Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
1. ZH 2019. III. 26. 18h QBF08, QBF10 A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´es NEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvas- hat´oan ´es helyesen t¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz hasz- n´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semle- het a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont: sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindo- kolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik.
R´eszletek a t´argy honlapj´an:http://cs.bme.hu/villkombopt/.
Feladatok
1. Az al´ abbi t´ abl´ azat A, B, C ´es D sorai ill.
1, 2, 3 ´es 4 oszlopai alkotj´ ak a G p´ aros gr´ af cs´ ucshalmaz´ at, a t´ abl´ azatbeli sz´ amok pedig az adott sor ´es oszlop k¨oz¨ott fut´o ´el s´ uly´ at jelen- tik. Hat´ arozzuk meg az ´ or´ an tanult m´ odszer- rel G egy maxim´ alis s´ uly´ u M p´ aros´ıt´ as´ at, ´es igazoljuk egy´ uttal, hogy nincs G-ben M -n´el nagyobb s´ uly´ u p´ aros´ıt´ as.
1 2 3 4
A 2 2 6 3
B 7 5 9 8
C 5 2 7 3
D 7 3 9 5
2. ´ Allap´ıtsuk meg, hogy van-e val´ os megold´ asa az itt l´ athat´ o egyenl˝ otlen- s´egrendszernek. Ha van megold´ as, ak- kor tal´ aljunk egy olyan megold´ ast, amelyben az x
3v´ altoz´ o ´ert´eke a le- het˝ o legkisebb.
2x
1− 3x
2+ x
3≥ −3 2x
2+ 3x
3≥ 2 x
1− x
2+ 2x
3≤ 0 3x
1− 6x
2− 5x
3≤ −7 3. (a) Oldjuk meg az itt l´ athat´ o LP felada-
tot!
(b) Meg lehet-e v´ altoztatni a c´elf¨ ugg- v´enyt ´ ugy, hogy az x
1= 180, x
2= 80 optim´ alis megold´ as legyen? Ha igen, akkor mutassunk p´eld´ at ilyen c´elf¨ ugg- v´enyre!
max{4x
1+ 5x
2} ha x
1, x
2≥ 0
x
1≤ 180 2x
1+ 3x
2≤ 600 2x
1+ x
2≤ 400 4. Hat´ arozzuk meg azt a prim´ al LP
probl´em´ at aminek a du´ alisa itt l´ atha- t´ o.
min{7y
1− 2y
3} ha
y
1, y
3≥ 0
4y
1− 2y
2+ y
3≥ 77
5. A pir´ez labdar´ ug´ o bajnoks´ agban minden csapat minden m´ asik csapattal egyszer j´ atszik. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy a bajnoks´ ag v´egezt´evel siker¨ ult a csapatokat ´ ugy jutalmazni, hogy ha az i csapat legy˝ ozte a j csapatot, akkor az p(i) − p(j ) k¨ ul¨onbs´eg 10
6· a(i, j ) ´es 10
6· b(i, j ) PP (pir´ez pet´ ak) k¨oz´e ess´ek, ahol p(v) a v csapat jutalm´ at jel¨oli, valamint a(i, j) ≤ b(i, j ) eg´esz sz´ amok.
Igaz-e, hogy a jutalmaz´ as megval´ os´ıthat´ o ekkor ´ ugy is, hogy a fenti felt´ete- lek tov´ abbra is teljes¨ uljenek, ´ am minden csapat egymilli´ o PP t¨obbsz¨or¨os´et kapja, r´ aad´ asul a sz´etosztott jutalom ¨osszege ne n¨ovekedj´ek ett˝ol?
(C´elszer˝ unek l´ atszik fel´ırni egy, a feladathoz kapcsol´ od´ o LP probl´em´ at.)
J´ o munk´ at!
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
2. ZH 2019. V. 9. 18h QBF09, QBF10 A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´es NEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvas- hat´oan ´es helyesen t¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz hasz- n´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semle- het a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont: sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindo- kolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik.
