A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. ZH 2018. X. 19. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´ata dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamintgyakorlatvezet˝oje nev´et ´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´es helyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban sem lehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A ? -gal jel¨olt feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Az 1, 2, . . . , 9 sz´ amokat h´ anyf´elek´epp lehet ´ ugy sorbarendezni, hogy az els˝ o 5 sz´ am n¨oveked˝o, az utols´o 5 sz´am pedig cs¨okken˝o sorrendben ´alljon?
2. Tegy¨ uk fel, hogy a 22-´el˝ u G gr´ af ´elei ´ ugy vannak pirosra ´es z¨oldre sz´ınezve, hogy mind a piros, mind a z¨old ´elek G egy-egy fesz´ıt˝ of´ aj´ at alkotj´ ak. H´ any ´ele van a G komplementerg´ afnak?
3. Legyen G a bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af ir´ any´ıtatlan v´ altozata, az ´elekre ´ırt sz´ a- mok az adott ´el meg´ep´ıt´es´enek k¨olts´eg´et jelentik. Tal´aljuk meg G egy minim´ alis k¨olts´eg˝ u fesz´ıt˝ of´ aj´ at. Legfeljebb mennyire n¨ovelhet˝o a be ´el meg´ep´ıt´esi k¨olts´ege
´
ugy, hogy G-nek legyen egy legfeljebb 42 ¨osszk¨olts´eg˝ u fesz´ıt˝ of´ aja?
4. Legyen G a bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o ir´ any´ıtott gr´ af, az ´elekre ´ırt sz´ amok az adott
´el hossz´ at jelentik. Van-e olyan, a c gy¨ok´erbe befel´e ir´any´ıtott fesz´ıt˝of´aja G-nek, amely minden x cs´ ucsb´ ol tartalmazza G egy legr¨ovidebb xc-´ utj´ at? Ha van ilyen fa, akkor hat´ arozzunk is meg egyet.
5. Tegy¨ uk fel, hogy G egyszer˝ u gr´ af, ´es foksz´ amsorozata 8, 8, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2. Iga- zoljuk, hogy G-nek nincs Hamilton-k¨ore.
? Legfeljebb h´ any ´ele lehet annak az egyszer˝ u G gr´ afnak, amelynek b´ armely BFS bej´ ar´ as ut´ an kapott fesz´ıt˝ of´ aja izomorf a jobb oldali ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ affal?
10
4 15
3
9
b c
f e
h i
a
11 1
10
d
5
11 3
2
6
6 6
g
12
a b
c d
f g h
e
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
T´oth ´Ad´am (11, K, IB147), Varga Kitti (12, K, IB139 ´es 18, Cs, IB139), Wiener G´abor (13, K, IB140 ´es 19, Cs, IB140), Balassa ´Ad´am (14, K, IB145), Schwarcz Tam´as (15, K, IB146), Nguyen Hai (16, K, R504), Katona D´aniel (20, Cs, IB145), Mih´alka Zsuzsanna (22, Cs, IB138), Fleiner Tam´as (I1, K, IB134 ´es I2, Cs, IE217.1).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. ZH 2018. XI. 23. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´ata dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamintgyakorlatvezet˝oje nev´et ´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´es helyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban sem lehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A ? -gal jel¨olt feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Mennyi a bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af χ(G) kromatikus sz´ ama?
2. Van-e a jobb oldali ´ abr´ an l´ athat´ o h´ al´ ozatban 42-n´el kisebb kapaci- t´ as´ u st-v´ ag´ as?
a b
c
d e
f
h g
b c
f
11 19
9 10
40 20
77 30
3 15
d e
s t
a
17
9 16
15 5
22
3. Legyenek A ´es B a G p´ aros gr´ af sz´ınoszt´ alyai. Tegy¨ uk fel, hogy
|A| = 100, |B | = 200, d(a) ≥ 70 minden a ∈ A ´es d(b) ≥ 30 min- den b ∈ B cs´ ucsra. Igazoljuk, hogy G-nek van A-t fed˝ o p´ aros´ıt´ asa.
