Gazd. Mat II Gyakorlatok

(1)

Gazd. Mat II Gyakorlatok

(2)

8. gyakorlat

Érzékenységvizsgálat

Címkézési technika, út és üres vágás

megkeresése

(3)

Lineáris egyenlőtlenség-rendszerek megoldása

Az érzékenységvizsgálat során meg kell tudnunk oldani bizonyos egyszerű egyenlőtlenség-rendszereket.

(4)

Lineáris egyenlőtlenség-rendszerek megoldása

Az érzékenységvizsgálat során meg kell tudnunk oldani bizonyos egyszerű egyenlőtlenség-rendszereket.

(5)

Feladat

Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget: (λaz ismeretlen.)

−26λ, λ64, −36λ. Az egyenlőtlenség-rendszert grafikus úton oldjuk meg.

At ábráról leolvasható, hogy−26λ64vagy másképpen felírva λ∈[−2,4].

(6)

Feladat

−26λ, λ64, −36λ. Az egyenlőtlenség-rendszert grafikus úton oldjuk meg.

(7)

Feladat

−26λ, λ64, −36λ.

Az egyenlőtlenség-rendszert grafikus úton oldjuk meg.

(8)

Feladat

−26λ, λ64, −36λ.

(9)

Feladat

−26λ, λ64, −36λ.

(10)

Feladat

−26λ, λ64, −36λ.

(11)

Azok az egyenlőtlenség-rendszerek, melyeket meg kell oldanunk az érzékenységvizsgálat során

b+λu_i >0

alakúak, aholb,u_i∈Rⁿadott vektorok,λaz ismeretlen és az egyenlőtlenség komponensenként értendő.

Ezeket az egyenlőtlenségeket előszörλ-ra kell rendeznünk. A rendezés során a következő szabályokat alkalmazzuk:

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a valós számot adjuk hozzá (vagy vonjuk ki) a relációjel megőrződik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív valós számmal szorozzuk (vagy osztjuk), akkor a relációjel megőrződik.

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a negatív valós számmal szorozzuk (vagy osztjuk), akkor a relációjel megfordul.

(12)

b+λu_i >0

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a valós számot adjuk hozzá (vagy vonjuk ki) a relációjel megőrződik. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív valós számmal szorozzuk (vagy osztjuk), akkor a relációjel megőrződik.

(13)

b+λu_i >0

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalához ugyanazt a valós számot adjuk hozzá (vagy vonjuk ki) a relációjel megőrződik.

Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát ugyanazzal a pozitív valós számmal szorozzuk (vagy osztjuk), akkor a relációjel megőrződik.

(14)

b+λu_i >0

(15)

b+λu_i >0

(16)

Feladat

Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenség-rendszert: 2λ+3>0 −3

−3λ+5>0 −5

−3λ−2>0 +2

=⇒

2λ>−3 :2

−3λ>−5 : (−3)

−3λ>2 : (−3)

=⇒

λ>−3 2 λ6 5

3 λ6−2

3

=⇒

−3 2 6λ λ6 5 3 λ6−2

3

(17)

Feladat

Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenség-rendszert:

2λ+3>0 −3

−3λ+5>0 −5

−3λ−2>0 +2

=⇒

2λ>−3 :2

−3λ>−5 : (−3)

−3λ>2 : (−3)

=⇒

λ>−3 2 λ6 5

3 λ6−2

3

=⇒

−3 2 6λ λ6 5 3 λ6−2

3

(18)

Feladat

2λ+3>0 −3

−3λ+5>0 −5

−3λ−2>0 +2

=⇒

2λ>−3 :2

−3λ>−5 : (−3)

−3λ>2 : (−3)

=⇒

λ>−3 2 λ6 5

3 λ6−2

3

=⇒

−3 2 6λ λ6 5 3 λ6−2

3

(19)

Feladat

2λ+3>0 −3

−3λ+5>0 −5

−3λ−2>0 +2

=⇒

2λ>−3 :2

−3λ>−5 : (−3)

−3λ>2 : (−3)

=⇒

λ>−3 2 λ6 5

3 λ6−2

3

=⇒

−3 2 6λ λ6 5 3 λ6−2

3

(20)

Feladat

2λ+3>0 −3

−3λ+5>0 −5

−3λ−2>0 +2

=⇒

2λ>−3 :2

−3λ>−5 : (−3)

−3λ>2 : (−3)

