3. Technológiaváltás lehet½osége a költségtervezési feladatban 35
4.1. A feladat de…niálása
4. Az ütemezési feladat naptárasítása
Beruházások modellezésénél alkalmazott naptárasítás jelent½oségér½ol, megoldásairól és eredményeir½ol a 2.2.2. fejezetben részletes leírás található. A folyamatid½ok naptárasításának módja egy az egyben al-kalmazható, hiszen kifejezetten erre a problémára alapul. Ennek megfelel½oen tehát a folyamatokra meghatározott szükséges munkaid½ok ( ij) a kezdési id½opontjaik szerint ( i) a hozzájuk rendelt nap-tárvektor (dij) alapján veszik fel változó idej½u naptárasított tevékenységidejüket (#ij( i)). A cél a költ-ségtervezési feladat naptárasítása, melynek egyik része az id½otervezési feladat. A naptárasítás éppen ezt a részt érinti és mint az már említésre került, a tetsz½oleges naptárak és maximális feltételek korlátlan alkalmazására a szakirodalomban nem található megfelel½o lineáris programozási feladaton alapuló -algoritmus. Ezért els½oként ennek vizsgálata és megoldása szükséges.
Általában teljesül az egyenl½oség, azonban hurkok esetében ez nem egyértelm½u.
Ha valamely Pi(s; r) út része valamely Hk hurok, akkor egyértelm½uen megadható x 2 NHk; az út mentén els½oként elért hurokpont. A hurokban legyen ez a körbeszámolás kezd½opontja. Ha (17) alapján Lix-b½ol minden további hurokpontra meghatározzuk Lij; j 2 NHkn fxg úthosszakat, akkor visszaérve a kiindulási ponthoz, egy újabb (ellen½orz½o) értéket kapunk x -re. Legyen ez dLix: De…níció szerint a hurokérték a hurok mentén elhelyezked½o élek értékeinek el½ojeles összege. Naptárasított feladat esetén természetesen ekkor a #xy(Lix) értékeket kell …gyelembe venni. Így könnyen belátható, hogy ekkor
Hk=Ldix Lix:A hurokérték a hurok viselkedésének jellemz½oje. A "konstans" feladatból ismert, hogy ha a hurokérték pozitív, akkor az ütemezési feladatnak nincs véges megoldása. Viszont id½ot½ol függ½o élekkel rendelkez½o tervütem háló esetében a hurokérték a tevékenységid½ok függvényében változik. Ha az aktuális Hk pozitív, akkordLix értékkel újra körbeszámolható a hurok, mely újabb ellen½orz½o értéket eredményez az újonnan meghatározott Lcij; j 2 NHk n fxg értékek alapján. Ez az iterációs számítás addig folytatható, míg az ellen½orz½o érték nagyobb a kiindulási értéknél és ez lesz az adott útvariánshoz rendelhet½o úthosszak értéke a Hk hurokban.
A kérdés, hogy az iterációs számítás nem ugrik-e át olyanLij; j2NH értékeket, melyek megengedett megoldást eredményeznének a hurokban. Más szóval nem marad-e ki olyanLix érték, amelyb½ol végigszá-molva a hurokérték szintén nempozitív lenne.
69. Tétel. Adott [N; A] digráfon értelmezett # rendszer esetén a fent leírt iterációs számítás az els½o lehetséges megoldást eredményezi a hurokban.
70. Bizonyítás. Legyen gLix az iteráció során átugrott potenciálérték, vagyis
Lix<Lgix<Ldix (I)
Az általa meghatározott ellen½orz½o érték legyenLdgix. Ha ez megengedett megoldást adna, akkor dg
Lix Lgix (II)
reláció teljesülne. A bizonyítás célja megmutatni, hogy (I) és (II) relációk egyszerre nem állhatnak fenn.