R´eszletek a t´argy honlapj´an:http://cs.bme.hu/villkombopt/.
Feladatok
1. ´Irjuk fel ILP probl´emak´ent a k¨ovetkez˝o feladatot. Adott G = (V, E ) gr´ af cs´ ucsainak keress¨ uk olyan maxim´ alis m´eret˝ u U r´eszhalmaz´ at, amely el˝ o´ all k´et f¨ uggetlen ponthalmaz uni´ ojak´ent, azaz U = U
1∪ U
2, ahol G-nek egyetlen ´ele sem k¨ot ¨ossze k´et U
1-beli vagy k´et U
2-beli cs´ ucsot. (´ Erdemes lehet k´et karakterisztikus vektorral dolgozni.)
2. Tegy¨ uk fel, hogy a G gr´ afnak van olyan f¨ ulfelbont´ asa, amelyben ponto- san 7 db olyan f¨ ul szerepel, ami egyetlen ponton csatlakozik a kor´ abban fel´ep´ıtett gr´ afhoz. Legfeljebb h´ any elv´ ag´ o ´ele ´es h´ any (maxim´ alis) blokkja lehet G-nek?
3. Tegy¨ uk fel, hogy a G gr´ afnak pontosan k´et elv´ ag´ o pontja ´es pontosan 10 (maxim´ alis) blokkja van. Melyik az a legkisebb k ´ert´ek, amire igaz, hogy a G gr´ af k ´el beh´ uz´ as´ aval garant´ altan 2-szeresen pont¨osszef¨ ugg˝ ov´e tehet˝ o?
4. Vannak-e az ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ afnak olyan u
´es v cs´ ucsai, amelyek k¨ozti ´el¨osszef¨ ugg˝ os´egre λ(u, v) = d(v) teljes¨ ul? Ha van, akkor keres- s¨ unk ilyen cs´ ucsp´ art, ha nincs, bizony´ıtsuk be, hogy nem l´etezik ilyen.
d
e f g
h b
a c
5. Tegy¨ uk fel, hogy a 4-szeresen ´el¨osszef¨ ugg˝ o G gr´ afnak u ´es v szomsz´edos,
hatodfok´ u cs´ ucsai. Bizony´ıtsuk be, hogy G-nek van olyan ux ´es vy ´ele,
amelyre az eml´ıtett ´elek ´es uv t¨orl´es´evel, valamint egy xy ´el beh´ uz´ as´ aval
l´etrej¨ov˝o G − uv − ux − vy + xy gr´ af szint´en 4-szeresen ´el¨osszef¨ ugg˝ o.
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
1. pZH 2019. V. 17. 8h
A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et ´es NEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sar- k´aban olvashat´oan ´es helyesen t¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ı- v¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mo- biltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont: sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh ¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik. R´eszletek a t´argy honlapj´an:
http://cs.bme.hu/villkombopt/ .
Feladatok
1. Az al´ abbi t´ abl´ azat A, B, C ´ es D sorai ill. 1, 2, 3 ´ es 4 oszlopai alkotj´ ak a G p´ aros gr´ af cs´ ucshalmaz´ at, a t´ abl´ azatbeli sz´ amok pedig az adott sor ´ es oszlop k¨ o- z¨ ott fut´ o ´ el s´ uly´ at jelentik. Hat´ arozzunk meg G ´ ele- inek egy minim´ alis ¨ osszs´ uly´ u lefog´ as´ at, ´ es igazoljuk, hogy nincs G ´ eleinek nincs enn´ el kisebb ¨ osszs´ uly´ u lefog´ asa.
1 2 3 4
A 2 0 1 9
B 0 8 6 11
C 1 5 7 12
D 9 11 12 16 2. ´ Allap´ıtsuk meg, hogy van-e val´ os megol-
d´ asa az itt l´ athat´ o egyenl˝ otlens´ egrendszer- nek. Ha van megold´ as, akkor tal´ aljunk egy olyan megold´ ast, amelyben az x
3v´ altoz´ o
´
ert´ eke a lehet˝ o legkisebb.