=⇒

λ>−3 2 λ6 5

3 λ6−2

3

=⇒

−3 2 6λ λ6 5 3 λ6−2

3

(21)

Feladat

2λ+3>0 −3

−3λ+5>0 −5

−3λ−2>0 +2

=⇒

2λ>−3 :2

−3λ>−5 : (−3)

−3λ>2 : (−3)

=⇒

λ>−3 2 λ6 5

3 λ6−2

3

=⇒

−3 2 6λ λ6 5 3 λ6−2

3

(22)

Az ábráról leolvasható, hogy−³₂ 6λ6−²₃, azazλ∈

−³₂,−²₃ .

(23)

Az ábráról leolvasható, hogy−³₂ 6λ6−²₃, azazλ∈

−³₂,−²₃ .

(24)

A lineáris programozási feladatok érzékenységvizsgálata

(25)

Az érzékenységvizsgálat során azt állapítjuk meg, hogy a modell adatainak a változtatása milyen hatással van a célfüggvény értékének a megváltozására.

Arra kérdésre is választ kapunk, hogy ezek a változtatásokat milyen határok között hajthatók végre közvetlenül az eredeti adatokat és optimális megoldást tartalmazó szimplex táblázat alapján, azaz nem kell a nem kell a feladatot újra számolni.

Mindig csak egy adatot változtatunk meg. Az alábbi két esetet vizsgáljuk:

1. Csak a b(azaz a bal oldal) egy komponensét változtatjuk meg, 2. Ac (célfüggvény-együttható) megfelelő komponense

megváltoztatásának a hatását vizsgáljuk.

(26)

(27)

(28)

1. Csak ab (azaz a bal oldal) egy komponensét változtatjuk meg,

2. Ac (célfüggvény-együttható) megfelelő komponense megváltoztatásának a hatását vizsgáljuk.

(29)

1. Csak ab (azaz a bal oldal) egy komponensét változtatjuk meg, 2. Ac (célfüggvény-együttható) megfelelő komponense

(30)

A baloldal megfelelő komponensének a megváltoztatása

A baloldali-edik komponenseb_i-ről b_i +λ-ra változik. Ehhez a változtatáshoz kapcsolódik az árnyékár fogalma:

Árnyékár: abi egységnyi megváltoztatása, a célfüggvény hány egységgel történő megváltoztatását jelöli. Ez egy előjeles szám, negatív érték esetén csökken a célfüggvény értéke, pozitív érték esetén nő a célfüggvény értéke.

(31)

A baloldal megfelelő komponensének a megváltoztatása

(32)

A baloldal megfelelő komponensének a megváltoztatása

(33)

A baloldal megváltozása (algoritmus)

Az algoritmusa következő: A bi értékét változtatjuk meg bi +λ-ra. Két esetet vizsgálunk:

1. Ha az ui vagyu^∗_i nincs bázisban, akkor elkészítjük a b+λu_i vagy b+λu^∗_i oszlopvektort (nem beleértve a vizsgálósorhoz tartozó komponenst).

Megoldjuk λ-ra a

b+λu_i>0,(vagy b+λu^∗_i >0)

egyenlőtlenség rendszert, természetesen az egyenlőtlenségek komponensenként értendők. Így megkapjuk azt a tartományt, amelybe tartozóλesetén alkalmazható az eljárás.

(34)

A baloldal megváltozása (algoritmus)

Az algoritmusa következő: A bi értékét változtatjuk meg b_i +λ-ra. Két esetet vizsgálunk:

1. Ha az ui vagyu^∗_i nincs bázisban, akkor elkészítjük a b+λu_i vagy b+λu^∗_i oszlopvektort (nem beleértve a vizsgálósorhoz tartozó komponenst).

Megoldjuk λ-ra a

(35)

A baloldal megváltozása (algoritmus)

1. Ha az ui vagyu^∗_i nincs bázisban, akkor elkészítjük a b+λu_i vagyb+λu^∗_i oszlopvektort (nem beleértve a vizsgálósorhoz tartozó komponenst).

