Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
2. ZH jav´ıt´okulcs (2022. 05. 19.)
Az ´utmutat´o mintamegold´asokat tartalmaz. A pontsz´amok t´aj´ekoztat´o jelleggel lettek meg´allap´ıtva az ´ert´ekel´es egys´eges´ıt´ese c´elj´ab´ol. Egy pontsz´am el˝ott szerepl˝o ´all´ıt´as kimond´asa, t´etel felid´ez´ese nem jelenti automatikusan az adott pontsz´am megszerz´es´et. Az adott r´eszpontsz´am meg´ıt´el´esenk az a felt´etele, hogy a megold´ashoz vezet˝o gondolatmenet megfelel˝o r´esz´enek v´egiggondol´asa vil´a- gosan kider¨ulj¨on a dolgozatb´ol. Ha ez ut´obbi kider¨ul, ´am a k´erd´eses ´all´ıt´as, t´etel, defin´ıci´o nincs rendesen kimondva, akkor a r´eszpontsz´am legal´abb r´eszben j´ar.
Term´eszetesen az ismertetettekt˝ol elt´er˝o, ´am helyes megold´asok´ert teljes pontsz´amok, r´eszmegol- d´asok´ert pedig az ´utmutat´obeli pontoz´as intelligens k¨ozel´ıt´es´evel meghat´arozott ar´anyos r´eszpont- sz´amok j´arnak. Sz´amol´asi hib´a´ert ´altal´aban hib´ank´ent 1 pontot vonunk le.
1. A Nagamochi-Ibaraki-algoritmus seg´ıts´eg´evel hat´arozzuk meg az ´ab- r´an l´athat´o G gr´af egy minim´alis v´ag´as´at. Ha egy l´ep´es sor´an t¨obb cs´ucsb´ol is lehet v´alasztani, mindig az ABC szerint legels˝ot v´a- lasszuk.
a
b c
d e
f
D¨onts¨uk el, hogy van-e G-nek f¨ulfelbont´asa, ´es ha van, ´allap´ıtsuk meg, legkevesebb h´any ´elt kell G-b˝ol t¨or¨olni ahhoz, hogy ne legyen.
(Figyelmesen futtassuk az algoritmust, mert k¨onny˝u hib´azni.)
Az algoritmus minden f´azis´aban egy maxvissza sorrendet keres¨unk a feladatbeli lexikografikus felt´etel fi- gyelembe v´etel´evel, majd az utols´o cs´ucsot ¨osszeolvasztjuk az utols´o el˝ottivel. Az adott f´azis v´ag´asjel¨oltje a
maxvissza sorrend utols´o cs´ucsa lesz. (3 pont)
1 2
3
4 5
1
2
3 4
1
2 3
1 2
a
b cf
d e
a
b cf
de a
de
bcf
a
bcdef 1
2 3
4 5
6 a
b c
d e
f
Az algoritmus konkr´et v´egrehajt´asa az ´abr´an l´athat´o. A z¨old sz´amok a maxvissza sorrendet, a z¨old szagga-
tott vonalak a v´ag´asjel¨olteket mutatj´ak. (3 pont)
Ezek szerint Gegy minim´alis v´ag´as´at a legkevesebb ´elt elv´ag´o v´ag´asjel¨oltb˝ol kapjuk, ami a konkr´et esetben 3 ´el. ´Igy pl azf ´es a marad´ek cs´ucsok k¨oz¨ott fut´o 3 ´el minim´alis v´ag´ast alkot G-ben. (1 pont) Mivel G 3-szorosan ´el¨osszef¨ogg˝o, ez´ert G 2-szeresen is ´el¨osszef¨ugg˝o, teh´at van f¨ulfelbont´asa. (1 pont) Ha azt szeretn´enk, hogy ne legyen, ahhoz azt kell el´erni, hogy G legfeljebb egy ´el elhagy´as´at´ol sz´etessen.
Mivel 2 ´el elhagy´as´at´ol G bizonyosan ¨osszef¨ugg˝o marad, ez´ert legal´abb 2 ´el t¨orl´ese sz¨uks´eges. Ha azonban t¨orl¨unk pl. k´et f-b˝ol indul´o ´elt, akkor a kapott gr´afnak lesz elv´ag´o ´ele, teh´at nem lesz f¨ulfelbont´asa. A
feladat utols´o k´erd´es´ere teh´at 2 a v´alasz. (2 pont)
2. Legkevesebb h´any ´elt kell beh´uzni a jobb oldali ´abr´an l´athat´o G gr´afba ahhoz, hogy a kapott gr´afnak legyen er˝osen ¨osszef¨ugg˝o ir´a- ny´ıt´asa?
