételek az el½orehaladással megegyez½o irányított éllel ábrázolandók pozitív id½o paramé- terekkel. A maximális feltételek - mint az a következ½o fejezetben bemutatásra kerül - az el½orehaladás irányával ellentétes irányított éllel ábrázolandók negatív id½oparaméterekkel. Ezen ábrázolási mód- nak köszönhet½oen az egyes feladatokra együttesen megadhatók minimális és maximális feltételek úgy, hogy a háló feltételeit teljesítik.

4. A gyakorlatban minden beruházás köthet½o egy kiindulási és egy végponthoz. Kivitelezés esetén tipikusan ez az átadás – átvétel id½opontja. A bemutatásra kerül½o problémák esetében fontos, hogy egy csomópont ténylegesen forrás legyen. Szükség esetén egy …ktív kezdési csomópont felvehet½o.

5. A maximális feltételek ábrázolásának eredménye, hogy hurkok keletkeznek a hálóban (, melynek komoly következményei vannak az ütemezési feladatok tekintetében).

(8)

6. AzA⁺halmazba tartoznak a tevékenységeket reprezentáló élek. A gyakorlati feladat szempontjából alapkövetelmény, hogy a projektben szerepl½o tevékenységek hálózata összefügg½o legyen, különben a teljes projekt nem összefügg½o.

11. Megjegyzés. Gyakran az ütemezésben csupán tevékenységekr½ol beszélünk, melyek mögött az általános értelmezés szerint konkrét m½uszaki tartalom és a megvalósításukhoz szükséges er½oforrások állnak. Léteznek azonban olyan folyamatok is, melyek nem rendelkeznek er½oforrásigénnyel, meghatározható id½otartammal azonban igen. Ilyenek lehetnek a technológiai szünetek, a különböz½o hivatalos iratok elfogadási / érvényesítési ideje, az egymást követ½o tevékenységek közötti térköz biztosítása, stb. Ezért az id½otartammal rendelkez½o elemeket általánosságban célszer½u inkább folyamatnak nevezni.

1.3. Történeti áttekintés

Minél bonyolultabb egy rendszer annál nagyobb szükség van a probléma el½ozetes felvázolására, az össze- függések ábrázolására. Projektek hálós modellezésére és ezáltal az ütemezési probléma matematikai megfogalmazására els½oként a hidegháború alatt került sor a Polaris nukleáris tengeralattjáró kifejlesztése kapcsán az 1950-es évek végén. A probléma PERT (Project Evaluation and Review Technique = Pro- jekt kiértékel½o és beszámoló technika) elnevezésként került a köztudatba, mely a Booz Allen Hamilton Inc. tanácsadó cég nevéhez f½uz½odik. A feladat célja egy kutatási projekt felépítése és elemzése. Ennek megfelel½oen a modell adatai - az egyes kutatási alcélok eredményeinek elérései - valamilyen valószín½uség eloszlást követtek. Ugyanezen id½oszakban a francia du Pont cég megbízásából Morgan R. Walker és James E. Kelley egy hasonló problémán dolgozott, csakhogy feladatukban egy ismert feladatokból álló projekt modellezése volt a cél. Ennek megfelel½oen itt egyszer½ubb az adatok kezelése és egyértelm½u a végeredmény is. Mindkét esetben a cél az átfutási id½o meghatározása, az ezt meghatározó folyamatok sorozatának beazonosítása. Utóbbit kritikus út névvel illették. Innen származik a második modell el- nevezése is, melynek angol rövidítése CPM (Critical Path Method = Kritikus utak módszere). A feladat egy másik oldalról való megközelítése térben és id½oben megegyezik a CPM megjelenésével. Bernard Roy egy francia atomer½om½u organizációjának támogatására fejlesztette ki saját modelljét, mely MPM (Met- ra Potential Method = Metra potenciálok módszere) néven a mai épít½oiparban használatos ütemezési szoftverek alapja.¹

A feladat leképezése során a modell alapelemeihez kell párosítani a probléma egyes jellemz½oit. Egy projekt id½oelemzése kapcsán két jelenséget lehet egyértelm½uen megkülönböztetni. A tevékenységek, vagy folyamatok, mint id½otartammal rendelkez½o elemek, valamint az események, mint id½oponttal rendelkez½o elemek. Ilyen események tipikusan a projekt kezdete és vége, a szerz½odésben foglalt részhatárid½ok, de egy folyamat kezdetét is végét is jelölheti. A hálós modell alapelemei a csomópontok és az élek. Az elemek leképezésére több verzió is létezik és használatos.

Ütemezési feladatok hálós Ütemezési feladat alapelemei leképezésének lehet½oségei Tevékenység Esemény

Háló Él CPM

alapelemei Csomópont MPM PERT

A CPM tehát más néven tevékenység él½u háló, a PERTesemény csomópontú háló. A modell struk- túrája nyilván ugyanaz, mely egybevág a vizuális megfeleltetéssel is. Az id½opontot reprezentáló elemek a térben zéró kiterjedéssel rendelkez½o csomópontokra kerülnek, míg az id½otartammal rendelkez½o elemek a térben egyirányú kiterjedéssel rendelkez½o élekre. A különbség csupán annyi, hogy az egyes modellek más projektcéllal készültek. A CPM-ben a tevékenységek, míg a PERT-ben a bekövetkez½o események a vizsgálandó elemek. Építési beruházások esetében a CPM modell használható. Azonban fontos meg- jegyezni, hogy a megnevezés mögött olyan szigorúan korlátozott modell került megfogalmazásra, mely az általános alkalmazást nagymértékben korlátozza. A tevékenység él½u háló általános értelemben vett használata ugyanakkor lehetséges.

Az MPM, más néventevékenység csomópontú háló ett½ol eltér½o modellezési elvet követ. Itt az egyes tevékenységek a csomópontokon vannak, az ½oket összeköt½o élek a köztük lév½o logikai kapcsolatok.

Érdekes jelenség, hogy míg a kutatások szinte kizárólag tevékenység él½u hálós modellezést alkalmaz- nak, addig a gyakorlatban a tevékenység csomópontú háló az elterjedt. Ennek oka lehet a tevékenység él½u háló elemeinek egyszer½usége, az elemek egységesebb kezelhet½osége, illetve a modell általánosabb al- kalmazhatósága a peremfeltételek tekintetében. Valamint az a tény, hogy más kutatási területek hálós modelljei is els½osorban ezt a struktúrát részesítik el½onyben, így az egyes kutatási eredmények könnyen

1Forrás: Wikipédia

(9)

adaptálhatók. Ennek megfelel½oen a dolgozat további része is a tevékenység él½u háló struktúráját alkal- mazza.

A legels½o ütemezési modellek nagyon sok egyszer½usítést tartalmaztak, melyek alkalmassá tették a mo- delleket a lineáris programozási feladattal való megoldásra. Ezen alapfeladatok már a természettudományi egyetemek alapképzésének is részei, így lényegében bármely operációkutatási, vagy matematikai tanszék jegyzetei között fellelhet½ok. Többek között ilyenek Frank[12], Komáromi[26], Nagy[32] vagy Mályusz[30]

egyetemi jegyzetei.