Megoldjuk λ-ra a

(36)

A baloldal megváltozása (algoritmus)

Megoldjuk λ-ra a

(37)

A baloldal megváltozása (algoritmus)

Megoldjuk λ-ra a

(38)

A baloldal megváltozása (algoritmus)

Megoldjuk λ-ra a

(39)

Az árnyékárat azu_i vagyu_i^∗ oszlop vizsgálósorba eső komponense adja. Tehát az árnyékár nem más, mint a duális változó megfelelő értéke. Jelöljük ezt az értéketyi-vel és a célfüggvény eredeti értékét z0 módon. Ekkor a célfüggvény értéke z0+λyi-re változik.

2. Ha az ui bázisban van, akkor a táblázatban felveszünk egyui

oszlopot, amely nem más, mint a standard bázis megfelelő eleme.

Tehát az ui oszlopnak azok a komponensei, amelyek nem az u_i-hez tartozó sorban vannak 0-k lesznek, azu_i-hez tartozó sorba 1-et írunk. A vizsgálósor u_i-hez tartozó komponense is 0 lesz.

Ennek megfelelően, az árnyékár 0, tehát a célfüggvény értéke nem változik, illetve az érvényesség tartományát ab_i−λ>0 egyenlőtlenség szolgáltatja.

(40)

(41)

(42)

(43)

Feladat

A lineáris programozási feladat:

x₁+2x₂+ x₃ 650 x₁+ x₂ =40 x1+ x2+3x₃ >20 x1>0,x1>0,x3 >0, 5x₁−2x₂+8x₃ →max

Végezzük el az érzékenységvizsgálatot abban az esetben, amikor b1-etb1+λ-ra változtatjuk.

(44)

Feladat

x₁+2x₂+ x₃ 650 x₁+ x₂ =40 x1+ x2+3x₃ >20 x1>0,x1>0,x3 >0, 5x₁−2x₂+8x₃ →max

(45)

Feladat

x₁+2x₂+ x₃ 650 x₁+ x₂ =40 x1+ x2+3x3 >20 x1>0,x1>0,x3 >0, 5x₁−2x₂+8x₃ →max

(46)

Feladat

x₁+2x₂+ x₃ 650 x₁+ x₂ =40 x1+ x2+3x3 >20 x1>0,x1>0,x3 >0, 5x₁−2x₂+8x₃ →max

(47)

Megoldás

Az utolsó szimplex tábla:

x2 u1 u₂^∗ u₃^∗ x3

v₃ x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0 Az alábbi egyenlőtlenség-rendszert kell megoldanunk:

10+1λ>0 λ>−10 40+2λ>0 λ>−20 40+0λ>0

(48)

Megoldás

x2 u1 u₂^∗ u₃^∗ x3

v₃ x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

10+1λ>0 λ>−10 40+2λ>0 λ>−20 40+0λ>0

(49)

Megoldás

x2 u1 u₂^∗ u₃^∗ x3

v₃ x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

Az alábbi egyenlőtlenség-rendszert kell megoldanunk: 10+1λ>0 λ>−10 40+2λ>0 λ>−20 40+0λ>0

(50)

Megoldás

x2 u1 u₂^∗ u₃^∗ x3

v₃ x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

10+1λ>0 λ>−10 40+2λ>0 λ>−20 40+0λ>0

(51)

Megoldás

x2 u1 u₂^∗ u₃^∗ x3

v₃ x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

10+1λ>0 λ>−10 40+2λ>0 λ>−20 40+0λ>0

(52)

A célfüggvény értéke: −280−8λ.

Teháta tartomány, amelyen belül megváltoztathatjuk a b1-et λ-val: λ>−10.

A célfüggvény megváltozása: 208+8λ. A b1 árnyékára: 8.

(53)

Teháta tartomány, amelyen belül megváltoztathatjuk ab1-et λ-val: λ>−10.

A célfüggvény megváltozása: 208+8λ. A b1 árnyékára: 8.

(54)

A célfüggvény megváltozása: 208+8λ.

A b1 árnyékára: 8.

(55)

A célfüggvény megváltozása: 208+8λ.

Ab1 árnyékára: 8.

(56)

Most nézzük meg, hogy ab₂ értékének a megváltoztatása milyen hatással van a célfüggvény értékének a megváltozására.

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

(57)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

(58)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

(59)

10−λ>0 λ610 40−λ>0 λ640 40+λ>0 −406λ

−208+3λ

Teháta tartomány, amelyen belül megváltoztathatjuk a b₂-et λ-val: −406λ610

A célfüggvény értékének a megváltozása: 280−3λ. A b₂ árnyékára: −3.