Robbins tanult t´etele miatt er˝osen ¨osszef¨ugg˝o ir´any´ıt´asa pontosan a 2-´el¨osszef¨ugg˝o gr´afoknak van. Ez´ert a keresett ´elsz´am megegyezik azon ´elek minim´alis sz´am´aval, amelyek hozz´aad´as´at´olG2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e v´alik.
(4 pont)
Az ehhez sz¨uks´eges minim´alis ´elsz´am a tanultak szerint l
`(G)+2`0(G) 2
m
. (2 pont) A G gr´af ¨osszef¨ugg˝o, ez´ert az izol´alt 2-komponensek sz´ama `0(G) = 0 (1 pont) A lev´el 2-komponenseket szaggatott vonal jel¨oli, sz´amuk `(G) = 6. (2 pont) Ez´ert a sz¨uks´eges minim´alis ´elsz´am 6
2
= 3. (1 pont)
Az ´abr´an megjel¨olt¨unk 3 ´elt pirossal, amelyek beh´uz´as´at´olG 2-´el¨osszef¨ugg˝ov´e v´alik. (0 pont) A feladat nem ig´enyli, hogy megtal´aljunk egy optim´alis ´elhalmazt. Term´eszetesen az is helyes megold´as, ha valaki mutat egy 3 ´elb˝ol ´all´o ´elhalmazt (2 p), igazolja, hogy ezen ´eleket beh´uzva G 2-´el¨of lesz (3 p), v´eg¨ul pedig azt bizony´ıtja (pl. a lev´el 2-kompnensek seg´ıts´eg´evel), hogy 3-n´al kevesebb ´el nem el´eg ehhez (5 p).
3. Tegy¨uk fel, hogy a 100-cs´ucs´u G gr´af minden egyes ´el´et ´ugy lehet a k´ek ill. a s´arga sz´ınek valamelyik´ere kisz´ınezni, hogyG minden cs´ucs´ab´ol induljon k´ek ´es s´arga ´el is, valamint a k´ek ´elek alkotta gr´afnak legyen er˝osen ¨osszef¨ugg˝o ir´any´ıt´asa, a s´arga ´elek alkotta gr´afnak pedig legyen f¨ulfelbont´asa. Bizony´ıtsuk be, hogy ekkor Gmegkaphat´o egy cs´ucsb´ol kiindulva ´elhozz´aad´asok ´es ´elp´ar¨osszecs´ıp´esek alkalmas egym´asut´anj´aval.
A k´ek ´elek alkotta gr´af er˝osen ¨osszef¨ugg˝ov´e ir´any´ıthat´o, ez´ert 2-´el¨osszef¨ugg¨o. (3 pont) A s´arga ´elek alkotta gr´afnak van f¨ulfelbont´asa, ez´ert az is 2-´el¨osszef¨ugg˝o. (3 pont) Ezek szerint a G gr´af minden v´ag´asa legal´abb k´et k´ek ´es k´et s´arga ´elt tartalmaz, vagyis G 4-´el¨osszef¨ugg˝o.
(2 pont) A 4-´el¨osszef¨ugg˝o gr´afok b´armelyike (´ıgy G is) a tanult el˝o´all´ıt´asi t´etel szerint megkaphat´o egy cs´ucsb´ol kiindulva ´elhozz´aad´asok ´es ´elp´ar¨osszecs´ıp´esek egym´asut´anj´aval. Nek¨unk pedig pontosan ezt kellett igazolni.
(2 pont) 4. Hat´arozzuk meg, hogy ha a 4,4,5,6,43,5,3,7,8 megmunk´al´asi id˝okkel megadott munk´akat ebben a sor- rendben list´as ¨utemez´essel ¨utemezz¨uk k´et g´epre, akkor az ´ıgy kapott ´atfut´asi id˝o mennyivel lesz t¨obb a k´et g´epre optim´alis ¨utemez´es ´atfut´asi idej´en´el.
