Megemlékezés Jordan Károlyról

VINCZE ISTVÁN:

MEGEMLÉKEZÉS JORDAN KÁROLYRÓL

Kilencven évvel ezelőtt született és egy évvel ezelőtt, 1959. december 24—én, 89—ik életévében húnyt el Jordan Károly ny. egyetemi tanár, a Ma—

gyar Tudományos Akadémia levelező tagja, a valószínűségszámítás, a mate—

matikai statisztika, a differenciaszámítás és több más matematikai stúdium nemzetközileg elismert kiváló művelője.

Jordan Károly középiskoláit Budapesten, egyetemi tanulmányait Pá- rizsban, Zürichben, Manchesterben és Genfben végezte. A zürichi Polytech—

nikumon vegyészi oklevelet szerzett, a genfi egyetemen, ahol mint tanár—

segéd és magántanár is működött, kémiai tárgyú disszertációjával dok—

tori címet nyert. 1906—tól 1913—ig a budapesti Földrengés Számláló Intézet

1 1 84 VINCZE ISTVÁN

vezetője, a világháború alatt mint meteorológus működik. 1920—tól kezdve előadásokat tart a budapesti Közgazdaságtudományi Egyetemen, ahol 1923——

ban magántanárrá habilitálják, 1933—ban rendkivüli tanári címet, 1940—ben nyilvános rendes tanári címet nyert. 1928—ban az Eötvös Lóránd Matema—

tikai és Fizikai Társulat matematikai munkásságáért Kőnig Gyula—dijjal tüntette ki. Mindez az elismerés azonban nem állt arányban tudományos munkásságának jelentőségével. A felszabadulás után előadásait a budapesti Műszaki Egyetemen folytatja. Tudományos érdemei végre méltó elismerés—

ben részesülnek: 1947-ben a Magyar Tudományos Akadémia levelező taggá választja, 1951—ben a Magyar Népköztársasági Érdemrenddel, 1956-ban Kossuth—díjjal tüntetik ki. Tudományos működését előrehaladott kora elle—- nére a felszabadulás után is fiatalos érdeklődéssel és lelkesedéssel folytatja, két könyve és több, mint tíz cikke jelenik meg 1945 után.

Jordan Károly tagja volt számos hazai és külföldi tudományos társa-—

ságnak, ez utóbbiak között a Nemzetközi Statisztikai Intézetnek, _az angol Royal Statistical Societynek, az amerikai Institute of Mathematical Stain—' ticsnek, az American Statistical Associationnak.

Jordan Károly tudományának lelkes, odaadó művelője, akit az elvi ala—

pok gondos kritikája épp úgy foglalkoztat, mint a tudományos eredmények konkrét, gyakorlati alkalmazásai. Lelkes tanár, aki előadásaiban, írásaiban a tárgy áttekinthető összefoglalására, kristálytiszta tárgyalására törekszik, tanítványainak és az érdeklődéssel hozzá fordulóknak aktív, önzetlen támo—

gatója. A Bolyai János Matematikai "Társulat munkájában élete utolsó nap—

jáig résztvesz. Akik ismerték, tudják, hogy Végtelen szerénységénél csak

mások iránti nagyrabecsülése és emberszeretete volt nagyobb .

Jordan Károly alkotó elme volt, aki jelentős szellemi örökséget ha—

gyott hátra. Ennek a szellemi örökségnek feldolgozására, a tudomány to—

vábbfejlesztését szolgáló elvi hasznosítáaára a halála óta eltelt idő kevés-—

nek bizonyult. Nem is erre teszünk itt kisérletet: csupán a nagy tudós emlé- két kívánjuk őrizni és tudományos hagyatékát ápolni legjelentősebb mű—

veinek, eredményeinek ismertetésével.

TUDOMÁNYOS MUNKÁSEÁGA

Jordan Károly sokrétű tudományos munkásságot fejtett ki, amiről kö — zel 90 megjelent műve, könyvei és dolgozatai tanúskodnak. Első munkái

kémiai tárgyúak, de csakhamar áttér a matematikai statisztika elméleté—

nek és alkalmazásának szá—mos problémájára. Ilyen irányú tevékenysége,

folyamán a matematika számat! webi—témájával találkozik és alkot maradan—

dót a konvex görbék, az ortogonáiis poiinomok, a függvények approximá—

ciójának, a interpolációnak, a speciális függvényeknek az elméletében.