(60)

10−λ>0 λ610 40−λ>0 λ640 40+λ>0 −406λ

−208+3λ

Teháta tartomány, amelyen belül megváltoztathatjuk ab₂-et λ-val: −406λ610

A célfüggvény értékének a megváltozása: 280−3λ. A b₂ árnyékára: −3.

(61)

10−λ>0 λ610 40−λ>0 λ640 40+λ>0 −406λ

−208+3λ

A célfüggvény értékének a megváltozása: 280−3λ.

A b₂ árnyékára: −3.

(62)

10−λ>0 λ610 40−λ>0 λ640 40+λ>0 −406λ

−208+3λ

A célfüggvény értékének a megváltozása: 280−3λ.

Ab₂ árnyékára: −3.

(63)

Mi van akkor, ha ab_i bázisban van?

(64)

Feladat

Végezzünk érzékenységvizsgálatotb2-re az alábbi lineáris programozási feladatban.

x₁+2x₂ 625 x₁+3x₂ 633 x1+x2 622 x1>0,x2 >0 3x₁+5x₂ →max

(65)

Feladat

x₁+2x₂ 625 x₁+3x₂ 633 x1+x2 622 x1>0,x2 >0 3x₁+5x₂ →max

(66)

Feladat

x₁+2x₂ 625 x₁+3x₂ 633 x1+x2 622 x1 >0,x2 >0 3x₁+5x₂ →max

(67)

Megoldás

A pivotálások sorozata után kapjuk azoptimális szimplex táblát:

u3 u1 u2

x2

u2

x₁

−1 1 5 0

1 −2 3 1

2 −1 15 0

−1 −2 −70 0

Látható, hogyu2 bázisban van, így felvesszük a nem bázisban szereplő vektorok közé, mint egységvektort. A vizsgáló sorbeli komponense 0 lesz. Innen már minden folyik a maga megszokott medrében.

(68)

Megoldás

u3 u1 u2

x2

u2

x₁

−1 1 5 0

1 −2 3 1

2 −1 15 0

−1 −2 −70 0

(69)

Megoldás

u3 u1 u2

x2

u2

x₁

−1 1 5 0

1 −2 3 1

2 −1 15 0

−1 −2 −70 0

(70)

u₃ u₁ u₂ x2

u2

x₁

−1 1 5 0

1 −2 3 1

2 −1 15 0

−1 −2 −70 0

5>0

3+λ>0 −36λ 15>0

−70

Látható, hogya tartomány, amelyben ab2 értéke

megváltoztathatóλ-val: −3>λ, és a célfüggvény értéke nem változik.

(71)

u₃ u₁ u₂ x2

u2

x₁

−1 1 5 0

1 −2 3 1

2 −1 15 0

−1 −2 −70 0

5>0

3+λ>0 −36λ 15>0

−70 Látható, hogya tartomány, amelyben ab2 értéke

megváltoztathatóλ-val: −3>λ, és a célfüggvény értéke nem változik.

(72)

Feladat

Végezzünkérzékenységvizsgálat c1-re az alábbi lineáris programozási feladatban:

x1+2x₂+ x3 650 x₁+ x₂ =40 x₁+ x₂+3x₃ >20 x1>0,x1>0,x3 >0, 5x₁−2x₂+8x₃ →max

Ezzel a lineáris programozási feladattal már korábban is foglalkoztunk.

(73)

Feladat

(74)

Feladat

(75)

Feladat

(76)

Az optimális szimplex táblázat:

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

Az eredeti feladat egy maximumfeladat volt, az eredeti célfüggvény: 5x₁−2x₂+8x₃ → max

Ac1 =5 célfüggvény együttható 5-ről 5+λ-ra változtatjuk, tehát a megváltozott célfüggvény:

(5+λ)x₁−2x₂+8x₃ → max Ezt átírjuk minimumfeladatra.

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

Az új célfüggvény együtthatókkal elkészítjük az új vizsgálósort a szokott módon.

(77)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

Az eredeti feladat egy maximumfeladat volt, az eredeti célfüggvény:

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(78)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(79)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(80)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(5+λ)x₁−2x₂+8x₃ → max

Ezt átírjuk minimumfeladatra.

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(81)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(82)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(83)

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗ x3

v3

x₁

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

−15 −8 −280 3 0

5x₁−2x₂+8x₃ → max

(−5−λ)x1+2x2−8x3 → max.