Az LS ¨utemez´es a k´et 4 megmunk´al´asi idej˝u munk´aval kezd az egyes g´epeken, majd t = 4-ben az 5 ´es 6 megmunk´al´asi idej˝u munk´akat ¨utemezi a k´et g´epre. A 43-as munka t = 9-ben kezd˝odik, ´es t = 52-ben ´er v´eget. Mindek¨ozben a
”m´asik” g´ep sz´ep sorban v´egrehajtja t = 10-t˝ol kezdve a 6,5,3,7 ´es 8 ´atfut´asi idej˝u
munk´akat. (3 pont)
Ez´altal a 43-as munk´at v´egz˝o g´ept = 52-ben, a m´asik pedig t= 33-ban v´egez. Az ´atfut´asi id˝o teh´at 52. (2 pont)
Ha azonban az els˝o g´epre ¨utemezz¨uk az 43-as munk´at, a m´asodikra pedig az ¨osszes t¨obbit, akkor az els˝o g´ept = 43-ban, a m´asodik pedig t= 42-ben v´egez, az ´atfut´asi id˝ot = 43. (2 pont) Mivel van egy 43 megmunk´al´asi idej˝u munk´ank, ez´ert b´armely ¨utemez´es ´atfut´asi ideje legal´abb 43. Mi mutattunk egy 43 ´atfut´asi idej˝u ¨utemez´est, ´ıgy ez az ¨utemez´es optim´alis. (2 pont) A feladat k´erd´es´ere a v´alasz teh´at az, hogy a mondott ¨utemez´es pontosan 52−43 = 9 id˝oegys´eggel hosszabb
az optim´alisn´al. (1 pont)
5. Tegy¨uk fel, hogy 4, 5 ´es 6 m´eret˝u t´argyakat kell 10 kapacit´as´u l´ad´akba pakolni. Bizony´ıtsuk be, hogy az FFD algoritmus az egyes t´argyak sz´am´at´ol f¨uggetlen¨ul garant´altan a lehet˝o legkevesebb l´ad´aval oldja meg a feladatot.
Jel¨olje x4, x5 ´es x6 az egyes t´ıpusokb´ol elpakoland´o t´argyak sz´am´at. Az algoritmus el˝osz¨or a 6 m´eret˝u t´argyakat pakolja, mindegyiket egy-egy k¨ul¨on l´ad´aba. Ehhez ¨osszesen x6 l´ada kell ehhez. Ezt k¨ovetik az 5 m´eret˝u t´argyak, amiket p´aros´aval egy-egy ´uj l´ad´aba csomagolunk, az utols´o esetleg egyed¨ul marad. Ez tov´abbi dx25el´ad´at jelent. A 4 m´eret˝u t´argyak k¨ovetkeznek: ezeket els˝o sorban a 6 m´eret˝uek mell´e pakoljuk, ha m´ar erre nincs m´od, akkor a fac´er 5 m´eret˝u mell´e, ´es ha m´eg enn´el is t¨obb van, akkor p´aros´aval egy-egy
l´ad´at nyitunk nekik. (4 pont)
Ha a x4 ≤ x6, akkor a felhasz´alt l´ad´ak sz´ama x6 +dx25e. Ennyi l´ada mindenk´epp sz¨uks´eges, hisz 6-os ´es 5-¨os t´argy nem pakolhat´o egy l´ad´aba, ´ıgy a 6-os t´argyaknak mindenk´epp kell x6 l´ada, az 5-¨os¨okh¨oz pedig legal´abb dx25e l´ad´ara van sz¨uks´eg. Ez´ert az FFD algoritmus x4 ≤x6 eset´en optim´alis. (3 pont) Ha azonban x4 > x6, akkor a 4-es t´argyak pakol´asa el˝ott megnyitott minden l´ad´aba pontosan k´et t´argy ker¨ul, ´es a marad´ek 4-eseket is p´aros´aval csomagoljuk, esetleg az utols´o egyed¨ul ´arv´alkodik egy l´ad´aban. A felhaszn´alt l´ad´ak sz´ama teh´atdx6+x25+x4e. Mivel egy l´ad´aba legfeljebb k´et t´argy pakolhat´o a m´eret¨uk miatt, ez´ert enn´el kevesebb l´ad´aba biztosan nem csomagolhat´ok el a t´argyaink. Az FFD algoritmus teh´at ebben
az esetben is optim´alis megold´ast ad. (3 pont)
