Recent Progress in Bootstrap Percolation

(1)

sustainability of the Research University Centre of Excellence

at the University of Szeged by ensuring the rising generation of excellent scientists.””

Doctoral School of Mathematics and Computer Science

Stochastic Days in Szeged 27.07.2012.

Recent Progress in Bootstrap Percolation

József Balogh

(University of Illinois)

TÁMOP‐4.2.2/B‐10/1‐2010‐0012 project

(2)

Recent Progress in Bootstrap Percolation

J´ozsef Balogh

July, 2013

(3)

Overview:

Definition, Example Motivation, History

Bootstrap percolation on the hypercube

Bootstrap percolation on the random regular graph

Main result: Bootstrap percolation on the 3-dimensional grid

Ideas of the proof

(4)

Definition of Bootstrap Percolation

Definition

Underlying graph G

(e.g. grids, tori, hypercube, trees, random regular graph,. . .) Activation parameter: r

Vertices: Active (1) or Inactive (0).

Discrete time process: t = 0, 1, 2, . . . Random subset of active vertices at time 0.

Deterministic updating.

Activation Rule:

Vertex v is active at time t + 1 if:

v was active at time t or

v had at least r active neighbors at time t .

(active vertex is never deactivated.)

(5)

Comments on the definition of Bootstrap Percolation:

Remark

Bootstrap Percolation

= Deterministic Threshold Growth Cellular Automata with random initial configuration.

Remark

Variants of bootstrap percolation include:

continuous time, deactivation is possible, oriented versions,

activation parameter depends on the vertices,

. . .

(6)

Example: ( r = 2)

(7)

Example: ( r = 2)

(8)

Example: ( r = 2)

(9)

Example: (complete occupation is generated)

(10)

More Definitions:

Definition

A ⊂ V (G ) percolates if it generates complete occupation.

Definition

R ⊂ V (G ) is internally spanned if R ∩ A completely occupies R.

Definition

R ⊂ V (G ) is a blocking set if ∀x ∈ R we have

|{v ∈ G − R : xv ∈ E (G )}| < r.

Remark

If no vertex in a blocking set R is active then it will stay this way.

(11)

More Definitions:

Critical Probability

Choose the elements of A independently at random, with Pr(u ∈ A) = p for each u ∈ V (G ).

p _x (G , r ) := inf ©

p : Pr ¡

A percolates ¢

≥ x ª , p _crit (G, r) := p _1/2 (G , r).

Remark

Pr(A percolates) is monotone increasing in p.

(12)

Phase transition (statistical physics)

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P (A perc.)

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p c

. . . . . . . . . .

1/2

.

p

(13)

Central Question: Sharp threshold?

Meta-Conjecture:

For ‘most’ models there is a sharp transition.

Questions:

Estimate p crit (G , r).

Prove existence of a sharp threshold, i.e., for any small c > 0:

p ₁ ₋ _c (G , r) − p _c (G , r)

is ‘small’.

(14)

History

McCulloch, Pitt [1943]

Brain modelled as a network of interacting neurons:

neurons: the vertices of a directed graph with weighted edges.

if weighted sum of the states of the neighbors of a vertex exceeds (falls below) a threshold then the state of the vertex changes.

Ulam, Von Neumann [1952]

Cellular automata were introduced.

(15)

History

Conway’s ‘Game of Life’ [1970]

Underlying graph is the infinite square grid (as a king moves).

Vertex active at time t + 1 iff at time t

was active and had 2 or 3 active neighbors, or was passive and had exactly 3 active neighbors.

Remark

Game of Life can emulate a universal Turing machine.

(16)

Motivation: Statistical physics

Chalupa, Reich, Leath [1979]

disordered magnetic systems (on d-regular infinite trees).

Vichniac [1984]

growth of crystals.

Aizenman, Lebowitz [1988]

non-equilibrium statistical mechanics.

2-parameter bootstrap percolation on [n] ^d .

(17)

History (2-parameter bootstrap)

Aizenman, Lebowitz [1988]

p _crit ([n] ^d , 2) = Θ ³

(log n) ¹ ⁻ ^d . ´

Why 1

log n ?

