Kombinatorikus optimaliz´al´as (VISZMA06)

Kombinatorikus optimaliz´ al´ as (VISZMA06)

1. ZH jav´ıt´okulcs (2022. 03. 28.)

Az ´utmutat´o mintamegold´asokat tartalmaz. A pontsz´amok t´aj´ekoztat´o jelleggel lettek meg´allap´ıtva az ´ert´ekel´es egys´eges´ıt´ese c´elj´ab´ol. Egy pontsz´am el˝ott szerepl˝o ´all´ıt´as kimond´asa, t´etel felid´ez´ese nem jelenti automatikusan az adott pontsz´am megszerz´es´et. Az adott r´eszpontsz´am meg´ıt´el´esenk az a felt´etele, hogy a megold´ashoz vezet˝o gondolatmenet megfelel˝o r´esz´enek v´egiggondol´asa vil´a- gosan kider¨ulj¨on a dolgozatb´ol. Ha ez ut´obbi kider¨ul, ´am a k´erd´eses ´all´ıt´as, t´etel, defin´ıci´o nincs rendesen kimondva, akkor a r´eszpontsz´am legal´abb r´eszben j´ar.

Term´eszetesen az ismertetettekt˝ol elt´er˝o, ´am helyes megold´asok´ert teljes pontsz´amok, r´eszmegol- d´asok´ert pedig az ´utmutat´obeli pontoz´as intelligens k¨ozel´ıt´es´evel meghat´arozott ar´anyos r´eszpont- sz´amok j´arnak. Sz´amol´asi hib´a´ert ´altal´aban hib´ank´ent 1 pontot vonunk le.

1. Az A,B,C,D,1,2,3,4 cs´ucsokkal rendelkez˝o p´aros gr´af ´els´ulyait az al´abbi t´abl´azat tartalmazza. Keress¨uk meg a legkisebb s´uly´u olyan s´u- lyozott lefog´ast, ami az egyes sorokhoz a mellett¨uk ´all´o sz´amokat rendeli.

Minim´alis ¨osszs´uly´u-e az ´ıgy kapott s´ulyozott lefog´as? Ha igen, igazoljuk ezt, ha nem, akkor keress¨unk minim´alis ¨osszs´uly´u s´ulyozott lefog´ast.

A B C D 1 8 6 6 6 3 2 6 4 3 3 1 3 7 8 6 4 3 4 5 6 3 4 2

Ahhoz, hogy a sorokhoz rendelt sz´amokat a lehet˝o legkisebb ¨osszs´uly´u s´ulyozott lefog´ass´a eg´esz´ıti ki, minden oszlophoz a legkisebb olyan sz´amot kell rendeln¨unk, amivel az adott oszlopban ´all´o ´ert´ekek egyike sem lesz nagyobb a sor´ahoz ´es oszlop´ahoz rendelt sz´am ¨osszeg´en´el. Az al´abbi t´abl´azatban az oszlopok alatt ´all´o

sz´amok adj´ak meg ezt a s´ulyoz´ast. (3 pont)

El kell d¨onten¨unk, hogy van-e enn´el kisebb ¨osszs´uly´u s´ulyozott lefog´as, azaz, hogy a megadott s´ulyozott lefog´as vajon minim´alis ¨osszs´uly´u-e. Az ´or´an tanultak szerint p´aros gr´af egy s´ulyozott lefog´asa pontosan akkor minim´alis ¨osszs´uly´u, ha van a pontos ´eleken

teljes p´aros´ıt´as. (2 pont)

A pontos ´elek azA1, A2, B3, C1, C3 ´esD1. Ezek k¨oz¨ul p´aros´ıt´ast alkotnak azA2, B3, C1

´

elek. (1 pont)

A fedetlenD oszlopb´ol el´erhet˝o azB ´esC oszlop, valamint az 1 ´es 3 sor. Ennek megfe- lel˝oen az eml´ıtett oszlopokon cs¨okkent¨unk, az sorokon pedig n¨ovel¨unkε-nal, ami a D4

mez˝o miatt legfeljebb 1 lehet. (2 pont)

A B C D 1 8 6 6 6 3 4 2 6 4 3 3 1 1 3 7 8 6 4 3 4 4 5 6 3 4 2 2

5 5 3 3 5 4 2 2 A v´altoztat´as ut´an a kapott s´ulyozott lefog´as ¨osszs´ulya 24 lett, ez´ert az eredetileg megkapott nem volt minim´alis ¨osszs´uly´u, ´ıgy az els˝o k´erd´esre nemleges a v´alasz. (1 pont) A D4 ´el pontoss´a v´alt, ez´ert a kor´abbi p´aros´ıt´ast ezzel kieg´esz´ıtve egy pontos ´elekb˝ol ´all´o, 24 s´uly´u teljes p´aros´ıt´ast kapunk. Az eml´ıtett optimalit´asi krit´erium mi´att a megv´altoztatott 24 ¨osszs´uly´u s´ulyozott lefog´as

minim´alis ¨osszs´uly´u. (1 pont)