A legtöbb általánosítás eredményeképpen kialakuló probléma jellemz½oen már nem teljesíti a lineáris programozási feladat feltételrendszerét és NP nehézség½uvé válik. Ekkor az egyik lehet½oség, hogy a megoldás keresése során továbbra is megpróbáljuk alkalmazni az LP alapfeladat eredményeit és a feladatot visszavezetni az alap feltételrendszerhez, mely jelentheti egyrészt egy megfelel½o modell felépítését, másrészt a bemen½o adatok korlátozását, vagy épp annak tudomásul vételét, hogy a megoldás nem lesz optimális. Ha a megoldás nem optimális, attól még lehet optimálishoz közeli. Ekkor célszer½u vizsgálni a megoldás optimálistól való távolságát. Sok esetben születik az a konklúzió, hogy nem éri meg az optimális megoldás keresése, mert a megtalálásához szükséges többletid½o irracionálisan magas a közel optimális megoldás optimálistól való távolságához képest. Ezen elgondolásból sok kutatási terület teljesen elszakadt az alapfeladat által kínált megoldástól és a közel optimális megoldás más irányból való megközelítését helyezte el½otérbe. Íme néhány irányvonal a beruházási modellek ütemezésére.²

Genetikus algoritmusok. Genetikus algoritmusok alatt olyan keresési technikák egy osztályát értjük, melyekkel optimumot vagy egy adott tulajdonságú elemet lehet keresni. A genetikus algoritmusok speciális evolúciós algoritmusok, technikáikat az evolúcióbiológiából kölcsönözték. A genetikus algoritmu- sokat számítógépes szimulációkkal implementálják. A keresési tér elemei alkotják a populáció egyedeit, melyeket keresztezni (más szóval rekombinálni) és mutálni lehet, így új egyedek hozhatók létre. A keresési téren értelmezett célfüggvényt ebben a kontextusban szokásos …tness függvénynek is nevezni. A genetikus algoritmus m½uködése során egyrészt új egyedeket hoz létre a rekombináció és a mutáció operátorokkal, másrészt kisz½uri a rosszabb …tness függvény értékkel rendelkez½o egyedeket és eltávolítja a populációból.

Egyes esetekben az ilyen algoritmusok konvergálnak az optimumhoz.

Fuzzy logika. Az elmosódott halmazok logikája (angolul: fuzzy logic) a többérték½u logikai szemantikák egyike. A tágabb értelemben vett fuzzy logika alapját képezi a fuzzy számítógépes rendszereknek, melyek szemben a szokványos rendszerekkel, nem csak igen és nem (illetve ki és be, vagy 1 és 0) értékekkel dolgoz- nak, hanem közbüls½o „valóságértékekkel” is, mint például 0,5 (féligmeddig), 0,2 (kicsit), 0,8 (eléggé). . . Ezáltal az „életlen” (fuzzy) meghatározások (mint például az el½obbiek) matematikailag kezelhet½ové vál- nak. A fuzzy logika gyakran akkor hasznos, ha egy bizonyos probléma matematikai leírása nem áll rendelkezésre, ill. nem, vagy csak túlzott ráfordítással lenne elkészíthet½o, azonban a hétköznapi verbális, szöveges megfogalmazás adott. Ilyen esetekben a folyó nyelven, tehát normális emberi beszédben, fogal- mazott mondatokból és szabályokból a fuzzy logika segítségével egy olyan matematikai megfogalmazás, leírás nyerhet½o, amely aztán számítógépeken is alkalmazható.

Neurális hálózatok. A neurális hálózat neuronok összekapcsolt csoportja. Ezen hálózatok alapelve, hogy a számolásokat egymással összekapcsolt kis feldolgozóegységek, neuronok végzik, melyeket egy súly- mátrix értékeinek beállításával "tanítják". Az ellen½orzött tanulású hálók esetében a rendszer nagyszámú, el½ore megadott példa alapján tanul: speciális algoritmusokkal addig változtatja a neuronok közötti kapcsolatokat, míg a megadott bemenetek mindig a megadott kimeneteket "okozzák". Ilyenkor a hálózat a legtöbb esetben a csatlakozások súlyának módosításával tanul.

Ütemezési feladatok ilyen irányú megoldását megtalálhatjuk például Christodoulou[7] munkájában, ahol a maximális útkeresési feladatra hangyák viselkedése alapján mutatott egy megoldást.

1.4. Az épít½oipari gyakorlat

A legtöbb kutatási feladat valamilyen gyakorlati probléma felvet½odéséb½ol indul ki, mely ezáltal meghatároz- za a feladat bemen½o adatait, peremfeltételeit, céljait. Az eredmény gyakorlati alkalmazásának területe is ily módon el½ore de…niálható, kés½obb több problémára is kiterjeszthet½o. Jelen fejezet rávilágít a dolgozat témaválasztásának forrására, hátterére és létjogosultságára.

2Forrás: Wikipédia

(10)

1.4.1. Egy felmérés eredményei

Szemléletmód. Az építési projektek megvalósítása során számos terv készül, melyek rajzi és írásos formában bemutatják a beruházó által megrendelt építmény minden részletét. Ezek között szerepelnek természetesen építészeti, statikai, gépészeti és egyéb szakirányos tervek, melyek a beruházás el½oreha- ladásával egyre részletesebbek és pontosabbak. Ha építés közben a tervekt½ol való eltérés következik be, az komoly következményekkel jár.

A kivitelezéshez készül½o organizációs tervek szemlélete az eddig említettekkel ellentétben mer½oben más. Az általános megközelítés szerint organizációs terv azért készül, hogy legyen mit½ol eltérni. Mi lenne, ha így lenne kezelve egy statikai terv?! Hiszen mindkett½ot tervnek nevezik. Akkor miért van mégis különbség a kett½o között? A válasz egyszer½u. Az organizációs tervek alapjaként szolgáló adatok származtatott mennyiségek, az ½oket jellemz½o valószín½uségi értékek szórása a m½uszaki paraméterekhez képest nagyságrendekkel nagyobbak. Mégis vannak olyan – els½osorban külföldi – példák, melyek azt mutatják, igenis lehet pontos becsléseket adni az organizációs tervekre vonatkozóan, melyeket a kivitelezés során követni lehet. Ezek a példák azt sugallják, hogy egy megfelel½oen el½okészített organizációs terv ugyanolyan szemlélettel alkalmazható, mint az összes többi.

Egy saját felmérés során elemzésre került, hogy a magyar épít½oiparnak milyen tapasztalatai vannak ezen a téren.

Helyzetkép. Természetesen a felmérésben szükséges megkülönböztetni az egyes munkanemeket, hiszen azok sok tekintetben teljesen más jelleg½uek. A 2. ábra általánosságban megközelítve mutatja be, hogy az egyes tevékenységi körökben milyen mérték½u az organizációs tervek legfontosabb paramétereinél a változás gyakorisága.

2. ábra: Tevékenységek paramétereinek változása az építés során

Látható, hogy legtöbbször a földmunkák és a szakipari munkák esetében jelentkeznek eltérések. A földmunkák esetében els½osorban a tevékenységid½o változás jellemz½o, szakipar esetében pedig a m½uszaki tartalom módosul. Az okok feltárásához a 3. ábra mutat egy részletesebb elemzést, melyben az egyes befolyásoló tényez½ok hatása látható.