A két kiindulási érték közti összefüggés legyen
Lgix=Lix+"; " >0 (III) Vizsgáljuk meg Liy ésLfiy értékeket, ahol xy2AHk:
Liy =Lix+#xy(Lix) (IV)
Lfiy =gLix+#xy(gLix) (V)
Az (V) egyenletben használjuk fel a (III) összefüggést.
Lfiy =Lix+"+#xy(Lix+")
Ezután (8) feltétel alkalmazható.
Lfiy Lix+"+#xy(Lix) "
A bal oldal egyszer½usíthet½o"-nal.
Lfiy Lix+#xy(Lix)
Felhasználva a (IV) összefüggést.
Lfiy Liy
Ezen vizsgálattal analóg módon az összes hurokpontra - így a kezd½opont ellen½orz½o értékeire is - felírható az összefüggés, miszerint
dg Lix dLix
Az eredményt illesszük be (I) relációba.
Lix<gLix<Ldix dgLix
Így a kimaradó értékekre nézve kimutatható reláció
gLix<dgLix ,
ami éppen ellentétes relációt mutat a (II) feltételhez képest. Tehát kimondható, hogy (I) és (II) együttesen soha nem állhat el½o. Ez azt jelenti, hogy az iterációs számítás során ténylegesen az els½o lehetséges megoldást kapjuk meg.
71. Tétel. Adott[N; A] digráfon értelmezett# rendszer esetén a hurkokat is tartalmazó utak hosszának megállapításához szükséges fent leírt iterációs számítás során meghatározott els½o lehetséges megoldásban a hurokérték zérus.
72. Bizonyítás. Legyen gLix; x 2 Hk az utolsó nem megengedett megoldás a hurok körbeszámolásának kiindulási pontjára vonatkozóan. A körbeszámolás ellen½orz½o értéke legyen Lix, mint az els½o megengedett megoldás része. Ekkor a következ½o körbeszámolás Lix értékkel indul. (8) feltétel következtébenLij Lfij; 8i2NHk: TehátdLix újabb ellen½orz½o értékre is igaz, hogy dLix Lix:
Megengedett megoldás révén az aktuális hurokérték Hk 0;tehát Ldix Lix 0;átrendezvedLix Lix: A két reláció csak akkor teljesülhet együttesen, hadLix=Lix, vagyis a hurokérték zérus.
73. De…níció. Kritikus hurok alatt azonHk hurkot értjük, melynek hurokértéke zérus.
Az útvariánsok és úthosszak értelmezése után a második lépcs½oben felírható a feladat az ütemezési alapfeladat lineáris programozási megoldása alapján.
4.1.1. Primál feladat
Adott [N; A] digráfon értelmezett rendszer esetén keresend½o azon ! i;8i 2 N rendszer, melyre teljesül, hogy
s = 0 (18)
i Lij; i= 1; :::; p; j2Nn fsg
r s = r!min
A Duál feladat meghatározásához fel lehet írni a Primál feladat táblázatos sémáját.
s j r L duál változók
1 0 x
1 0 y
... ... ... ...
1 L1j F1j
... ... ... ...
1 Lpj Fpj
... ... ... ...
1 L1r F1r
... ... ... ...
1 Lpr Fpr
0 0 1 ! min
A tábla transzponáltja mutatja meg a Duál feladat feltételrendszerét. A duál változók a primál tábla jobb oldalán vannak azonosítva.
x y F1j Fpj F1r Fpr
1 1 0 = 0
... ...
1 1 = 0
... ...
1 1 = 1
0 0 L1j Lpj L1r Lpr ! max
4.1.2. Duál feladat
Azxésy változók esetén az egyetlen lehetséges megoldásukx=y= 0:Továbbá mindenj 2Nn fs; rg esetén a feltétel, hogyPp
k=1Fkj= 0:A változókra nemnegativitás feltétele áll fenn, ezért ez csak akkor lehetséges, haFkj = 0; k = 1; :::; p: Ennek megfelel½oen a célfüggvénybenFkj Lkj = 0; 8j 2N n fs; rg;
k= 1; :::; p:
Az egyetlen vizsgálatra érdemes tartomány az utolsó feltétel, melyb½ol felírható a Duál feladat.
