Algoritmusok összehasonlítása

53. ábra: Független folyamok - példa - 7

Az 53. ábrán látható utolsó iterációban a szabad kapacitás háló végtelen folyamot engeds-b½olr-be, mely a feladat végét jelenti.

II. eset. Ha a szabad kapacitás hálón nem érhet½o el a szükséges folyamérték és ezáltal visszafelé vágásra és átfutási id½o növelésre kerül sor. Ekkor a legrosszabb eset, ha minden A B halmazbeli elem telítése és vágása után következnek a B halmaz elemei oly módon, hogy a technológiaváltások során az összes addigi folyamot fel kell szabadítani. A 57. tétel értelmében a visszafelé történ½o folyamkeresés során az aktuális technológiaváltással azonos élcsoportba tartozó éleken nem szükséges vágás. A legked-vez½otlenebb eset, ha minden technológiaváltás különböz½o élcsoportban szerepel, vagyiskij = 2;8ij2B.

Ekkor a szükséges vágások száma

technológiaváltás nélkül lehetséges vágások száma m

az els½o technológiaváltás során szükséges vágások max. száma

technológiaváltás 1

technológiaváltás után megengedett megoldás (visszafelé) m 1

gyorsabb technológia vágása 1

ismételt vágások a feladat folytatásához m 1

összesen 2m

a második technológiaváltás során szükséges vágások max. száma

technológiaváltás 1

technológiaváltás után megengedett megoldás (visszafelé) m+ 1

gyorsabb technológia vágása 1

ismételt vágások a feladat folytatásához m+ 1

összesen 2m+4

...

azi: technológiaváltás során szükséges vágások max. száma

technológiaváltás 1

technológiaváltás után megengedett megoldás (visszafelé) m+ 2(i 1) 1

gyorsabb technológia vágása 1

ismételt vágások a feladat folytatásához m+ 2(i 1) 1

összesen 2m+4(i 1)

összesen m+m_B2m+PmB

i=14(i 1) A kedvez½otlenebb II. eset …gyelembevételével az algoritmus futási idejének nagyságrendje

O

m+mB 2m+

mB

X

i=1

4(i 1)

!

(n+ ) (m+ )²

!

Folyameltereléses és a független folyamok algoritmusának futási ideje. A szabad kapacitás háló mindkét esetben mindig megengedett, így minden lépésben csupán egy folyamkeresést kell elvégezni.

A különbség az eredeti feladathoz képest a háló méretében van. A folyameltereléses módszer során a többi modellhez képest is többletként bevitt élek esetében az elterelést szolgáló iwél a folyamkeresések során mindig az általa kiegészített ixéllel együtt kerül vágásba és paramétereinek köszönhet½oen soha nem lesz mértékadó a meghatározásában. A megengedett hálóstruktúra érdekében bevittwxél a de…niálása során elmondottakból következ½oen soha nem kerülhet vágásba. Ennek alapján a folyameltereléses algoritmus kib½ovítésének mértékére ugyanúgy elfogadható a érték. Az algoritmusok átfutási ideje:

O (n+ ) (m+ )³

3.5.2. Költségek követése

Az átfutási id½ohöz tartozó költségnövekmény a vágásban szerepl½o éleken realizálódik. LegyenC(T^k)ak:

iterációban kapottT^k átfutási id½ohöz tartozó ütemezés költsége. Ekkor:

C(T^k+1) =C(T^k) + X

ij2v fij=cij

k cij

A folyamrendezéses és a független folyamok algoritmusai során megtalált vágásokban haBhalmazbeli ixvagyxyél kerül, akkor azok az adott iterációban az élcsoportok kialakításakor meghatározott tényleges költségszinttel rendelkeznek. Ha azxy, a technológiaváltás éle van a vágásban, az azt jelenti, hogy ekkor

xy = 1; vagyis cxy =c^v_ij: Ha azix; a gyorsabb technológia éle van a vágásban, az azt jelenti, hogy a technológiaváltás már megtörtént, tehátcix=c^g_ij:Tehát a vágás során is tényleges költségek realizálódnak.

A folyameltereléses módszer esetében azixésxyélekre a fent elmondottak szintén teljesülnek, azonban az ixél vágásakor a háló kialakítása miatt szükségszer½uen az iw él is vágásba kerül. Ekkor a technoló-giaváltás már megtörtént, aziw él telített, rajtaciw=c^v_ij c^g_ij folyam van. Tehát aziw él a vágásban további ^k c^v_ij c^g_ij költséget generál, amely a valóságban nincs. Ezért nevezzük ezt látszatköltségnek, melynek követését és a költségekb½ol való elhagyását biztosítani kell.

3.5.3. Eredmények értékelése

A folyamrendezéses és a folyameltereléses módszer minden lépésben optimális eredménnyel zárul. Ezt igazolja, hogy a primál és duál célfüggvények értékei megegyeznek. A független folyamok módszere e-setében az egyes lépések során csupán a megengedettség biztosított. A megoldások mégis közel vannak az optimálishoz, mert annak elhagyása után a következ½o lépések ismét az optimális megoldás irányába mozdulnak el. Ezt igazolandó tekintsük a három módszer során bemutatott példa egyes lépéseinek ered-ményeit. A következ½o három táblázat az egyes módszerek által adott eredményeket foglalja össze. A primál feladat során értelmezhet½oT átfutási id½o, valamint a célfüggvényérték. Az el½oz½o lépés maximális folyamának eredményeképpen kapott vágás alapján számítható az ütemezés költsége. A duál oldalon talál-ható a folyamrendszer, melynek aktuális nagyságát azf oszlop tartalmazza. Ezt követ½oen számítható a duál célfüggvény és értékelhet½o, hogy a megoldás optimális-e.

primál feladat duál feladat

T P

ij2Acij ij C(T) f P

ij2A fij<cij

(cij fij) (bij) P

ij2A cij<fij

(fij cij) (aij) opt.