Figyelme azonban mindvégig a valóazinűségszámítás, a matematikai statisz—

tika, ezek gyakorlati alkalmazásainak kérdései köré összpontosul.

Munkái a legjelentősebb folyóiratokban, mint az Annals of Mathema- tical Statistics, Proceedings of the London Mathematical Society, a szegedi Acta Scientiarum Mathematicarum, a Bulletin de la Société Mathématigue de France, a londoni Philosophical Magazine, a Párizsi Comptes Rendus és más olasz, német, amerikai, angol folyóiratokban, majd a felszabadulás után az Acta Mathematica Hungaricaban jelennek meg. Nem hanyagolja

el azonban a hazai magyar nyelvű matematikai és statisztikai irányú szak—

mamam JORDAN KÁROLYROL 1185

folyóiratokat sem, és eZekben is számos önálló és ismeretterjesztő mun- kája jelenik meg. (A Statisztikai Szemle e számában, az Irodalom rovatban, az Mos—1270. oldalon közöljük Jordan— Károl'y szakirodalmi tevékenysé-

gének bibliográfiáját. Szerk.)

Az ifjúság iranti érdeklődését mutatják a Középiskolai Matematikai Lapokban megjelent cikkei, sőt előadást is tartott a Bolyai János Mate—

matikai Társulat középiskolás szakköréb'en.

OSSZefoglaló munkái közül elsőnek a ,,Statistigua Mathématigue" je—

lent meg 1927—ben a párizsi Gauthier—Villam kiadásában, amely —— a magyar Központi Statisztikai Hivatal támogatásával — ugyanezen évben itthon ,,Matematikai Statisztika" címmel is megjelent. E mű az első és hosszú időn keresztül az egyetlen ilyen tárgyú magyar nyelvű könyv. Könyve még fo—

kozta a nemzetközi érdeklődést munkássága iránt, amelyről a szakemberek már addig is igen nagy elismeréssel vélekedtek.

E könyve a matematikai statisztika akkori állását tekintve gazdag anya-—

got ölel fel, köztük a szerző számos önálló eredményét. Elsősorban említen—

dők az alkalmazásokkal foglalkozó, saját tapasztalataival telitett részletek, továbbá a számítások gyakorlati keresztülvitelére vonatkozó utalások;

A valószínűségszámítás és matematikai statisztika elvi alapjai ebben az idö-—

ben még nem tisztázottak s e műve úttörő munka mind e tárgy jelentős összefoglalását, mind számos elvi állásfoglalását illetően, amikről a későb—

biekben fogunk szólni. Ha a matematikai statisztika fejlődése számos tekin—- tétben túlhaladta is e könyv tárgyát és felépítését, de számos részletét ille—

tően ma is értékes darabja egy statisztikus könyvtárának.

1939—ben jelent meg Budapesten a differencia—számításra írt kitűnő monográfiája ,,Calculus of finite differences" címmel, amely gazdag anya—- gával, szisztematikus felépítésével, szárnos eredeti részletével szintén je—

lentős nemzetközi érdeklődést váltott ki. 1947—ben a könyvet (egyébként a szerző tudta és előzetes hozzájárulása nélkül) New Yorkban is kiadták.

A könyv elsőként a differencia-számításban használátoa operádiókkál

és inverzeikkel való számítási eljárásokat, a font0sabb (faktoriális, gamma, diagamma, beta, nem teljes beta, exponenciális és trigonometrikus) függvé—

nyeket ismerteti. Kidolgozza az első- és másodfajú Stirling—számokelmé—

letét és rámutat nagy gyakorlati jelentőségükre számos formula egyszerü- sítéaében és új, eredményesen alkalmazható formulák levezetésében.

A Bernoulli—polinomok mellett az ún. másodfajú Bernoulli—polinomokat is részletesen tárgyalja és bevezeti a Boole—féle polinomokat, azok számos al—

kalmazására híva fel a figyelmet. Nagy gonddal foglalkozik az interpoláció és a táblázatok szerkesztésének kérdéseivel, nagy részben saját vizsgálatai alapján. A táblázatok szerkesztésének lényeges egyszerűsítése éppen szerző- nek egy interpolációs formulájával sikerült, amely formula különösen ,alf—

kalmas géppel való számolás céljára. A legkisebb négyzetek módszerének és a momentumok módszerének felhasználását nagyban elősegítik a szerző által alkalmazott ortogonális polinomok, illetve az általa bevezetett G—poli—

nomok, mely módszerek ismertetésére még részletesebben kitérünk.