(18)

Why log n ?

P (spread ) = 1 − (1 − p) ^2/p ≈ constant.

P (fixed box of side 1/p is int. spanned) ≈ c ^1/p . There are ≈ n ² boxes.

If c ^1/p n ² ≈ Θ(1) then complete occupation.

Figure: Internally spanned rectangle of sidelength 1/p.

(19)

History ( r -parameter bootstrap)

Schonmann [1992]

p _crit ( Z ^d , r ) = 0 if d ≥ r , otherwise 1.

Cerf, Manzo [2002]

For 2 ≤ r ≤ d

p _crit ([n] ^d , r ) = Θ ³

(log _r ₋ ₁ n) ^r ⁻ ^d ⁻ ¹ ´ ,

where the log _r ₋ ₁ n is the r − 1 times iterated logarithm of n.

Why is there iterated logarithm?

(20)

Why is there iterated logarithm? ( d = r = 3)

How does a cube [log n] ³ extend?

face is a [log n] ² square.

each vertex in the face has an active neighbor in the cube.

on the face 2-parameter bootstrap.

So critical probability is log ⁻ ¹ (sidelength of the cube).

......

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............

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logn logn

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.................................................................

...

1

(21)

History

Cerf, Manzo [2002]

For 2 ≤ r ≤ d : p _crit ([n] ^d , r ) = Θ ³

(log _r ₋ ₁ n) ^r ⁻ ^d ⁻ ¹ ´ .

Balogh, Bollob´as [2003]

There is a sharp transition in every dimension in 2-parameter bootstrap percolation on [n] ^d .

Remark

But it does not estimate p _crit ([n] ^d , 2).

Holroyd [2003]

p crit ([n] ² , 2) = π ² /18 + o(1)

log n .

(22)

Central Open Problems

Open problems:

Is there a sharp transition in the r -parameter bootstrap percolation on [n] ^d for every 2 ≤ r ≤ d ?

Determine p _crit ([n] ^d , r ) for every 2 ≤ r ≤ d . Open problems:

Investigate bootstrap percolation on graphs, where percolation is well-studied:

trees: Lyons, Pemantle, Peres, Schramm,. . .

random regular graphs: Bender, Pittel, Wormald, . . .

hypercube: Ajtai, Koml´os, Szemer´edi, van der Hofstad, Slade,

(23)

Bootstrap Percolation on the Hypercube

Balogh, Bollob´as [2006]

p _crit ([2] ⁿ , 2) = Θ ³

n ⁻ ² 2 ⁻ ² ^√ ⁿ ´ . Balogh, Bollob´as, Morris [2009]

p crit ([2] ⁿ , 2) = (C + o (1))n ⁻ ² 2 ⁻ ² ^√ ⁿ ,

where C ≈ 18.56... = 16x ₀ , and x ₀ is the smallest positive root of X

m ≥ 0

(−1) ^m 2 ^m ⁻ ^m

²

m! x ^m = 0.

Remark

Determining p _crit ([2] ⁿ , 3) “seems to be hard”.

(24)

Majority Bootstrap Percolation on the Hypercube

Balogh, Bollob´as, Morris [2009]

p crit ([2] ⁿ , n/2) = 1 2 − 1

2 r log ₂ n

n + O

Ã log log n p n log ₂ n

! .

Remark

Cerf-Manzo (2003): p crit ([n] ^d , d ) = o(1) if d < log ^∗ n.

Our methods imply:

For n < 2 ²

^d

, as d , n → ∞:

p _crit ([n] ^d , d ) = 1/2 + o(1).

(25)

Ising Model on Z ^d at 0 temperature

Glauber dynamics

each site is in state + or −.

each site has a Poisson clock.

clock rings: take the majority of neighbors, in case of a tie,

decide randomly.

(26)

Ising Model on Z ^d

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(27)

Ising Model on Z ^d

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Recent Progress in Bootstrap Percolation

sustainability of the Research University Centre of Excellence

at the University of Szeged by ensuring the rising generation of excellent scientists.””

Doctoral School of Mathematics and Computer Science

Stochastic Days in Szeged 27.07.2012.