A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. ZH 2015. X. 22. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti
´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. H´ anyf´ elek´ epp lehet 5 h´ azasp´ art le¨ ultetni egy 10 sz´ ekb˝ ol ´ all´ o sz´ eksorba, ha a h´ a- zast´ arsaknak k¨ ozvetlen¨ ul egym´ as mell´ e kell ¨ ulni¨ uk? Mi a v´ alasz 13 sz´ ekre? (Nem kell kisz´ am´ıtani a pontos eredm´ enyt: el´ eg egy z´ art formula, ami mutatja, hogy egy alapm˝ uveleteket ismer˝ o sz´ amol´ og´ eppel hogyan kaphat´ o ez meg.)
2. Tegy¨ uk fel, hogy a G egyszer˝ u gr´ afnak 100 cs´ ucsa van, melyek b´ armelyik´ enek a foksz´ ama legal´ abb 33, tov´ abb´ a G-nek van olyan cs´ ucsa, melyb˝ ol legal´ abb 66 ´ el indul. Bizony´ıtsuk be, hogy G ¨ osszef¨ ugg˝ o.
3. A bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o G = (V, E ) gr´ af ´ elei a fel´ uj´ıtand´ o ´ utszakaszokat jelentik.
Minden ´ el´ en k´ et k¨ olts´ eg van: az olcs´ obbik az egyszer˝ u fel´ uj´ıt´ as k¨ olts´ ege, a dr´ a- g´ abb pedig ugyanez, ker´ ekp´ ar´ ut ´ ep´ıt´ essel. A c´ el az ¨ osszes ´ utszakasz fel´ uj´ıt´ asa ´ ugy, hogy ¨ osszef¨ ugg˝ o ker´ ekp´ ar´ uth´ al´ ozat ´ ep¨ ulj¨ on ki, amelyen G minden pontja el´ erhet˝ o.
Hat´ arozzunk meg egy lehet˝ o legolcs´ obb fel´ uj´ıt´ asi tervet, ami teljes´ıti ezt a felt´ etelt.
4. A k¨ oz´ eps˝ o ´ abr´ an l´ athat´ o a G ir´ any´ıtatlan gr´ afnak egy i gy¨ ok´ erb˝ ol indul´ o m´ elys´ egi bej´ ar´ asa ut´ an kapott F fesz´ıt˝ of´ aja. Tudjuk, hogy az e cs´ ucs G-beli foksz´ ama 7.
Hat´ arozzuk meg a G gr´ af e-b˝ ol indul´ o ´ eleit.
20 22 21
18 21 18 18 15
21 18 11 25 15
22 15 11
20 15 15 18
22 22 25
25
15 18
a c d
g b
f e h
a b c d
e f g h
l k j i
m n o p
25 21 20
1 2 2
7 3 3
6 2
7
7
4 3 14
6 4 9
c
f
g
k h
b
d e
i j
a
5. Hat´ arozzuk meg a jobb oldali ´ abr´ an l´ athat´ o PERT feladat v´ egrehajt´ as´ ahoz sz¨ uk- s´ eges t id˝ ot ´ es a kritikus tev´ ekenys´ egeket.
6. 222 politikus mindegyike legal´ abb 133 m´ asikat ismer, akik k¨ oz¨ ul legfeljebb 22-t ut´ al. Az ismerets´ eg ´ es az ut´ alat is k¨ olcs¨ on¨ os. Bizony´ıtsuk be, hogy a 222 politikus
´
ugy tudja ´ el˝ o l´ anccal k¨ or¨ ulvenni a T¨ uskecsarnokot, hogy a szomsz´ edos l´ ancszemek ismerj´ ek, de ne ut´ alj´ ak egym´ ast.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Kov´acs Istv´an (11, P, VI 109 ´es 17, Sz, E405), Csehi Csongor (12, P, IB140 ´es 21, Sz, IB140), S´ari Andr´as (13, P, IB145), Dr´otos M´arton (14, P, IB146), Kecsk´es Bogl´arka (15, P, IB147), Mann Zolt´an (16, Sz, IB138), Mih´alka ´Eva (18, Sz, IB139), Berkes Bence (19, Sz, IB145), Fleiner Tam´as (22, Sz, QA202 ´es 26, P, QBF10), Simonyi G´abor (23, Sz, QB104 ´es 24, P, QB104), Nguyen Hai (25, P, QBF11), Katona Gyula (E1, Sz, IB134, E2, P, IB134).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. ZH 2015. XI. 26. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban sem lehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben.
Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: el´egtelen, 18-60 pont: megfelelt.
Ha a k´et ZH v´egs˝o ¨osszpontsz´ama nem ´eri el a 48-at, nem j´ar al´a´ır´as. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem
´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti ´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. A 12 pont´ u G gr´ af ´ ugy keletkezik, hogy egy 5 pont´ u k¨or minden cs´ ucs´ at ¨osszek¨otj¨ uk egy 7 pont´ u k¨or minden cs´ u- cs´ aval. Hat´ arozzuk meg G kromatikus sz´ am´ at, χ(G)-t.
2. S´ıkbarajzolhat´ o-e a jobb oldali ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af?
3. A sithek S¨ot´et Testv´eris´ege az al´abbi gr´af s cs´ ucs´ ab´ ol k´esz¨ ul csap´ ast m´erni a Jedi Ta- n´ acs t t´ amaszpontj´ ara oly m´ odon, hogy a sithek a gr´ af ´elei ment´en szeretn´enek t-be eljutni. (Egy sith sosem halad visszafel´e egy
2 9
25 13
7 4
9 3
5 4 3
9
4 7
13
s t
6
´elen.) Az ´elekre ´ırt sz´ amok azt jelzik, h´ any jedi ˝ orszemet kell az adott
´
utvonalra telep´ıteni ahhoz, hogy az ott pr´ ob´ alkoz´ o sitheket meg´ all´ıts´ ak.
Hat´ arozzuk meg, legal´ abb h´ any ˝ orszem sz¨ uks´eges a t´ amaszpont biztos´ıt´ a- s´ ahoz, azaz ahhoz, hogy egyetlen sith se tudjon s-b˝ ol t-be jutni.
4. Tegy¨ uk fel, hogy a G egyszer˝ u, p´ aros gr´ af mindk´et sz´ınoszt´ alya egyenk´ent 99 pontot tartalmaz, az A sz´ınoszt´ alyban minden pont foka legal´ abb 66, B -ben pedig legal´ abb 33. Mutassuk meg, hogy G-nek van teljes p´ aros´ıt´ asa.