A gyökközelítő eljárások közül a ,,regula falsi" módszerét emeli ki, amelyet

úgy módositott, hogy az kevés számú lépéssel jó eredményre vezessen;

A könyv utolsó fejezeteiben a közönséges és parciális differencia—egyenleg teket tárgyalja. E könyv a megjelenése óta eltelt két évtized alatt a tudo-

mány0s irodalom sokat idéZett forrásmunkája lett.

nss ' Nem *

, Utolsó nagy munkájában, a ,,Fejezetek a klasszikus valoszinüsegsza—

mításból" című könyvében, amely 1956—ban jelent meg, a valoszmuségszáe ,, mítás klasszikus elmélete tetőpontját érte el. Jordan e munkájában a valo— — "

szinüségszámítás alapvető kérdéseit, számos segédeszközét, elvi jelen;—

téke a könyvnek a valószínűségszámítás történetére vonatkozó számos rész—

letes utalás, nemkülönben a gyakorlati felhasználhatóság érdekében szük—' séges numerikus módszerek kellő kidolgozása. A valószínűség fogalmát tu—

dományosan, a dialektikus materialista felfogással egyezően, igen körül— , tekintően világítja meg, éles birálatban részesítve az idők folyamán fel—T

—merült idealista álláspontokat. Ismerteti a ,,meglepőség" mértékét, amely- nek bevezetésével a valószínűségre vonatkozólag felvetett számos felületes, *

téves megállapítást sikerült helyes megvilágításba helyeznie. (Erre vonat— _ kozó dolgozatát Maurice Fréchet nagy sikerrel mutatta be annak idején a washingtoni statisztikai kongresszuson.)

E könyv is tartalmazza számos önálló eredményét, amelyekkel klasz—-

szikus valószinűségszámitási vizsgálatokat kiegészített, általánosított. Igy

a Poisson, Lexis, Bernoulli valószinűségekkel kapcsolatos számos direkt és * inverz problémát tárgyal. Jelentoségeben kiemelkedik az irodalomban igen sokat felhasznált ,,általános valószínűségi tétele", továbbá Simmons tétele——

nek általánosítása A matematikai statisztikában, sztochasztikus folyamatok elméletében igen nagy szerepet jatszo bolyongási problémákat is részletesen tárgyalja s több formulát —— az irodalomban először — e könyvében

vezet le.

A gyakorlati alkalmazások közül külön fejezeteket szentel a kinetikus gázelméletnek, foglalkozik a radioktiv anyagok valószínű élettartamavalf, a Weber—Fechner törvénnyel, csillagászati, meteorológiai, kémiai kerdesek——

kel, a biztosítási rizikóval, tárgyalja alkalmazásként a szerencsejátékok kü—

lönböző vállfajait is. Külön fejezetben foglalkozik a hibaszámitás' elméleté—

vel. Nem lehet célunk e gazdag anyag ismertetése, csupán néhány jelentős eredményét, eredeti megjegyzését kívántuk említeni.

A következő két részben tudományos megállapításaiból, eredményei—

ből ismertetünk néhányat: az elsőben a valószínűségszámítás alapjaira vo- natkozó néhány megjegyzését, amely elvi kérelmekben tudományos, szi—*

gorú kritikai éleslátását tanúsítja, a másodikban két jelentős tudmnányw dolgozatának eredményeiről szólunk.

MUNKÁSSÁGA ÉS MEGÁLLAPÉTÁSAI A VALÓSZINÚSÉGSZÁMI'I'ÁS ELVI v KÉRDÉSEINEK TISZTAZÁSA TERÉN

a) A valószínűség fogalmát érintő dolgozatai ,,On probabilitY" cíznmel Japánban 1925—ben, ,,A valószínűségszámitás alapfogalmai" címmel a Ma—

thématikai és Physikai Lapokban 1928——ban, ,,Véletlen, valószínűség és ter-e mészeti törvény" címmel 1929-ben az Athenaeum kiadásában jelentek meg.