2x
1− 3x
2+ x
3≥ −3 2x
2+ 3x
3≥ 2 x
1− x
2+ 2x
3≤ 0 3x
1− 6x
2− 5x
3≤ −7 3. (a) Oldjuk meg az itt l´ athat´ o line´ aris programoz´ asi
feladatot!
(b) Meg lehet-e v´ altoztatni a c´ elf¨ uggv´ enyt ´ ugy, hogy az x
1= 20, x
2= 10 optim´ alis megold´ as legyen?
Ha igen, akkor mutassunk p´ eld´ at ilyen c´ elf¨ ugg- v´ enyre!
max{2x
1+ 3x
2} ha x
1, x
2≥ 0
x
1≤ 20 x
1+ x
2≤ 30 x
1+ 2x
2≤ 50 4. Hat´ arozzuk meg azt a prim´ al LP
probl´ em´ at aminek a du´ alisa itt l´ at- hat´ o.
(Nem tilos felrajzolni egy szam´ arve- zet˝ ot.)
max{2y
1+ 5y
3} ha y
2, y
3≥ 0 3y
1+ 2y
2− 4y
3≤ 42
y
1− 5y
2= 7 6y
1− y
2+ 7y
3≥ 11
5. Egy G = (V, E ) gr´ af 2-faktora alatt az E egy olyan F r´ eszhalmaz´ at ´ ertj¨ uk, amelyre G minden cs´ ucs´ ab´ ol pontosan k´ et F -beli ´ el indul. Tegy¨ uk fel, hogy G p´ aros gr´ af
´
es c : E → R adott s´ ulyf¨ uggv´ eny. Fogalmazzuk meg a maxim´ alis s´ uly´ u 2-faktor keres´ es´ enek probl´ em´ aj´ at ILP feladatk´ ent. Igaz-e, hogy a megfelel˝ o LP feladatnak mindig van eg´ esz optimuma, azaz az ILP optimuma egy´ uttal optimuma az LP-nek is?
J´o munk´at!
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
2. pZH 2019. V. 17. 8h
A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´es NEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvas- hat´oan ´es helyesen t¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz hasz- n´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semle- het a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont: sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindo- kolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik.
R´eszletek a t´argy honlapj´an:http://cs.bme.hu/villkombopt/.
Feladatok
1. ´Irjuk fel ILP probl´emak´ent a k¨ovetkez˝o feladatot. Adott a
1, a
2, . . . , a
nnagys´ ag´ u s´ ulyokb´ ol kell legfeljebb k db-ot kiv´ alasztani ´ ugy, hogy az ¨ossz- s´ uly min´el kevesebb, de legal´ abb m legyen.
2. Legkevesebb h´ any ´elt kell beh´ uzni a bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ afba ahhoz, hogy a kapott G
0gr´ afnak legyen f¨ ulfelbont´ asa?
3. Hat´ arozzunk meg a k¨oz´eps˝o ´abr´an l´athat´o gr´afban egy minim´alis v´ag´ast a Nagamochi-Ibaraki-algoritmus seg´ıts´eg´evel.
a b
c d e
f g
p q
r
t u
s
4. A jobb oldali ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af egy maxvissza sorrendj´eben a az utols´ o cs´ ucs. Melyik az utols´ o el˝ otti cs´ ucs ugyanebben a sorrendben?
5. Tegy¨ uk fel, hogy a 4-szeresen ´el¨osszef¨ ugg˝ o G gr´ afnak u ´es v nem szom- sz´edos, negyeddfok´ u cs´ ucsai. Bizony´ıtsuk be, hogy u-nak vannak olyan a
´es b szomsz´edai, valamint v-nek olyan c ´es d szomsz´edai, hogy a G
0= G − ua − ub − vc − vd + uc + ud + va + vb gr´ af 4-szeresen ¨osszef¨ ugg˝ o.
(4 ´elt t¨orl¨ unk ´es 4 ´elt hozz´ avesz¨ unk G-hez.)