5. Oldjuk meg a 31x ≡ 13(131) line´ aris kongruenci´ at.
6. Ura sz¨ ulet´esnapj´ ara T˝ uzvir´ ag egy 77 gy¨onggyel d´ısz´ıtett, mangalicab˝or to- kot varrt V´erbulcs´ u iv´ ot¨ ulk´ehez. Annyira el´egedett volt az eredm´ennyel, hogy V´erbulcs´ u hagyom´ any˝ orz˝ o dorombegy¨ uttes´enek minden tagj´ at is ugyanilyen tokkal lepte meg, hogy j´ ol mutasson a csapat a tarsolylemezek mellett cs¨ ung˝ o t¨ ulk¨okkel amikor fell´epnek Dobog´ok˝on a t´altos¨ unnep 50 szem´elyes k¨ozponti jurt´aj´aban. Mivel a k´ınai boltban sz´azas´aval ´arulj´ak a gy¨ongy¨oket, 7 gy¨ongy kimarad, melyekkel T˝ uzvir´ ag a h´etk¨oznapi p´art´aj´at
´ekes´ıtette. H´ anyan dorombolnak V´erbulcs´ u zenekar´ aban?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Kov´acs Istv´an (11, P, VI 109 ´es 17, Sz, E405), Csehi Csongor (12, P, IB140 ´es 21, Sz, IB140), S´ari Andr´as (13, P, IB145), Dr´otos M´arton (14, P, IB146), Kecsk´es Bogl´arka (15, P, IB147), Mann Zolt´an (16, Sz, IB138), Mih´alka ´Eva (18, Sz, IB139), Berkes Bence (19, Sz, IB145), Fleiner Tam´as (22, Sz, QA202 ´es 26, P, QBF10), Simonyi G´abor (23, Sz, QB104 ´es 24, P, QB104), Nguyen Hai (25, P, QBF11), Katona Gyula (E1, Sz, IB134, E2, P, IB134).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. p´ otZH 2015. XII. 07. 17h A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti
´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. Az ´ebred˝ o er˝ o bemutat´ oj´ at 7 mikul´ as n´ezi meg a krampusz´ aval. ´ Ugy sze- retn´enek le¨ ulni egy 14 sz´ekb˝ ol ´ all´ o sorba, hogy ne ¨ ulj¨on minden mikul´as a saj´ at krampusza mellett. H´ anyf´elek´epp tehetik ezt meg? (A 7 mikul´ as
´es a 7 krampusz is egym´ ast´ ol j´ ol megk¨ ul¨onb¨oztet˝o.)
2. Igazoljuk, hogy ha v egy v´eges G gr´ af p´ aratlan fok´ u cs´ ucsa, akkor G-ben van olyan ´ ut, amely v-t a G egy m´ asik p´ aratlan fok´ u cs´ ucs´ aval k¨oti ¨ossze.
3. Tegy¨ uk fel, hogy a K 2015 teljes gr´ af minden egyes ´el´et kisz´ınezt¨ uk 1008 lehets´eges sz´ın valamelyik´ere. Bizony´ıtsuk be, hogy tal´ alhat´ o a gr´ afnak egy u ´es egy v pontja valamint egy c sz´ın ´ ugy, hogy ne vezessen u-b´ ol v -be olyan ´ ut amelynek minden ´ele c sz´ın˝ u.
4. A bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o az egyszer˝ u, ir´ any´ıtatlan G gr´ af i gy¨ok´erb˝ol ind´ıtott sz´eless´egi bej´ ar´ asa ut´ an kapott F fesz´ıt˝ ofa. Tudjuk, hogy az e cs´ ucs G-beli foksz´ ama 7. Hat´ arozzuk meg a G gr´ af e-b˝ ol indul´ o ´eleit.
a b c d
e f g h
l k j i
m n o p
25 21 20
1 7 2
3 3
12 13
7
4 3 14
6 20 9
c
f
g
k h
a b
d e
i j
22
16
5. A jobb oldali ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af ´eleire ´ırt sz´ amok az adott ´el sz´eless´eg´et jelentik. Ha van, tal´ aljuk meg G-nek egy olyan F fesz´ıt˝ of´ aj´ at, amelyben az F -beli uv-´ ut a G egy legsz´elesebb uv-´ utja a G tetsz˝ oleges u, v cs´ ucsaira.
Hat´ arozzuk meg f ´es h k¨oz¨ott a legsz´elesebb ´ ut sz´eless´eg´et.