Xp k=1
Fkr= 1 (19)
Xp k=1
Fkr Lkr !max
AzFkr; k= 1; :::; pértékek értelmezhet½ok az egyes útvariánsok súlyozásának.
74. Jelölés. Legyen = maxfLkr jk= 1; :::; pg; mint a tervütem hálóban fellelhet½o leghosszabb út hossza.
Ez a súlyozás kijelöli azonPi(s; r)útvariáns(ok közül valamelye)t, mely(ek)re Lir= : 4.1.3. Eredmény
A Primál és Duál feladatok közötti összefüggést a következ½o Állítás fogalmazza meg.
75. Állítás. Adott[N; A]digráfon a (18) feltételeit teljesít½o és rendszerek, valamint a (19) feltételét teljesít½o F súlyozási rendszer között teljesül, hogy
r
Xp k=1
Fkr Lkr
76. Bizonyítás. A Primál oldal esetében r Lkr; k= 1; :::; p az el½oírt feltételrendszer. Ekkor r . A Duál oldal elemzése kapcsán használjuk fel a bevezetett értéket.
Pp
k=1Fkr Lkr Pp k=1Fkr
Az összegb½ol kiemelhet½o : Pp
k=1Fkr Lkr Pp
k=1Fkr
A súlyszámok összege a (19) feltételben adott, értéke1.
Pp
k=1Fkr Lkr
Tehát a két oldal összevetése megmutatja a köztük lév½o relációt, miszerint r Pp
k=1Fkr Lkr: Tehát r Pp
k=1Fkr Lkr és ezzel a bizonyítás véget ért.
4.1.4. A feladat elemzése
A feladat megoldása során[N; A]digráfban azonosításra kerülnek ipotenciálértékek, melyek (18) alapján
i= maxfLkijk= 1; :::; pg; i2Nn fsg (20) 77. De…níció. Naptárasított folyamatid½okre értelmezhet½o várakozási id½o alatt a kezd½o és végcsomópont potenciálértékei között lev½odij(t) = 1érték½u naptárelemek száma és a folyamat alapértéke közötti különb-séget értjük és !ij-vel jelöljük, vagyis:
!ij= 0
@ Xj
t= i
dij(t) 1
A ij;8ij2A
78. De…níció. Naptárasított kritikus út alatt azon Pk(s; r) útvariánsok alkotta részgráfot értjük, mely utak mentén!ij = 0;8ij2Pk(s; r):
Az eddigiek alapján a feladatnak két megoldása lehetséges:
1. Létezik véges megoldás. Ha létezik véges megoldás, akkor hurok esetén az iterációs számítás mi-att nem biztos, hogy létezik a hagyományos értelemben vett kritikus út. A feladatnak ekkor két megoldása lehet:
(a) Létezik egy vagy többPk(s; r)naptárasított kritikus út, melyekre teljesül, hogy
r= X
ij2Pk(s;r)
#ij( i)
(b) Létezik egy, vagy több kritikus Hk hurok, mely a hálóban "szakadást" okoz, ahol j i >
#ij( i);8ij2Aji =2NHk; j2NHk:Ezáltal mindeniesetén Lir > X
xy2Pi(s;r)
#xy(Lix)
j = 1; :::; p
2. Nincs véges megoldás, ami a T átfutási id½o túllépését jelenti. Ez lehet egy hurokban létrejöv½o többszöri iterációs ciklus eredménye, vagy csupán valamely útvariáns, melyek következtében létezik ij2P(s; r);melyre#ij( i) =1:
79. Megjegyzés. Természetesen lehetséges olyan eset, amikor a megoldásban egyszerre létezik kritikus út és kritikus hurok is. Azonban ekkor a hurok a de…níció alapján nem okoz "szakadást". Ez esetben a kritikus út megléte a mértékadó, ezért ezt a helyzetet megkülönböztetés nélkül az els½o csoportba soroljuk.