1. 18 3757 0 0 3757 I

2. 13 3507 250 50 3507 I

3. 9 3107 650 100 3107 I

4. 8 2403 950 199 2403 I

5. 6 2003 1150 200 2003 I

6. 8 1954 1150 149 1954 I

7. 7 1804 1200 150 1804 I

8. 6 1100 1500 199 1100 I

9. 4 700 1900 200 700 I

4. táblázat: Folyamrendezéses módszer lépéseinek eredményei

Ahogy azt a 4. táblázat is mutatja, a folyamrendezéses módszer esetében minden lépésben optimális a megoldás. A célfüggvényértékek monoton csökkennek, mely az algoritmus végességét is garantálja.

Látható az 5. lépésben bekövetkezett technológiaváltás hatása, mely a 4. lépésben kapott eredményt áthelyezte egy másik megoldáshalmazba. Ez magyarázza az átfutási id½o és a folyamnagyság változásának átmeneti irányváltását, valamint azt, hogy az egymást követ½o célfüggvények különbsége nem egyezik az ütemezés költségének növekedésével.

primál feladat duál feladat

T P

ij2Acij ij C(T) f P

ij2A fij<cij

(cij fij) (bij) P

ij2A cij<fij

(fij cij) (aij) opt.

1. 18 3757 0 0 3757 I

2. 13 3507 250 50 3507 I

3. 9 3107 650 100 3107 I

4. 8 2803 950 300 2803 I

5. 6 2203 1550 300 2203 I

6. 5 1800 1950 400 1800 I

7. 4 1400 2350 400 1400 I

5. táblázat: Folyameltereléses módszer lépéseinek eredményei

Az 5. táblázat szerint a folyameltereléses módszer esetén nem történik megoldáshalmaz - módosítás.

Az átfutási id½ok és a célfüggvényértékek monoton csökkennek, az ütemezés költsége és a folyam nagysága monoton növekednek. Az ütemezés költsége a gyorsabb technológiai variánsok vágásba kerülése után nem egyezik a folyamrendezéses módszer eredményeivel. A különbség a (15) képlet alapján számítható.

primál feladat duál feladat

T P

ij2Acij ij C(T) f P

ij2A fij<cij

(cij fij) (bij) P

ij2A cij<fij

(fij cij) (aij) opt.

1. 18 5000 0 0 5000 I

2. 13 4750 250 50 4750 I

3. 9 4350 650 100 4350 I

4. 8 2850 950 300 2850 I

5. 6 2250 1350 200 2450 N

6. 5 850 1750 400 850 I

7. 4 700 1900 150 800 N

6. táblázat: Független folyamok módszer lépéseinek eredményei

A 6. táblázat szerint a független folyamok módszere esetén az ütemezés költsége a tényleges értékeket tartalmazza. Az egyik technológiaváltás a 4. lépésben következik be, mely az 5. lépés szabad kapa-citáshálózatán nem képes az optimalitási kritériumoknak megfelel½o folyamot biztosítani. A 6. lépésben azonban már ismét optimális a megoldás.

3.5.4. Következtetés

A folyamrendezéses algoritmus kedvez½otlen esetben a sorozatos visszafelé történ½o folyamkeresés és vágás következtében az eredeti feladathoz képest is hosszabb futási id½ot eredményezhet. A folyamelterelés és a független folyamok módszere feloldja ezt a problémát, tehát egyértelm½uen kedvez½obb megoldás.

Míg az eredeti feladat futási ideje a variánsok számának növekedésével exponenciálisan n½o, addig a folyameltereléses és a független folyamok módszerével csupán polinomiális a növekedés.

A folyamelterelés módszerénél a látszatköltségek kezelése okoz többletfeladatot, a független folyamok módszerénél pedig átmenetileg nem optimális megoldásokkal találkozhatunk.

Összességében tehát elmondható, hogy a független folyamok módszere elszakad ugyan a maximális folyam algoritmus LP megoldásától, viszont hatékonysága azzal szemben egyértelm½u.

4. Az ütemezési feladat naptárasítása

Beruházások modellezésénél alkalmazott naptárasítás jelent½oségér½ol, megoldásairól és eredményeir½ol a 2.2.2. fejezetben részletes leírás található. A folyamatid½ok naptárasításának módja egy az egyben al-kalmazható, hiszen kifejezetten erre a problémára alapul. Ennek megfelel½oen tehát a folyamatokra meghatározott szükséges munkaid½ok ( ij) a kezdési id½opontjaik szerint ( _i) a hozzájuk rendelt nap-tárvektor (dij) alapján veszik fel változó idej½u naptárasított tevékenységidejüket (#ij( _i)). A cél a költ-ségtervezési feladat naptárasítása, melynek egyik része az id½otervezési feladat. A naptárasítás éppen ezt a részt érinti és mint az már említésre került, a tetsz½oleges naptárak és maximális feltételek korlátlan alkalmazására a szakirodalomban nem található megfelel½o lineáris programozási feladaton alapuló -algoritmus. Ezért els½oként ennek vizsgálata és megoldása szükséges.

In document Beruházási modellek jellemz½oi (Pldal 56-60)