(11)

3. ábra: Hibaforrások

Ebb½ol leolvasható, hogy a földmunkák esetében a váratlan munkakörülmények és a helyszíni adottsá- gok emelkednek ki a sorból. Talajmechanikai feltárások ugyan készülnek, de ez sok esetben nem mutat teljes képet. Ezek, mint els½o folyamatok id½obeli csúszása kihat az azt követ½o összes tevékenységre, sok esetben a költségek is akár az eredeti többszörösére módosulhatnak. Így az id½o- és költségütemezések már a kivitelezés kezdetén felborulnak. Az építés el½orehaladásával egyre nagyobb érték½u munkák kerülnek sorra, melyek els½osorban esztétikai és kényelmi funkciókat valósítanak meg. Ezek a befejez½o szakipari munkákban csoportosulnak. Látható, hogy ezen tevékenységek esetében az el½oirányzott m½uszaki tar- talomhoz képest tapasztalható a legnagyobb változási arány, melyek általában …nanciális eredet½uek. Az egyik legutolsó mozzanat a kivitelezés során az épület körüli munkák. Ez általában nem jelent nagy anyagi vagy bármilyen más er½oforrásigényt, mégis relatív magas a módosítás gyakorisági aránya. Ez azt sugallja, hogy a beruházás ezen fázisában az eredeti id½o és költségütemezés már jelent½os változásokon ment át.

Az eredmény azt mutatja, hogy a hibaforrások minden munkanem esetében jelentkeznek, az eltérések- ben bizonyos tendencia kimutatható. A munkanemek sorolásában általános id½obeli sorrendet felállítva lekövethet½o, hogy az egyes hibaforrások el½ofordulási gyakorisága hogyan módosul az építés el½orehaladtá- val.

A tervez½oi hibák esetében els½osorban a hiányosságokra kell gondolnunk, melyben a projekt el½oreha- ladtával egyértelm½u növekedés tapasztalható. A számítógépek egyre szélesebb körben való elterjedése miatt a tervek módosítása leegyszer½usödött és gyorsabbá vált. Ez azonban azt eredményezheti egyrészt, hogy a kezdeti tervek nem kell½oképpen átgondoltak, számítva arra, hogy kés½obb át lehet - és sok esetben át is kell - tervezni a létesítményt. Másrészt a gyakori módosítás követése a szakirányos terveken sokszor már lehetetlen és gyakran el is marad. Ez a probléma els½osorban az épületgépészeti munkák területén kiemelked½o.

Meglep½o módon a helyszíni adottságok miatti változtatás gyakorisága nem csökken. Logikusan azt lehetne várni, hogy minél inkább függetlenednek a folyamatok a talajtól, e tényez½o szerepe is egyre kisebb lesz. Azonban ha helyszíni adottság a megel½oz½o tevékenységek során végzett munkák kivitelezési hibái is, akkor máris értelmet nyer a diagramsor. Eszerint a munkák el½orehaladtával egyre több problémát jelentenek az egyes tevékenységek során elkövetett építési hibák.

Az el½oz½o hibaforrással párosítani lehet a megel½oz½o tevékenységek késéseit is. Hiszen a kivitelezési hibák miatt szükséges többlet id½o következtében a követ½o tevékenység csak kés½obb kezd½odhet el. Más esetben az adott tevékenység id½oben nem csúszik, viszont a hibák miatti többletfeladatok eredményeképpen nagyobb a hibázási-hiányossági arány, vagyis a korrekció a min½oség rovására megy. Így a hatás lavinaszer½uen n½o és halmozódik.

Mivel a munkának minden késedelem ellenére haladnia kell, ezért az ütemezés szerint soron következ½o tevékenységeket is szükséges megindítani, különben azzal is ütemezési gondok lesznek. A diagram jól mutatja, hogy egyre nagyobb problémát jelent az egyes tevékenységek térbeli és id½obeli ütközése. S½ot, egymás zavarása további hibalehet½oségek és id½obeli csúszások forrása.

A kommunikáció elégtelensége els½osorban azoknál a tevékenységi köröknél kiemelked½o, ahol több kisebb munkacsoportnak kell egymás mellett dolgoznia. Ez a jelenség tapasztalható az épületgépészeti és a szakipari munkák terén, de a monolit szerkezetek esetében is magas az aránya.

A váratlan munkakörülmények okozta problémák sem csökkennek a helyszíni adottságokhoz hason- lóan. Bár els½osorban a földmunkák és a közm½uépítési munkák kapcsán jelentkeznek. Ez arra vezethet½o

(12)

vissza, hogy sok esetben nem elég részletes a talajmechanikai szakvélemény és így sok meglepetés rejt½ozhet a felszín alatt.

Hatósági engedélyek hiánya nagyjából minden tevékenységi körben azonos arányban jelentkezik. Így természetesen ott okoz nagyobb problémát, ahol több ilyen engedélyre van szükség, tehát a közm½uépítés a legkiemelked½obb. Az engedélyek kiadására törvény szerint el½oírt maximum id½okeretet sajnos a legtöbb esetben a hatóságok kihasználják, ami a beruházó szemszögéb½ol sokszor csak kidobott id½o és ebb½ol következ½oen költség is.

Er½oforrások tekintetében a manapság gyakran emlegetett él½omunka hiányzik a leginkább. Látható, hogy azoknál a munkáknál kiemelked½o a hiány, ahol képzett szakmunkásra van igény. Az anyaghiány a befejez½o- és szakipari munkáknál kicsit magasabb. Költségek vonatkozásában szépen kirajzolódik az a tendencia, miszerint a kivitelezés folyamán egyre er½oteljesebben jelentkeznek …nanszírozási problémák.

A speciális technológiákat külön választva a többi tevékenységi körben csak az általános munkák kerül- tek értékelésre. Látható, hogy ebben a kiemelt csoportban a tervez½oi munkára több gondot fordítanak, illetve a variációs lehet½oségek skálája kisebb, mint a többi esetben, ezért a hibák kisebb gyakorisággal jelentkeznek. Az els½odleges probléma ezen a területen a megfelel½o szakmunkás létszám és a …nanszírozás.

12. Összegzés. Összességében tehát azt lehet mondani, hogy a legnagyobb probléma az el½okészít½oi munka hiányossága. Ez azonban nem els½osorban a szakmai ismeretekre vonatkozik, bár manapság jellemz½oen az iskolából kikerült …atalokat helyezik ezekre a pozíciókra. Lehet bármilyen jó az iskolai felkészítés, a „nagy öregek” tapasztalatát semmi nem tudja pótolni. Az els½odleges probléma az id½o- és pénzhiány. Már a talajmechanikai fúrásokon is muszáj spórolni, így a szület½o szakvélemény sem lehet teljesen megalapozott, mindenre kiterjed½o tartalommal. A kikerül½o tervek a nagy sietségben nem kell½oképpen átgondoltak, és ennek alapján kell minél gyorsabban egy nyer½o ajánlatot összeállítani. Ehhez azonban olyan ütemezési és …nanszírozási feltételeket kell a kivitelez½onek bevállalnia, melyben semmilyen biztonsági tartalék nem fér bele. A kivitelezésben azonban rengeteg er½oforrás kerül megmozgatásra, melynek szervezésében sajnos mindig vannak buktatók. Ráadásul a legtöbb munkafázis egymásra épül. Tehát ha valamelyikben csúszás van, az kihat az összes többire. A határid½o azonban szent és sérthetetlen! Így a késéseket valamivel kom- penzálni kell. Ez általában túlórát jelent, ami viszont többletköltséget eredményez. Azonban a költségkeret is tartalék nélkül van el½oirányozva, tehát más területen kell lefaragni. Ez pedig általában már a min½oség, vagy éppen a m½uszaki tartalom rovására megy.