4. S´ıkbarajzolhat´ o-e a bal oldali ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af?
5. Milyen marad´ekot ad 33-mal osztva az x eg´esz sz´ am, ha 12 az x 5-sz¨or¨os´enek 33-as oszt´asi marad´eka?
6. Tegy¨ uk fel, hogy a G p´ aros gr´ af, ´es tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy τ (G 0 ) = τ (G) teljes¨ ul minden olyan G 0 p´ aros gr´ afra, amely G-b˝ ol egy ´ ujabb
´el beh´ uz´ as´ aval j¨on l´etre. Igazoljuk, hogy G kisebbik sz´ınoszt´ aly´ ara teljes¨ ul a Hall-felt´etel.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
T´oth ´Ad´am (11, K, IB147), Varga Kitti (12, K, IB139 ´es 18, Cs, IB139), Wiener G´abor (13, K, IB140 ´es 19, Cs, IB140), Balassa ´Ad´am (14, K, IB145), Schwarcz Tam´as (15, K, IB146), Nguyen Hai (16, K, R504), Katona D´aniel (20, Cs, IB145), Mih´alka Zsuzsanna (22, Cs, IB138), Fleiner Tam´as (I1, K, IB134 ´es I2, Cs, IE217.1).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
1. p´ otZH 2018. XII. 12. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´ata dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamintgyakorlatvezet˝oje nev´et ´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´es helyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban sem lehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A 6. feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Tegy¨ uk fel, hogy G olyan 9 cs´ ucs´ u, egyszer˝ u gr´ af, amelyben a fok- sz´ amok 5, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 2. Igazoljuk, hogy G ¨ osszef¨ ugg˝ o.
2. Az ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af minden egyes
´el´enek meg´ep´ıt´esi k¨olts´ege 6, az ´elre ´ırt sz´ am pedig azt mutatja, mennyi t´ amoga- t´ ast kapunk akkor, ha meg´ep¨ ul az adott
´el. Lefeljebb mennyi haszon realiz´ alhat´ o, ha meg´ep´ıtj¨ uk G egy alkalmasan v´ alasz- tott fesz´ıt˝ of´ aj´ anak minden ´el´et?
a
d
h e
c
f
i b
g
5 5
4
4 2
2 3
3
8 3 7 12 7
12 20 22
3. Az ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af a cs´ ucs´ ab´ ol ind´ıtott m´elys´egi (DFS) be- j´ ar´ asa ut´ an h´ any vissza´el keletkezik? Milyen hat´ arok k¨ozt v´altozik a vissza´elek sz´ ama, ha G egy m´ asik cs´ ucs´ ab´ ol ind´ıtjuk a m´elys´egi bej´ ar´ ast? (Ir´ any´ıtatlan esetben a vissza´el ´es az el˝ ore´el ugyanaz.) 4. Az ´ abr´ an l´ athat´ o G gr´ af ´eleire ´ırt sz´ amok az adott ´el hossz´ at je-
lentik. Cs¨okken-e G valamelyik cs´ ucs´ anak g-t˝ ol sz´ am´ıtott t´ avols´ aga akkor, ha a cf ´el hossz´ at 1-re cs¨okkentj¨ uk?
5. Tegy¨ uk fel, hogy G olyan 100 cs´ ucs´ u, egyszer˝ u gr´ af, amelynek van Euler-k¨ors´et´aja. K´epezz¨ uk a G 0 gr´ afot ´ ugy, hogy G-hez egy v izol´ alt pontot adunk. Van-e a G 0 komplementerg´ afnak Euler-k¨ors´et´aja?
6. H´ any Hamilton-k¨ore van annak a G gr´ afnak, amelynek 10 piros, 10 feh´er ´es egy z¨old cs´ ucsa van, ´elei pedig a k¨ ul¨onb¨oz˝o sz´ın˝ u cs´ ucsokat k¨otik ¨ossze az ¨osszes lehets´eges m´odon?
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
T´oth ´Ad´am (11, K, IB147), Varga Kitti (12, K, IB139 ´es 18, Cs, IB139), Wiener G´abor (13, K, IB140 ´es 19, Cs, IB140), Balassa ´Ad´am (14, K, IB145), Schwarcz Tam´as (15, K, IB146), Nguyen Hai (16, K, R504), Katona D´aniel (20, Cs, IB145), Mih´alka Zsuzsanna (22, Cs, IB138), Fleiner Tam´as (I1, K, IB134 ´es I2, Cs, IE217.1).
J´ o munk´ at!
A Sz´ am´ıt´ astudom´ any alapjai
2. p´ otZH 2018. XII. 12. 8h
A rendelkez´ esre ´ all´ o munkaid˝ o 90 perc.
