2. Irodalomkutatás 16
2.3. A költségtervezési feladat
2.3.1. Az alapfeladat ismertetése
A költségtervezési feladat megfogalmazása tevékenység él½u hálóban el½oször Kelley és Walker [23] munkájá-ban jelent meg 1959-ben, melyben egy lineáris programozási feladaton alapuló megoldást is közöltek.
1961-ben hálózati folyam algoritmuson alapuló megoldást adott Fulkerson [13] és Kelley [22]. A költ-ségtervezési feladat visszavezethet½o egy minimális költség½u folyam feladatra. Ezen folyamalgoritmusok megtalálhatóak Ahuja et. al. [1] munkájukban. A feladat megoldására 1969-ben megjelent Klafszky [25], majd 1993-ban Hajdu és Klafszky [15] dolgozata, melyek maximális folyam algoritmuson alapulnak, azonban csak minimális feltételek kezelésére alkalmasak. A 2004-ben és 2005-ben megjelent Mályusz két cikkében [28] és [29] már lehet½oség van a maximális feltételek korlátlan alkalmazására is. Ennek rövid bemutatása következik. A jelölések a 1.5.2. fejezetnek megfelelnek.
Primál feladat. Adott[N; A]digráfban keresend½o azon és rendszer, melyekre teljesül, hogy
ij+ i j 0;8ij 2A
ij aij;8ij2A (9)
ij bij;8ij2A
ij 2 R;8ij2A (10)
i 2 R;8i2N (11)
X
ij2A
cij ij ! max
A feladat táblázatos ábrázolása a következ½o:
s;1 ij r 1;r s i j r Duál változók
1 1 0 fs;1
... ... ... ...
1 1 1 0 fij
... ... ... ...
1 1 0 fr 1;r
1 0 as;1 (fs;1 cs;1)
... ... ... ...
1 0 0 aij (fij cij)
... ... ... ...
1 0 ar 1;r (fr 1;r cr 1;r)
1 0 bs;1 (cs;1 fs;1)
... ... ... ...
1 0 0 bij (cij fij)
... ... ... ...
1 0 br 1;r (cr 1;r fr 1;r)
cs;1 cij cr 1;r 0 0 0 0 ! max
A táblázat transzponáltja a Duál feladat feltételrendszere, melynek változói a primál tábla mellett kerültek de…niálásra.
fij (fij cij) (cij fij)
1 1 1 = cs;1
... ... ... = ...
1 1 1 = cij
... ... ... = ...
1 1 1 = cr 1;r
1 0 0 = 0
... ... ... = ...
1 0 0 = 0
... ... ... = ...
1 0 0 = 0
... ... ... = ...
1 0 0 = 0
0 0 0 as;1 aij ar 1;r bs;1 bij br 1;r ! min
A Duál feladat kiolvasása ezen táblázatból lehetséges.
Duál feladat. A duál változókra nemnegativitás vonatkozik. Ezért a feladatot ketté kell bontani.
I. eset. fij 0 és(fij cij) 0!fij cij , ekkor fij (fij cij) =cij (mindig igaz, nem jelent feltételt P
kj2Afkj P
ik2Afik= 0; 8k2N (folyamfeltétel P
ij2A(fij cij) ( aij)!min
II. eset. fij 0 és(cij fij) 0!0 fij cij , ekkor fij+ (cij fij) =cij (mindig igaz, nem jelent feltételt P
kj2Afkj P
ik2Afik= 0; 8k2N (folyamfeltétel P
ij2A(cij fij) (bij)!min
Összesen. Adott[N; A]digráfban keresend½o azonf folyamrendszer, melyre teljesül, hogy X
kj2A
fkj
X
ik2A
fik= 0; 8k2N (12)
X
ij2A fij<cij
(cij fij) (bij) X
ij2A cij<fij
(fij cij) (aij)!min
A folyamfeltételek nincsenek megkülönböztetve azsésrcsomópontok esetére, tehát a folyam cirkulál.
Ennek megfelel½oen a feladatban az [N; A]digráfot ki kell egészíteni egy rs éllel, mely a feladat megold-hatóságát nem korlátozhatja. Az él egy maximális feltétel, melynek a következ½o paraméterezése lehetséges
ars = r
brs = 0 crs = 0
Eredmény. A Primál és Duál feladatokra a következ½o állítások igazak.
47. Állítás. (Gyenge dualitás tétel) Adott [N; A] digráfon a (9) feltételeit teljesít½o és rendszerek, valamint a (12) feltételeit teljesít½o f folyamrendszer között teljesül, hogy
X
ij2A
cij ij
X
ij2A fij<cij
(cij fij) (bij) X
ij2A cij<fij
(fij cij) (aij)
48. Állítás. (Er½os dualitás tétel) Ha a primál és duál feladatok közül valamelyiknek létezik optimális megoldása, akkor mindkett½onek létezik és az optimumban a célfüggvény értékek megegyeznek.