Az is teljes ´ert´ek˝u megold´as, ha valaki megindokolja, hogy mi´ert a 25 ¨osszs´ul´u s´ulyozott lefog´as a feladat els˝o k´erd´es´ere a v´alasz, majd el˝orukkol egy 24 ¨osszs´uly´u s´ulyozott lefog´assal, ´es egy 24 ¨osszs´uly´u teljes p´aros´ıt´assal, majd hivatkozik az optimalit´asi krit´eriumra, ´es ´ıgy ad v´alaszt a feladat m´asodik r´esz´enek a k´erd´es´ere.

Megjegyz´es A ZH ut´an publik´alt jav´ıt´okulcs hib´as volt. Sajnos a kit˝uz¨ott feladatban siker¨ult el´ırni egy

´

ert´eket, ´es ez´ert az eredetileg k¨oz¨olt megold´as nem volt helyt´all´o. Ez m´ar a jav´ıtott v´altozat.

2. Hat´arozzuk meg a legnagyobb olyan p ´ert´eket, amire az al´abbi line´aris egyenl˝otlens´egrendszernek van megold´asa.

x3 ≥ 6 x₁−2x₂ ≤ 4

x₁−3x₃ ≤ 2 x₁−x₂−2x₃ ≥ p Fel´ırjuk a line´aris egyenl˝otlens´egrendszert m´atrixos alakban ´ugy, hogy az egyenl˝otlens´egek azonos ir´anyba

´

alljanak, azaz az els˝o ´es harmadik egyenl˝otlens´eget −1-gyel megszorozzuk, majd az x egy¨utthat´oja szerint

´atrendezz¨uk a felt´eteleket: fel¨ulre vessz¨uk a pozit´ıv egy¨utthat´os sorokat, a alulra pedig a 0-kat. (2 pont) V´egrehajtjuk a Fourier-Motzkin elimin´aci´ot, azaz a v´altoz´okat egym´as ut´an elimin´aljuk ´ugy, hogy a 0 egy¨utthat´os egyenl˝otlens´egeket meg˝orizz¨uk, ´es az ¨osszes lehets´eges pozit´ıv-negat´ıv egy¨utthat´op´arra fel´ırjuk azt az ¨osszeget, amiben az elimin´aland´o v´altoz´o egy¨utthat´oja 0-v´a v´alik. (2 pont) Konkr´etan:

1 −2 0 4 1 0 −3 2

−1 1 2 −p 0 0 −1 −6

0 1 −1 2−p 0 −1 2 4−p

0 0 −1 −6

0 0 1 6−2p

0 0 −1 −6 0 0 0 −2p (4 pont)

Pontosan akkor van megold´as, ha nem kapunk tilos sort, azaz ha −2p ≥ 0, vagyis ha p ≤ 0. A feladat

k´erd´es´ere teh´atp= 0 a v´alasz. (2 pont)

A p= 0 v´alaszt´ashoz nem sz¨uks´eges megadni egy megold´ast, hiszen a FM-elimin´aci´or´ol tanultakb´ol k¨ovet- kezik, hogy biztosan van megold´as p= 0 eset´en. (A konkr´et esetben ez x₁ = 20, x₂ = 8, x₃ = 6.)

3. A Guv´ati v´allalatn´al bizonyos neurol´ogiai t¨unetekkel rendelkez˝o betegek kezel´es´et el˝oseg´ıt˝o stresszlabd´akat terveznek gy´artani, m´egpedig narancs ´es k´ek sz´ınekben,

”El˝ore” ill.