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
1. ZH 2020. III. 31. 18h
A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 100 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´atminden felt¨olt¨ott oldalonolvashat´oan´eshelyesent¨untes- se fel. A dolgozat´ır´as ideje alatt semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott, nyomtatott vagy elektronikus jegyzet haszn´alata. Szint´et tilos a kit˝uz¨ott feladatokr´ol b´armilyen csatorn´an kommunik´alni az el˝oad´ot´ol k¨ul¨onb¨oz˝o szem´ellyel. Sz´am´ıt´og´epet vagy mobiltelefont pedig csak a feladatsor let¨olt´esehez, a dolgozat felt¨olt´es´ehez ill. az el˝oad´ohoz int´ezett k´erd´esek feltev´es´ehez szabad ig´enybe venni.
A megold´asokat .pdf vagy .jpg form´aban kell felt¨olteni a Teams fel¨uletre (figyelve a felt¨olt¨ott k´ep orient´aci´oj´ara) majd aTurn in gomb megnyom´as´aval legk´es˝obb 19:40-ig beadni. A dolgozat´ır´as ideje alatt az oktat´ot´ol a Teams fel¨uleten lehet k´erdezni, k¨ozvetlen h´ıv´askezdem´enyez´essel.
Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont:
sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik. R´eszletek a t´argy honlapj´an:
http://cs.bme.hu/villkombopt/.
Feladatok
1. B´ armilyen kem´eny munka is a locsolkod´ as, a ki- j´ ar´ asi korl´ atoz´ as miatt mindenki csak egy helyen v´egezheti ezt. H´ arom (fi´ u)testv´er (A, B ´es C) pr´ o- b´ al min´el t¨obb piros toj´ast gy˝ ujteni a jeles alka- lommal. ¨ Ot lehets´eges helyre mehetnek (1, 2, 3, 4 ´es 5) ´es az al´ abbbi t´ abl´ azatba gy˝ ujt¨ott´ek, hogy mennyi toj´ asra sz´ am´ıtanak az egyes locsol´ ok, ha
A B C 1 9 11 7 2 13 11 10 3 10 12 9 4 14 20 16 5 10 10 8 az adott helyen ¨ont¨oznek Hat´arozzuk meg, hogy legfeljebb h´any toj´ast tudnak ilyen felt´etelek mellett ¨osszegy˝ ujteni. Adjunk ehhez egy locsol´ asi tervet, ´es mutassuk is meg, hogy az ´ıgy megszerezhet˝ on´el nem gy˝ ujthet˝ o t¨obb toj´as a fenti felt´etelek mellett.
(Figyelem: h´ arom fi´ u csak h´ arom helyen locsolhat!) 2. Fourier-Motzkin-elimin´ aci´ o seg´ıts´eg´e-
vel ´ allap´ıtsuk meg, van-e megold´ asa az itt l´ athat´ o egyenl˝ otlens´egrendszer- nek. Ha igen, akkor hat´ arozzunk meg egy olyat, amelyikre az x
3v´ altoz´ o a lehet˝ o legnagyobb.
2x
1+ 3x
2+ x
3≤ 3 2x
1− x
2− 2x
3≥ 3 x
1− 2x
2+ 2x
3≤ 1 2x
2− x
3≤ 5 3. Pir´ezi´ aban k´etf´ele p´ alink´ at szabad otthon p´ arolni: 50%-os ill. 80%-os alko-
holtartalm´ ut. Tov´ abbi szab´ aly, hogy senki sem p´ arolhat 400 litern´el t¨obb 80%-osat, vagy 600 litern´el t¨obb 50%-osat. Ezen k´ıv¨ ul a k´etf´ele p´ alinka
¨ osszalkoholtartalma sem haladhatja meg a 400 litert. A rezsics¨okkent´es je-
gy´eben r¨ogz´ıtett´ek az ´arakat: az 50%-osat literenk´et 100, a 80-sz´azal´ekosat
pedig literenk´ent 150 forint´ert kell forgalmazni. Mennyit ´erdemes p´ arolni
az egyes fajt´ akb´ ol ahhoz, hogy az elad´ asb´ ol sz´ armaz´ o bev´etel¨ unket maxi-
maliz´ aljuk?