Tanulság. Magyarországon az utóbbi években annyira kiélez½odött a versenyhelyzet a kivitelezésben, hogy az ajánlatok készítése során az id½o - költség - min½oség egyensúly pengeélen táncol. Ez az el½oirány- zott tartalom azonban még önmagában is nagyon sok bizonytalanságot hordoz magában és általában a kedvez½otlenebb irányban módosul. Vagyis magasabbak lesznek a költségek, kevesebb a rendelkezésre álló id½o. Tehát a már említett tartalékok beépítésére mindenképpen szükség lenne. Természetesen ez mindig helyzett½ol függ, miben és milyen mértékben van szükség ezekre a biztosítékokra. Ezt azonban minden kivitelez½onek egyedileg, az aktuális projektre szabottan kell megállapítani. Vannak bizonytalan- ságot csökkent½o tényez½ok (összeszokott csapat, állandósult alvállalkozók, ismert megrendel½o, az építési munkák rutinfeladatok, stb.), ezek megállapításához azonban nagy tapasztalatra van szükség.

1.4.2. Piaci helyzet

A mai épít½oipari beruházások egyre nagyobb volumennel rendelkeznek. A számítógépek elterjedésének és a kommunikáció rohamos fejl½odésének köszönhet½oen a beruházói igényeket követve a tervezési és kivitelezési folyamatok felgyorsultak. A digitális adatfeldolgozás miatt a tervezés egy dinamikus folya- mattá alakult, mely folyamatosan követi a változásokat. Természetesen ez a dinamizmus az organizációs tervek készítése kapcsán is megjelenik. Több ütemezési szoftver létezik a piacon (Microsoft Project^c, Primavera^c, Project Director^c, ProJack^c). Ezek azonban jellemz½oen csak id½o ütemezésre alkalmasak, a költségeket csak követés jelleggel tartalmazzák.

13. Következmény. Tudományos megközelítésb½ol olyan rugalmas költségoptimalizálási modellek kidol- gozására van szükség, mely a projektek adottságait tartalmazzák, az id½o és költségkeretek …gyelembe vételével. Nevezetesen az elméletben már ismert költségtervezési feladatot kellene a gyakorlat számára hasznos általánosításokkal b½ovíteni.

1.5. Típusfeladatok

Beruházások hálós modelljei kapcsán többféle bemeneti adattal és többféle célfüggvénnyel rendelkez½o problémát de…niálhatunk. Jelen dolgozatban két alaptípus szerepel.

(13)

1.5.1. Ütemezési feladat

Ütemezés, vagy id½otervezési feladat kapcsán a modellben az egyes tevékenységek és a köztük lév½o kapcsolatok id½obeli távolsága szerepel. Tehát minden folyamathoz - legyen az tevékenység, vagy kapcsolat - egyetlen egészérték½u id½oparaméter van társítva. Ezt ij -vel jelöljük és8ij 2A-ra értelmezzük.

14. Megjegyzés. A valós tevékenységekhez rendelend½o id½otartamok a m½uszaki tartalomból és a hozzáren- delt er½oforrás típusától és kapacitásától függ½oen határozhatók meg. Értelmezésüknek megfelel½oen ezek po- zitív egészek. Az id½otartamokat felülr½ol lehatároló maximális feltételek negatív egész értékkel rendelkeznek.

A látszattevékenységek nem rendelkeznek ilyen jellemz½okkel, tehát a hozzájuk társítható ij érték is ennek megfelel½oen zérus.

A feladat célja a minimális átfutási id½o meghatározása. Erre a maximális út - minimális potenciál lineáris programozási feladat szolgáltat eredményt. A számítás 8i 2N -re egy-egy potenciálértéket ad eredményül, melyet _i -vel jelölünk. A feltétel

j i ij;8ij 2A (1)

Ez egy minimális feltételt jelent a csomópontok, mint adott feladat kezdete és vége közötti id½obeli távolságra. Projektek ütemezése kapcsán azonban felmerülhet az igény maximális feltételek alkalmazására is. Ennek tipikus esetei az állagmegóvás, vagy nagyérték½u gép bérlési idejének korlátozása lehet. Ez a feltétel épp az el½oz½ovel ellentétes relációt kíván.

j i ij;8ij 2A (2)

A feladat egységes kezelésének érdekében ez utóbbi feltételt át kell alakítani (1) -nek megfelel½o irányú relációvá.

j i ij = ( 1)

j+ _i ij =rend:

i j ij

15. Következmény. Az átalakítás alapján a maximális feltételek tehát negatív id½oparaméterrel és az értelmezés irányával ellentétes éllel vihet½ok be a modellbe.

1.5.2. Költségtervezési feladat

A beruházás során elvégzend½o feladatok m½uszaki tartalmának megvalósításában három paraméter együttes vizsgálata lehetséges. Ezek az id½oráfordítás, a költségráfordítás és a min½oség. A 4. ábrasor ezek össze- függéseit mutatja be.

(14)

A 4.a. ábra adott költségszint mellett mutatja az elérhet½o min½oségi szintet a tevékenységid½o függ- vényében. Nyilván, ha az adott tevékenységre egyáltalán nincs id½okeret biztosítva, semmit nem lehet megvalósítani, így ezen a ponton a min½oség is zérusérték½u. Innen kiindulva a legegyszer½ubb összefüggés a lineáris kapcsolat. Ugyanez a függvény felrajzolható a bekerülési költség esetében is, ha a tevékenységid½o állandó. Természetesen mindkét esetben létezik egy fels½o határ, amely után a lineáris kapcsolat már nem feltételezhet½o. A tevékenységid½o növelése egy határon túl már a min½oség kárára mehet, míg bizonyos összeg felett felesleges befektetni több pénzt, az a min½oségi szintet már nem emeli.

A 4.b. ábra a két paraméter együttes változtatásával generált felületet mutatja. A felület tenge- lyek menti peremén nulla min½oségi szintet lehet elérni. Ez nyilvánvaló, hiszen bármennyi id½o is van az adott m½uszaki tartalom el½oállítására, ha nincs költségkeret, abból nem lesz semmi. Valamint fordítva is igaz, hiába van bármekkora összeg az el½oállításra, ha id½o egyáltalán nem áll rendelkezésre a munka elvégzéséhez. Ezen megfontolások alapján nyerünk egy parabolikus nyeregfelületet, melyen adott költ- ségszint és ráfordított id½o függvényében meghatározható az adott m½uszaki tartalom elérhet½o min½oségi szintje.

A 4.c. ábrán ugyanez a felület látható, melyet egy elvárt min½oségi szinthez tartozó sík metsz el.

Nyilván a felület azon része, mely e sík alatt található, nem képes megfelel½o min½oséget biztosítani, míg a felette lév½o rész megfelel½o paraméterekkel bír.

A 4.d. ábrán ennek a metszésnek a vetületi képe látható. A metszésvonal enyhén parabolikus jelleg½u.

Ez és az eredetileg megadott maximális költség- és id½oértékek által lehatárolt színezett terület az az intervallum, melyen belül biztosítani lehet a megfelel½o min½oséget. A metszésvonal két széls½oértékét tudjuk de…niálni.

16. De…níció. A feladat elvégzéséhez szükséges minimális id½otartam a rohamid½o, jeleaij , a hozzá tar- tozó költségszint Kaij

17. De…níció. A feladat elvégzéséhez szükséges minimális napi költségszinthez tartozó id½otartam a nor- málid½o, jele bij , a hozzá tartozó költségszintKbij

A két érték közti id½oegységekhez tartozó költségszinteket lineáris interpolációval határozzuk meg, mely a metszésvonalhoz képest a min½oség javára tér ki.