Jordan Károly idézett munkáiban világosan felismeri, hogy a valós szinűségszámítás szilárd alapokra csak a halmazelmélet segitségével tehet szert és rámutat arra, hogy a ,,matematikai valószínűség a. .halm3z fa,-i' galmán nyugszik". ,,A valószínűségszámítás alapfogalmai" című dolgoma- tában levezeti a valószinűségszámítás mindazon alapvető összefüggéseit és klasszikus tételeit, amelyeknél az elemi eseményeket egyenlően valószi—

MEGEMLEIiEZES JORDAN KÁROLYRÓL 1 187

nűeknek tételezhetj'ük fel és, amelyeknek eléréséhez véges halmazokra elég támaszkodni. Összefoglalásában így ír: ,,Ha azonban a tételeket gyakorlati problémákra alkalmazzuk, akkor az eredmény helyessége attól függ, hogy a rendelkezésre álló adatok megfelelnek—e a kiindulási feltételeknek, vagyis hogy az egyenlően valószínű eseteket a tényeknek megfelelő módon defini- áltuk-e vagy nem. Ezt minden egyes esetben a későbbi tapasztalat igazol—- hatja az empirikus posztulátum révén."

Ismeretes, hogy a valószinűségszámítás egzakt megalapozása, matema—

tikai diszciplinává válása időpontjának az 1933. évet, A. N. Kolmogorov ,,Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" cimű munkájának megjelenési időpontját tekintjük. Kolmogorov koncepciójában a valószí- nűségszámitás önálló matematikai stúdium, szigorú logikai építmény, amelynek nincs szüksége, hogy minduntalan kocka—dobálásra és a valóság más véletlen jelenségeire hivatkozzék, de ugyanakkor ezzel a függetlení—

téssel vált a valóság megismerésének hathatós, nékülözhetetlen eszközévé, a mindennapi gyakorlat támogatójává, amelynek alkalmazhatóságával szemben már nincsenek a régi fenntartások. Ez a valóság helyes absztrak—

ciójának eredménye és viszont a valószinűségszámitás megértése és műve- lése csakis akkor lehet eredményes, ha a gyakorlattal való kapcsolatát problémakeresésben és alkalmazásokban egyaránt megtalálja. Az sem állít—

ható, hogy az idők folyamán a Kolmogorov-féle modell nem fog módosulni vagy kiegészülni éppen a tudományos vagy gyakorlati élet újabb tapaszta—

latai, szükségletei szerint. Ahhoz, hogy Jordan Károly álláspontját a való- Színűségszámitás megalapozása terén megvilágítsuk, ismertetnünk kell Kol—

mogorov elméletének alapjait. ,

_Kolmogorov alapvető elgondolása a következőképpen vázolható: tekint- sük valamely kísérlet vagy jelenség összes lehetséges kimeneteleit, nevez- zük ezeket elemi eseményeknek, összességüket eseménytémek. Kolmogo—

rov elméletében az eseménytér absztrakt halmaz, elemeinek közelebbi tu—

lajdonságai, az eseménytér szerkezete általában nem játszik szerepet. Szá—

mossága lehet Véges (például egy kockadobás 6 különböző kimenetele), megszámlálhatóan végtelen sok (például egy rádióaktiv anyag adott időtar—

tama alatt elbomlott atomjainak száma, ami lehet 0, 1, 2, 3, . .. bármely véges szám, de elvben nem korlátozható), vagy magasabbrendűen végtelen (például a céltábla kontinuumnyi pontja, melyek bármelyikét eltalálhatjuk).

Lényeges az, hogy ha a kísérleteket végrehajtjuk, vagy a jelenséget meg—

figyeljük, az elemi események valamelyike biztosan bekövetkezzék. Nem lényeges azonban, hogy az elemi események számokkal egyértelműen jelle- mezhetők legyenek, amint azt fenti példánkban a szemléletesség miatt tet—

tük (például a kocka oldalai lehetnek különböző színűek).

Tekintsük mármost az eseménytér egy részhalmazát, jelöljük ezt A- val. A-t eseménynek nevezzük: A akkor következik be a kísérletnél, ha a kimenetel olyan elemi esemény, amely A-ban foglaltatik.

Kolmogo'rov az eseményeket, vagyis az eseménytér részhalmazait te—

kinti. Véges számú elemi esemény esetén minden lehető részhalmazt, de általában nem minden lehetőt, mert ez a matematikai tárgyalást rendkívüli nehézségek elé állítaná. Az egyes eseményekhez mármost egy-egy ,,mérté—

ket" rendel, az illető esemény bekövetkezésének a mértékét. Az egész ese—

ménytérhez, vagyis a ,,legnagyobb" eseményhez az 1 mértéket, az ,,üres"

részhalmazhoz a 0 mértéket, s minden máshoz a (O,1) köz valamely számát.