K´erj¨uk, minden r´esztvev˝onev´et´esNEPTUN k´odj´ata dolgozat minden lapj´anak jobb fels˝o sark´aban, valamintgyakorlatvezet˝oje nev´et ´es a tank¨or´enek sz´am´at vagy gyakorlat´anak idopontj´at a dolgozat els˝o lapj´anak jobb fels˝o sark´aban olvashat´oan ´es helyesent¨untesse fel (ennek hi´any´aban a dolgozatot nem ´ert´ekelj¨uk), ill. egy, a szem´elyazonoss´ag´at igazol´o f´enyk´epes okm´anyt k´esz´ıtsen el˝o. ´Ir´oszeren ´es ¨osszet˝uz¨ott pap´ırokon k´ıv¨ul semmilyen seg´edeszk¨oz haszn´alata sem megengedett, ´ıgy tilos az ´ırott vagy nyomtatott jegyzet, a sz´amol´o- ´es sz´am´ıt´og´ep ill. mobiltelefon haszn´alata, tov´abb´a a dolgozat´ır´as k¨ozbeni egy¨uttm˝uk¨od´es. Mobiltelefon m´eg kikapcsolt ´allapotban sem lehet a hallgat´o keze ¨ugy´eben. Minden egyes feladat helyes megold´asa 10 pontot ´er. A 6. feladat az IMSC hallgat´ok sz´am´ara lett kit˝uzve, de b´arki megoldhatja, ´es pontot kap r´a. A dolgozatok ´ert´ekel´ese: 0-17 pont: sikertelen, 18-60 pont: sikeres. Az al´a´ır´as felt´etele, hogy mindk´et ZH legal´abb 18 pontos, az ¨osszpontsz´am pedig legal´abb 48 legyen. A puszta (indokl´as n´elk¨uli) eredm´enyk¨ozl´est nem ´ert´ekelj¨uk. A megindokolt r´eszeredm´eny´ert ar´anyos pontsz´am j´ar. A 100%-os teljes´ıtm´enyt az 50 pontos el´er´ese jelenti. Az 50 feletti eredm´enyt IMSC pontokk´ent ´ırjuk j´ov´a.
Feladatok
1. Hat´ arozzunk meg egy maxim´ alis nagys´ ag´ u st-folyamot az ´ abr´ an l´ at- hat´ o h´ al´ ozatban.
2. S´ıkbarajzolhat´ o marad-e az ´ abr´ an l´ athat´ o gr´ af ir´ any´ıtatlan v´ altozata az st ´el beh´ uz´ asa ut´ an?
b c
f
15 22
33 15
40 5
9
25 37
12
15 22
d e
s t
a
12
9 11
3. Igazoljuk, hogy ha F egy 100 cs´ ucs´ u fa, akkor az F -beli f¨ uggetlen ponthalmazok maxim´ alis m´eret´ere α(F ) ≥ 50 teljes¨ ul.
4. Melyek azok az 1 ´es 100 k¨oz´e es˝o pozit´ıv eg´eszek, amelyek 42-szerese 66-ra v´egz˝ odik?
5. H´ any olyan m > 1 eg´esz sz´ am l´etezik, amelyre a 7x ≡ 7(m) kong- ruenci´ anak megold´ asa az x = 7?
6. Tegy¨ uk fel, hogy G minden cs´ ucsa ´ ugy van kisz´ınezve a piros ´es z¨old sz´ınek valamelyik´ere, hogy G-nek nincs olyan p´ aratlan hossz´ us´ ag´ u k¨ore, amelynek cs´ ucsai egysz´ın˝ uek. Igazoljuk, hogy G kromatikus sz´ am´ ara χ(G) ≤ 4 teljes¨ ul.
Gyakorlatvezet˝ok ´es gyakorlatok
T´oth ´Ad´am (11, K, IB147), Varga Kitti (12, K, IB139 ´es 18, Cs, IB139), Wiener G´abor (13, K, IB140 ´es 19, Cs, IB140), Balassa ´Ad´am (14, K, IB145), Schwarcz Tam´as (15, K, IB146), Nguyen Hai (16, K, R504), Katona D´aniel (20, Cs, IB145), Mih´alka Zsuzsanna (22, Cs, IB138), Fleiner Tam´as (I1, K, IB134 ´es I2, Cs, IE217.1).