18. De…níció. Az(aij; Kaij)és(bij; Kbij)pontok közötti egyenes meredekségecij költségintenzitás, mely az ismert értékekb½ol számítható: cij= ^K^aij_b ^K^bij

ij aij :

Az egyes paraméterek közötti összefüggést a 5. ábra szemlélteti.

(15)

5. ábra: A költségtervezési feladat paraméterezése

Az ütemezési és a költségtervezési feladat is egészérték½u programozás. A költségintenzitások kép- lete szerint azonban nem biztosított a cij értékek egészérték½usége. Ekkor a teljes feladatra tekintettel megállapítható a legkisebb közös többszörös, mellyel beszorozva minden költségintenzitást, egész számok adódnak.

Ebben a feladatban is lehet½oség van maximális feltételek alkalmazására az id½otartamokra vonatkozóan.

Ekkor - az el½oz½oekben említett példák alapján - nem köt½odik a feltételhez megvalósítandó m½uszaki tartalom, tehát költségszintekr½ol sincs értelme beszélni.

19. Következmény. Maximális feltételek esetében aij bij 0 éscij= 0 paraméterezés lehetséges.

20. Megjegyzés. Tevékenységek közti kapcsolatok esetében is gyakran fordul el½o, hogy nincs mögötte m½uszaki tartalom, csupán szervezési - logikai szempontok, mikor szintén nincs értelme különböz½o költ- ségszinteket de…niálni. Ezekben az esetekben célszer½u paraméterezés azaij =bij:

21. Megjegyzés. Ha a tevékenységid½o széls½oértékei megegyeznek, a költségintenzitás a képlet szerint tart a végtelenbe. Gyakorlati értelemben azonban itt sincs értelme a költségszinteknek. Ezért ekkor cij = 0 alkalmazandó.

A feladat célja tetsz½oleges T átfutási id½ohöz megkeresni a létez½o legkisebb költségszinttel rendelkez½o megoldást.

1.6. A hálótípusok megfeleltetése

A gyakorlatban az ütemezési feladat megoldására használatos MPM technika a tevékenységeket a csomópon- tokhoz rendeli, a hozzájuk tartozó kezdési és befejezési id½oponttal együtt. A sok információ megje- lenítéséhez a csomópontok helyett ún. pajzsokat alkalmaz, mely ezen kívül is további tulajdonságok megmutatására szolgálhat. A 6. ábra tipikus pajzselrendezéseket mutat.

6. ábra: MPM pajzs ábrázolás

Az ábrázolás jellegéb½ol és a számítás módjából következik, hogy a tevékenységek kezdési és befejezési id½opontja közötti különbség pontosan a tevékenységid½o értékével azonos. Ez tevékenység él½u hálóban egy minimális és egy maximális – azonos id½otartammal rendelkez½o – feltétel együttes alkalmazásával lehetséges a tevékenység kezdését és végét reprezentáló csomópontok között.

(16)

A tevékenységek közötti kapcsolatok a hivatkozott kezdési vagy befejezési id½opontok közötti id½obeli távolságot mutatják meg. Megkülönböztetünk minimális és maximális kapcsolatokat is, melyeket lehet kombinálni. Ugyanezen kapcsolatok de…niálhatók tevékenység él½u háló esetén is szintén a tevékenység kezdését és végét reprezentáló csomópontok között. Így a leképezés semmilyen korlátozást nem jelent.

22. Példa. A 7. ábrán egy feladat MPM hálón való ábrázolása látható, mellette ugyanazon feladat tevékenység él½u hálón való megfeleltetése.

7. ábra: Eltér½o modellezési módok megfeleltetése

23. Következtetés. Ezek alapján kijelenthet½o, hogy az MPM modell korlátozás nélkül leképezhet½o olyan tevékenység él½u hálót alkalmazó modellre, mely képes kezelni a maximális feltételeket.

1.7. Célok megfogalmazása

1.7.1. F½o cél

A dolgozat célja a projektmenedzsment területén olyan ütemezési és költségtervezési modellek kidolgo- zása, melyek a gyakorlatba átültethet½oek és alkalmasak annak feltételeit …gyelembe véve, a valóságot megközelít½o költségoptimalizálási feladatok megoldására.

1.7.2. Alcélok

1. Az eddig kidolgozott modellek és algoritmusok felkutatása, alkalmazhatóságának vizsgálata.

2. A lehetséges problémák feltárása.

3. Modellek kidolgozása.

4. Modellek használatához szükséges algoritmusok kidolgozása.

(17)

2. Irodalomkutatás

Ahuja V. és Thiruvengadam [2] cikke egy lehetséges csoportosításban összefoglalja az addigi eredményeket az ütemezési feladatokra:

bizonytalanságok a tevékenységid½okben a CPM/PERT ütemezés korlátai

– lineáris ütemezési technikák – szimulációs technikák

az úgynevezett "fast-truck" ütemezés költségtervezés, költségoptimalizálás er½oforrás allokálás

menedzsment tapasztalatok tér és hely optimalizálás

Ezek közül jelenleg az ütemezési és a költségtervezési feladatok az els½odlegesen érdekesek. A fent hivatkozott publikációban megemlített ütemezési cikkek a tevékenységid½okben lév½o bizonytalanságok kezelésével, illetve az er½oforrás allokációval foglalkoznak. Költségtervezési problémák megoldására külön- böz½o dinamikus programozási modellek, genetikus algoritmuson nyugvó megoldások kerültek bemu- tatásra, melyekben szintén els½osorban ez er½oforrások bizonytalansága a f½o irányvonal. Természetesen a cikkben feldolgozott irodalom nem fedi le a teljes tudományos felületet, azonban jól példázza azt. A legtöbb tudományos kutatás ezen irányvonalakat követi és hasonló eszközökkel alkot új eredményeket. Az említett algoritmikus megoldások teljesen elszakadtak az alapmodellek lineáris programozási modelljeit½ol, nincs egzakt matematikai bizonyításuk, így az eredmények optimális volta kérdéses lehet.

Alapvet½o cél a költségtervezési feladat és eddigi eredményeinek megismerése. A probléma egy része az id½obeli optimalizálás, ezért célszer½u el½obb megismerkedni az id½o - ütemezési feladattal és a hozzá kidolgozott általánosításokkal, egyéb kapcsolódó problémákkal.

2.1. Hálóstruktúrával összefügg½o problémák

Jelen fejezetben néhány olyan kisebb hálótechnikai feladat kerül bemutatásra, mely a dolgozat további részében felhasználásra kerül.

2.1.1. Topologikus sorrend meghatározása

A feladatok egyszer½ubb kezelhet½osége és az algoritmusok gyorsításának érdekében gyakran felmerül az igény a csomópontok topologikus sorrendben történ½o számozására. Ez azt jelenti, hogy a háló élei mindig a kisebb sorszámú csomópontból a nagyobb felé mutatnak. A feladat megoldását és peremfeltételeit többek között Ahuja et. al.[1] vagy Frank[12] munkáiban is meg lehet találni. Ahogy azt már ½Ok is megállapították könnyen belátható, hogy a hurkokat is tartalmazó háló esetében lehetetlen ilyen szá- mozást megállapítani. Azonban az el½oz½oekben bemutatott típusfeladatok szerint hurkok az ütemezésben kialakulhatnak.

24. De…níció. Tetsz½olegesH hurok hurokértékea hurok mentén található (realizálódó) id½otartamok el½o- jeles összege, jele _H.

H= X

ij2H ij

Az ütemezési feladatok maximális út - minimális potenciál problémaként fogalmazhatók meg, mely célfüggvénye nem ad véges eredményt, ha a hálóban vannak olyan hurkok, melyek hurokértéke pozitív.