6. Van-e valamely n ≥ 2 eg´esz eset´en olyan 2n pont´ u G gr´ af, hogy G-nek is
´es komplementer´enek, G-nek is van Euler-s´et´ aja?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Kov´acs Istv´an (11, P, VI 109 ´es 17, Sz, E405), Csehi Csongor (12, P, IB140), S´ari Andr´as (13, P, IB145), Dr´otos M´arton (14, P, IB146), Kecsk´es Bogl´arka (15, P, IB147), Mann Zolt´an (16, Sz, IB138), Mih´alka ´Eva (18, Sz, IB139), Berkes Bence (19, Sz, IB145), Csehi Csongor (21, Sz, IB140), Fleiner Tam´as (22, Sz, QA202 ´es 26, P, QBF10), Simonyi G´abor (23, Sz, QB104 ´es 24, P, QB104), Nguyen Hai (25, P, QBF11), Katona Gyula (E1, Sz, IB134, E2, P, IB134).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. p´ otZH 2015. XII. 7. 17h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝o nev´et´esNEPTUN k´odj´at a dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamint gya- korlatvezet˝oje nev´et´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´ata dolgozatels˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´abanolvashat´oan´eshelyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefonm´eg kikapcsolt ´allapotban semlehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Min- den egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-23 pont: 1, 24-32 pont: 2, 33-41 pont: 3, 42-50 pont: 4, 51-60 pont: 5. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. Az ´evv´egi jegy kisz´am´ıt´asakor a k´et (legal´abb el´egs´eges) zh¨osszes´ıtett pontsz´am´at vessz¨uk figyelembe, a fenti
´erdemjegyekkel nem t¨or˝od¨unk.
Feladatok
1. Legyenek a G gr´ af cs´ ucsai a kocka cs´ ucsai, ´es k´et cs´ ucs k¨oz¨ott pontosan akkor fusson ´el, ha e k´et cs´ ucs a kocka ugyanazon
´el´enek v´egpontjai. Hat´ arozzuk meg a G gr´ af komplementer´e- nek kromatikus sz´ am´ at, χ(G)-t.
2. Hat´ arozzuk meg a fenti h´ al´ ozatban az ef ´el p kapacit´ as´ anak ¨ osszes olyan ´ert´ek´et, amire a maxim´ alis st- folyamnagys´ ag pontosan 42.
s t
a b
c d
e
99
100 22 15
10 100 10
9 44 8 p
10
f
22 11
3. Tegy¨ uk fel, hogy G = (A, B ; E ) egyszer˝ u, p´ aros gr´ af A sz´ın- oszt´ aly´ aban 99 cs´ ucs van, ezek b´ armelyik´enek a foksz´ ama leg- al´ abb 33, de A-ban van 66 olyan cs´ ucs, amelyek b´ armelyik´e- nek foka legal´ abb 66. S˝ ot, A tartalmaz 33 olyan cs´ ucsot is, amelyek mindegyik´eb˝ ol legal´ abb 99 ´el indul. Mutassuk meg, hogy G-nek van A-t fed˝ o p´ aros´ıt´ asa.
4. Tegy¨ uk fel, hogy G olyan ¨osszef¨ ugg˝ o, s´ıkbarajzolt gr´ af, amely- nek 14 tartom´ anya van, minden cs´ ucs´ anak foksz´ ama 3 vagy 6, ´es a harmadfok´ u cs´ ucsok sz´ ama k´etszerese a hatodfok´ ua- k´enak. H´ any cs´ ucsa ´es h´ any ´ele van G-nek?
5. Hat´ arozzuk meg az n = 12 6
pozit´ıv oszt´ oinak sz´ am´ at!
6. Melyik az a legnagyobb m modulus, amelyre a 42x ≡ 2015(m) line´ aris kongruenci´ anak megold´ asa az x = 3?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
Kov´acs Istv´an (11, P, VI 109 ´es 17, Sz, E405), Csehi Csongor (12, P, IB140 ´es 21, Sz, IB140), S´ari Andr´as (13, P, IB145), Dr´otos M´arton (14, P, IB146), Kecsk´es Bogl´arka (15, P, IB147), Mann Zolt´an (16, Sz, IB138), Mih´alka ´Eva (18, Sz, IB139), Berkes Bence (19, Sz, IB145), Fleiner Tam´as (22, Sz, QA202 ´es 26, P, QBF10), Simonyi G´abor (23, Sz, QB104 ´es 24, P, QB104), Nguyen Hai (25, P, QBF11), Katona Gyula (E1, Sz, IB134, E2, P, IB134).