49. Állítás. Az optimalitási kritériumok a következ½ok:
1. ha j i> ij;akkorfij = 0 2. ha j i> aij;akkor fij cij
3. ha j i< bij;akkorfij cij
2.3.2. A maximális folyam algoritmus
A maximális folyam algoritmuson alapuló költségtervezési feladat a probléma megoldását a duál oldalról közelíti meg.
50. Megjegyzés. A duál feladat feltételrendszerében megjelen½o folyamrendszerhez értelmezhet½o m½uszaki magyarázat. A folyam tekinthet½o az egyes folyamatok megvalósításához szükséges munkaer½o növekménynek a folyamatid½o csökkentése érdekében. Ezáltal a folyamrendszer megmutatja, hogy hol és mekkora minimális munkaer½o többletre van szükség az adott átfutási id½o teljesítése érdekében.
A maximális folyam algoritmuson alapuló megoldás adott és rendszerek mellett olyan folyamokat keres, melyek megfelelnek (12) feltételnek. Ezek megtalálásában segítenek az optimalitási kritériumok.
A feltételek értelmezése a 15. ábrán látható.
15. ábra. Az optimalitási feltételeket teljesít½o ; ésf rendszer
Az algoritmus bemen½o adatai között nem szerepelnek folyamértékek, csupán az aij; bij és cij él-paraméterek. Az optimalitási feltételeknek megfelel½o els½o megengedett megoldást tehát de…niálni kell.
A legkézenfekv½obb és legegyszer½ubb lehet½oség, ha de…niáljuk f ! fij = 0;8ij 2A kiindulási folyamot.
Az optimalitási feltételeknek megfelel½oen az ehhez tartozó rendszerben ij = bij;8ij 2 A kiinduló megoldást jelent minden olyan esetben, ahol cij >0: Ez csak azA+ halmaz elemei közt lehetséges. Az egységesség érdekében legyen ij =bij;8ij 2A+:AzA0halmaz esetébenaij =bij = 0;tehát az egyetlen lehet½oség a ij = 0: A maximális feltételeket teljesít½oA élhalmaz esetében a ij értékek felvételét nem befolyásolja az f folyamrendszer, hiszencij =fij = 0teljesül. Ezen élek kiindulási ij értékét az üte-mezés megoldhatósága szabja meg, mely szerint legyen ij =aij;8ij2A . Ennek alapján az ütemezési feladat segítségével megállapítható az els½o rendszer.
Az algoritmus megengedett primál és duál megoldásokon keresztül többszöri iterációs számítás során jut el a kívánt átfutási id½oig, mely egy ;egy és egyf rendszert de…niál. A folyamot[N;A; z]b szabad
kapacitás hálón keressük, ahol Ab = fij 2 A;ji =2 Ag. A z (zij 0;8ij 2 A) szabad kapacitás rend-^ szer értékekeit az optimalitási kritériumok szerint határozzuk meg. Az iterációk során minden lépésben meghatározásra kerül egy-egy szabad kapacitás háló, melyen beazonosítható maximális folyam az el½oz½o iterációig felhalmozottf folyamrendszerhez képest lehetségesg többletfolyamot jelenti.
Ennek alapján az élek öt osztályba sorolhatóak, melyet az 1. táblázat foglal össze. Az osztályok értelmezése a 15. ábrán is látható.
elosztaly opt:kriterium rendszer f rendszer z rendszer
I csak az 1: bij< j i fij = 0 zij = 0 zji= 0
II 2: es3: aij < j i< bij fij =cij zij = 0 zji= 0 III csak a2: aij = j i fij cij zij =1 zji=fij cij
IV csak a3: j i=bij fij cij zij =cij fij zji=fij
V egyik sem aij = j i=bij fij 0 zij =1 zji=fij
1. táblázat: Az optimalitási feltételeknek megfelel½o élosztályok
A g folyam az [N;A]b háló egyes éleit telíti. Ha ezen élek eltávolításra kerülnének, akkor a maradék [N;A]e hálón nem létezik P(s; r)út. Ez könnyen belátható, hiszen ha létezne ilyen út, az azt jelentené, hogy ezen az úton még további többletfolyamot lehet átküldeni s -b½ol r -be, vagyis f nem maximális folyam.
51. Jelölés. A folyam az [N;A]e hálóban képezi a csomópontok azonS halmazát, melyre9P(s; i);8i2S feltétel teljesül. AzNnS halmaz csomópontjai azR halmazba kerülnek.