A beruházási modell maximális feltételeinek - vagyis azA élhalmaznak - elhagyásával de…níció szerint továbbra is összefügg½o hálót kapunk, mely a topologikus sorrend meghatározásának egy másik feltétele.

Ha az [N; A⁺[A⁰]részgráfon létezik hurok, akkor a feladat csak akkor lehet véges, ha a hurok minden éle nulla folyamatid½ovel rendelkezik.

(18)

25. Megjegyzés. A zérus hurok a m½uszaki feladat alapján csak olyan folyamatokat takarhat, melyekhez nem társítható semmilyen m½uszaki tartalom, vagy er½oforrás. Tehát ez csak valamely tevékenységek közti logikai kapcsolat lehet. Ennek megfelel½oen ez a hurok gyakorlati alkalmazás esetén jellemz½oen legfeljebb két élb½ol áll, az általa sorolt két tevékenység közti minimális és maximális feltételb½ol. Ett½ol eltér½o nulla folyamatid½okkel rendelkez½o huroknak nincs értelme a feladatban, a lehet½oség kizárására azonban nincs szükség.

A zérus hurkok kezelése további feladatot jelent, mely során további éleket kell eltávolítani az[N; A⁺[ A⁰]részgráfból úgy, hogy az továbbra is összefügg½o legyen és egy forrással rendelkezzen. Ennek elvégzése után a topologikus sorrend megállapítására a már említett algoritmusok bármelyike alkalmazható.

Algoritmus. A következ½okben egy olyan - a már ismert eljárások alapján kidolgozott - módosított algoritmus kerül bemutatásra, melyhez nincs szükség a zérus hurkok egyedi kezelésére. Az algoritmus folyamatábrája a 8. ábrán látható.

Els½o lépésként a csomópontok egy tetsz½oleges sorrendjét kell meghatározni, melyet az n méret½u x vektor tartalmaz. Ennek alapján össze lehet állítani aC n nméret½u súlyozott szomszédsági mátrix egy módosított változatát, mely a nem létez½o kapcsolatokat negatív súlyozással látja el, lévén, hogy a feladat szempontjából a pozitív és a nulla folyamatidej½u élek beazonosítása szükséges.

Cij= ^ij; haij2A 1; különben

A csomópontok topologikus sorrendben történ½o felsorolása aznméret½utopvektorba fog kerülni.

Az algoritmus azon elv alapján m½uködik, mely szerint ha letakarásra kerül az összes már topologikus sorrendben beazonosított csomópont, akkor a maradék részgráf forrása lehet a következ½o elem a top vektorban. Egy csomópont tehát akkor kerül kiválasztásra, ha a hozzá tartozó oszlopban nincs nemnegatív elem.

Akparaméter követi a már kiválasztásra került csomópontok mennyiségét. Zérus hurok esetén nincs a kritériumnak megfelel½o oszlop. Ekkor ismételt kereséssel azon csomópontok kerülnek vizsgálat alá, melyek oszlopában nincs pozitív elem. Ezek közül pedig az a csomópont kerül kiválasztásra, melynek oszlopában a legkevesebb nulla elem található.

Az algoritmus az y változóban emeli ki a kiválasztott csomópontot, mely a top vektorba kerülését követ½oen a C mátrixban is változást eredményez. Az adott csomóponthoz tartozó sor elemei felveszik a ( 1)értéket. Ezáltal minden bel½ole induló él negatív lesz, vagyis nem szerepel az[N; A⁺[A⁰]részgráfban.

Továbbá a hozzá tartozó oszlop elemei felveszik a (+1)értéket. Ezáltal ez a csomópont már soha nem kerülhet kiválasztásra.

Az algoritmus leállásának feltétele, hogy minden csomópont bekerült a top vektorba és ezáltal a topologikus sorrendbe.

26. Jelölés. A hálónak azonij élei, melyeknél i < j , a topológiai sorrend részei. Ezen élek összessége alkotja A^t élhalmazt.

(19)

8. ábra: Topologikus sorrend - algoritmus - folyamatábra

Példa. Tekintsük a 9. ábrán látható ütemtervet.

(20)

9. ábra: Topologikus sorrend - példa

Az[N; A⁺[A⁰]részgráf élei vastaggal ki vannak emelve. Látható, hogy az (5;6) és (6;5) élek hurkot alkotnak a részgráfban a nulla súlyozásnak köszönhet½oen. Az algoritmus futása során csak valamely élt (a lexikogra…kus sorrend alapján az els½ot, vagyis az (5;6)élt) veszi …gyelembe, ezáltal kialakul közöttük a sorrend és valamelyik csomópont (a nagyobb sorszámú, tehát a 6-os) egyben a háló nyel½oje is lesz. A részgráfban azonban még egy nyel½o található. A 8-as csomópont esetében nemnegatív súlyozású él csak egy van, mely a vizsgált pontba mutat. Ez annak köszönhet½o, hogy a 2-es és 8-as csomópontok között csak maximális kapcsolat lett de…niálva. Ha a függ½oleges éleket tekintjük a projekt tevékenységeinek és a vízszinteseket a köztük lév½o kapcsolatoknak, akkor látható, hogy a maximális kapcsolat egyedüli alkalmazása a technológiai sorrend megfordulását is eredményezheti. Ezért lett ez a lehet½oség a feladat de…niálásánál kizárva. Tehát a hálót ki kell egészíteni egy (8;2) éllel, mely az egyszer½uség kedvéért legyen

8;2 = 0 súlyú. A kiegészített hálót a 10. ábra mutatja. A nemnegatív részgráf itt is vastaggal ki van emelve. Látható, hogy ez esetben a háló vége csak a már említett5;vagy6csomópont lehet.

10. ábra: Topologikus sorrend - példa - kiindulás

A csomópontok számozása láthatóan nem topologikus elrendezés½u. A kiegészített háló súlyozott szomszédsági mátrixa a következ½o (azij =2Apozíciókon lév½o ( 1)értékek - az áttekinthet½oség kedvéért - nincsenek feltüntetve):

Az algoritmus alapján tehát els½o körben keresend½ok azon oszlopok, melyben csak negatív értékek szerepelnek. Ez a 4-es számmal jelzett csomópontnál teljesül. Így top = [4;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0] és a hozzá tartozó módosított mátrix a következ½o:

(21)

A következ½o oszlop, mely a módosított mátrixban nem rendelkezik pozitív értékekkel a7-es számú.

Ígytop= [4;7;0;0;0;0;0;0;0;0;0]és a hozzá tartozó módosított szomszédsági mátrix a következ½o:

A módosított mátrixból kivehet½o következ½o elem az1-es számú. Így top= [4;7;1;0;0;0;0;0;0;0;0]:

A számítás ugyanilyen lépések sorozatán halad keresztül. A végeredmény:

és a hozzá tartozó sorrendvektortop= [4;7;1;8;2;3; r; s;9;5;6]:A sorrendet a mátrixból közvetlenül is ki lehet olvasni. A mátrix oszlopai alatt láthatók az adott oszlopban szerepl½o pozitív elemek száma.

Ezek összevetése atopvektorral megmutatja, hogy annyi pozitív elem van az adott csomópont oszlopában ahányadik maga a csomópont a topologikus sorrendben.

A feladat topologikus számozása a 11. ábrán látható.

