BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. március 28.
Feladatsor közös feladatmegoldáshoz
Folytonos valószínűségi változók, sűrűségfüggvény, várható érték a folytonos esetben 1. Tegyük fel, hogy az X folytonos valószínűségi változó eloszlásfüggvénye
FX(t) =
0, ha t≤0, at, ha t∈(0; 3],
1, ha t >3 valamilyena∈Rvalós számra.
a) Mik azalehetséges értékei? Milyen nevezetes eloszlást kapunk megfelelő aválasztása esetén?
b) Mi a valószínűsége, hogy X értéke 2 és 5 közé esik?
c) Határozzuk meg azX várható értékét.
2. A [0; 1] intervallumon véletlenszerűen kiválasztunk két számot. LegyenX a két szám távolsága. Adjuk megX sűrűségfüggvényét és várható értékét, illetve aP(X > 12) valószínűséget (lásd az 5. feladator 5.
feladatát).
3. Az 5. gyakorlat 10. feladatának b) részében láttuk, hogyλ∈Resetén az F(t) =
( 1−e−λt ha t >0,
0 egyébként
függvény pontosan akkor lesz egy valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, haλ >0. AzXvalószínűségi változótexponenciális eloszlásúnak nevezzükλ >0 paraméterrel, amennyibenF(t) az eloszlásfüggvé- nye. Ennek jelölése:X∼Exp(λ). Mutassuk meg, hogy ha X∼Exp(λ), akkorX folytonos valószínű- ségi változó, számoljuk ki a sűrűségfüggvényét és a várható értékét. Mennyi aP(X >1) valószínűség értéke?
4. Határozzuk meg azαértékét, ha tudjuk, hogyf sűrűségfüggvény. LegyenXolyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye f. Adjuk meg az FX eloszlásfüggvényt és azX várható értékét is.
a)f : t7→
( α 2t−t2 ha 0< t <2,
0 egyébként. b) f : t7→
( α√
t−2 ha 2< t <3,
0 egyébként.
c)f : t7→
(2t−α ha 1< t < α 0 egyébként.
BME VIK - Valószínűségszámítás B 2022. március 29.
6. Gyakorlat
Folytonos valószínűségi változók, sűrűségfüggvény, várható érték a folytonos esetben 1. LegyenY olyan valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye valamilyenα∈Resetén
FY : t7→
0 hat≤ −4
−α 1
t + 1 4
ha −4< t≤ −1,
1 hat >−1
Milyenαesetén leszY folytonos valószínűségi változó? Számoljuk ki ezenαesetén aP(−4< Y <−3) valószínűséget.
2. LegyenX olyan valószínűségi változó, amelynek sűrűségfüggvénye:
fX(t) =
(α ha β ≤t≤β+ 5 0 egyébként
valamilyen α, β ∈ R számokra. Határozzuk meg α értékét. Fejezzük ki X várható értékét a β para- méter segítségével. Tegyük fel, hogy E(X) = FX 12 teljesül, ahol FX jelöli az X eloszlásfüggvényét.
Határozzuk meg β értékét.
3. Véletlenszerűen választunk két számot a [−1; 1] intervallumból. LegyenX a két szám összege. Hatá- rozzuk meg X sűrűségfüggvényét és várható értékét, továbbá azP(X >1) valószínűséget (lásd az 5.
feladator 6. feladatát).
4. Az egységnyi oldalú négyzet két átellenes oldalán találomra választunk egyaés egyb pontot. Jelöljük X-szel a két pont távolságának négyzetét.
a) Határozzuk meg X eloszlásfüggvényét.
b) Határozzuk meg X sűrűségfüggvényét.
*c) Átlagosan mekkoraX?
5. Az egységnégyzeten találomra kiválasztunk egy P pontot. Jelölje X a P-hez legközelebbi oldal és a P pont távolságát. Határozzuk meg X sűrűségfüggvényét és várható értékét (lásd az 5. feladator 7.
feladatát).
6. Egy benzinkút üzemanyagtartályát hetente teletöltik. JelöljeXa heti fogyasztást (százezer literekben), melynek sűrűségfüggvénye:
fX : t7→
( 5 (1−t)4 ha 0< t <1,
0 egyébként.
Mekkora legyen a tartály kapacitása, hogy annak a valószínűsége, hogy a héten kifogy az üzemanyag, kisebb legyen 0,05-nél? Mekkora az átlagos heti fogyasztás?
7. A Plútó törpebolygón lévő kráterek átmérőinek (km-ben vett) eloszlását közelítőleg az alábbi sűrűség- függvényűS valószínűségi változóval írhatjuk le:
fS :t7→
( ct−52 ha t > d, 0 egyébként.
Tegyük fel, hogyP(S >9) = 0,2689.
a) Határozzuk meg c értékét. b) Határozzuk megdértékét.