1288 nem terven

E merteknek bizonyös józan ész által diktált követehiiényeknek kell eleó

get tenni, ami éppen azt jelenti,— hogy mindama követelményeknek; ame—

lyek a véletlen jelenségek helyes leírásához szeksegesek. ,

Legegyszerűbb példa, a pénzfidob'" kíséri te, amelynek két lehetsé-

ges kixnenetele van: fej és írás. Ezek az elemi események együttesen alkat-a ják az eseményteret, aminek mértéke 1. A fej mértéke legyen 10 (0 % ;: § 1) és az írásé g. Ezek az összes lehetséges-; kimenetelek, amiket kiegészitünk a 0 mértékű üres halmazzal. A követelmeny, hogy p-l— (; m 1 legyen, vagyis közös rész nélküli események halmazelméleti összegének a megfelelő mér—

tékek összege feleljen meg.

Az események itt említett "mértéke" éppen a valósáínűSég. Kölnbe:—

rov e fogalomalkotással egyréezt számos nehézséget kerül el, ménem szi- gorú következetességgel felépíti a valüzínűsegsúmitást, mint a veletlen

jelenségek leírásának és kezelésének hathatós eszközét. A klasátikue Való-*

sZinüségszámítás ,,a kedvező esetek száma törve az összes lehetség'ee esetek sZáxháVal", megfogalmazású valószinűségfogalma elkerülhetetlenül bele—

bonyolódik az ,,egyenlő valószínűségű események" értelmezésének kérdé—

sébe, amikor a valószínűség fogalma még nincs is definiálva. Von Mises el-

méletében "végtelen kisérletsorozattal" özeliti meg a kérdést, ami a Való- sában egyetlen esetben sem hajtható Végre. Kelmogoro'v elmélete alapján

pekdául a pénzfeldobással kapcsolatban felmerülő problémáklmeg'ólélha'tók a fenti modell alapján akkor is, ha a fej és az írás egyenlően valószínü

(p' a g : § ), és akkor is, ha nem egyenlően valószinűek; Ugyanez áll minden valóságjelense'gre, amelynek kimenetele hasonlóan alternatív jel—

legű (már pedig _a tudomány és gyakorlat épp elég ilyet ad). A valószinű—

ségszámitás alkalmazójának a feladata —— és itt lép újból a valósággal kap—

ceolatba az elmélet -—— hogy eldöntse: esetében a p a g a; alkalma—

zandó-e vagy más. Elvi vagy kísérleti követkeZtetések adják p és ?; ért—ékét;

ha elViek akkor meg kell vizsgálni, hogy p' és :; értékei, amelyeket elvi követ- keztetéssel állapítottunk meg, egyeznekue a tapasztalatokkal Ez km a való—

színűségszámítás eredményei alkalmazhatóságának próbája. Ez a dialek—

tikus materialista álláspont. Kolmogorov elméletének sarkköve, amelyet heves viták után a matematikusok --- igen kevés kivetellel — magukévá

tettek. ,

(Megjegyezzük, hogy fentiekben Kolmogorov elméletének (csak ki—

indulópontját, s azt is igen vázlatosan ismertettük—. E megalapozás kidelgm—

zása a matematika számos fejezetének -— különösképpen a valós függvény- tannak —— nemcsak meglevő eredményeit, hanem annak jelentős tovább—

fejlesztését is igényelte. Különösen bonyolult a helyzet végtelen, nem meg- számlálható halmazok esetén, ami a gyakorlat legfontosabb eseteinek felel

meg, s amelynél felmerülő problémákra itt nem utalunk.)