(22)

11. ábra: Topologikus sorrend - példa - eredmény

Az új számozás szerinti súlyozott szomszédsági mátrix a következ½o:

27. Megjegyzés. A topologikus sorrend következtében a mátrix f½oátlója alatt csak nempozitív élek szerepelnek. Az A^t halmaz elemei a f½oátló felett helyezkednek el.

2.1.2. Hurokkeresés

Mint látható, hurkok jelenléte a hálóban már a topologikus sorrend meghatározásánál is nehézséget jelentenek. Nincs ez másképp egyéb feladatok esetében sem, ahol a megoldás megtalálása sokszor nagyság- rendekkel komplikáltabb lehet. Akár a hurok létezése, akár a megtalálása a cél, az eszköz rendelkezésre áll.

A hurkok egymással is kapcsolatban lehetnek és ezáltal egymásra is hatással vannak.

28. De…níció. Egy azonos Q hurokcsoportba tartoznak mindazon csomópontok, melyekre létezik olyan hurok, mely az összes csomópontot érinti.

29. De…níció. A hurokcsoportokon kívüli csomópontok hurokmentes csoportokba tartoznak, melyet W -vel jelölünk.

30. Példa. A 2.1.1. fejezetben már vizsgált hálóban a 12. ábrán látható hurkok …gyelhet½ok meg.

A folyamatokra el½oírt minimális és maximális feltételek eredményeképpen el½oálló hurkok:H1=f1;3;1g, H2=f2;4;2g,H3=f3;4;3g,H4f7; r;7g,H5=f8;9;8g,H6=f9; r;9g, az ábrán szaggatottal jelölve.

Az el½obbi hurkok összekapcsolódásaként keletkez½o további hurkok: H7=f1;2;4;3;1g,H8=f1;3;4;2;4;3;1g, H9=f7;8;9; r;7g,H10=f7; r;9;8;9; r;7g, az ábrán vastag vonallal jelölve.

Hurokcsoportok: Q1=f1;2;3;4g(melyben benne vanH1,H2,H3,H7ésH8),Q2=f7;8;9; rg(melyben benne vanH4,H5,H6,H9 ésH10 ), az ábrán piros felh½okkel jelölve.

Hurokmentes csoportok: W1=fsg,W2=f5;6g;az ábrán kék felh½okkel jelölve.

(23)

12. ábra: Hurokazonosítás - példa

Hurkok keresésére többféle algoritmus is létezik. Jelen esetben a hálóban lév½o összes hurokcsoportot meg kell találni és be kell tudni azonosítani, hogy mely csomópontok tartoznak egy hurokcsoportba. Erre 1962-ben Warshall [35] bemutatott egy útkeresési eljárást, melyet kés½obb sok más probléma megoldásában hasznosítottak. Els½oként Floyd [10] fejlesztette tovább az ötletet és kidolgozta a legrövidebb utak keresésének megoldását. Kés½obb Vattai [34] is felhasználta és módosította. A feladat kiindulásaként meghatározandó azM szomszédsági mátrix, melyn nméret½u.

Mij = 1;haij2A 0; különben

Ebb½olV kapcsolati mátrix a szomszédsági mátrix elemein végighaladva a következ½o logikai függvény szerint alakul:

Vij= ha0, akkorMik Mkj

különben1 8k2N

Ennek eredményeképpenV -b½ol a következ½o összefüggéseket lehet kiolvasni:

Vij = 0, ha@P(i; j) 1; ha9 P(i; j)

31. Példa. A 12. ábrán látható hálóra vonatkozó M szomszédsági ésV kapcsolati mátrix:

AV mátrixból további információk is kiolvashatóak:

A f½oátlóban azonosíthatóak be a hurokcsomópontok. HaVii>0;az azt jelenti, hogy létezikP(i; i) út, ami de…níció szerint egy hurok.

Azon csomópontok, melyekhez tartozó oszlop (vagy sor)Vij >0 értékei azonos pozíción vannak és a f½oátlóban is azonos értéken szerepelnek, azonosan egy hurokcsoportba tartoznak.

(24)

A csomópontok sorszámozása a topologikus sorrendnek köszönhet½oen blokkokba rendezi a már de…niáltQ1 , Q2 , valamint W1 ésW2 csoportokat. (A blokkok dupla vonallal vannak elválasztva a kapcsolati mátrixban.) További következmény az is, hogy a blokkok f½oátlója alatt nem létezik út s-b½olr-be.

2.1.3. Útvariáns számlálás

A gráfelméletben az egyik ismert feladat az útvariáns számlálás. A feladat csak aciklikus gráfokra értelmezhet½o, hiszen ha bármely út mentén van egy hurok, akkor azon tetsz½oleges számszor körbe lehet menni. Minden újabb kör egy új útvariánst jelent, így a megoldás nem lehet véges. A beruházási modell jelen dolgozatban megadott peremfeltételei szerint a háló tartalmazhat hurkokat a maximális feltételek következtében. Ugyanakkor, ahogy az már a topologikus sorrend összeállításánál is említésre került, az [N; A^t]háló aciklikus, így ezen halmazra számolhatók útvariánsok.

Útvariánsokat két kitüntetett (x és y) elem között lehet számolni a háló csomópontjaira (és éleire egyaránt). Ekkor azM szomszédsági mátrixból képezhet½oV ARútvariánsokat követ½o mátrix a következ½o eljárással képezhet½o.

V ARij = V ARij+V ARik jV ARkj>0; i; j6=k V ARij jkülönben

Ekkor a kitüntetett elemek sorában és oszlopában találhatóV ARxkésV ARky; k= 1; :::;jMjértékek jelentése a következ½o:

V ARxk a P(x; k)útvariánsok száma V ARky aP(k; y)útvariánsok száma

Ennek alapján az egyes elemekre meghatározható útvariánsok száma:

A kiemelt elemek esetébenvarx=vary =V ARxy

A köztes elemek esetében vark =V ARxk V ARky; mint a beérkez½o és kiinduló utak variációinak száma

Az eredmény jellemz½oi:

Az aciklikus és topologikus feltételek következtében aV ARmátrixban csak a f½oátló felett lehetnek nem nulla értékek.

Ha egyk elem nem része egyetlen a kitüntetett elemek közötti útnak sem, akkorvark = 0.

32. Példa. Tekintsük a 13. ábrán látható hálót. A háló nem teljesíti a projektmodell struktúrájának feltételeit, nem is ez a célja, hanem a V AR mátrix tulajdonságainak bemutatása. Keresend½o ezen háló csomópontjainak és éleinek P(s; r)utakra vonatkozó útvariánsok száma.

13. ábra. Útvariáns számlálás - példa - feladat

33. Példa. Csomópontokra vonatkozóan: A háló pontjaira felírható szomszédsági és variancia mátrix a következ½o:

(25)

M s 1 2 3 4 5 6 r

s 1

1 1 1 1

2 1 1

3

4 1

5 1

6 1

r

V AR s 1 2 3 4 5 6 r

s 3 1 1 1 2 3 3

1 3 1 1 2 3 3

2 2 1 2 2

3 0

4 2 1 1

5 0 1 1

6 3 1

r 3

34. Példa. A variancia mátrixban a kitüntetett s ésr csomópontok dupla vonallal el vannak választva.

A mátrix f½oátlójában (amely az aciklikus tulajdonság következtében úgyis üres) praktikusan számíthatók az egyes csomópontokra vonatkozó útvariánsok. Látható, hogy a 3 -as és 5 -ös pont varianciaértéke 0;

mert nem részei egyetlen P(s; r) útnak sem. Viszont létezik P(s;3) és P(5; r) út, mely a V AR[s;3] és V AR[5; r] pozíciókon meg is jelenik. Mivel azonban nem létezik P(s;5) ésP(3; r)út, ezért V AR[s;5] = V AR[3; r] = 0és így var3=var5= 0:

Élekre vonatkozóan: A háló éleire is felírható az M szomszédsági mátrix. Ekkor a "szomszédság"

fogalma a csomópontokon keresztül szomszédos élekre vonatkozik. Mivel az éleket a kezd½o és vég- csomópontjaik jelölik, a mátrix könnyen összeállítható. Azs-b½ol csak egy él indul (s;1) és az r-be is csak egy él (6; r) érkezik. Ezek a feladatban megjelölt P(s; r) úthoz tartozó kitüntetett élek. A varianciamátrix ennek alapján ugyanazzal a módszerrel számítható.