(Tal´ an ´erdemes lenne fel´ırni egy LP feladatot.) 4. Hat´ arozzuk meg azt a prim´ al LP
probl´em´ at aminek a du´ alisa itt l´ athat´ o.
(Nem tilos szam´ arvezet˝ ot rajzolni.)
min{2y
1− 7y
3} ha y
2≥ 0 y
1− y
2− 4y
3≤ 42 3y
1+ 7y
2− y
3≥ 5
y
1+ y
2+ y
3= 33
5. A korona elleni k¨ uzdelemben szerzett m´ ulhatatlan ´eredemei elismer´ese- k´ent Pir´ezia eln¨ok´enek tisztelet´ere az orsz´ag n focicsapata k¨oz¨ott szeret- n´enk egy id˝ oben a lehet˝ o legt¨obb m´erk˝oz´est megszervezni. Figyelembe kell azonban venni, hogy a helyi szab´ alyok minden pir´ez megy´ere megha- t´ arozz´ ak, hogy egy id˝ oben h´ any csapat m´erk˝ ozhet az adott megy´en k´ıv¨ uli csapattal. (Egy M megye eset´en c(M ) jel¨oli ezt a fels˝o korl´atot.) Tov´abbi felt´etel, hogy a lej´ atszott m´erk˝ oz´esek legal´ abb a fel´eben k´et olyan csapat- nak kell egym´ assal j´ atszania, amelyek azonos bajnoks´ agban j´ atszanak.
´Irjunk fel egy olyan IP probl´em´at, ami a fenti feladatot oldja meg: v´a-
lasszunk alkalmas v´ altoz´ okat ´es adjuk meg a megfelel˝ o line´ aris ´es esetleges
eg´esz´ert´ek˝ us´egi felt´eteleket valamint a c´elf¨ uggv´enyt.
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
2. ZH 2020. V. 15. 8h
A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o egyetlen pdf f´ajlt adjon be a moodle rendszerbe t¨ort´en˝o felt¨olt´es ´utj´an. Erre a felt¨olt´esre a dolgozat´ır´as megkezd´es´et˝ol a dolgozat´ır´asra rendelkez´esre ´all´o id˝o letelt´et k¨ovet˝o 20 percig van lehet˝os´eg. A kor´abban felt¨olt¨ott f´ajl ezen id˝oszak alatt lecser´elhet˝o egy m´asikra. A felt¨olt¨ott f´ajl neve
<Nev><Neptun>vkozh2.pdf legyen, ahol <Nev> a dolgozatot ´ır´o hallgat´o vezet´ek- ´es keresztneve ´eke-
zet ill. sz´ok¨oz n´elk¨ul,<Neptun>pedig a neptun-k´odja. Kiz´ar´olag abban az esetben, ha a felt¨olt´es nem m˝uk¨odik, a dolgozat beadhat´o a fleiner@cs.bme.huc´ımre k¨uld¨ott e-mailben.
A dolgozat elk´esz´ıthet˝o sz¨ovegszerkeszt˝o program seg´ıts´eg´evel vagy bef´enyk´epezett pap´ırok pdf-re t¨ort´en˝o kon- verzi´oj´aval is. K´erem, mindenki fontolja meg, nem j´ar-e jobban az els˝o megold´assal.
B´armilyen ´ır´asos seg´edeszk¨oz ((elektronikus) k¨onyv, jegyzet, statikus internetes tartalom) felhaszn´alhat´o a dol- gozat´ır´as ideje alatt. Tilos b´armif´ele interakt´ıv seg´ıts´eg ig´enybev´etele ill. tilos a dolgozatot ´ır´o hallgat´onak a dolgozat feladatair´ol a dolgozat´ır´as id˝otartama alatt a t´argy el˝oad´oj´anak feltett k´erd´eseken k´ıv¨ul m´as szem´ellyel b´armif´ele kommunik´aci´ot folytatnia.
Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont:
sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik. R´eszletek a t´argy honlapj´an:
http://cs.bme.hu/villkombopt/.
A dolgozat´ır´as ideje alatt az oktat´ot´ol a Teams fel¨uleten lehet k´erdezni, k¨ozvetlen h´ıv´askezdem´enyez´essel. Sze- rencs´es esetben v´alaszt kap a k´erdez˝o.
Feladatok
1. Hat´ arozzuk meg az ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af egy minim´ a- lis v´ ag´ as´ at a Nagamochi-Ibaraki-algoritmus seg´ıts´eg´e- vel ´ ugy, hogy amikor egy l´ep´es sor´ an t¨obb cs´ ucsb´ ol is lehet v´ alasztani, mindig azt v´ alasztjuk, amelyik ABC rendben a legels˝ o lehet.
b a c
d e
f g
h
2. Van-e olyan ¨osszef¨ ugg˝ o gr´ af, aminek 7 elv´ ag´ o pontja ´es 10 maxblokkja van, de m´egsem tehet˝ o 2-szeresen pont¨osszef¨ ugg˝ ov´e 4 ´el beh´ uz´ as´ aval? Ha van, akkor mutassunk ilyen gr´ afot ´es igazoljuk e tulajdons´ ag´ at, ha nincs, akkor bizony´ıtsuk be, hogy minden ilyen gr´ af 2-szeresen ¨osszef¨ ugg˝ ov´e tehet˝ o legfeljebb 4 ´el hozz´ av´etel´evel.
3. Tegy¨ uk fel, hogy a G gr´ afnak v
1, v
2, . . . , x, y ´es u
1, u
2, . . . , y, x is egy max- vissza sorrendje. Bizony´ıtsuk be, hogy d(x) = d(y), azaz ha a maxvissza sorrend . . . , x, y-ra ´es . . . , y, x-re is tud v´egz˝ odni, akkor a k´et utols´ o cs´ ucs foksz´ ama megegyezik.
4. Hat munka ¨ utemez´es´et kell elv´egezn¨ unk, az egyes megmunk´ al´ asi id˝ ok 1, 2, 3, 4, 5 ´es 6. Mennyi lesz az ´ atlagos ´ atfut´ asi id˝ o minimuma ha egy g´epre ¨ utemez¨ unk? Mennyi lesz az ´ atlagos ´ atfut´ asi id˝ o akkor, ha LPT sor- rendben list´ as ¨ utemez´essel dolgozunk k´et g´epen?
5. El˝ ofordulhat-e, hogy ugyanazokat a t´ argyakat az FF algoritmus m´ asf´elszer annyi l´ ad´ aba pakolja, mint az FFD algoritmus?
J´ o munk´ at!
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
1. pZH 2020. V. 22. 8h
A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o egyetlen pdf f´ajlt adjon be a moodle rendszerbe t¨ort´en˝o felt¨olt´es ´utj´an. Erre a felt¨olt´es- re a dolgozat´ır´as megkezd´es´et˝ol a dolgozat´ır´asra rendelkez´esre ´all´o id˝o letelt´et k¨ovet˝o 20 percig van lehet˝os´eg. A kor´abban felt¨olt¨ott f´ajl ezalatt lecser´elhet˝o egy m´asikra. A felt¨olt¨ott f´ajl neve<Nev><Neptun>vkopzh1.pdf legyen, ahol <Nev> a dolgozatot ´ır´o hallgat´o vezet´ek- ´es keresztneve ´ekezet ill. sz´ok¨oz n´elk¨ul, <Neptun> pe- dig a neptun-k´odja. Kiz´ar´olag abban az esetben, ha a felt¨olt´es nem m˝uk¨odik, a dolgozat beadhat´o a flei- ner@cs.bme.hu c´ımre k¨uld¨ott e-mailben.