(84)

2 0

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗

−8 x3

0 v3

(−5−λ) x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

(−15−λ) −8 (−280−40λ)

(−5−λ)u−8−2=−15−λ, (−5−λ)·40−8·10=−280−40λ,

−15−λ <0 ⇒ −15< λ,

A táblázat akkor marad optimális, ha: −15−λ <0, azaz

−15< λ.

A megváltozott célfüggvény optimális értéke: 280+40λ. (x₁, x₂,x₃ értéke nem változik.)

(85)

2 0

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗

−8 x3

0 v3

(−5−λ) x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

(−15−λ) −8 (−280−40λ) (−5−λ)u−8−2=−15−λ, (−5−λ)·40−8·10=−280−40λ,

−15−λ <0 ⇒ −15< λ,

−15< λ.

(86)

2 0

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗

−8 x3

0 v3

(−5−λ) x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

(−15−λ) −8 (−280−40λ) (−5−λ)u−8−2=−15−λ, (−5−λ)·40−8·10=−280−40λ,

−15−λ <0 ⇒ −15< λ,

−15< λ.

(87)

2 0

x₂ u₁ u₂^∗ u₃^∗

−8 x3

0 v3

(−5−λ) x1

1 1 10 −1 0

2 2 40 −1 −1

1 0 40 1 0

(−15−λ) −8 (−280−40λ) (−5−λ)u−8−2=−15−λ, (−5−λ)·40−8·10=−280−40λ,

−15−λ <0 ⇒ −15< λ,

−15< λ.

(88)

A gráfelmélet alkalmazása

lineáris programozás feladatok megoldásában

(89)

Digráf

Digráf-nak (Directed graph) nevezünk egy(N,A)párt, ahol N (node) egy nemüres halmaz a csúcsok halmaza, A ⊂(N × N)\ {(x,x)|x ∈ N } (arc) élek halmaza.

Tehát az élek olyan rendezett párok halmaza, melyek komponensei a csúcsok halmazának az elemei, és a komponensek különböznek egymástól. Tehát a hurokélek nem megengedettek.

(90)

Digráf

Digráf-nak (Directed graph) nevezünk egy(N,A)párt, ahol

N (node) egy nemüres halmaz a csúcsok halmaza, A ⊂(N × N)\ {(x,x)|x ∈ N } (arc) élek halmaza.

(91)

Digráf

Digráf-nak (Directed graph) nevezünk egy(N,A)párt, ahol N (node) egy nemüres halmaz a csúcsok halmaza,

A ⊂(N × N)\ {(x,x)|x ∈ N } (arc) élek halmaza.

(92)

Digráf

(93)

Digráf

(94)

Példa

Nézzünk egy konkrét példát digráfra: Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

A={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,6),(4,5),(5,3),(5,6)}. Ekkor a digráfot az alábbi ábrával szemléltethetjük:

(95)

Példa

Nézzünk egy konkrét példát digráfra:

Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

(96)

Példa

Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

(97)

Példa

Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

(98)

Példa

Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

A={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,6),(4,5),(5,3),(5,6)}.

Ekkor a digráfot az alábbi ábrával szemléltethetjük:

(99)

Példa

Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

A={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,6),(4,5),(5,3),(5,6)}.

(100)

Példa

Legyenek

N ={1,2,3,4,5,6},

A={(1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,6),(4,5),(5,3),(5,6)}.

(101)

Struktúramátrix

Egy adott digráf struktúramátrixa egy olyan négyzetes mátrix, vagy inkább táblázat, amelyben a sorok és az oszlopok is a digráf csúcsaival vannak jelölve és azokba a cellákba rakunk csillagot, amelyek éleket jelölnek.

Példaként tekintsük a fenti digráf struktúramátrixát.

1 2 3 4 5 6

1 \ ∗ ∗

2 \ ∗ ∗

3 \ ∗

4 \ ∗

5 ∗ \ ∗

6 \

(102)

Struktúramátrix

1 2 3 4 5 6

1 \ ∗ ∗

2 \ ∗ ∗

3 \ ∗

4 \ ∗

5 ∗ \ ∗

6 \

(103)

Struktúramátrix

1 2 3 4 5 6

1 \ ∗ ∗

2 \ ∗ ∗

3 \ ∗

4 \ ∗

5 ∗ \ ∗

6 \

(104)

Van más lehetőség egy digráf reprezentálására, például egy HONNON-HOVÁ kétsoros táblázat. Ennek a táblázatnak ez oszlopai jelentik az éleket.