”Felfele” felirattal. A gy´art´astechnol´ogi-

´

ab´ol ad´od´oan hetente ¨osszesen legfeljebb 800 labd´at tudnak k´esz´ıteni. A narancssz´ın˝u alapanyag legfeljebb 700, a k´ek pedig legfeljebb 600 labda el˝o´all´ıt´as´at engedi meg. A feliratokhoz haszn´alt fest´ekb˝ol minden egyes narancssz´ın˝u labd´ahoz a heti adag k´etezredr´esz´ere, minden egyes k´ekekhez pedig ugyanezen adag ¨ot- sz´azadr´esz´ere van sz¨uks´eg. H´any stresszlabd´at gy´artsanak hetente az egyes v´altozatokb´ol annak ´erdek´eben, hogy a lehet˝o legt¨obb beteg kezel´es´et t´amogass´ak? Tudjuk, hogyxnarancs ´esyk´ek labda pontosan 5x+ 3y betegnek ny´ujt seg´ıts´eget, valamint, hogy a megfelel˝o neurol´ogiai t¨uneteket produk´al´o betegek korl´atlan sz´amban ´allnak rendelkez´esre. (Tal´an ´erdemes lenne megoldani egy c´elszer˝uen fel´ırt LP feladatot.) Jel¨oljen´esk az egy h´et alatt legy´artott narancs ill. k´ek labd´ak sz´am´at. A lehet˝o legt¨obb beteg kezel´es´ehez

az 5n+ 3k mennyis´eget kell maximaliz´alni. (1 pont)

A gy´art´as term´eszet´eb˝ol ad´od´oan n, k ≥0, (1 pont)

a legy´artott ¨osszmennyis´eget meghat´aroz´o gy´art´askapacit´asb´oln+k ≤800, (1 pont) az alapanyagokra vonatkoz´o korl´atokb´ol pedig az n≤700 ´es a k≤600 felt´etelek ad´odnak. (1 pont) A fest´ekre vonatkoz´o felt´etel azt mondja ki, hogy n/2000 + k/500 ≤ 1, vagy ami ezzel egyen´ert´ek˝u:

n+ 4k ≤2000. (2 pont)

Az n, k koordin´atarendszerben ´abr´azolva a naponta legy´arthat´o mennyis´eget az ad´odik, hogy a fenti felt´e- telek egy konvex ¨otsz¨ogtartom´anyt hat´aroznak meg, aminek a cs´ucsai (0,0),(700,0),(700,100),(400,400)

´

es (0,500). (2 pont)

A tanultak szerint az optim´alis termel´esi terv el´erhet˝o az ¨otsz¨og valamelyik cs´ucs´aban. (1 pont) A cs´ucsokhoz tartoz´o c´elf¨uggv´eny´ert´ekek az al´abbiak: 5·0+3·0 = 0, 5·700+3·0 = 3500, 5·700+3·100 = 3800, 5·400 + 3 ·400 = 3200, 5·0 + 3·500 = 1500. Ez´ert a legt¨obb (konkr´etan 3800) beteg akkor l´athat´o el stresszalbd´aval, ha a Guv´atin´al hetente 700 narancssz´ın˝u ´es 100 k´ek sz´ın˝ut k´esz´ıtenek bel˝ol¨uk. (1 pont) 4. ´Irjuk fel az itt l´athat´o prim´al LP probl´ema du´alis´at ´es

d¨onts¨uk el, hogy a a DLP probl´em megold´as´at kapjuk- e, ha minden du´alis v´altoz´o ´ert´ek´et 4-nek v´alasztjuk. (A du´alis megold´asnak nem kell optim´alisnak lennie. Figyel- j¨unk a sztenderd alakra a dualiz´al´asn´al.)

max{8x₁−3x₂−8x₃} ha

x₂ ≥ 0 x3−x1 ≥ 2 x1+ 2x2+ 3x3 ≤ 10

x2−4x3 = 42

Fel´ırjuk az LP-t sztenderd alakban: mivel maxi- maliz´alunk, minden egyenl˝otlens´egnek ≤ t´ıpus´u- nak kell lennie.

max{8x₁−3x₂−8x₃}ha x2 ≥ 0 x₁−x₃ ≤ −2 x₁+ 2x₂+ 3x₃ ≤ 10

x₂−4x₃ = 42

(1 pont)

Meghat´arozzuk hozz´a a sz´am´arvezet˝ot. Az ¨ok¨olszab´alyokat alkalmaz- va h´arom du´alv´altoz´o lesz, mondjuk y₁, y₂ ´esy₃. (1 pont) Ezek k¨oz¨uly₁´esy₂ egyenl˝otlens´eghez tartoznak, ez´ert nemnegat´ıvak.

(1 pont) A prim´alban maximaliz´alunk, ez´ert a du´alban minimaliz´alni fogunk,

´

es ≥t´ıpus´u egyenl˝otlens´egek lesznek a felt´etelekben. (1 pont) Mivel x₁, x₃ el˝ojelk¨otetlen, ez´ert a megfelel˝o du´alfelt´etelek egyenl˝os´e- gek, a nemnegat´ıv x₂-h¨oz tartoz´o pedig egyenl˝otlens´eg. (1 pont) A prim´al jobboldalak du´al c´elfv egy¨utthat´ok, a prim´al c´elfv egy¨utt- hat´ok pedig du´al jobboldalak lesznek. (2 pont) A szam´arvezet˝o alapj´an fel´ırjuk a DLP feladatot. (1 pont) Behelyettes´ıt´essel ellen˝orizhet˝o, hogy y₁ = y₂ = y₃ = 4 megold´asa a DLP-nek: 4 + 4 = 8,2·4 + 2·4≥ −3, valamint−4 + 3·4−4·4 = −8.