52. De…níció. Azon ij élek halmaza, melyre i2S és j2R teljesül, av vágás részét képezik.
A de…nícióból következik, hogy vágásban az él minden esetben vagycij;vagy0halmozott folyamértékkel rendelkezik. Az él aktuális és állapota a 15. ábra gra…konjának vízszintes vonalain helyezkedik el. A vágásban de…niáljuk értékét, mint azRhalmaz potenciálértékeinek csökkentése. Az optimalitási kritéri-umok megtartása érdekében az élek csúcspontjainak potenciálértékeit oly mértékben lehet változtatni, hogy a kapott ; ésf értékek továbbra is megengedett megoldást adjanak. A érték meghatározásakor azonban …gyelembe kell venni azon ij 2 A éleket is, melyekre i 2 R és j 2 S teljesül. A potenciálok módosításának korlátját élosztályonként a 2. táblázat foglalja össze.
i2S; j2R i2R; j2S
elosztaly fij ij fij ij
I fij = 0 ij j i bij fij = 0 1
II fij =cij ij j i aij fij =cij ij i j+bij
III fij cij nem lehet vagasban fij =cij ij i j+bij
IV fij =cij ij j i aij fij = 0 1 V fij cij nem lehet vagasban fij = 0 1
2. táblázat: Az optimalitási kritériumokat teljesít½o potenciál módosítási korlátok
AzRhalmaz csomópontjainak potenciálmódosítása egységesen egy értékkel lehetséges, mely a vágás-ban meghatározott ij értékek minimuma. Ezzel biztosítva minden élre a megengedett megoldás tel-jesítését. Tehát = minf ij jij2vg
2.3.3. A feladat általánosításai
Költségadatok általánosítása. A modell input adatainak b½ovítéseképpen - els½osorban az épít½oipari gyakorlatra tekintettel - Mályusz [28] az egyes csomópontokra, mint ütemezési mérföldkövekre vizsgálta a kötbérek és el½oteljesítési prémiumok költségoptimalizálásának lehet½oségét. Itt tehát a feladatban nemcsak az éleken, hanem a csomópontokon is költségadatok vannak de…niálva a pénzfolyamnak megfelel½o el½ojellel, melyek természetesen a célfüggvényekben megjelennek.
A tevékenységek költségadatainak általánosítására készült Mályusz egy másik [29] munkája is, mely-ben a tevékenységek közvetett költségeit vonja be a modellbe. Ebmely-ben a folyamatok monoton csökken½o költséggörbéje kiegészül egy monoton növeked½o szakasszal. A megoldás során a feladatot visszavezeti a fe-ladat adatstruktúrájára azáltal, hogy a tevékenységet a költségek módosulása szerinti id½o-intervallumokra
bont- ja, az értelmezés szerinti pozitív id½otartamokhoz tartozó negatív költséget pedig áttranszformálja negatív id½otartamhoz tartozó pozitív költséggé. Ezzel a háló mérete módosul, a csomópontok és az élek száma is tevékenységenként eggyel növekszik. A kapott intervallumokat külön éleken jeleníti meg. A módszer sematikáját a 16. ábra mutatja.
16. ábra: Összetett költséggörbe szakaszolása
Id½o-adatok általánosítása. A feladat MPM hálóra történ½o leképezését Hajdu [14] mutatta be 1993-ban. Abban a modellben a tevékenységek között azonban csak minimális kapcsolatok értelmezhet½oek, valamint további el½oírás, hogy a tevékenységek nem megszakíthatóak. Utóbbi feltételt kés½obb szintén Hajdu [16] oldotta fel. A kapcsolatok korlátozásának hatásai az id½otervezési feladat elemzése során rész-letesen tárgyalásra kerültek.
Változó folyamatid½ok alkalmazásának lehet½oségeit mutatja be Cai et. al. [5] könyve, melyben költség-optimalizálás is szerepel. Logisztikai problémákra vonatkozóan több verzióra is kidolgozták a min-imális költség½u út feladatot annak megfelel½oen, hogy az egyes csúcsokra, mint várakozási pontok, milyen feltételek vonatkoznak. A szállítási id½ok aktuális értékei az indulási id½opont függvényében határozhatók meg, mely megegyezik a projektmodell esetében alkalmazott naptárasítási eljárással. A különböz½o id½opon-tokban de…niálható szállítási id½okre azonban a feladat jellege következtében nem írható el½o a (8) feltétel, valamint negatív folyamatid½ok sincsenek értelmezve a modellben.
Természetesen beruházási modellekre is léteznek már a naptárakat …gyelembe vev½o költségoptimal-izálási eljárások. Azonban a szakirodalomban részletesen bemutatott algoritmus és direkt bizonyítások nem lelhet½ok fel. Ennek oka vélhet½oen a feladat komplexitása, mely a dolgozat kés½obbi fejezeteiben rész-letesen elemzésre kerül. Ezért a megoldások mindegyikében vannak hipotetikus részletek, mely tény nyitva hagyja a lehet½oséget a további eljárások kutatására.