M s1 12 13 14 24 26 46 56 6r

s1 1 1 1

12 1 1

13

14 1

24 1

26 1

46 1

56 1

6r

35. Megjegyzés. Ha két csomópont között az élekre vonatkozóan szeretnénk megállapítani az útvarián- sok számát, de a vizsgált csomópontok több élnek is részei, akkor két …ktív csomópont és él bevezetésével a példához hasonló struktúrát kapunk. Ekkor a variánsokat a …ktív csomópontok között keressük.

2.2. Az ütemezési feladat

2.2.1. Az alapfeladat ismertetése

A 1.5.1. fejezetben már említett id½otervezési modellek legegyszer½ubb változatai egy lineáris programozási feladaton alapulnak. A feladatban csak minimális feltételek adhatók meg. Az els½o általános megoldást a Bellmann – Ford algoritmus [3] adta, mely a Dijkstra algoritmus [9] néven ismert legrövidebb út feladat továbbfejlesztett változata. Ez utóbbival megegyez½o algoritmust mutatott be korábban Moore [31] is. Bellmann és Ford megoldásában – a Dijkstra algoritmussal szemben – negatív élparaméterek is megadhatók. Ha minden élparaméter negatív, akkor egy ( 1)-es szorzással az egész feladat átalakítható egy pozitív élparaméterekkel rendelkez½o maximális út – minimális potenciál feladattá.

A lineáris programozási feladat lényege, hogy a matematikailag megfogalmazott ún. Primál feladat mellé azonosítható egyDuál feladat is, mely szintén egy lineáris programozási feladat. A feladatpár között a következ½o összefüggések érvényesek (A jelölések a szakirodalmat követve az A x= b; c^T x! max felírásból származnak, mely nem feltétlenül azonos jelen dolgozat jelöléseivel) :

(26)

Primál feladat Duál feladat változók száma n feltételek száma feltételek száma m változók száma

c^T x!max ! b^T y!min ha azi:feltétel " " ! yi 0 a változó ha azi:feltétel "=" ! yi2Ra változó ha a változóxi 0 ! azi:feltétel " "

ha a változóxi2R ! ai: feltétel "="

a feltétel mátrix A ! a feltétel mátrixA^T

a jobb oldali vektor b a célfüggvény együtthatók vektora a célfüggvény együtthatók vektora c a jobboldali vektor

A feladatpár felírásának jelent½osége abban áll, hogy a feladatpár célfüggvényeinek széls½oértékei megegyeznek, mely egyben a feladat optimuma is, így az egyértelm½uen beazonosítható. A következ½okben az ütemezési, vagy más néven id½obeli optimalizálási modell lineáris programozási modellje kerül bemu- tatásra.

Primál feladat. Adott[N; A] digráfon, ij; 8ij2Aés _s=ts ismert egészek mellett keresend½o azon

! _i 8i2Nnfsg potenciálrendszer, melyre teljesül, hogy

j i ij;8ij2A (3)

s = ts

i 2 R

r s ! min

A feladat sémájának táblázatos összefoglalása a következ½o:

s 1 i j r 1 r Duál változók

1 ts x

1 ts y

1 1 s1 fs1

... ... ...

1 1 ij fij

... ... ...

1 1 r 1;r fr 1;r

1 0 0 0 0 1 ! min

A tábla transzponáltja a Duál feladat feltételrendszere. A duál változók a primál tábla mellett szerepelnek.

x y fs1 fij fr 1;r

1 1 1 = 1

1 = 0

... = ...

1 = 0

= ...

1 = 0

... = ...

1 = 0

1 = 1

s1 ij r 1;r ! max

A Duál feladat kiolvasása ezen táblázatból lehetséges.

(27)

Duál feladat. Adott[N; A] digráfon keresend½o azonf folyamrendszer, melyre teljesül, hogy

x y+ X

is2A

fis

X

sj2A

fsj = 1 X

ik2A

fik

X

kj2A

fkj = 0 8k2N fs; rg (4) X

ir2A

fir

X

rj2A

frj = 1

fij 0;8ij 2A

(x y) ts+ X

ij2A

fij ij !max

Az xés y változóktól eltekintve a duál feladat a folyamrendszer feltételrendszerét tartalmazza. A háló de…níciójából következik, hogy P

is2Afis= 0 ésP

rj2Afrj = 0, hiszen ilyen élek nem léteznek. A hálóban a feladat egészérték½uségi feltétele mellett azf folyamrendszer egységnyi folyamot generáls-b½ol r -be. Ahhoz, hogy a forrásnál megjelenjen az egységnyi folyam, szükséges az x=y feltétel. Így ezen változók a célfüggvényb½ol is kiesnek. A célfüggvényben megmaradó kifejezés kijelöli azon P(s; r)ut(ak közül valamelyet), melyre

X

ij2P(s;r)

ij!max

Ez az út a(z egyik) kritikus út is egyben, mely tehát megadja a teljes átfutási id½ot.

36. Megjegyzés. A feladat bemutatása során láthatóvá vált, hogy a _s = ts általánosításnak a feladat megoldása és célfüggvényértékeinek értéke szempontjából nincs jelent½osége. Ezért a továbbiakban az általánosítás korlátozása nélkül feltételezhet½o a _s= 0 feltétel.

Az eredmény. A Primál és Duál feladatok között az alábbi állítások igazak.

37. Állítás. (Gyenge dualitás tétel) Adott [N; A] digráfon a (3) feltételeit teljesít½o és rendszerek, valamint a (4) feltételeit teljesít½of folyamrendszer között teljesül, hogy

X

ij2P(s;r)

ij r

38. Állítás. (Er½os dualitás tétel) Ha a primál és duál feladatok közül valamelyiknek létezik optimális megoldása, akkor mindkett½onek létezik és az optimumban a célfüggvényértékek megegyeznek.

39. Állítás. _r értéke adja az átfutási id½ot, mely egyben a leghosszabb út hossza is.

40. Állítás. P(s; r)út kritikus, ha egyenl½oséggel teljesül a P

ij2P(s;r) ij r reláció. A hálóban több kritikus út is lehet, melyekre teljesül, hogy

mindegyik azonosan _r hosszúságú

bármely út mentén el lehet jutnis-b½ol r-be

a maximális út - minimális potenciál feladat segítségével a csomópontokra meghatározható legnagyobb és legkisebb potenciálértékek -, mint a csomópont bekövetkezésének legkorábbi és legkés½obbi id½opontjai - megegyeznek

2.2.2. A feladat általánosításai

Beruházások esetében az alapfeladat több irányban is általánosítható. Látható hogy az ütemtervek használhatóságához egyrészt a már említett maximális kapcsolatok, másrészt a naptár alkalmazása válik szükségessé.