Ez´ert a feladat k´erd´es´ere igenl˝o a v´alasz. (2 pont)

x₁ 0≤x₂ x₃ 0≤y₁ 1 0 −1 ≤ −2

0≤y2 1 2 3 ≤10

y₃ 0 1 −4 = 42

= 8 ≥ −3 =−8 min{−2y₁+ 10y₂+ 42y₃}ha

y₁, y₂ ≥ 0 y₁+y₂ = 8 2y₂+y₃ ≥ −3

−y₁+ 3y₂−4y₃ = −8

5. Kelet´azsia k¨ul¨onleges katonai m˝uvelete nyom´an ´aruhi´any l´epett fel, ez´ert a pir´ezek biztons´aga ´erdek´eben a korm´any hat´os´agi ´arat vezetett be a narancss´arga stresszlabd´ara. Ez a Guv´ati v´allalat sz´am´ara ´uj kih´ıv´ast jelent: termel´es´et a legalaposabb optimaliz´al´as´anak kell al´avetni. A labd´akhoz sz¨uks´eges alapanyagokat sz´all´ıt´o teheraut´o p´eld´aul nincs teljes m´ert´ekben kihaszn´alva, ez´ert a fennmarad´o kapacit´ast is ´erdemes felt¨olteni. Fontos, hogy a fennmarad´o helyen legfeljebb 200 kg ´aru sz´all´ıthat´o, aminek az ¨osszt´erfogata leg- feljebb 3000 liter lehet. Az alapanyaggy´art´ot´ol a Guv´ati az ott gy´artottt₁, t₂, . . . , t_kterm´ekek b´armelyik´eb˝ol v´as´arolhat. At_i term´ek s´ulyaw_i kg, t´erfogatav_i liter,n_i darab van bel˝ole rakt´aron, ´es minden egyes darabja pi-vel cs¨okkenti a c´eg stresszlabd´akon elszenvedett vesztes´eg´et.

´Irjunk fel egy olyan LP vagy IP feladatot, aminek a megold´as´aval meghat´arozhat´o, hogyan kell a teheraut´o fennmarad´o kapacit´as´at kihaszn´alni annak ´erdek´eben, hogy a Guv´ati p´enz¨ugyileg a lehet˝o legjobban j´arjon:

v´alasszunk alkalmas v´altoz´okat ´es adjuk meg a megfelel˝o line´aris, esetleges nemnegativit´asi ill. eg´esz´ert´e- k˝us´egi felt´eteleket valamint a c´elf¨uggv´enyt.

Vezess¨unk be minden t_i term´ekhez egy-egy x_i v´altoz´ot. Ez a v´altoz´o ´ırja le, hogy h´any darabot vesz¨unk

ebb˝ol a term´ekb˝ol. (2 pont)

A Pk

i=1p_i·x_i c´elf¨uggv´eny a v´as´arolt term´ekekkel el´ert profitot ´ırja le, ezt kell teh´at minimaliz´alni. (2 pont) Minden term´ekb˝ol eg´esz sz´am´ut vesz¨unk, ez´ert minden v´altoz´ora sz¨uks´eges egy eg´esz´ert´ek˝us´egi megk¨ot´es.

(1 pont) A rakt´ark´eszletb˝ol ad´odik az x_i ≤n_i felt´etel, (1 pont)

´

es mivel v´as´arolni, ´es nem eladni akarunk az x_i v´altoz´ora nemnegativit´ast is megk¨ovetel¨unk. (1 pont) Az ¨osszs´ulyra vonatkoz´o korl´at miatt Pk

i=1wi ·xi ≤200, (1 pont)

a t´erfogat sz˝uk¨oss´ege miatt pedig a Pk

i=1v_i·x_i ≤3000 felt´etelt kell m´eg el˝o´ırni. (1 pont) Az ´ıgy megadott IP feladat megold´asa minden feladatan megfogalmazott felt´etelt teljes´ıt, ez´ert az IP opti- m´alis megold´asa meghat´arozza, hogy az egyes term´ekekb˝ol mennyit kell v´as´arolni a profit maximaliz´al´asa

´

erdek´eben. (1 pont)