Összeegyeztetve Jordan Károlynak a valószínűségszámítással kapcso- latog elvi állásfoglalását Kolmognrov alapvető elgondolásaival Jordant, a valószínűségszámítás Kolmogorov—féle megalapozása jelentős magyar elö- futáránek tekinthetjük, aki eljutott az alapvető gondolat zseniális meglátá—

sáig, megtette a kezdeti lépéseket, ha nem is jutott el a kidolgozás to—

vábbi jelentős nehézségeinek megoldásáig.

mammmas JORDAN KÁROLYROL 1189

b) HasOnló módon helyes álláspontot foglal el Jordan Károly a sokat Vitatott Bayes-féle kérdéskörben. A kérdés lényegét egy példán Világitjuk meg. Ha június 6—án a június 7-i középhőmérsékletre akarunk következ—

tetni, akkor —- egyéb információ hiányában —- az elinúlt sok évi június 7-re vonatkozó feljegyzés alapján elkészítjük e napra vónatkozólag a középhő—

mérséklet eloszlását és ebből következtetünk arra, hogy például 90 száza- lékos valószínűséggel milyen határok között várható a másnapi középhő—

mérséklet. Ez önmagában eléggé széles határokat adna, de általában egy további adattal rendelkezünk, ti.— ismerjük az aznapi, azaz a június 6-i hő—

mérsékletet is. Ha ezt az adatot is ismerjük sok évre visszamenőleg a június 'i'—ivel együttesen, akkor a június 7-i feltételes eloszlás (azon feltétellel, hogy június 6—án például 21 Co volt a középhőmérséklet), már sokkal pon—

tosabban enged következtetni a másnapi hőmérsékletre, szűkebb határokat ad ugyanazon 90 százalékos valószinűséggel. A mondottak szemléletesen is meggyőzők.

A június 7-i (feltétel nélküli) eloszlást a priori eloszlásnak, a feltételes eloszlást a' posteriorí eloszlásnak szokás nevezni. A Valóságban azonban igen sokszor az a priori eloszlás nem ismeretes, már pedig a Bayes-féle formula az a posteriori eloszlást ennek felhasználásával adja, Éppen ezért igen sokan támadták e módszer olyan használatának a jogcsultságát, amelynél az a pri—

ori eloszlás ismeretének hiányában valamilyen önkényes eloszlásből indul—- nak ki. Jordan Káróly rámutat arra, hogy a feltételezett a priori eloszlás al- kalmazásának jogosságát kizárólag a tapasztalat döntheti el: vagy ellene mond, akkor az adott esetben a módszer, illetve az a priori eloszlás nem használható, ha viszont megerősiti, akkor a módszer alkalmazhatóságán—

kívül az a priori hipotézisünk helyességére is tájékoztatást kapunk.

Ugyanezen az állásponton van S. Bernstein a matematikai analízis és valószínűségszámitás kiváló szovjet képviselője is, aki egyben kimutatta, hogy eléggé általános feltételek mellett az a priori eloszlás feltételezett alakja igen kevés befolyást gyakorol az a posteriori eloszlásra, ha a meg-—

figyelések száma elég nagy.

__ ( Jordan Károly ,,On Appro'ximation and on the Test Criteria by the xii—Test and by Bayes' Theorem" című dolgozatában a sokat használt xx

próbával kapcsolatban megjegyzi, hogy ,, . . .bár ezt a próbát széles körben alkalmazzák, nincs olyan jól megalapozva, mint általában hiszik". Ugyanitt rámutat arra, hogy a próba kifogástalan alkalmazása éppen a Bayes tétel

segitségével történhet.

EREDMÉNYEK A LEGKISEBB NÉGYZETEK MÓDSZERÉVEL KAPCSOLATOSAN

a) Tegyük fel, hogy valamely értéket megfigyeltünk az x, a: —j— h,

"Lt-275, . . . a: 4— kh időpontokban és megfigyelésünk eredményeként az %, 3/1

yz, . . . y,; értéket kaptuk. Igen sokszor nagy gyakorlati jelentőséggel bír

az, hogy megállapítsuk közelítően y—nak az időtől való függését valamilyen jól kezelhető függvény, például polinom alakjában. Ilyen esetekben a leg- kisebb négyzetek elvét szokás alkalmazni a következő módon: Az

fn(x):Oo,n'Fel,nx"l' -—- "Fan," d:,

1190, ! vmezn www ' '

polinom G,, ,, együtthatóit úgy igyekszünk meghatározni, hogy az eltérések négyzetének összege minimális legyen, vagyis, hogy teljesüljön f,,(xj—m—a "

k

2 [yi ——-fn (a: a— az)? : minimum

iz 0

követelmény.

Nem foglalkozunk itt azzal a kérdéssel, hogy milyen esetekben indokolt ennek az elvnek az alkalmazása, de megjegyezzük, hogy a gyakorlat igen

fontos eseteiben jogos, és igen nagy jelentőséggel bír.