A dolgozat elk´esz´ıthet˝o sz¨ovegszerkeszt˝o program seg´ıts´eg´evel vagy bef´enyk´epezett pap´ırok pdf-re t¨ort´en˝o kon- verzi´oj´aval is. K´erem, mindenki fontolja meg, nem j´ar-e jobban az els˝o megold´assal.
B´armilyen ´ır´asos seg´edeszk¨oz ((elektronikus) k¨onyv, jegyzet, statikus internetes tartalom) felhaszn´alhat´o a dol- gozat´ır´as ideje alatt. Tilos b´armif´ele interakt´ıv seg´ıts´eg ig´enybev´etele ill. tilos a dolgozatot ´ır´o hallgat´onak a dolgozat feladatair´ol a dolgozat´ır´as id˝otartama alatt a t´argy el˝oad´oj´anak feltett k´erd´eseken k´ıv¨ul m´as szem´ellyel b´armif´ele kommunik´aci´ot folytatnia.
Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont: sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´a- nyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh ¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik. R´eszletek a honlapon:
http://cs.bme.hu/villkombopt/.
A dolgozat´ır´as ideje alatt az oktat´ot´ol a Teams fel¨uleten lehet k´erdezni, k¨ozvetlen h´ıv´askezdem´enyez´essel. Sze- rencs´es esetben v´alaszt kap a k´erdez˝o.
Feladatok
1. A G p´ aros gr´ af ´ elei az {A, B, C, D} ill. {1, 2, 3, 4}
ponthalmazok k¨ oz¨ ott futnak. A mell´ ekelt t´ abl´ a- zat az ´ elek s´ uly´ at adja meg. Van-e olyan minim´ a- lis s´ uly´ u s´ ulyozott lefog´ as, amely az A, B, C ill.
D . pontokhoz a jobb oldali oszlopban tal´ alhat´ o sz´ amokat rendeli?
1 2 3 4 A 7 9 7 10
B 2 4 3 7
C 5 7 3 7
D 5 5 4 8
5 1 3 2
(Ha van ilyen, akkor azt adjuk meg, ´ es bizony´ıtsuk r´ ola, hogy minim´ alis, ha nincs, akkor adjunk meg egy olyan s´ ulyozott lefog´ ast, amely kisebb ¨ osszs´ uly´ u, mint b´ ar- mely olyan, ami a jobb oldali oszlopb´ ol megkaphat´ o.)
2. Az ´ or´ an tanult Fourier-Motzkin elimin´ a- ci´ o seg´ıts´ eg´ evel ´ allap´ıtsuk meg, hogy van- e val´ os megold´ asa az itt l´ athat´ o egyenl˝ ot- lens´ egrendszernek. (Teh´ at ha van megol- d´ as, azt nem sz¨ uks´ eges konkr´ etan megad- ni, b´ atran haszn´ alhat´ o a m´ atrixos alak.)
x
1+ 4x
2− 7x
3≥ 3 x
1+ 4x
2− 8x
3≤ −1 x
1+ 7x
2− 1x
3≤ 12 x
1− x
2− 12x
3≤ −2 3. Van-e olyan (c
1, c
2) c´ elf¨ uggv´ eny, amire az al´ abbi
LP-nek nincs eg´ esz´ ert´ ek˝ u optimuma, azaz nincs olyan optim´ alis (x
1, x
2) megold´ asa, ahol x
1´ es x
2is eg´ esz sz´ am? A v´ alaszt indokoljuk: ha van ilyen c´ elf¨ uggv´ eny, akkor adjunk meg egy ilyet, ha nincs,