(105)

Út

Legyen(N,A) egy digráf. Az (x1, . . . ,xk) pontsorozatotútnak nevezzük, ha

1 xi ∈ N (i =1,2, . . . ,k)

2 (xi−1,xi)∈ A (i =2, . . . ,k)

Azaz az út egy olyan pontsorozat, amelyben az egymást követő pontok éllel vannak összekötve. Fontos, hogy az út pontsorozat, bár az alkalmazások során mindig a pontsorozat által

meghatározott élekkel fogunk számolni.

(106)

Út

Legyen(N,A) egy digráf. Az (x1, . . . ,x_k) pontsorozatotútnak nevezzük, ha

1 xi ∈ N (i =1,2, . . . ,k)

2 (xi−1,xi)∈ A (i =2, . . . ,k)

(107)

Út

1 x_i ∈ N (i =1,2, . . . ,k)

2 (xi−1,xi)∈ A (i =2, . . . ,k)

(108)

Út

1 x_i ∈ N (i =1,2, . . . ,k)

2 (xi−1,xi)∈ A (i =2, . . . ,k)

(109)

Út

1 x_i ∈ N (i =1,2, . . . ,k)

2 (xi−1,xi)∈ A (i =2, . . . ,k)

(110)

Vágás, üres vágás

LegyenekS,T ⊆ N. Az(S,T) párt vágásnak nevezzük, ha

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S ∩T =∅;

3 S ∪T =N,

A vágás azt jelenti, hogy két olyan részre bontjuk a csúcsok halmazát, melyek egyike sem üres, nincs közös elemük, és uniójuk kiadja a csúcsok halmazát. Az S a Source=forrás szóból, a T a Target=cél szóból származik.

Has ∈S,t ∈T (S,T)vágást azs-et t-től elválasztó vágásnak nevezzük.

Az(S,T) vágás élei az{(u,v)∈ A | u ∈S,v ∈T} élhalmaz. Tehát a vágás élei azok az élek, amelyekS-beli pontokbólT-beli pontokba mutatnak.

Egy vágástüres vágásnak nevezünk, ha nincsenek élei.

(111)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S ∩T =∅;

3 S ∪T =N,

(112)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S ∩T =∅;

3 S ∪T =N,

(113)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S∩T =∅;

3 S ∪T =N,

(114)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S∩T =∅;

3 S∪T =N,

(115)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S∩T =∅;

3 S∪T =N,

(116)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S∩T =∅;

3 S∪T =N,

(117)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S∩T =∅;

3 S∪T =N,

Az(S,T) vágás élei az{(u,v)∈ A | u ∈S,v ∈T}élhalmaz.

Tehát a vágás élei azok az élek, amelyekS-beli pontokbólT-beli pontokba mutatnak.

(118)

Vágás, üres vágás

1 S 6=∅,T 6=∅;

2 S∩T =∅;

3 S∪T =N,

Az(S,T) vágás élei az{(u,v)∈ A | u ∈S,v ∈T}élhalmaz.

Tehát a vágás élei azok az élek, amelyekS-beli pontokbólT-beli pontokba mutatnak.

(119)

A vágást az alábbi ábrával szemléltethetjük: Legyenek S ={1,2,4},T ={3,5,6}.

Az(S,T) vágás élei: {(1,3),(2,3),(4,6)}.

(120)

Az(S,T) vágás élei: {(1,3),(2,3),(4,6)}.

(121)

Az(S,T) vágás élei: {(1,3),(2,3),(4,6)}.

(122)

A vágás éleinek meghatározása lefedéssel

A vágás éleit közvetlenül a struktúramátrix alapján határozzuk meg.

A lefedést azS-beli (tehát címkézett) oszlopok és a T-beli sorok adják. A vágás élei a fedetlen,∗-gal megjelölt cellák.

Elméleti jelentőségű, de nagyon szemléletes az alábbi Tétel.

(123)

A vágás éleinek meghatározása lefedéssel

A vágás éleit közvetlenül a struktúramátrix alapján határozzuk meg.

A lefedést azS-beli (tehát címkézett) oszlopok és a T-beli sorok adják. A vágás élei a fedetlen,∗-gal megjelölt cellák.

Elméleti jelentőségű, de nagyon szemléletes az alábbi Tétel.