Ha az észlelések k száma nagyobb n—nél, akkor ennek az elvnek a segit—

ségével a 0, n—k egyértelműen meghatározhatók oly módon, hogy differen—

ciáljuk a négyzetösszeget g,, ,, (i : 0, 1, 2, . . . n) szerint, és így n 4- 1 line- áris egyenletet kapunk az n —l— 1 ismeretlenre, amikből g,, ,, -k kiszámítha—

tók. A módszer alkalmazhatóságának két nehézsége van: ha 71 nagyobb mint 4 vagy 5, már eléggé nehéz a lineáris egyenletrendszer numerikus megoldása, továbbá ha magasabbfokú polinomra akarunk áttérni, akkor az egész eljárást előlről ísmételhetjük, másszóval az ne együtthatója 0, ,, az n- től is függ.

Jordan Károly az ,,Approximation and Graduation According to the Principle of Least Sguares by Orthogonal Polynomials" című klasszikussá vált munkájában, mely az Annals of Mathematical Statistics 1932. évi no—

vemberi számában jelent meg, a következő szellemes ötlettel segít át e ne—

hézségeken: ,,Fejtsük ki az l,,((a:) polmomot x hatványai helyett növekvő fokszámú polinomok szerint, amelyek ortogonálisak az adott alappontokson.

Másszóval vegyünk olyan Un, U1(a:), U2 (m).; polinomsorozatot, amelyre a

k

2 Ue(:c—j-ih)Um(x—l-ih)a0

tao

feltételek teljesülnek, válasszuk az

fn (x): 00 Un "l' 91 U1(1l) 4" On U: (x) 'l'- "l' O,, U "(x)

előállítást és határozzuk meg G,—ket a legkisebb négyzetek elve alapján."

Szándékosan hagytuk el az együtthatókban az n indexet, mert nem nehéz megmutatni, hogy ebben az esetben az együtthatók függetlenek n—től. Más—

szóval egyszerre két nehézséget old meg: nincs szükség n—H ismeretlenes lineáris egyenletrendszer megoldására, mert a (),-ket egyszerűen a

2 Uí(x'l'ih)yj jao

0137——

2 [Ui (xi-ih)?

1-0

formula adja, továbbá a Grk n—től függetlenek lévén, ha magasabb fokú például f,,,1(x) polinommal akarunk közelíteni, akkor a már kiszámított 90, 91 .. . O,, együtthatókhoz egyszerűen az G,,H együtthatót kell fenti

formula szerint kiszámítani.

Jordan dolgozataiban az ún. másodfajú Bernoulli—polinomokat vezeti be és fenti problémára való alkalmazásukat numerikusan is alaposan — táb- lázatok közlésével —— kidolgozza.

MEGEMLEKEZÉS JORDAN KARDLYRÓL 1191

b) Röviden megemlítjük még a két Stirling—féle szám fogalmát. Az első használatával, és a második bevezetésével Jordan a differenciaegyenletek elméletében, és számos valószinűségszámítási problémában egyszerűsített vagy ért el új eredményeket. Az elsőfajú Stirling számok (AS';l ) definíciója a következő:

(x)":(x—w—a (ac—H 1): leawn

vagyis a faktoriális x hatványai szerinti kifejtésében S; az együttható.

A másodfajú Stirling számok az inverz kifejtésben lépnek fel:

"

x" : 27;!(1')r

ral

Újabban a matematikai statisztikának a rendezett minták elméletéről szóló fejezetében léptek fel sok oldalról e számok s Jordan műveit nemegy—

szer idézik a dolgozatok. . , *

Végül megemlítjük, hogy Jordan finomította Newton interpolációs for—

muláját is, amellyel szintén elismerést váltott ki a szakemberek körében.

Jordan Károly élete, munkássága köteteket tesz ki, amiről fent csak ki—

ragadott eredményekben, gondolatokban számoltunk be, de írásunk talán így is sejteti, hogy halálával a magyar tudományos élet egyik igen jelentős alakját vesztettük el, akinek életműve tanulmányozás és továbbfejlesztés szempontjából egyaránt figyelmet érdemel.

(A Statisztikai Szemle e számában az Irodalom rovatban, az 1268—1270.

oldalon közöljük Jordan Károly szakirodalmi tevékenységének bibliográ—

fiáját. Szerk.)