min{c
1x
1+ c
2x
2} ha
x
1≥ 0
x
1− 4x
2≥ −11
4. Hat´ arozzuk meg azt az LP probl´ e- m´ at, aminek a mell´ ekelt egyenl˝ otlen- s´ egrendszer a du´ alisa.
min{y
1− 333y
2+ 222y
3} ha y
1, y
2≥ 0 y
1− y
2+ 22y
3≥ 3 3y
1− 33y
2+ y
3= 55
7y
1+ 77y
3≥ 33 7y
2− 17y
3≥ 11 5. Pir´ ezi´ aban feloldott´ ak a kij´ ar´ asi korl´ atoz´ ast, de az´ ert m´ eg nagyon vigy´ aznak, ne
t¨ ort´ enjen baj. Ez´ ert operat´ıv hajt´ asokat telep´ıtenek n´ eh´ any v´ arosba azzal a meg- k¨ ot´ essel, hogy minden olyan v v´ aros eset´ en, ahova nem telep¨ ul operat´ıv hajt´ as, legyen egy v-vel szomsz´ edos u v´ aros, ahova telep¨ ul. ´Irjunk fel olyan IP probl´ em´ at, ami a v´ arosok szomsz´ edoss´ ag´ at le´ır´ o gr´ af ismeret´ eben meghat´ arozza, mely v´ aro- sokba ker¨ uljenek az operat´ıv hajt´ asok ahhoz, hogy a lehet˝ o legkevesebb operat´ıv hajt´ asra legyen sz¨ uks´ eg: defini´ aljunk v´ altoz´ okat ´ es hat´ arozzuk meg a probl´ em´ at le´ır´ o line´ aris ill. eg´ esz´ ert´ ek˝ us´ egi felt´ eteleket.
J´ o munk´ at!
Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)
2. pZH 2020. V. 26. 8h
A rendelkez´esre ´all´o munkaid˝o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o egyetlen pdf f´ajlt adjon be a moodle rendszerbe t¨ort´en˝o felt¨olt´es ´utj´an. Erre a felt¨olt´esre a dolgozat´ır´as megkezd´es´et˝ol a dolgozat´ır´asra rendelkez´esre ´all´o id˝o letelt´et k¨ovet˝o 20 percig van lehet˝os´eg. A kor´abban felt¨olt¨ott f´ajl ezen id˝oszak alatt lecser´elhet˝o egy m´asikra. A felt¨olt¨ott f´ajl neve
<Nev><Neptun>vkopzh2.pdflegyen, ahol<Nev>a dolgozatot ´ır´o hallgat´o vezet´ek- ´es keresztneve ´ekezet
ill. sz´ok¨oz n´elk¨ul, <Neptun>pedig a neptun-k´odja. Kiz´ar´olag abban az esetben, ha a felt¨olt´es nem m˝uk¨odik, a dolgozat beadhat´o afleiner@cs.bme.huc´ımre k¨uld¨ott e-mailben.
A dolgozat elk´esz´ıthet˝o sz¨ovegszerkeszt˝o program seg´ıts´eg´evel vagy bef´enyk´epezett pap´ırok pdf-re t¨ort´en˝o kon- verzi´oj´aval is. K´erem, mindenki fontolja meg, nem j´ar-e jobban az els˝o megold´assal.
B´armilyen ´ır´asos seg´edeszk¨oz ((elektronikus) k¨onyv, jegyzet, statikus internetes tartalom) felhaszn´alhat´o a dol- gozat´ır´as ideje alatt. Tilos b´armif´ele interakt´ıv seg´ıts´eg ig´enybev´etele ill. tilos a dolgozatot ´ır´o hallgat´onak a dolgozat feladatair´ol a dolgozat´ır´as id˝otartama alatt a t´argy el˝oad´oj´anak feltett k´erd´eseken k´ıv¨ul m´as szem´ellyel b´armif´ele kommunik´aci´ot folytatnia.
Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-19 pont: sikertelen, 20-50 pont:
sikeres. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy a k´et sikeres zh¨osszes´ıtett pontsz´am´ab´ol sz´armazik. R´eszletek a t´argy honlapj´an:
http://cs.bme.hu/villkombopt/.
A dolgozat´ır´as ideje alatt az oktat´ot´ol a Teams fel¨uleten lehet k´erdezni, k¨ozvetlen h´ıv´askezdem´enyez´essel.
